1.2 Eindimensionale Bewegung

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1 . Eindimensionale Bewegung Bewegungen von Körpern (gleichförmige oder beschleunigte) sind uns aus dem Alltag her bekannt (Versuch Luftkissenbahn). Beispiel Schnecke, Autofahrt Zur Analyse einer Bewegung kann ein dienen: Weg-Zeit-Diagramm Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm Weg Beispiel Auto Weg Geschwindigkeiten Ampel Momentan Wert Anfahren Bremsen Stau gleichförmige Bewegung (konstante Geschw.) Zeit Mittelwert= Weg Zeit Zeit 8

2 y x Steigung einer linearen Funktion Lokale Steigung y 5 y 0 5 y x 0, Tangente 5 5, y x,04 y x x y y mx y0, x m const 9

3 Die lokale Steigung einer Funktion entspricht der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt. Weg s Mathematisch ergibt sich die lokale Steigung aus der mittleren Steigung für verschwindend kleine. y x Zeit t y x dy dx y' x. Ableitung Geschw. ds dt 30 Zeit t

4 Die Änderung der Geschwindigkeit in der Zeit (genauer:. Ableitung) ist die Beschleunigung a a 0 t a d d s ' t s" t Einheit m/s dt dt Versuch Eisenbahn 3

5 Umgekehrt lässt sich aus einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (t) auch der Weg s(t) ermitteln. v S i V i t t t t Aufteilung der Fahrt in kleine Zeitabschnitte t mit (nahezu) konstanter Geschwindigkeit. Addieren der einzelnen Strecken s i = i t: s n i t Summenzeichen i Für unendlich kleine Zeitintervalle ergibt sich das Integral als Umkehrung der Ableitung: t s dt t t Geometrisch entspricht das Integral der Fläche unter der Kurve. 3

6 Beispiele für beschleunigte Bewegungen m s Freier Fall: const 9,8 Erde a t at genauer : s t o at t at genauer : s t s t at Anfahrendes/Bremsendes Fahrzeug: Für konstante Beschleunigung beim Anfahren/Bremsen identisch zum freien Fall! Versuch Federpendel: Beim Federpendel ist die Beschleunigung nicht konstant sondern abhängig von der Auslenkung. Es ergibt sich eine harmonische Bewegung! (Schwingung) o o t a(t) (t) s(t) s(t) Generell kommen harmonische Schwingungen in Systemen vor, in denen die Beschleunigung (entgegengesetzt) proportional zur Auslenkung ist. 33

7 Bisher: Eindimensionale Bewegung Es kann sich aber bei der Geschwindigkeiten) nicht nur die Größe (Betrag) ändern, sondern auch die Richtung (Beispiel: Lenken ohne zu Bremsen). Auch dies ist eine Form der Beschleunigung. Physikalische Größen, die nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung haben, werden durch Vektoren beschrieben. Beispiel Kurven-Fahrt 3 a d dt t 34

8 Beispiel Wurfparabel Beispiel Kreisbewegung x x= o t x y. a y y=- at als Vektor : x y ot a t Bei der Kreisbewegung steht die Beschleunigung immer senkrecht auf der Momentangeschwindigkeit. Der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich nicht - nur die Richtung. 35

9 Zusammenfassend: Analysiere immer zuerst, um welchen Typ von Bewegung es sich handelt: Gleichförmige Bewegung d.h. konstante Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung, a=0: x(t) = v t+x 0 Gleichförmig beschleunigte Bewegung d.h. Geschwindigkeit ändert sich nach Betrag und/oder Richtung, a=const.: x(t) = x 0 +v 0 t+½ a t Kreisbewegung... Beachte dabei, dass sich verschiedene Bewegungstypen auch überlagern können. Überlege, ob Momentan- oder Durchschnittsgrößen zu verwenden sind. 36

10 .3 Newtonsches Gesetz, Impuls und Kraft Beschleunigte Bewegungen werden durch Kräfte hervorgerufen Qualitativ (Luftkissenbahn): große Kraft hohe Beschleunigung große Masse kleine Beschleunigung Quantitativ: F ma. Newtonsches Gesetz Insbesondere bedeutet dies, dass ein kräftefreier Körper seine Geschwindigkeit beibehält const. Newtonsche Gesetz Das 3. Newtonsche Gesetz schließlich besagt, dass zu jeder Kraft F, die auf einen Körper wirkt, eine entgegengesetzt gleiche Kraft -F auf einen anderen Körper wirken muss (actio = reactio) Beispiele: Weltraumspaziergang, Rakete, Versuch, eine Feder nur von einer Seite zusammen zu drücken, Möbelroller Die Einheit der Kraft ist Newton N kg m s 37

