1 Signifikanz und Messunsicherheit

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1 1 Signifikanz und Messunsicherheit 1. Berechnen Sie die Fläche eines Kreises mit dem Duchmesser d = 2, 5m (d = 2, 55m) unter Berücksichtigung der Signifikanz. Innerhalb welchen Intervalls kann das Ergebnis liegen? Lösung: 4, 9m 2 [4, 85m , 94m 2 ] 5, 11m 2 [5, 105m 2...5, 114m 2 ] 2. Licht breitet sich im Vakuum mit einer Geschwindigkeit von c = m/s aus. (a) Welche Zeit benötigt das Licht, um die 1, km lange Strecke von der Sonne bis zur Erde zurückzulegen? Lösung: (t=499,0s=8,317min) (b) Astronomische Entfernungen gibt man häufig in Lichtjahren (LJ) an. Wie groß ist die Strecke, die Licht in einem Jahr zurücklegt? Lösung: 9, km (c) Der Durchmesser unserer Milchstraße beträgt 8, km. Geben Sie den Durchmesser unserer Milchstraße in Lichtjahren an. Lösung: ca Lj. 3. Im Durchschnitt atmet ein Mensch in einer Minute 15 mal ein und aus. Wie viele Atemzüge hat ein 16jähriger seit seiner Geburt gemacht? Geben Sie das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an. Lösung: 1, Mit einem Zeigerinstrument der Genauigkeitsklasse 1.5 wird im Messbereich bis 200mA ein Wert von 175mA (33mA) gemessen. Innerhalb welchen Intervalls kann der wahre Messwert liegen? Wie groß ist der relative Fehler? Lösung: [172mA...178mA] und [30mA...36mA] 1,7% und 9,1% 5. In der Seefahrt wird die Geschwindigkeit eines Schiffes in der Einheit Knoten angegeben. Legt ein Schiff in einer Stunde eine Seemeile zurück, dann bewegt es sich mit einer Geschwindigkeit von einem Knoten. Wie groß ist die Geschwindigkeit in km/h und in m/s, wenn sich ein Schiff mit der Geschwindigkeit von 18 Knoten bewegt? Eine Seemeile ist definiert als die Entfernung auf der Erdoberfläche, die einem Winkel von einer Bogenminute (was also ist eine Bogenminute?) entspricht. Der Radius der Erde beträgt R E = 6, m. Lösung: 33km/h = 9, 2m/s 1

2 2 Fehlerfortpflanzung, Funktionen 1. Ein Zylinder wird vermessen mit folgenden Ergebnissen: Durchmesser d = 122mm± 1, 5mm,Höhe h = 22, 5cm ± 0, 1cm. Wie groß ist der absolute Fehler des Volumens? Lösung: 65, 7cm 3 2. Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen der folgenden vier linearen Funktionen. Lösung: 1) x(t) = 1 t + 2 2) x(t) = 1 t + 5 3) x(t) = 1/4 t ) x(t) = 1/10 t 3. Ein Höhensensor liefert bei einem Abstand von 10cm ein Spannungssignal von 0,5 Volt. Wird der zu vermessende Körper in eine Entfernung von 46cm gebracht, dann liegt am Ausgang des Sensors eine Spannung von 9,5V an. Ermitteln Sie die zugehörige Spannungs-Abstands-Funktion s(u) =? des Sensors. Lösung: (s(u) = 4 U + 8) 4. Ableitung von elementaren Funktionen: siehe Übung Ableitungen 2

