Silverberg-Gymnasium 2004/2005. Fach: Physik Kursleiter: Herr Dr. Hütte. Planetenbahnen. von Andreas Kaiser. Abgabetermin: Mi

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1 Silverberg-Gymnasium 004/005 1 Fach: hysik Kursleiter: Herr Dr. Hütte lanetenbahnen von Andreas Kaiser Abgabetermin: Mi

2 Inhaltsverzeichnis: 1. inleitung... S.3. Hauptteil Geschichte.. S.3 Die Keplerschen Gesetze S.4 Die Newtonschen Aiome und das Gravitationsgesetz. S.6 Herleitung eines Keplerschen Gesetzes mit Hilfe des Gravitationsgesetzes S.8 Anwendungsbeispiel zum Gravitationsgesetz: Bestimmung der Masse eines Zentralkörpers S.8 Theorie S.8 Beispielrechnungen S.9 nergie und Bahnformen... S.10 Schrittweise Berechnung der lanetenbahnen... S Schluss... S Literaturverzeichnis... S Anhang... S Bestätigung.... S.19

3 inleitung: 3 In dieser Arbeit möchte ich mich mit dem Thema lanetenbahnen auseinandersetzen. Hierbei werde ich sowohl auf die geschichtliche ntwicklung als auch auf die einzelnen physikalischen lemente eingehen, die bei der Bewegung von laneten eine Rolle spielen. Hauptteil: Geschichte: Über die laneten wird schon seit langer Zeit nachgedacht und auch philosophiert. So entwickelte bereits tolemäus ( ) das erste Weltbild, in dem die Bewegung der laneten fest einbezogen wurde. Sein geozentrisches Weltbild besagt, dass die rde im Mittelpunkt des Universums steht und dass sich die laneten (Sonne, Mond, Merkur, Venus, Mars, Jupiter, Saturn) auf Kristallkugeln um diese herum bewegen, also auf Kreisbahnen. Um diese Kristallkugeln soll sich eine weitere befinden, auf der die Fisterne liegen. Das bedeutet, dass man bereits zu dieser Zeit erkannt hatte, dass sich nur wenige laneten im Vergleich mit der rde bewegen. Dieses vor allem von Theologen und hilosophen vertretene Weltbild wurde bis ins 15. Jahrhundert als richtig angesehen, da man nicht glauben wollte, dass Gottes Schöpfung, die rde, nicht das Zentrum des Universums sein sollte. In dem heliozentrischen Weltbild von Nikolaus Kopernikus ( ) ist im Gegensatz zum Weltbild des tolemäus nur die osition von rde und Sonne getauscht worden. Kopernikus hielt ebenfalls an der Kreisform der lanetenbahnen fest, da diese die natürlichste sei, wie man früher annahm. Diese Vorstellung konnte erst 100 Jahre nach ntstehung dieses neuen Weltbildes verworfen werden. Nach Kopernikus konnte man den Ort, an dem sich ein lanet befand, mit einer Genauigkeit von 10 Bogeminuten (10 ) bestimmen. Auf Grund neuer Beobachtungsmethoden, jedoch ohne Fernrohr, gelang es Tycho Brahe ( ), die Genauigkeit auf ca. 1 zu senken. Dies grenzt an das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges. 1 1 vgl. Joachim Grehn (Hrgs.); Metzler hysik ; Seite 79

4 4 Aufgrund der Aufzeichnungen von Tycho Brahe, die in jahrzehntelanger Arbeit von Johannes Keppler ( ) ausgewertet wurden, gelang diesem der erste große Schritt in der rforschung der Bewegung der laneten. Daraufhin konnte er 1609 und 1619 seine drei Keplerschen Gesetze formulieren, in denen er die Form der Bahnkurve, eine llipse, festlegt, die Bewegungsform beschreibt und schließlich die Bahnparameter festlegt. 166 wurde von Godfried Wendilin (1580-?) 3 bewiesen, dass die Keplerschen Gesetze auch für die Jupitermonde und ihr Zentralgestirn gelten 4. Sir Isaac Newton ( ) war der erste, der die Gesetze der Mechanik auf die laneten angewandt hat. r konnte dadurch zeigen, dass an jedem beliebigen Ort im Universum die gleichen Gesetze gelten, wie auf der rde gelang es dem britischen Chemiker Henry Cavendish ( ) 5 mittels einer selbstkonstruierten Drehwaage die Gravitationskonstante γ, die in Newtons Gravitationsgesetz enthalten ist, zu bestimmen. Die Berechnungsmöglichkeiten der lanetenbahnen sind mit der Zeit so eakt geworden, dass man berechnen konnte, wo die übrigen laneten des Sonnensystems (Uranus, Neptun, luto) zu finden waren. 6 Die Keplerschen Gesetze: Johannes Kepler formulierte drei Gesetze. Zur Form der Bahnkurve sagt Kepler in seinem ersten Gesetz folgendes: lanetenbahnen sind llipsen und in einem ihrer Brennpunkte ruht die Sonne. 7 vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite Feli R. aturi; Harenberg Schlüsseldaten Astronomie ; Seite 56) 5 vgl. Feli R. aturi; Harenberg Schlüsseldaten Astronomie ; Seite 94 6 vgl

