Hochschule Bremerhaven Fotokopie 04 Impuls und Impulserhaltungssatz

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1 Die physikalische Größe Impuls (Bild 1), Den Bewegungszustand eines Körpers, z.b. einer Rakete (Bild 1), eines Autos, eines Balles oder eines Elektrons, kann man mit der physikalischen Größe Geschwindigkeit beschreiben. Will man diesen Bewegungszustand ändern, dann ist dazu eine bestimmte Kraft erforderlich, die von der Masse des Körpers abhängt. Auch bei der Einbeziehung möglicher Wirkungen, z.b. beim Stoß eines Körpers gegen eine Wand, spielen Geschwindigkeit und Masse des betreffenden Körpers eine Rolle. Der Bewegungszustand eines Körpers wird dynamisch durch seine Masse und seine Geschwindigkeit gekennzeichnet. Zur Beschreibung nutzt man die physikalische Größe Impuls. Der Bewegungszustand eines Körpers bei der Translation wird durch den Impuls gekennzeichnet. Bild 2 Seite 1

2 Der Impuls ist eine vektorielle Größe, dessen Richtung mit der der Bewegungsrichtung des Körpers übereinstimmt. Er ist darüber hinaus eine Zustandsgröße, da er den Bewegungszustand eines Körpers charakterisiert Die physikalische Größe Kraftstoß Um den Impuls eines Körpers zu ändern, gibt es unterschiedliche Möglichkeiten: Es ändert sich die Masse des Körpers, bei einer Rakete z.b. durch Verbrennen und Ausstoßen von Treibstoff. Es ändert sich der Betrag der Geschwindigkeit, z.b. durch Abbremsen des Körpers. Es ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit, z.b. bei einer Kurvenfahrt oder bei der Bewegung eines Satelliten um die Erde. Betrag und Richtung der Geschwindigkeit eines Körpers können durch einwirkende Kräfte verändert werden (Bild 3). Bild 3 Die Wirkung einer Kraft auf einen Körper ist sowohl von Betrag und Richtung dieser Kraft als auch von der Zeitdauer ihrer Einwirkung abhängig. Das wird durch die physikalische Größe Kraftstoß erfasst. Der Kraftstoß kennzeichnet die zeitliche Wirkung einer Kraft auf einen Körper. Seite 2

3 Der Kraftstoß ist eine vektorielle (gerichtete) Größe, dessen Richtung mit der der einwirkenden Kraft übereinstimmt. Er ist darüber hinaus eine Prozessgröße, da er den Vorgang der Bewegungsänderung eines Körpers charakterisiert. Zusammenhang zwischen Kraftstoß und Impuls Jeder Kraftstoß ist mit einer Impulsänderung verbunden. Die quantitativen Zusammenhänge ergeben sich aus grundlegenden Gesetzen der Mechanik. Wir betrachten dazu einen Körper der Masse m, auf den ein Kraftstoß mit einer konstanten Kraft ausgeübt wird: In Worten besagt die letzte Gleichung: Der Kraftstoß auf einen Körper ist gleich der Änderung seines Impulses. Drei charakteristische Fälle dieses Zusammenhangs sind in Bild 4 dargestellt. Bild 4 Seite 3

4 Impuls und Kraft Stellt man die zuletzt genannte Gleichung nach der Kraft um, dann erhält man: Das ist eine Definition der Kraft, die inhaltlich bereits auf ISAAC NEWTON ( ) zurückgeht. Sie ist allgemeiner als die Definition der Kraft mithilfe der Gleichung F = m. a, da in der Impulsänderung nicht nur der Fall der Geschwindigkeitsänderung, sondern auch der Fall der Änderung der Masse enthalten ist. Die Stoßgleichung Durch eine einfache Überlegung kann man auch einen quantitativen Zusammenhang für den Fall formulieren, dass zwei Körper zusammenstoßen (Bild 5). Bild 5 Ein Körper 1 (Masse m 1, Geschwindigkeit v r 1) stößt auf einen zweiten Körper (Masse m 2, Geschwindigkeit v r 2 ) Beide Körper ändern als Folge des Stoßes ihre Geschwindigkeiten. Während des kurzen Zeitintervalls übt beim Zusammenstoß der Körper 1 auf den Körper 2 die Kraft aus und beschleunigt diesen (newtonsches Grundgesetz): Seite 4