11 Impuls Betrachte zwei beliebige Körper, die eine kurze Zeit t miteinander wechselwirken Aus Newtons Gesetzen folgt: F F, F ma m t F ma m t also m m = F t + F t = 0 Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit p=m wird als Impuls bezeichnet. Wir haben also gezeigt, dass die Änderung des Gesamtimpulses 0 ist! Impulserhaltungssatz: Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. (Abgeschlossenes System: nur Wechselwirkungen untereinander) Beispiele: Rakete, Kanone, Billardkugeln, Schussverletzung (Stunt), Gas Ft ist ein Maß für die Impulsänderung und wird Kraftstoß genannt 38

12 .4 Überblick über Kräfte Gravitation: Masse üben eine attraktive Kraft aufeinander aus. F F (actio = reactio) Für zwei Massen m, m im Abstand r gilt: F m m r Nm kg - 6,68 x 0 Gravitationskonstante Für eine gegebene Masse m (z. B. Erde) folgt daraus direkt für die Gravitationsbeschleunigung a G : m F m m r a G unabhängig von m r F m a G Auf der Erdoberfläche (und nicht nur dort) fallen alle Körper gleich schnell! m ag 9,8 (vergl. S5, Feder u. Bleikugel) s 39

13 Gewichtskraft: F g =mg Federkraft: Experimentell ergibt sich für eine Schraubenfeder ein lineares Kraftgesetz: F D x Federwaage 0 F l 0 l Coulombkraft: Ladungen q üben Kräfte aufeinander aus (Luftballon). Das Kraftgesetz lautet: q q F k r Ähnelt formal dem Gravitationsgesetz. Beachte jedoch: Anziehende oder abstoßende Wechselwirkung möglich. Lorentzkraft: Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf eine bewegte Ladung (Leiterschaukel). Auftriebskraft, Reibungskraft, Fliehkraft, Corioliskraft... 40

14 Addition von Kräften Greifen mehrere Kräfte an einem Körper an, so werden sie vektoriell addiert zu einer resultierenden Gesamtkraft F ges F F F g F + F = - F g F ges F F F g 0 (Socke in Ruhe) Schiefe Ebene: F g F z - F Rampe Ein Teil der Gewichtskraft F wird von der g Rampe aufgenommen. Zum Ziehen reicht daher ein kleinerer Beitrag F aus. z 4

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16 .5 -Dim.Bewegung und Kreisbewegung Winkel: R = Winkelgeschwindigkeit s υ Angabe des Winkels in Grad (Vollkreis=360 ) oder Bogenmaß (Vollkreis = Halbkreis...) s = R (im Bogenmaß!) Geschwindigkeit bei der Kreisbewegung: Δs Δt RΔ Δt Δ genauer Δt T wird auch Kreisfrequenz genannt. Rω d dt (Umdrehung) π Beachte: Hz = (Frequenz, f) entspricht (Kreisfrequenz) s s T = f d Die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit α wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet. dt 43

17 Wie groß ist die Kraft, die notwendig ist, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten? (Zentripetalkraft, Radialkraft) Berechnung der Radialbeschleunigung: a (t) a d d dt Betrag ändert sich nicht Richtung von dt Die Richtung von (ausgedrückt beispielsweise durch den Winkel ) ändert d sich mit der Rate dt Diese abgekürzte Herleitung liefert das richtige Ergebnis a R Zentripetalkraft: m R m R Die im mitbewegten System verspürte, nach außen gerichtete Trägheitskraft gleicher Größe (actio = reactio) heißt Zentrifugalkraft. 44 F Z R

18 .6 Arbeit, Energie, Leistung Im Gegensatz zu Länge, Masse,... steckt hinter dem Begriff Energie (= das Vermögen Arbeit zu verrichten) eine nicht unmittelbar zugängliche Größe, die eine äußerst wichtige Buchhalterfunktion erfüllt - es gilt der Energieerhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System bleibt bei beliebigen Vorgängen und Prozessen die Gesamtenergie konstant. Beispiele für Energieformen: Potentielle Energie / Lageenergie Kinetische Energie / Bewegungsenergie Wärmeenergie Elektrische Energie Chemische Energie Feldenergie... kgm Einheit: Joule, J = Nm = s (Nicht SI: kalorie 4, Joule) 45