3 3 Vektoren, Winkelfunktionen 1. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren a=(5, 1.5) und b=(1, 2.5). Lösung: 51,5 2. Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren b=(1, 2.5) und c=(-3.5, 1.5)? Lösung: 88,6 3. Wie groß ist der Winkel zwischen der x-achse und dem Vektor c=(-3.5, 1.5)? Lösung: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle Winkel in Grad Winkel in rad sin cos tan 15 0,262 0,259 0,966 0, π/4 0,707 0, ,9 0,871 0,765 0,644 1, ,222 0,94 0,342 2,748 52,9 0,923 0,797 0,604 1, Auf einen Massenpunkt mit der Masse m = 5kg wirken die zwei gegebenen Kräfte F 1 = 9N e x 2N e y und F 2 = 3N e x + 10N e y ein. (a) Geben Sie den Vektor der resultierenden Kraft an. Lösung: Fg = 6N e x + 8N e y (b) Wie groß ist der Betrag dieses Vektors? Lösung: Fg = 10N (c) Welcher Winkel liegt zwischen der resultierenden Kraft und der x-achse? Lösung: α = 52, 1 3

4 4 Gleichförmig beschleunigte Bewegung 1. Sie stehen auf einer 20, 5m hohen Klippe und werfen einen Ball (fast) senkrecht nach oben. Die Startgeschwindigkeit sei 10, 5m/s. Berechnen Sie für eine konstante Erdbeschleunigung von 9, 81m/s 2 die maximale Höhe, die der Ball erreicht. Nach welcher Zeit hat der Ball den Fuß der Klippe erreicht? Wie groß ist die Geschwindigkeit des Balles, wenn er am Fuß der Klippe aufkommt? Lösung: h max = 26, 1m t = 3, 38s v = 22, 6m/s 2. Ein Teilchen bewege sich mit konstanter Beschleunigung in der x-y-ebene. Zur Zeit t = 0 befindet es sich bei x = 4m und y = 3m. Die Beschleunigung ist gegeben durch den Vektor a = (4m/s 2 ) e x + (3m/s 2 ) e y. Der Geschwindigkeitsvektor ist zu Beginn v = (2m/s) e x (9m/s) e y. (a) Skizzieren Sie das Problem. (b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t = 2s. Lösung: v(2s) = (10m/s) e x (3m/s) e y (c) Bestimmen Sie Betrag und Richtung des Ortsvektors zur Zeit t = 4s. Lösung: r(4s) = (44m) e x (9m) e y r = 44, 9m Richtung= 11, Ein Projektil werde von einem 200m hohen Steilufer aus abgeschossen. Die Anfangsgeschwindigkeit betrage 60m/s, und die Abschussrichtung sei 60 zur Horizontalen. Fertigen Sie zunächst eine Skizze des Problems an. Wo wird das Projektil landen, wenn der Luftwiderstand unberücksichtigt bleibt? Lösung: Den Ursprung wählen wir am Fuß des Ufers. Die horizontale Richtung ist x, die senkrechte Richtung ist y. Dann ist y(t) = 1/2gt 2 + v y m, mit v y0 = 60m/s sin 60 = 30m/s. Die physikalisch sinnvolle Lösung für die Nullstelle der Funktion y(t) ist t = 13, 6s. Die in dieser Zeit vom Projektil zurückgelegte horizontale Distanz ist x(13, 6s) = v x 13, 6s = 408m. 4

5 5 Exponentialfunktion und Logarithmus 1. Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen: ln 15 ln 3 + ln 2 5 ln 1 8 = 4 ln 2 ln 1 3 ln 1 2 ln 2 ln 3 = 2 ln Eine Gesteinsprobe enthält 1mg einer radioaktiven Substanz. Nach drei Jahren enthält die Gesteinsprobe nur mehr 0,6mg dieser Substanz. (a) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante λ der radioaktiven Substanz! Lösung: λ = 0, 17 1 a (b) Nach welcher Zeit enthält der Stein nur mehr 0,1mg der Substanz? Lösung: t = 13, 5a 3. Das Kohlenstoffisotop C-14 ist natürlich radioaktiv mit der Halbwertzeit von 5760 Jahren. Es kommt in der Atmosphäre sowie in lebenden Organismen vor und sein Anteil bleibt konstant, solange die Organismen leben. Nach deren Tod nimmt der C-14-Anteil exponentiell ab. (a) In Holzresten aus der Höhle von Lascaux stellte man 14,5% des ursprünglichen C-14-Gehalts fest. Berechne Sie daraus das Alter dieser Holzreste. Lösung: t = 16090a (b) Bis zu welchem Alter kann man diese Methode verwenden, wenn noch 1% des ursprünglichen C-14-Gehalts mit hinreichender Genauigkeit festgestellt werden kann? Lösung: t max = 38400a 4. Sie sind mit einem Ballon aufgestiegen. Das Barometer im Ballon zeigt einen Wert von 756mbar an. In welcher Höhe befinden Sie sich? Lösung: h = 2341m 5