5 Nach dem Wechselwirkungsgesetz wirkt der Körper 2 mit der gleich großen aber entgegengesetzten Kraft zurück. Diese Überlegung führt unmittelbar auf die wichtige Stoßgleichung: Drückt man diesen Zusammenhang mithilfe der Impulse aus, so kann man die Stoßgleichung auch folgendermaßen formulieren: Die Änderung des Impulses von Körper 1 ist genauso groß wie die Änderung des Impulses von Körper 2, aber entgegengesetzt gerichtet. Dieser Zusammenhang spielt z.b. beim Zusammenstoß zweier Körper (Crash von Autos, zwei Billardkugeln, Tennisball - Tennisschläger) oder beim Rückstoß eine wichtige Rolle. Impulserhaltungssatz Für den Impuls gilt wie für die Energie und den Drehimpuls ein Erhaltungssatz, der als Impulserhaltungssatz oder als Gesetz von der Erhaltung des Impulses bezeichnet wird. Er lautet: In einem kräftemäßig abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Es gilt: Kräftemäßig abgeschlossen bedeutet, dass keine äußere Kraft auf das System einwirkt, die seinen Gesamtimpuls verändern würde. Dagegen können innere Kräfte, also Kräfte innerhalb des Systems, in beliebiger Weise wirken. Der Impulserhaltungssatz ist ein grundlegender Erfahrungssatz, der sowohl in der Makrophysik als auch in der Mikrophysik gilt. Impulserhaltungssatz für zwei wechselwirkende Körper Besonders häufig tritt der Fall auf, dass an einer Wechselwirkung zwei Körper beteiligt sind. Dabei ist es oft erforderlich, den Impuls der Körper vor und nach der Wechselwirkung zu berechnen. Als Beispiel betrachten wir zwei Kugeln unterschiedlicher Massen und Geschwindigkeiten, die zusammenstoßen. (siehe Bild 6) Seite 5

6 Durch den Vergleich der Situation vor und nach dem Stoß mithilfe der Stoßgleichung r r m1 v1 = m 2 v 2 erhält man eine Gleichung, die eine der wichtigsten Konsequenzen aus den Newtonschen Gesetzen darstellt: einen Erhaltungssatz. Ein Erhaltungssatz beschreibt eine Beziehung zwischen physikalischen Größen, die während des Ablaufes der Bewegung oder eines anderen Prozesses invariant ist. Bild 6 Ordnet man die Größen in der Gleichung so um, dass alle Größen, die die Körper vor dem Stoß beschreiben, auf der linken Seite stehen und rechts sämtliche Größen nach dem Stoß, so erhält man: Seite 6

7 Das heißt in Worten: Die Summe der Impulse vor dem Stoß (linke Seite) ist gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß (rechte Seite). Der Schwerpunktsatz Man kann den genannten Zusammenhang auf sämtliche Körper eines Systems anwenden, das abgeschlossen ist (abgeschlossenes System), in dem also alle actio- und reactio-kräfte vollständig berücksichtigt sind und nur innere Kräfte wirken. Die Kräfte, die von außen auf das System einwirken (äußere Kräfte), werden nicht berücksichtigt. Als Verallgemeinerung erhält den überaus wichtigen Schwerpunktsatz. Zu Beginn des Experimentes nach Bild 7 hält ein dünner Faden die beiden Wagen gegen die gespannte Feder zusammen. Die Wagen sind in Ruhe, der Gesamtimpuls ist null: Bild 7 Seite 7

