Mechanik Kinematik der geradlinigen Bewegung

Transkript

1 Mechanik Kinematik der geradlinigen Bewegung Physik1_WS17/18 1

2 3. Kinematik Kinematik ist die Lehre on Bewegungen der Körper, in der die Ursachen der Bewegungen (die beteiligten Kräfte) sowie die durch sie herorgerufenen Wirkungen auf andere Körper außer acht bleiben. 3.1 Grundbegriffe Denkmodell Punktmasse Man denkt sich die gesamte stoffliche Substanz des Teilchens in einem Punkt konzentriert, so dass seine Lage durch die drei Koordinaten des Raumes angegeben werden kann. Die Punktmasse kann keine Drehungen, sondern nur fortschreitende Bewegungen ausführen Physik1_WS17/18

3 Raum, Zeit, Bezugssystem 3.1 Grundbegriffe Jeder physikalische Vorgang läuft in Raum und Zeit ab. Jedes physikalisches Gesetz enthält (offen oder erdeckt) Raum-Zeit- Beziehungen in Form on Längen und Zeitinterallen. Zur ollständigen Bestimmung der Lages eines Körpers relati zu Körpern in der Umgebung (dem Bezugssystem) ist i. a. die Angabe on drei Längen nötig Daraus folgt, dass man ein dreidimensionales Koordinatensystem als Bezugssystem erwendet Meist wählt man ein kartesisches Bezugssystem, in welchem die drei Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen Die Gesamtheit aller durch die Koordinatentripel (x, y, z) angegebenen Punkte wird als Raum bezeichnet Physik1_WS17/18 3

4 3. Eindimensionale Bewegung Betrachtung der Bewegung eine Teilchens (Punktmasse) längs einer Geraden (realisierbar durch eine Führungsschiene) Führungsschiene fällt mit der x- Koordinaten des Bezugssystems zusammen Lage des Teilchens ist durch Angabe der entsprechenden x-koordinate bestimmt Beschreibung der Bewegung eines Teilchens durch Angabe seiner Lage x zu jedem Zeitpunkt t bzw. Angabe des zurückgelegten Weges x x (x wählbarer Bezugspunkt) Daraus folgt: Man muss das Weg-Zeit-Gesetz s = s(t) kennen Physik1_WS17/18 4

5 Beispiel Ein Hund soll einen Ball holen. Der Hund läuft m und nimmt den Ball auf. Anschließend kommt er zum Herrchen zurück. Jedoch macht er nach 15 m eine Pause, um mit dem Ball zu spielen. Lösung: Die Verschiebung beträgt 5 m; Die zurückgelegte Wegstrecke 35 m Physik1_WS17/18 5

6 3..1 Die gleichförmige Bewegung Gleichförmige Bewegung: In gleichen Zeitabschnitten werden stets gleiche Wegstrecken zurückgelegt. Gleichförmige geradlinige Bewegung: Die gleichförmige Bewegung erfolgt auf gerader Bahn. Der zurückgelegte Weg s ist der erstrichenen Zeit t direkt proportional s ~ t Daraus ergibt sich das Weg-Zeit-Gesetz s = t mit = const. Der Proportionalitätsfaktor ist die Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung Physik1_WS17/18 6

7 3..1 Die gleichförmige Bewegung Berechnung der Geschwindigkeit s t Die Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg s und der dazu gehörigen Zeit t. Einheitengleichung s t m s Die Einheit der Geschwindigkeit ist: [] = 1 m/s 1 m s Physik1_WS17/18 7

8 3..1 Die gleichförmige Bewegung s s s 1 t 1 t t Weg-Zeit-Diagramm Aus dem Weg-Zeit-Diagramm gilt: s t 1 const 1 s t Für die Geschwindigkeit gilt daher:. = const s t s t 1 1 s t S Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm Physik1_WS17/18 8

9 3.. Beispiele zur gleichförmigen Bewegung Aufgabe: Ein Fahrzeug legt die erste Hälfte einer orgegebenen Strecke mit der Geschwindigkeit 1 = 3 m/s und die zweite Hälfte dieser Strecke mit der Geschwindigkeit = 5 m/s zurück. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Lösung: m 37, 5 s Physik1_WS17/18 9

10 3.. Beispiele zur gleichförmigen Bewegung Aufgabe: Normalerweise benötigen Sie mit dem Auto für 5 km auf gerader Straße zur Hochschule 1 min. Sie erlassen das Haus 15 min or Vorlesungsbeginn. Wegen einer defekten Ampel wird der Verkehr auf den ersten km auf km/h gebremst. Kommen Sie zu spät? Lösung: Nein. Sie benötigen für die Strecke in diesem Fall 1 min Physik1_WS17/18 1

11 3..3 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit zeitlich ändert. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit in gleichen Zeiten um den gleichen Wert ändert. Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Geschwindigkeitsänderung Δ der erstrichenen Zeitspanne Δt proportional at mit a const Physik1_WS17/18 11