5 5 In seinem zweiten Gesetz sagt Kepler, dass die von der Sonne zu einem laneten gezogene Verbindungsgerade, der sogenannte Fahr- bzw. Leitstrahl, in jeweils gleichen Zeiten auch jeweils gleiche Flächen überstreicht. Daraus folgt, dass die Quotienten Fläche durch Zeit konstant sind. ΔA ΔA = 1 1 = konstant 8 Das dritte Keplersche Gesetz sagt aus, dass sich die Quadrate der Umlaufzeiten der einzelnen laneten untereinander so verhalten wie die dritten otenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen. T T a = 3 a Mit: T i = Umlaufzeit a i = große Halbachse Die Keplerschen Gesetze gelten nur näherungsweise. Sie wären nur dann ganz eakt gültig, wenn die Masse der laneten gegenüber der Sonnenmasse als vernachlässigbar klein betrachtet und die Anziehungskräfte der laneten untereinander vernachlässigt werden kann. 9 Auch bei Berücksichtigung der Mitbewegung der Sonne ergeben sich wegen der großen Sonnenmasse nur geringfügige Änderungen. 10. Die Keplerschen Gesetze lassen sich mit der Voraussetzung des Wirkens der Gravitationskraft mit Hilfe des nergieerhaltungssatzes der Mechanik und des Drehimpulserhaltungssatzes herleiten Fachredaktionen des Bibliographischen Instituts (Hrsg.); Schülerduden: Die hysik ; Seite Klaus Mehnert; hysik im Überblick: Nachschlagen, Orientieren, Wiederholen ; Seite Klaus Mehnert; hysik im Überblick: Nachschlagen, Orientieren, Wiederholen ; vgl. Seite 15

6 Die Newtonschen Aiome und das Gravitationsgesetz: 6 Die drei Newtonschen Aiome lauten: 1. Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt (Trägheitsprinzip).. Die Kraft ist das rodukt aus Masse und Beschleunigung (Aktionsprinzip). F= m a 3. Kraft und Gegenkraft zwischen zwei Körpern sind gleich groß und in ihrer Richtung entgegengesetzt (Reaktionsprinzip; actio = reactio) F = F 1 Aus diesen drei Bewegungsgesetzen leitet Newton die Massenanziehungskraft K (Gravitation) zwischen rde und Mond ab. 1 Newton zeigte, dass das zweite Keplersche Gesetz mit der Annahme einer Zentralkraft erklärt werden kann. Mit Hilfe des dritten Keplerschen Gesetzes fand er heraus, dass die Zentralkraft umgekehrt zum Quadrat des Abstandes abnehmen muss. Daraufhin entdeckte er das Gravitationsgesetz. Newton zeigte, dass sich aus dem Gravitationsgesetz und den Aiomen die Keplerschen Gesetze folgern lassen. Bei der Herleitung des Gravitationsgesetzes geht man von einem laneten aus, der sich auf einer Kreisbahn bewegt. Die Sonne, die hier als Zentralkörper angenommen wird, übt auf den laneten mit der Masse m, der mit einer Bahngeschwindigkeit v die Sonne umläuft, die Radialkraft mit dem Betrag π 4 π² m r F= m ( )² r = aus 13. T T² Für diese Bewegung gilt das dritte Keplersche Gesetz: T² = a³ a = große Halbachse der llipse mit: a³ = C r³ T² = C r³ insetzen von T² in 4 π ² m r F = T² 1 Feli R. aturi; Harenberg Schlüsseldaten Astronomie ; Seite vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 81