8 Reißt der Faden, streben die zwei Wagen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auseinander, der leichtere Wagen schneller als der schwerere. Jeder Wagen für sich bekommt einen Impuls. Die Vektorsumme dieser Impulse muss aber wieder null sein, da keine äußeren Kräfte gewirkt haben. Das System war kräftemäßig abgeschlossen. Demzufolge gilt: Das Minuszeichen zeigt an, dass die Geschwindigkeiten entgegengesetzt sind. Sind die Massen gleich, sind es auch die Beträge der Geschwindigkeiten. Sind die Massen nicht gleich, verhalten sich die Geschwindigkeitsbeträge umgekehrt wie die Massen: War das System vor dem Durchbrennen des Fadens im Gleichgewicht, unterstützte also die rote Spitze das System im Schwerpunkt, so ändert sich daran auch nichts, wenn der Faden durchbrennt und die Wagen auseinanderfahren. Denn im Falle des Gleichgewichts gilt vor der Explosion, bevor also die beiden Wagen auseinanderstreben: Dies gilt wegen des Impulserhaltungsatzes auch nach dem Durchbrennen des Fadens für die Positionen x 1 (t) und x 2 (t) der Wagen zu jedem Zeitpunkt t: Das Verhältnis der beiden Abstände vom Drehpunkt hat nämlich zu jedem Zeitpunkt den Wert, der einer Unterstützung in Schwerpunktslage entspricht: Mit anderen Worten: Der Schwerpunkt hat sich nicht verschoben. Er wird durch innere Kräfte nicht beeinflusst (Bild 8). Dieser Sachverhalt wird als Schwerpunktsatz bezeichnet und kann zusammenfassend folgendermaßen formuliert werden: Seite 8

9 Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems wird durch innere Kräfte nicht verschoben. Damit verändert sich z.b. auch nicht der Schwerpunkt eines explodierenden Feuerwerkskörpers, da bei der Explosion nur innere Kräfte wirken. Der Schwerpunktsatz gilt auch für das berühmte Beispiel des Barons von MÜNCHHAUSEN, der sich angeblich am eigenen Schopf aus dem Sumpf gezogen hat. Da in diesem Falle nur innere Kräfte wirken, kann der Schwerpunkt des Systems nicht verschoben werden. Mit anderen Worten: Die Geschichte des Lügenbarons ist physikalisch nicht möglich. Bild 8 Seite 9

10 Rückstoß Wird z.b. aus einer Waffe ein Geschoss abgefeuert, so ist ein Rückstoß festzustellen, d.h. die Waffe bewegt sich ruckartig in der entgegengesetzten Richtung zum Geschoss (Bild 9). Dieser Effekt spielt nicht nur in der Waffentechnik eine Rolle, sondern z.b. auch bei der Fortbewegung von Quallen, bei der Fortbewegung von Flugzeugen und Raketen, beim Antrieb von Schiffen, beim Antrieb von Ruder- und Paddelbooten und an vielen anderen Stellen, beispielsweise auch bei Spielzeug. Bild 10 zeigt dazu ein einfaches Beispiel: Ein Luftballon wird aufgeblasen und mit einer Düse verbunden. Die in der einen Richtung ausströmende Luft bewirkt eine Bewegung des kleinen Rennautos in der entgegengesetzten Richtung. Bild 10 Bild 9 Das Auftreten eines Rückstoßes kann mithilfe des Impulserhaltungssatzes erklärt werden. Einbezogen werden kann auch das Wechselwirkungsgesetz oder eine Bilanz der Kraftstöße. Seite 10

11 Wir betrachten als Beispiel den Abschuss eines Geschosses aus einer Pistole (Bild 11). Pistole und Geschoss bilden ein abgeschlossenes System mit dem Gesamtimpuls null. Der Impuls bleibt nach dem Impulserhaltungssatz auch dann null, wenn im System innere Kräfte wirken, also das Geschoss abgefeuert wird. Es gilt für die Impulse: Bild 11 In Worten: Die Beträge der Impulse beider Körper des Systems sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Seite 11