6 6 Kreisbewegung 1. Wandeln Sie die gegebenen Winkel vom Gradmaß in Bogenmaß um: 10 = 0, 175rad 45 = 0, 785rad 90 = π/ = 22, 589 = 0, 394rad. 2. Wandeln Sie die gegebenen Winkel vom Bogenmaß in Gradmaß um: 0.5rad = 28, 6 π = 180 3/2 π = 270 2π = Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit, die Bahngeschwindigkeit und die Radialbeschleunigung des Mondes um die Erde (R = 3, km, Umlaufzeit T = 27, 3 Tage) Lösung: ω = 2, rad/s v = 1023m/s a = 2, m/s 2 der Erde um die Sonne (R = km, Umlaufzeit ist wohl bekannt) Lösung: ω = rad/s v = 30km/s a = m/s 2 der Erde um die eigene Achse. Anmerkung: Es gibt eine einfache, naheliegende und eine etwas komliziertere aber richtige Lösung, siehe Sternentag.pdf Lösung: ω = 7, rad/s 6

7 7 Newton 1. Wie groß ist die Gravitationskraft des Positrons auf ein Elektron im Abstand von einem Meter? Die Masse eines Protons beträgt m p = 1, kg, die des Elektrons m e = 9, kg Lösung: F e = 5, N 2. Wie groß ist die anziehende elektrostatische Kraft eines Positrons auf ein Elektron im Abstand von einem Meter? Die Ladung beider Teilchen beträgt q = 1, C. Lösung: Lösung: F g = 2, N 3. In welchem Verhältnis stehen diese Kräfte? Lösung: v = Fe F g = 4, Das sind 42 Zehnerpotenzen, oder mit anderen Worten, die elektromagnetische Kraft ist 42 Zehnerpotenzen stärker als die Gravitationskraft. Trotzdem wird unser Leben hauptsächlich von der Gravitationskraft beeinflusst. Nach Douglas Adams lautet die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest ebenfalls 42. 7

8 8 Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) von Vektoren 1. Berechnen Sie zunächst den Betrag des Kreuzprodukt der Vektoren a = (3, 5, 2) und b = (4, 1, 7). Den Winkel Θ zwischen den Vektoren erhält man mit Hilfe das Skalarproduktes der Vektoren (siehe dazu Kapitel Vektoren). Überprüfen Sie ihr Ergebnis, indem Sie das Kreuzprodukt mit der Determinantenregel berechnen und anschließend den Betrag bilden. Lösung: a b = , 7854 = 39, 33 c = (33, 13, 17) 2. Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren a = (7, 2, 2) und b = (2, 4, 1) mit Hilfe der Determinantenregel. Lösung: c = (6, 3, 24) 3. Bestimmen Sie mit Hilfe der Drei-Finger-Regel die Richtung der Coriolis-Kraft auf einen Fallschirmspringer der a) am Äquator und b) am Nordpol aus dem Flugzeug springt. Lösung: a) Richtung Ost b) Keine Richtung, da Betrag Null. 4. Ein Karusell mit dem Durchmesser D = 12m dreht sich in 6 Sekunden einmal um die eigene Achse. Berechnen Sie den Betrag der Zentrifugalkraft auf eine 75kg schwere Person und die Bahngeschwindigkeit am Rand des Karusell s. Lösung: F Z = 493, 5N v = R ω = 6m 2π = 6, 28m/s 6s 5. Auf einer Magnetbahn, die auf dem 45. Breitengrad in südlicher Richtung verläuft, fährt ein 27t schweres Testfahrzeug mit einer Geschwindigkeit von 450km/h. Wie groß ist der Betrag der Corioliskraft? Lösung: FZ = kg 2π m s 3600s sin( ) = 347N 8