7 4 π ² m r F1 = Cr³ 4 π ² m = C 4 π² m = C m = C1 7 C 1 ist ein roportionalitätsfaktor, der von der Masse m des angezogenen Körpers, also des laneten, abhängig und vom Abstand r unabhängig ist. Laut dem dritten Newtonschen Aiom übt der lanet auf den Zentralkörper, die Sonne, die gleiche Kraft aus, die jedoch entgegengesetzt wirkt. Diese Kraft muss proportional zur Masse M des Zentralkörpers, der Sonne, sein. M = F C Hierbei wird das dritte Newtonsche Aiom angewandt. F1 = F m M C1 = C Da C unabhängig von M ist, muss C 1 folglich proportional zu M sein. C1 =γ M γ = roportionalitätsfaktor Also hat die Zentralkraft, die von einem Zentralkörper, der Sonne, auf einen Körper der Masse m, den laneten, ausgeht, einen Betrag von mm F1 =γ Laut Newton gilt dieses Gesetz nicht nur zwischen der Sonne und den laneten sondern auch zwischen allen Körpern. Gravitationsgesetz: Zwei beliebige Körper mit der Masse m 1 und m ziehen sich gegenseitig mit der Gravitationskraft F in Richtung der Verbindungslinien ihrer Schwerpunkte an. Die Gravitationskraft F ist proportional dem rodukt ihrer Massen m 1 und m und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands r.

8 m1 m F1 =γ γ ist die Gravitationskonstante 8 11 N m² γ= 6, kg² Herleitung eines Keplerschen Gesetzes mit Hilfe des Gravitationsgesetzes: Zur Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes ist eine kreisförmige Umlaufbahn des laneten um das Zentralgestirn anzunehmen. Der Radius r dieser Umlaufbahn soll der großen Halbachse a der llipse entsprechen. Dabei wird das Gravitationsgesetz mit dem zweiten Newtonschen Aiom gleichgesetzt 14. m M γ = ma mit: a = ω ² r m M π γ = m( )²r T T² γ m M = m r³ 4 π ² 4 π² T² = ( ) r³ γ M 4 π² ( ) = konstant, abhängig von der Masse M γ M π ω= T: eriodendauer der Bewegung T Anwendungsbeispiel des Gravitationsgesetzes: Bestimmung der Masse eines Zentralkörpers: Theorie: Die Massen M eines Zentralkörpers lassen sich nur dann bestimmen, wenn man die Umlaufzeit T und die mittlere ntfernung r des laneten, der sich um den Zentralkörper herum bewegt, kennt. 14 vgl. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker; hysik ; Seite 385

9 9 Die Radialkraft des laneten beträgt FR m r = ω, die vom Zentralkörper ausgehende m M Gravitationskraft F =γ. Durch Gleichsetzen der beiden Kräfte erhält man: m M m ω² r = γ M ω ² r =γ Die Masse M des Zentralkörpers ist unabhängig von der Masse m des laneten. ω ² r³ =γ M ² r³ M = ω γ mit: ω= π T 4 π² r³ M = T² γ Beispielrechnungen: Zentralstern: Sonne lanet: rde T = 365d 6h 9min 10s ) 15 = s 11 r 1, m (mittlerer Abstand) 16 M = Masse der Sonne M = 11 4 π² (1, m)³ N m² kg² 11 6, ( s)² M 30 1, kg 15 Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 559

10 Zentralstern: rde lanet: Mond 10 T = 7d 7h 43min 1s ) 17 = 36056s r 8 3, m (mittlerer Abstand) 18 M O = Masse der rde M 0 M0 = 8 4 π² (3, m)³ N m² kg² 11 6, (36056s)² 4 6, kg Dieser Wert weicht deutlich von dem Literaturwert MO 4 = 5, kg 19 ab. Der enorme Unterschied beruht darauf, dass sich das Drehzentrum zwischen Mond und rde nicht im Mittelpunkt der rde befindet. 0 nergie und Bahnformen: in lanet, der um die rde kreist, ändert seine Geschwindigkeit, von der die kinetische nergie potentielle nergie Kin abhängig ist, und den Abstand zum rdmittelpunkt, der die ot festlegt. Die gesamte mechanische nergie bleibt konstant Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 84 1 vgl. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker; hysik ; Seite 388

11 11 ot mm = γ r = Radius der Umlaufbahn [kreisförmig] r m = Masse des laneten M = Masse der rde Die kinetische nergie mit dem zweiten Newtonschen Aiom ( F= m a). M m v² ma =γ mit: a = r v² M m m = γ r M v² =γ r 1 Kin = m v² 1 M = m γ r Kin erhält man durch Gleichsetzen des Gravitationsgesetzes Bei einer kreisförmigen lanetenumlaufbahn gilt also: Kin = ot Die gesamte mechanische nergie: = + Kin ot ot = + ot ot = 1 m M = γ r Die gesamte mechanische nergie eines laneten auf einer kreisförmigen Umlaufbahn ist gleich seiner negativen kinetischen nergie. = Kin