12 Betrachtet man die Impulsänderung, so kann man davon ausgehen, dass eine Impulsänderung mit einem Kraftstoß verbunden ist. Für die Pistole würde dann gelten: Aus dieser Gleichung kann man Aussagen über die beim Rückstoß wirkende mittlere Kraft, der Stoßkraft, ableiten. Bei gegebener Masse der Pistole hängt sie von der Geschossgeschwindigkeit und der Dauer der Beschleunigung im Lauf ab. Anwendungen Der Rückstoß wird beispielsweise in folgender Weise genutzt: Quallen stoßen Wasser in einer bestimmten Richtung aus. Sie bewegen sich dadurch in der entgegengesetzten Richtung. Bei Raketen werden Verbrennungsgase mit hoher Geschwindigkeit in der einen Richtung ausgestoßen. Die Rakete bewegt sich dadurch in der entgegengesetzten Richtung. Nähere Erläuterungen dazu sind unter dem Stichwort Raketenantrieb gegeben. Bei Flugzeugen (Düsentriebwerke, Turboproptriebwerke) werden ebenfalls Verbrennungsgase in der einen Richtung ausgestoßen, die eine Bewegung des Flugzeuges in der entgegengesetzten Richtung bewirken. Bei Schiffen erfolgt der Antrieb und die Steuerung teilweise durch Turbinen, die angesaugtes Wasser mit hoher Geschwindigkeit ausstoßen. Beim Rudern wird Wasser durch die Ruderblätter in der einen Richtung bewegt. Das Boot bewegt sich dann in der entgegengesetzten Richtung. Seite 12

13 Was heißt rückstoßfrei? Bei Geschützen spricht man manchmal davon, dass sie rückstoßfrei seien. Da ein Rückstoß beim Abfeuern eines Geschosses physikalisch grundsätzlich nicht vermeidbar ist, wendet man einen Trick an: Der Rückstoßimpuls wird durch den Schubimpuls eines Pulvergasstrahls kompensiert, der entgegengesetzt zur Richtung der Geschossbewegung austritt und demzufolge dem Impuls des Geschützes entgegenwirkt. Raketenantrieb und Raketengrundgleichung Zum Antrieb von Raketen wird das Rückstoßprinzip, auch Raketenprinzip genannt, genutzt. Die physikalische Grundlage ist der Impulserhaltungssatz. Impulserhaltung und Rückstoß Feuert man aus einem Gewehr eine Kugel ab, dann spürt man deren Rückstoß. Für das System Gewehr-Kugel gilt der Impulserhaltungssatz: Der Gesamtimpuls ist null oder in anderer Formulierung: Der Impuls ist vor dem Abschuss genauso groß wie nach dem Abschuss. Allgemein gilt für ein abgeschlossenes System aus zwei Körpern, zwischen denen nur innere Kräfte wirken, dass die Summe ihrer Impulse vor und nach der Wechselwirkung konstant ist. War der Gesamtimpuls der beiden Körper zunächst null, dann muss er auch dann null bleiben, wenn sich beide Körper in entgegengesetzten Richtungen voneinander entfernen. Das gilt auch für eine Rakete: Das abgeschlossene System besteht aus dem Raketenkörper und dem Treibstoff. Der Gesamtimpuls des Systems ist zunächst null. Daran ändert sich auch nichts, wenn die Triebwerke gezündet werden und Verbrennungsgase durch die Düsen mit hoher Geschwindigkeit ausströmen. Dann gilt für die Impulse (Bild 12): Bei einer Rakete verändert sich aber aufgrund der ausströmenden Verbrennungsgase ständig die Masse. Deshalb kann der Impulserhaltungssatz in der genannten einfachen Form nur für kurze Zeitintervalle angewendet werden. Das gilt natürlich dann auch für die Gleichung zur Berechnung der Raketengeschwindigkeit. Seite 13

14 Bild 12 Seite 14

15 Die Raketengrundgleichung Beachtet man die Masseänderung bei der Rakete, dann gilt: In der zuerst genannten Gleichung bedeuten dm die relativ geringfügige Gasmasse, die während einer sehr kurzen Zeitspanne ausströmt, und dv die kleine Änderung der Geschwindigkeit, die die Rakete in dieser sehr kurzen Zeitspanne erfährt. Die genannte Gleichung ist eine Differentialgleichung, die durch Integrieren gelöst werden kann. Als Resultat erhält man für die Endgeschwindigkeit der Rakete eine Gleichung, die als Raketengrundgleichung bezeichnet wird. Sie lautet: Liegt bereits eine Anfangsgeschwindigkeit vor, so kommt diese zur Geschwindigkeit der Rakete hinzu. Die Endgeschwindigkeit kann erhöht werden, wenn man die Ausströmgeschwindigkeit der Gase steigert und das Verhältnis von Startmasse zur Endmasse möglichst groß wählt. Dies bedeutet nichts anders, als möglichst viel Treibstoff und möglichst wenig Nutzlast mitzuführen - ein Grundproblem der Raumfahrt, die natürlich das entgegengesetzte Ziel bei hohen Endgeschwindigkeiten anstrebt. Seite 15