9 9 Das Gravitationsgesetz Übungsaufgaben Planet Umlaufquadrate: T 2 Bahnkuben: R 3 Verhältnis Merkur ,2 Venus ,9 Erde ,3 Mars ,1 Jupiter ,5 1. Vervollständigen Sie mit Hilfe der Planetendaten die obige Tabelle. Man sieht, dass die Verhältniszahlen nahezu konstant bei 25 liegen. Nur Jupiter hat einen etwas kleineren Wert, da er der am weitaus größte Planet ist, was zu einer Verschiebung des Massenschwerpuntes im System führt. 2. Durch Gleichsetzen der Gravitationskraft F G mit der Zentrifugalkraft F Z erhält man eine Bestimmungsgleichung für die Masse der Sonne. Berechnen Sie damit und mit den obigen Daten der Planeten die Masse der Sonne. Lösung: Gleichsetzen der Gravitationskraft mit der Zentrifugalkraft liefert m ω 2 R = G m M S R 2 Diese Gleichung stellen wir nach der Masse der Sonne um: M S = ω2 R 3 G = (2π)2 R 3 T 2 G 9

10 Man könnte nun die astronomischen Daten der Erde oder eines anderen Planeten verwenden. Nehmen wir mal die Erddaten: dann erhält man T = 1a = s = 3, s R = 149Mio. km = 1, m M S = (2π) 2 (1, m) 3 (3, s) 2 6, m 3 kgs 2 = 1, kg 3. Der Asteroid Ceres befindet sich einer Entfernung von 413Mio. Kilometern von der Sonne und beschreibt eine nahezu kreisförmige Umlaufbahn. Der Radius der Erdumlaufbahn beträgt ca. 149Mio. km. (a) Wie lange dauert ein Umlauf des Ceres um die Sonne? Lösung: T = 1684Tage (b) Welcher Gravitationsbeschleunigung von der Sonne (M S = 1, kg, G = 6, m 3 /kgs 2 ) ist Ceres ausgesetzt? Lösung: g = 7, m/s 2 10

11 10 Arbeit und Energie 1. Eine Kugel der Masse 10g besitze eine Geschwindigkeit von 1,2km/s. (a) Wie groß ist ihre kinetische Energie in Joule? Lösung: 7200J (b) Welche kinetische Energie hat die Kugel, wenn ihre Geschwindigkeit halb (c) und doppelt so groß ist? Lösung: 1/4 und 4 mal so groß. 2. Welche Arbeit muss aufgebracht werden um eine Feder mit der Federkonstanten k = 24N/cm aus der Ruhelage eine Strecke von 1,3m auszulenken? Lösung: W = 1/2 k x 2 = 1/2 2400N/m (1, 3m) 2 = 2028Nm 3. Der Antriebsmotor eines Kranes hat eine Leistung von 35kW. Kann der Kran damit eine 2000kg schwere Metallplatte in einer Zeit von t = 15s auf eine Höhe von h = 50m heben, d.h. welche Leistung müsste er für diese Aufgabe aufbringen? Lösung: P = 65, 4kW 4. In einem Warmwasserboiler (c = 4190J/ (kgk))sollen 500 Liter Wasser von einer Anfangstemperatur von 20 C auf 95 C erwärmt werden. Wie lange dauert das Aufheizen, wenn eine elektrische Leistung von 15kW zur Verfügung steht? Der Wirkungsgrad wird mit 0,95 angenommen. Lösung: T = 11026s 5. Wieviel kg Wasser kann ein Durchlauferhitzer mit einer Leistung von 12kW in einer Minute von 20 C auf 73 C erwärmen, wenn der Wirkungsgrad mit η = 0, 95 angenommen wird? (c = 4190J/ (kgk)) Lösung: m = 3, 08kg 6. Ein Stein wird in einen 95m tiefen Brunnen geworfen. Mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf der Wasseroberfläche auf? (Hinweis: Energieerhaltungssatz) Lösung: v = 43, 17m/s 7. Ein Kran mit einer gegebenen Motorleistung von 25kW hebt eine 1,8 Tonnen schwere Metallplatte in eine Höhe von 25m. Wie lange braucht er dazu? Lösung: t = 17, 66s 11

