Fragen zu Kapitel III Seite 1 III

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Rosa Meyer
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1 Fragen zu Kapitel III Seite 1 III Grundbegriffe der klassischen Mechanik Fragen 3.1 bis 3.8 Zur Beantwortung der Fragen benötigen Sie folgende Daten Masse der Erde 5, kg Erdradius 6371 km Erdbeschleunigung 9,81 m s - Mondmasse 7, kg Mondradius 1738 km Gravitationskonstante 6, m 3 kg -1 s - 3.1a Erläutern Sie die Grundzüge des astronomischen Weltbildes von Ptolemäus! Von wann bis wann wurde es akzeptiert? 3.1b Beruhte der Aufbau der Planetenbahnen aus Zyklen und Epizyklen nach Ptolemäus auf einem Naturgesetz oder auf einer ad hoc Annahme? Erläutern Sie den Unterschied! 3.1c Welche einfachen Beobachtungen der Himmelserscheinungen konnten zur Annahme des Aristoteles führen, dass man zwischen sublunaren und translunaren Erscheinungen grunätzlich unterscheiden müsse? 3.1d Erläutern Sie den Übergang vom Weltbild des Ptolemäus zum Weltbild des Kopernikus! 3.1e Beantworten Sie die Frage, ob es sich dabei um den Übergang zwischen gleichwertigen Paradigmen oder um echten Erkenntnisfortschritt handelt und begründen Sie Ihre Antwort! 3. Galileo Galilei ( ) steht am Anfang der modernen Naturwissenschaft. Stellen Sie kurz dar, welche neue Methode Galilei zur Beschreibung der Natur gegenüber der alten Naturphilosophie einführte!

2 Fragen zu Kapitel III Seite 3.3 In der Physik haben alle Messgrößen x eine Dimension, dargestellt als [x]. Bei Definitionen und Naturgesetzen muss also auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Dimension stehen. Im SI- System sind die grundlegenden Größen der Mechanik mit ihren Dimensionen die Länge das Meter m, die Masse das Kilogramm kg, die Zeit die Sekunde s. 3.3a Geben Sie die Dimensionen folgender physikalischer Größen (Skalare oder Vektoren) an: Weg s Geschwindigkeit v Beschleunigung a Masse m Kraft F = m a Gravitationskonstante G. 3.3b Die Kraft, die der Masse von 1kg die Beschleunigung von 1m s - erteilt, ist 1N (Newton). Wegen F = m a gilt: 1N = 1kg 1m s - Die Erdanziehung erteilt einer Masse m an der Erdoberfläche im freien Fall die Erdbeschleunigung g = 9,81 m s -. Wie groß ist die Kraft, die auf eine Masse von 1kg wirkt? 3.3c Ein Körper beliebiger Masse m falle im freien Fall (idealer Weise im Vakuum) an der Erdoberfläche vom Zeitpunkt t = 0 an. Welche Geschwindigkeit v hat er zur Zeit t und welchen Weg s hat er zur Zeit t zurückgelegt? Welche Werte nehmen zahlenmäßig die Geschwindigkeit v in [km/h] und der Weg s in [m] nach den Zeiten t = 5s und t = 10s an?

3 Fragen zu Kapitel III Seite 3 3.4a Ein Astronaut mit der Masse von 75 kg befindet sich auf dem Mond. Wie groß ist die Kraft, mit der er vom Mond angezogen wird? Wie groß ist diese Mondkraft im Bergleich zur Erdanziehung (Angabe in %)? 3.4b Ein Satellit kreist in einer Höhe von km über der Erde. Welche Geschwindigkeit hat er auf seiner Umlaufbahn? Wie groß ist seine Umlaufdauer? 3.4c Die Erde umkreist die Sonne auf einer Ellipsenbahn. Der sonnennächste Punkt (Perihel) wird mit 147, km im Winter (der Nordhalbkugel) erreicht, der sonnenfernste (Aphel) mit 15, km im Sommer. Mit dem Durchgang der Erde durch die Ekliptik am 1.3. (Frühjahrspunkt) beginnt das Sommerhalbjahr. Um den 3.9. schneidet die Erdbahn die Ekliptik erneut (Herbstpunkt). Dann beginnt das Winterhalbjahr. Mit welchem Gesetz können Sie erklären, dass das Winterhalbjahr kürzer ist als das Sommerhalbjahr? Welcher Erhaltungssatz liegt diesem Gesetz zugrunde? 3.5 Stationäre Satelliten: Berechnen Sie den Abstand von der Erdoberfläche, den ein stationärer Satellit (also ein kleiner Mond) haben muss, um synchron mit der Erdumdrehung also in 4 Stunden = Sekunden die Erde zu umrunden! 3.6 Für kleine Ausschläge s bzw. ϕ lautet die Pendelgleichung (siehe Vorlesung) d s m = dv F( = mω s = (3.6.1) mit ω = g l (3.6.) und mω V ( = s (3.6.3)

4 Fragen zu Kapitel III Seite 4 3.6a Zeigen Sie, dass nach Einführung des Impulses p ( t) = mv( t) = m (3.6.4) p und der Hamiltonfunktion H ( p, = + V ( (3.6.5) m die Pendelgleichung umgeschrieben werden kann in die zwei Hamiltongleichungen d p H ( p, p = (3.6.6) H ( p, s = (3.6.7) 3.6b Wiederholen Sie die in der Vorlesung gezeigten Schritte zur Ableitung des Energiesatzes aus der Pendelgleichung! Das Ergebnis war: [K(t) + V(t)] = E = zeitlich konstante Gesamtenergie. Hierbei ist m ( ) K t = die kinetische Energie (3.6.8) m V ( t) = ω s ( t) die potentielle Energie (3.6.9) 3.6c Zeigen Sie durch Einsetzen in die Pendelgleichung = ω s, d s dass s(t) = A cos(ω t) + B sin(ω t) (3.6.10) die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Sie enthält die zwei zunächst nicht festgelegten Konstanten A und B. 3.6d Legen Sie die Konstanten A und B durch die Anfangswerte des Ortes s 0 = s(t=0) und der Geschwindigkeit v 0 = v(t=0) fest.

5 Fragen zu Kapitel III Seite 5 3.6e Zeigen Sie durch explizites Einsetzen der Lösung (3.6.10) in die Formel für die Gesamtenergie E = K(v(t)) + V(s(t)), dass diese tatsächlich zeitlich konstant bleibt. (Energieerhaltungssatz!) 3.7 Definieren Sie, was man unter einem vollständig determinierten System versteht und erläutern Sie, warum die Hamiltonschen Gleichungen für alle Teilchen der Welt bei gegebenen Anfangsbedingungen für alle Teilchenorte r i (0) und Teilchengeschwindigkeiten v i (0) ein vollständig determiniertes System beschreiben. 3.8 Deterministisches Chaos 3.8a Welche Eigenschaften müssen die Lösungen eines Differentialgleichungssystems d q i fi ( q... qn); i 1 n d t,... 1 = = (3.8.1) haben, um als deterministische chaotische Trajektorie bezeichnet werden zu können? 3.8b Warum darf eine chaotische Trajektorie nie exakt zum selben Systempunkt P(q 1,, q n ) zurückkehren? 3.8c Diskutieren Sie qualitativ den Mangel an Voraussagbarkeit der Weiterentwicklung chaotischer Trajektorien an Hand der anfänglich zeitlich exponentiellen Auseinanderentwicklung von Lösungen benachbarter Anfangsbedingungen!

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