16 KONSTANTIN ZIOLKOWSKI Historisches zur Raketengrundgleichung Die Raketengrundgleichung geht vermutlich auf den russischen Physiklehrer KONSTANTIN EDUAROWITSCH ZIOLKOWSKI ( ) zurück. Jedenfalls ist er der erste Wissenschaftler, der sie im Jahre 1903 veröffentlichte. ZIOLKOWSKI war schon im Jahre 1883 aufgefallen, dass die Raumfahrt nur durch die Anwendung des Impulserhaltungssatzes möglich sein würde. ZIOLKOWSKI führte zahlreiche Experimente in einem kleinen Privatlabor durch, er unterbreitete viele Vorschläge zur Durchführung von Raumfahrtunternehmungen. Beispielsweise erwähnte er als Erster die Möglichkeit des Einsatzes von künstlichen Erdsatelliten. Arten von Triebwerken bei Raketen Bei Raketen und in der Raumfahrtechnik insgesamt nutzt man unterschiedliche Triebwerke. Nachfolgend ist dazu ein Überblick gegeben. Verbrennungstriebwerke: Die weitaus meisten Raketenmotoren nutzen die chemische Energie ihrer Treibstoffe. Dazu werden der Brennstoff und der Oxidator, der den für die Verbrennung nötigen Sauerstoff liefert, zusammengebracht und verbrannt. In einem Feststofftriebwerk, der ältesten Form der Antriebe, liegen Brennstoff und Oxidator als feste oder pastenähnliche Masse vor. Ein solches Triebwerk hat einen einfachen Aufbau, ist betriebssicher und preiswert. Nachteil ist, dass es - einmal gezündet - nicht mehr gestoppt und der Schub kaum dosiert werden kann. Es wird meist als Starthilferakete (»Booster«) für große Trägerraketen eingesetzt. Das Flüssigkeitstriebwerk ist dagegen wesentlich aufwendiger: Die Treibstoffe (Oxidator und Brennstoff) werden in getrennten Tanks aufbewahrt, durch ein Leitungssystem in die Brennkammer eingespritzt und dort verbrannt. Brennkammer und Ausströmdüse müssen gekühlt werden. Da sie sich relativ einfach regulieren lassen und ihre Ausströmgeschwindigkeit wesentlich höher ist als bei Feststofftriebwerken, werden sie hauptsächlich in den Oberstufen von Trägerraketen und als Steuertriebwerke eingesetzt. Eine Mischform ist das Hybridtriebwerk, bei dem eine Treibstoffkomponente (meist der Brennstoff) fest vorliegt, während die andere Komponente in flüssiger Form eingespritzt wird. Seite 16

17 Die Triebwerke von Trägersystemen können dabei in sehr unterschiedlicher Weise kombiniert und angeordnet werden. Bild 13 gibt einen Überblick über gegenwärtig gebräuchliche Systeme. Bild 13 Pressgastriebwerke: Eine relativ einfache und heute ebenfalls genutzte Antriebsquelle stellen Presslufttanks dar, deren Inhalt durch eine Düse ausströmt. Der große Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie sehr unanfällig ist. Insbesondere das Einfrieren des Treibgases stellt kein Problem dar, sofern man einen geeigneten Stoff verwendet. Daher werden solche Triebwerke in Satelliten eingesetzt. Die manövrierfähigen Raumanzüge für Weltraumausstiege amerikanischer Astronauten verfügen ebenfalls über diese Technologie. Alternative Antriebsquellen: Neben der Verbrennung von chemischen Treibstoffen sind noch zahlreiche Varianten des Raketentriebwerks möglich. Ein thermonukleares Triebwerk wird so betrieben, dass mit der von einem Kernreaktor freigesetzten Wärme ein Arbeitsgas (Wasserstoff oder Helium) erhitzt und zur Düse geleitet wird. Dort sinkt der Druck schlagartig (das Gas wird entspannt ) und das Gas strömt mit hoher Geschwindigkeit aus. Solche Aggregate wurden in den sechziger Jahren zwar als Experimentalmodell am Boden getestet, allerdings aus Sicherheits-, Kosten- und Umweltgründen nicht zu einsatztauglichen Systemen weiterentwickelt. Dampftriebwerke hat man allerdings für Höhenraketen seit dieser Zeit noch weiter getestet. Als Wärmequelle dient aber nicht eine thermonukleare Reaktion. Seite 17