12 11 Impulserhaltung 1. Gegeben seien drei Körper gleicher Masse von jeweils 2kg. Körper 1 befinde sich bei x = 10cm, y = 0cm, Körper 2 bei x = 0cm, y = 10cm und Körper 3 bei x = 10cm, y = 10cm. Bestimmen Sie den Massenschwerpunkt. Lösung: x cm = 6, 66cm und y cm = 6, 66cm 2. Ein Personenwagen mit der Masse 1500kg fahre mit einer Geschwindigkeit von 20m/s nach Westen, ein Lastwagen der Masse 3000kg mit 16m/s nach Osten. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Massenschwerpunktes. Lösung: v x = 4m/s 3. Zwei Massen von 5kg und 10kg ruhen auf einem reibungsfreien Tisch und seien durch eine komprimierte Feder miteinander verbunden. Nach dem Lösen der Feder bewege sich die kleinere Masse mit einer Geschwindigkeit von 8m/s nach links. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der größeren Masse. Lösung: 4m/s nach rechts. 4. Der Waggon einer Modelleisenbahn mit der Masse 250g bewege sich mit einer Geschwindigkeit von 0, 5m/s und kopple an einen zweiten Waggon an, der die Masse 400g hat. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der beiden gekoppelten Waggons. Lösung: v = 0, 192m/s 5. Bei einem zentralen elastischen Stoß treffe eine Metallkugel der Masse m 1 = 1, 5kg und der Geschwindigkeit u 1 = 3, 5m/s auf eine ruhende zweite Metallkugel der Masse m 2 = 5, 5kg. Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Kugeln nach dem Stoß? Lösung: v 1 = 2m/s v 2 = 1, 5m/s 6. Eine Kugel mit der Masse m 1 = 2kg trifft auf eine ruhende Kugel mit der Masse m 2 = 1, 2kg. Nach dem Stoß hat die Kugel mit der Masse m 1 eine Geschwindigkeit von v 1 = 3m/s. (a) Wie groß war ihre Geschwindigkeit u 1 vor dem Stoß? Lösung: u 1 = 12m/s (b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der gestoßenen Kugel. Lösung: v 2 = 15m/s 12

13 12 Rotation Übungsaufgaben 1. Berechnen Sie den Drehimpuls eines scheibenförmigen Kreisels der sich mit n = 2000U/min dreht. (m = 250g, r = 5cm, h = 0, 5cm) Lösung: L = I ω, Trägheitsmoment: I = 1 2 m r2 = 3, kgm 2, Winkelgeschwindigkeit: ω = 2 π s = 209 rad kgm2, Drehimpuls: L = 0, 065 s s 2. Ein Körper mit der Masse m = 100kg wird mit Hilfe einer motorgetriebenen Seilscheibe (d = 0, 5m) gehoben. Die konstante Drehzahl n der Antriebswelle beträgt n = 1500U/min. Welche mechanische Leistung muß der Motor liefern? (Hinweis: Leistung=Kraft x Geschwindigkeit) Lösung: Kraft: F = m g, Umfangsgeschwindigkeit: v = s = 2 π r 1500, Leistung: t 60s P = m g v = 38, 5kW. 3. Welche maximale Geschwindigkeit erreicht eine Kugel (Durchmesser d = 2m, Dichte ρ = 2320kg/m 3 ), die eine schiefe Ebene mit Höhe h = 5m und α = 30 herunterrollt? Reibungsverluste werden nicht berücksichtigt. Lösung: I cm = 2/5 m r 2 2 m g h = 7/5 m v 2 v = 8, 37m/s 4. Welche Höhe erreicht die gleiche Kugel, wenn sie mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15m/s die schiefe Ebene hinaufrollt? Lösung : ca. 16m. 13