12 1 Bei elliptischen Bahnen mit der großen Halbachse a verhalten sich diese Gesetzmäßigkeiten gleich. Für den Aphel, den sonnenentferntesten unkt der rdbahn, ergibt sich die gesamte mechanische nergie : A 1 m M = m va γ r A Für den erihel, den sonnennächsten unkt der rdbahn 3 : 1 m M = m v γ r Durch insetzen des Flächensatzes v r = va ra für v in 1 r m M = γ r r A m va ra A r A A 1 m M m v = +γ r r 1 m M m v = ( +γ ) r r insetzen in A : r m M m M A = ( +γ ) γ r r r A A Da = A = folgt: m M = γ r + r A Da r A + r = a ergibt sich 4 : 5 vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 95 3 vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 95 4 vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 95 5 Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 95

13 Folgt: 1 m M = γ a 13 Schrittweise Berechnung der lanetenbahnen: Die Grundidee der schrittweisen Berechnung liegt darin, den Ort eines laneten zur Zeit t+δ t aus dem Ort zur Zeit t der gleichförmigen Bewegung (s = i 1 s + + i v Δ i t) näherungsweise zu berechnen. Dabei wählt man das sogenannte Halbschrittverfahren als Näherung, die der Realität sehr nahe kommt. 6 (t +Δ t) = (t) + v (t + ) y(t +Δ t) = y(t) + v y(t + ) Die Geschwindigkeiten v (t + ) und v y (t + ) lassen sich nach den Gesetzen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (v = i 1 v + + i a Δ i t) berechnen.7 Aus dem Halbschrittverfahren folgt: v(t + ) = v(t ) +a(t) v(t y + ) = v(t y ) +a(t) y Die Beschleunigungen des zweiten Newtonschen Aiom berechnen. 8 F m M = mit: F = γ F r m M F = γ r³ benfalls gilt: y m M Fy = γ r³ a und a y lassen sich mit Hilfe des Graviationsgesetzes und 6 vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 93 7 vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 93 8 vgl. Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 93, 94

14 Aus dem zweiten Newtonschen Aiom ( F F a (t) = m (t) M a (t) = γ r³(t) und: 14 = m a) folgt: Fy a y(t) = m y(t) M a y(t) = γ r³(t) mit: r(t) = ²(t) + y²(t) Für den Start in (0) = 0 und y(0) = y0 mit der Geschwindigkeit v(0) = v 0 und v(0) = v setzt man abweichend von dem obigen Verfahren y 0y v( ) = V0 + a(0), v( y ) = Vy0 + a(0). y 9 Man geht bei der schrittweisen Berechnung der lanetenbahnen so vor, dass man zum Beispiel mit dem Computer unkt für unkt berechnet. 30 Maßstab: 1 =γ M 31 Schluss: Wie in dieser Arbeit gezeigt, lassen sich die lanetenbahnen mit Gesetzen beschreiben, die ebenso wie die drei Newtonschen Aiome aus der Mechanik stammen oder sich durch diese beweisen lassen. So kann man die Keplerschen Gesetze, wie bereits nachgewiesen, aus dem Gravitationsgesetz und den Aiomen herleiten. Aus diesem Grunde behaupte ich, dass Isaac Newton einer der bedeutendsten Wissenschaftler auf dem Gebiet der rforschung der lanetenbahnen ist. Bei der heutigen Berechnung der lanetenbahnen stellt sich die bislang noch unbeantwortete Frage, ob es in unserem Sonnensystem noch einen zehnten laneten gibt, durch den man die Überschneidung der Bahnen des Neptun und des luto erklären kann und wo dieser lanet zu finden ist. 9 Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 93, Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; Seite 94

15 15 Literaturverzeichnis: Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.); Schülerduden: Die hysik in Leikon der gesamten Schulphysik ; Dudenverlag; Mannheim 1974 David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker; hysik ; Wiley VCH GmbH & CO. KGaA. ; Weinheim 003 Joachim Grehn (Hrsg.); Metzler hysik ; J.B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung; Stuttgart 1988² Klaus Mehnert; hysik im Überblick: Nachschlagen, Orientieren, Wiederholen ; Fachbuchverlag Leipzig Köln; Leipzig 1993 Feli R. aturi; Harenberg, Schlüsseldaten Astronomie: Von den Sonnenuhren der Babylonier bis zu den Raumsonden im 1. Jahrhundert ; Harenberg Leikon Verlag; Dortmund 1996 Internetquellen:

16 Anhang: 16 Geozentrisches Weltbild: Quelle:

17 Heliozentrisches Weltbild: 17 Quelle:

18 Die Drehwaage von Henry Cavendish: 18 Quelle:

19 19 Bestätigung: Hiermit erkläre ich, dass die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die im Literaturverzeichnis angegebenen Hilfsmittel verwendet habe. Alle genutzten Internetquellen wurden kenntlich gemacht. Ort, Datum Unterschrift