18 Elektrische Antriebsquellen: Sie werden für Lageregelungen und Bahnkorrektur von Satelliten verwendet. Der elektrostatische Antrieb (Ionentriebwerk) verwendet ein Arbeitsmedium (zum Beispiel Caesium oder Quecksilber), dessen Moleküle durch Hitze ionisiert und dann durch ein elektrisches Feld beschleunigt werden. Nach demselben Prinzip arbeiten Plasmatriebwerke; hier wird zuerst ein Plasma (ein elektrisch geladenes Gas) erzeugt, das dann von elektromagnetischen Feldern hoch beschleunigt und ausgestoßen wird. Beim Lichtbogentriebwerk wird ein Arbeitsmedium mithilfe eines elektrischen Lichtbogens stark erhitzt und an der Düse entspannt. Als Sonnensegler bezeichnet man Raumfahrzeuge, die durch den Lichtdruck des Sonnenlichts angetrieben werden. Allen diesen Antrieben ist gemeinsam, dass sie nur geringe Schubkraft entwickeln und nicht für den Start vom Erdboden geeignet sind. Im All jedoch können sie ein Raumfahrzeug bei sehr langen Beschleunigungszeiten auf nennenswerte Geschwindigkeiten bringen. Zentraler gerader elastischer Stoß Kennzeichnung eines zentralen elastischen Stoßes Ein zentraler gerader unelastischer Stoß zwischen zwei Körpern ist dadurch gekennzeichnet, dass die Verbindungsgerade der Schwerpunkte beider Körper senkrecht auf der Berührungsfläche steht, die sich beim Stoß ausbildet (zentraler Stoß), beim Stoß nur elastischen Wechselwirkungen auftreten, sich die Körper nach dem Stoß mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten weiterbewegen und die kinetische Energie vor dem Stoß genauso groß ist die kinetische Energie nach dem Stoß. Beispiele für Stöße, die näherungsweise als solche zentralen elastischen Stöße angesehen werden können, sind der Schlag eines Tennisschlägers gegen einen Tennisball (Bild 1), der Aufprall eines hochelastischen Balles auf Steinfußboden, der Stoß von zwei Billardkugeln. Elastische Stöße treten auch bei Elementarteilchen auf. Dabei ist aber stets zu beachten: Ein (ideal) elastischer Stoß ist eine Idealisierung, die in der Praxis nur näherungsweise auftritt. Damit muss für den jeweiligen Fall geprüft werden, ob die nachfolgend genannten Gesetze angewendet werden können. Gesetze für den zentralen elastischen Stoß Wir betrachten als Beispiel einen zentralen elastischen Stoß zwischen zwei Wagen (Bild 14). Durch die am Wagen befestigte Feder erfolgt beim Stoß eine elastische Wechselwirkung. Die gesamte Anordnung betrachten wir als ein abgeschlossenes System, vernachlässigen damit auch den Einfluss von Reibungseffekten. Experimentell kann man das realisieren, wenn man eine Luftkissenbahn nutzt. Seite 18

19 Bild 14 Für eine solche Anordnung gilt der Impulserhaltungssatz: (1) Für den Spezialfall des zentralen Stoßes bewegen sich die Körper längs einer Geraden und man kann die Impulsgleichung ohne Vektorpfeile schreiben. Dabei vereinbart man noch, dass Geschwindigkeiten nach rechts ein positives Vorzeichen bekommen, Geschwindigkeiten nach links ein negatives: (2) Mit den Gleichungen (1) und (2) für den Impuls und die Energie stehen zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten u 1 und u 2 zur Verfügung. Diese Gleichungen lassen sich nach u 1 und u 2 auflösen und man erhält: Seite 19

