Analyse einer Bewegung mit Beschleunigung

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1 9. Jahrgangsstufe Physik Kinematik Lehrtext Analyse einer Bewegung mit Beschleunigung Eine Bewegung, bei der sich die Geschwindikeit während der Fahrt ändert, ist eine Geschwindigkeit mit Beschleunigung. Eine derartige Bewegung ist aus dem Alltag bekannt. Wenn ein Zug im Bahnhof anfährt, dann steigert er seine Geschwindigkeit solange, bis er eine bestimmte Reisegeschwindigkeit erreicht hat. Den Vorgang der Geschwíndigkeitssteigerung bezeichnet man allgemein als Beschleunigung. Simulation mit der Modelleisenbahn Wir machen mit Hilfe einer Ultraschallsonde, die an einen Rechner angeschlossen ist den folgenden Versuch: Wir lassen einen Zug bestehend aus einer Modellbahn- Lokomotive und einem Messwagen beschleunigen. Die Ultraschallsonde misst dabei im Abstand von 0,50 s die Position x der Hinterkante des Messwagens. Diese Daten werden in einer Tabellenkalkulation verarbeitet. Die Ultarschallsonde in Nahaufnahme: Wir wiederholen den Versuch mehrmals. Dabei wird der Trafo unterschiedlich schnell aufgedreht. Dadurch werden unterschiedliche Beschleunigungen der Lokomotive simuliert. Zur Auswertung betrachtet man die nachstehende Messreihe, die man mit der Ultraschallsonde aufnimmt: Zeit t in s 0 Ort xin m 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,002 0,0289 0,0954 0,1569 0,2305 0,3148 0,4081 0,5102 0,6254 c by Markus Baur using LATEX Seite: 1

2 Man veranschaulicht nun diese Messreihe in einem Zeit- Ort- Diagramm: Man erkennt, dass die Line im Zeit- Ort- Diagramm eine Parabel darstellt. Damit kann man den Ort berechnen über x(t) = kt 2 Man kann k aus der obenstehenden Tabelle ermitteln: Zeit t in s 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 Ort xin m 0 0,002 0,0289 0,0954 0,1569 0,2305 0,3148 0,4081 0,5102 0,6254 k in m s 2 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 Aus diesen Versuchen erkennt man folgendes: Eine Bewegung mit Beschleunigung wird beschrieben durch die Gleichung x(t) = kt 2 Die Einheit von k ist [k] = 1 m s 2 Die Bewegung unseres Zugs wird beschrieben durch: x(t) = 0,01 m s 2 t2 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 2

3 Die Momentangeschwindigkeit Bei dem Anfahren eines Zuges ändert der Zug seine Geschwindigkeit ständig. In diesem Abschnitt ist das Ziel, dass wir die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt angeben können. Versuch zur Momentangeschwindigkeit Mit zwei Lichtschranken wird die Zeit gemessen, die von der Lok benötigt, wird um die Strecke zwischen den beiden Lichtschranken zu durchfahren. Diese wird berechnet über v = x t v ist noch zu ungenau, da die Lokomotive auf der Strecke zwischen den Lichtschranken ihre Geschwindigkeit merklich ändert. Wird der Abstand der beiden Lichtschranken verringert, dann wird zum einen die Durchfahrtszeit t verringert. Dadurch reduziert sich aber auch die Änderung der Geschwindigkeit v. c by Markus Baur using L A TEX Seite: 3

4 Die Momentangeschwindigkeit ermittelt man dadurch, dass man die Durchfahrzeit t minimiert. Messtabelle Momentangeschwindigkeit Zeit t s Geschwindigkeit v in m s 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Veranschaulicht man dies in einem Diagramm, dann erhält man: Man erkennt, dass v t = 0,02 m s 2 Die Geschwindigkeit ist also dirket proportional zur Zeit t. Die Proportionalitätskonstante heißt Beschleunigung a Die Beschleunigung a ist definiert: a = v t Die Geschwindigkeit kann bei einer Bewegung mit Beschleunigung berechnen durch die Gleichung v = at c by Markus Baur using L A TEX Seite: 4

5 Zusammenhang zwischen den Konstanten a und k Wertet man den Versuch aus, dann hat man für die beiden Konstanten, die im Zusammenhang mit der beschleunigten Bewegung stehen, folgende Werte erhalten: Dieser Vergleich lässt den Schulss zu, dass a = 0,02 m s 2 k = 0,01 m s 2 a = 2k und damit k = a 2 Diesen Sachverhalt kann man rechnerisch nachweisen: v = x(t 2) x(t 1 ) Mit der Ortsgleichung für die beschleunigte Bewegung gilt: v = kt2 2 kt 2 1 Klammert man nun im Zähler k aus und wendet die dritte binomische Formel an, dann gilt: v = k( )(t 1 + t 2 ) v = k(t 1 + t 2 ) Da es sich um die Momentangeschwindigkeit handelt gilt im Grenzfall t 1 = t 2. Damit aber: v = 2kt 1 Mit Gesetz für die Geschwindigkeitsentwicklung folgt: at 1 = 2kt 1 a = 2k Damit kann man die Bewegung mit konstanter Beschleunigung durch die folgenden Funktionen beschreiben: Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung wird beschrieben durch: die Zeit- Ort- Funktion x(t) = a 2 t2 die Zeit- Geschwindigkeit- Funktion v(t) = at c by Markus Baur using L A TEX Seite: 5