19 Potentielle Energie - Hubarbeit F E= Fs s Nur Anteil parallel zur Kraft ist wirksam: E= Fs II Kinetische Energie - Beschleunigungsarbeit h F Kompressionsenergie F E= m F Energieerhaltung: Fs= mgh= m s Δs II nur abhängig von h, unabhängig vom Weg! E= Fs Energieerhaltung: Wo steckt die (als Kompressionsarbeit) in das System eingebrachte Energie? Antwort: Kinetische Energie der Moleküle Wärme-Kraft-Maschinen 46

20 Flaschenzug Energieerhaltung: s F = s F s s F s = 4s F = 4F Federspannung Rotationsenergie r m m 0 s F Problem: Federkraft abhängig vom Weg F(s) = ks Lösung: E Fds ks ds ( analog zu s dt ks at Für jeden Massepunkt m gilt: Em mm mit m ωr Alle E m m und alle I m addieren sich zum Gesamtergebnis Em mrmω Imω E I 47 )

21 Energieerhaltung beim Stoß Beispiel Ball gegen Hauswand Beispiel Billard (m = m ) vor dem Stoß nach dem Stoß m << m Energie und Impulserhaltung erfüllt elastische Stöße Beispiel m Klebrige Kugeln (inelastischer Stoß) m vor dem Stoß nach dem Stoß p m 0 Impulserhaltung p m E m Energieerhaltung E 4 m m Wird nur die kinetische Energie betrachtet, gilt beim inelastischen Stoß die Energieerhaltung nicht! Fehlende Energie Wärme. 48

22 Leistung Beispiel aus dem Alltag größere Leistung (PS, kw) schneller auf dem Berg (mehr potentielle Energie pro Zeit) 40 W 00 W größere Leistung (Watt) heller, mehr Energie (Strahlung, elektromagnetisches Feld) pro Zeit Die Leistung P ist definiert als die Energieänderung pro Zeit: P ΔE Δt P de dt Nm kgm Einheit: Watt W J (nicht SI: PS 735 W) s s s 49

23 .7 Rotation, Hebel und Schwrpunkt Um einen Körper in Rotation zu versetzen, wird eine Kraft benötigt. Wie effizient die Kraft dabei ist, hängt davon ab, wie weit vom Drehpunkt sie angreift. l l F F F l = F l Beispiel Balkenwaage Balken in Ruhe Die Größe M= Flwird Drehmoment genannt. Einheit: Nm (Drehmomentschlüssel) Drehmomente werden häufig zur Kraftumsetzung genutzt (Hebel, Zange, Brecheisen, Skelett) Beachte: nur der Beitrag des Hebelarms senkrecht zur Kraft ist wirksam. l F 50

24 Kraft F, Ansatzwinkel " bzw. Abstand zum Drehpunkt a, Hebelarmlänge h 5

25 Schwerpunkt Körper in Ruhe, d.h. alle Drehmomente addieren sich zu Null. Dies ist dann der Fall, wenn der Schwerpunkt unter dem Aufhängepunkt liegt. Der Schwerpunkt ist der gemittelte Ort der Massenverteilung (Massenmittelpunkt) Beispiel: Die Lage des Schwerpunktes entscheidet, ob ein Körper kippt: Schwerpunkt über Auflagefläche Schwerpunkt nicht über Auflagefläche Schwerpunkt über dem Rand: Labiles Gleichgewicht 5

26 Drehimpuls Was umgangssprachlich als Schwung eines Rades bezeichnet wird, ist die physikalische Größe Drehimpuls. große Masse Schwungrad:. großer Radius (Masse weit außen) 3. hohe Umdrehungszahl. und. werden zusammengefasst zu einer Eigenschaft, nämlich dem Trägheitsmoment I r Beispiele: Hantel I = mr Hohlzylinder Ring I = mr Vollzylinder Scheibe I = mr Zusammen mit 3. ergibt sich (sorgfältig hergeleitet) für den Drehimpuls: L = I Ähnlich wie der (lineare) Impuls ist auch der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße (Beispiel: Eistänzerin, Turmspringer; Versuch Drehstuhl und Koffer) 53

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28 Analogie Translation - Rotation Geradlinige Bewegung Strecke s Geschwindigkeit Beschleunigung a Masse m Impuls p = m Kraft F = ma kin. Energie E = m Drehbewegung Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment I Drehimpuls L = I Drehmoment M = I Rotationsenergie E = I 55