20 Ein wichtiger Spezialfall ist der, dass ein Körper elastisch gegen einen zweiten mit sehr großer Masse (feste Wand) stößt. Unter der Bedingung Ein klassisches Experiment zum elastischen Stoß Bild 15 zeigt ein klassisches Experiment zur Energieerhaltung und Impulserhaltung beim elastischen Stoß, das als Newtons Wiege bezeichnet wird. Das entsprechende Gerät nennt man auch Kugelstoßapparat. Lässt man eine Kugel stoßen, dann fliegt auf der anderen Seite genau eine Kugel weg. Bei zwei stoßenden Kugeln sind es auf der anderen Seite genau zwei Kugeln usw. Die Erklärung dafür ist folgende: Die Anzahl i Kugeln (i = 1, 2,...) der Masse m wurden ausgelenkt und stoßen mit der Geschwindigkeit v auf die verbliebenen Kugeln. Nach dem Stoß fliegen k Kugeln mit der Geschwindigkeit u nach rechts fort. Bild 15 Seite 20

21 Nach dem Impulserhaltungssatz und dem Energieerhaltungssatz gilt dann: Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, folgt i = k und daraus v = u, also genau das, was man sieht. Zentraler gerader unelastischer Stoß Bild 16 Kennzeichnung eines zentralen unelastischen Stoßes Ein zentraler gerader unelastischer Stoß zwischen zwei Körpern ist dadurch gekennzeichnet, dass die Verbindungsgerade der Schwerpunkte beider Körper senkrecht auf der Berührungsfläche steht, die sich beim Stoß ausbildet (zentraler Stoß), beim Stoß keine elastischen Wechselwirkungen auftreten, sich die Körper nach dem Stoß mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiterbewegen und ein Teil der mechanischen Energie in andere Energieformen umgewandelt wird. Beispiele für Stöße, die näherungsweise als solche zentralen unelastischen Stöße angesehen werden können, sind der Zusammenstoß von Autos, der Aufprall eines Steines auf den Erdboden, der Einschlag einer Kugel in einen Körper oder der Schlag eines Hammers auf einen Nagel, der in Holz eingeschlagen wird. Unelatische Stöße treten auch bei Elementarteilchen auf. Dabei ist aber stets zu beachten: Ein (ideal) unelastischer Stoß ist eine Idealisierung, die in der Praxis nur näherungsweise auftritt. Damit muss auch für den jeweiligen Fall geprüft werden, ob die nachfolgend genannten Gesetze angewendet werden können. Seite 21

22 Gesetze für den zentralen unelastischen Stoß Wir betrachten als Beispiel einen zentralen unelastischen Stoß zwischen zwei Wagen (Bild 17). Beim Stoß kleben die beiden Wagen aneinander und fahren mit der gleichen Geschwindigkeit weiter. Die gesamte Anordnung betrachten wir als ein abgeschlossenes System, vernachlässigen damit auch den Einfluss von Reibuntgseffekten. Für eine solche Anordnung gilt der Impulserhaltungssatz: Bild 17 Eine unterschiedliche Bewegungsrichtung der einzelnen Körper muss durch unterschiedliches Vorzeichen berücksichtigt werden. Dabei ist es wie in der Mathematik üblich, eine Bewegung nach rechts als positive Richtung anzusehen. In welcher Richtung sich die Körper nach dem Stoß gemeinsam weiterbewegen, hängt von den Impulsen beider Körper vor dem Stoß ab. Die gemeinsame Bewegung erfolgt immer in der Richtung, die der größere Impuls hat. Spezielle Fälle Von Interesse sind vor allem zwei spezielle Fälle: a) Einer der am Stoß beteiligten Körper hat eine wesentlich größere Masse als der andere (Stoß gegen eine feste Wand, Kollision eines Autos mit einen Baum). Dann gilt: Beide Körper bewegen sich näherungsweise mit der Geschwindigkeit des Körpers mit der größeren Masse weiter oder sind nach dem Stoß in Ruhe, wenn der schwere Körper (die feste Wand) vorher in Ruhe war (Bild 18a). Seite 22

23 b) Beide Körper haben die gleiche Masse und den gleichen Betrag der Geschwindigkeit, aber sie bewegen sich vor dem Stoß aufeinander zu (Bild 18b). Dann sind beide Körper nach dem Stoß in Ruhe. Bild 18a und 18b Seite 23

24 Energiebilanz beim zentralen unelastischen Stoß Beim unelastischen Stoß gilt zwar der allgemeine Energieerhaltungssatz, nicht aber der Energieerhaltungssatz der Mechanik, da bei unelastischen Verformungen ein Teil der Energie in Verformungsenergie und in thermische Energie umgewandelt wird. Der auftretende Verlust an mechanischer Energie ist ein Maß für die zerstörerische Wirkung des Stoßes. Für die Energiebilanz bei einem solchen unelastischen Stoß gilt: Die kinetische Gesamtenergie der Körper vor dem Stoß ist die Summe der kinetischen Energien der einzelnen Körper: Nach dem Stoß haben beide Körper zusammen die kinetische Energie: Damit ergibt sich für die Verringerung der kinetischen Energie: Dabei gilt das Minuszeichen, wenn die Körper vor dem Stoß dieselbe Geschwindigkeitsrichtung hatten (Auffahrunfall), das Pluszeichen beim Frontalzusammenstoß. Bei sonst gleichen Bedingungen ist der Verlust an kinetischer Energie in diesem Fall größer. Bei einem Verkehrsunfall wird dieser Energiebetrag in Deformationsenergie umgewandelt. Deshalb haben Frontalzusammenstöße eine so verheerende Wirkung! Seite 24

25 Schiefer elastischer Stoß Bild 19 Kennzeichnung von schiefen elastischen Stößen Stößt ein Körper, z.b. eine Billardkugel, unter einem beliebigen Winkel ungleich 0 und ungleich 90 gegen eine Wand, so spricht man von einem schiefen elastischen Stoß (Bild 19). Das Gegenstück wäre ein gerader Stoß. Beispiele für solche schiefen elastischen Stöße sind der Stoß einer Billardkugel gegen die Bande oder das schiefe Auftreffen eines hochelastischen Balles auf dem Boden. Für einen solchen schiefen elastischen Stoß gelten wie für alle elastischen Stöße der Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz der Mechanik. Dabei sind allerdings zwei Fälle zu unterscheiden: - Betrachtet man reale Körper, z.b. eine Billardkugel oder einen Ball, so ist der schiefe Stoß immer mit Drehungen des betreffenden Körpers verbunden. Dadurch werden die Verhältnisse sehr kompliziert und lassen sich mathematisch in elementarer Form nicht mehr erfassen. - Betrachtet man den Körper als Massepunkt und schließt man die Rotation aus, dann ist eine mathematische Erfassung mithilfe der Erhaltungssätze möglich. Wir beschränken uns auf diesen Fall. Seite 25

26 Schiefer elastischer Stoß eines Massepunktes Bild 20 Wir betrachten den in Bild 20 dargestellten Fall des Stoßes eines Massepunktes gegen eine feste Wand. Dazu denkt man sich die Geschwindigkeit vor dem Stoß, v r 1, in zwei r r Komponenten zerlegt, eine parallel und eine senkrecht zur Wand ( v und ).Beim 1S v1p elastischen Stoß ändert sich v r 1P nicht. Die Geschwindigkeit nach dem Stoß hat also die identische Parallelkomponente: In Bezug auf die senkrechte Komponente erfährt die Kugel einen zentralen elastischen Stoß. Da die Wand sich nicht bewegt, gilt: Bild 20 zeigt die Geometrie. Man liest direkt ab: Seite 26

27 Schiefer elastischer Stoß zwischen Körpern gleicher Masse Bild 21 Bild 21 zeigt den Stoß zwischen zwei gleich schweren Kugeln. Kugel 2 sei vor dem Stoß in Ruhe. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt: Beim zentralen Stoß ist: Die zweite Kugel bewegt sich in der gleichen Richtung weiter. Die dargestellten Zusammenhänge werden z.b. genutzt, um Nebelkammeraufnahmen auszuwerten. Seite 27