12 3..3 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Wird der Körper nicht aus der Ruhelage heraus, sondern hat er zur Zeit t = t = eine Anfangsgeschwindigkeit,so gilt unter den Bedingungen Endgeschwindigkeit t erstrichene Zeit beim Erreichen der Endgeschwindigkeit Δt= t t = t - Geschwindigkeitsänderung im Zeitinterall Δt Δ= = at = at + Die konstante Größe a heißt Beschleunigung. Es gilt t t a Einheit: a 1 m s m t s s Physik1_WS17/18 1

13 3..3 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Verzögerung Verringert sich die Geschwindigkeit, so hat die Beschleunigung a die Bedeutung einer Verzögerung. Sie ist dann negati a <. = at + s t t/ t Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist die straffierte Fläche gleich dem Weg s. Die straffierte Fläche ist ein Trapez. Nutzt man die Berechnungsformel für den Flächeninhalt eines Trapez, so erhält man für den Weg s s t t Für die mittlere Geschwindigkeit gilt Physik1_WS17/18 13

14 3..3 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Weg-Zeit-Gesetz s a t t s Endgeschwindigkeit as Physik1_WS17/18 14

15 Beispiel Der Fahrer eines mit 8 km/h fahrenden PKW bemerkt plötzlich in 6 m Entfernung auf der Straße ein Hindernis, worauf er seinen Wagen mit der maximal möglichen Verzögerung on a = - 5 m/s abbremst. a) Nach wie iel Sekunden und wie iel Meter or dem Hindernis kommt der Wagen zum Stehen? b) Mit welcher Geschwindigkeit prallt der Wagen auf das Hindernis auf, wenn er anfänglich mit 9 km/h gefahren wird? Lösung: a) t = 4,44 s; s = 49,383 m b) = 18 km/h Physik1_WS17/18 15

16 3..4 Der freie Fall Der freie Fall ist das bekannteste Beispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung Ursache für die Fallbewegung eines Körpers ist die Anziehungskraft der Erde Alle Körper fallen mit gleicher Geschwindigkeit zum Mittelpunkt der Erde, wenn man die Wirkung des Luftwiderstandes ernachlässigt Fallgesetz: Die Fallhöhe ist dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit proportional Physik1_WS17/18 16

17 3..4 Der freie Fall Unter den Voraussetzungen = a = g = const. für geringe Höhenunterschiede ergeben sich aus den Gesetzen für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung folgende Größen für den freien Fall. Fallhöhe h g t Fallgeschwindigkeit gh Normalfallbeschleunigung m g n 9,8665 s Physik1_WS17/18 17

18 Aufgabe zum Freien Fall Ein Körper fällt frei aus dem Ruhezustand. Welchen Weg durchfällt er in den ersten 5 s und in den ersten 1 s. Welche Geschwindigkeit erreicht er am Ende der zehnten Sekunde? Lösung: h(t = 5 s) = 1,65 m h(t = 1 s) = 49,5 m = 98,1 m/s Physik1_WS17/18 18

19 3..5 Der senkrechte Wurf Beim senkrechten Wurf wird der gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung eine gleichförmige Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit überlagert. Die resultierende Bewegung ist auch eine gleichmäßig beschleunigte. Beim senkrechten Wurf nach unten hat die selbe Richtung wie die Fallbewegung. Daher gelten die allgemeinen Bewegungsgesetze mit a = g. Beim senkrechten Wurf nach oben ist zu beachten, dass die Fallbeschleunigung als Verzögerung wirkt und daher negati anzusetzen ist Physik1_WS17/18 19

20 3..5 Der senkrechte Wurf Geschwindigkeit nach der Zeit t gilt: gt Höhe nach der Zeit t h t g t gh Geschwindigkeit in der Höhe h Maximale Wurfhöhe h max g Physik1_WS17/18

21 Aufgabe zum senkrechten Wurf nach oben Man werfe einen Ball senkrecht nach oben in die Luft. Dieser erhält dabei eine Anfangsgeschwindigkeit on 14,7 m/s. a) Wie lange dauert es bis der Ball seinen höchsten Punkt erreicht? b) Wie groß ist die maximale Wurfhöhe? c) Wie lange fliegt der Ball insgesamt, wenn er auf gleicher Höhe aufgefangen wird, in der er abgeworfen wird? d) Wie groß ist die Geschwindigkeit im Endpunkt? e) Wie groß ist die Geschwindigkeit,1s or Erreichen der maximalen Wurfhöhe? Lösung: a) t max = 1,5 s b) h max = 11,1 m c) t g = 3 s d) = 14,7 m/s e) =,981 m/s Physik1_WS17/18 1

22 3..6 Allgemeine Definition der Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit: s t Werden die Zeitinteralle Δt und somit auch die Weginteralle Δs erschwindet klein, so erhält man die Momentangeschwindigkeit ( t) lim t s t ds dt s Allgemeine Definition der Geschwindigkeit Die Geschwindigkeit ist gleich dem Differentialquotienten des Weges nach der Zeit ( t) ds dt Physik1_WS17/18

23 3..7 Die ungleichmäßig beschleunigte Bewegung Der Differenzenquotient a t stellt nur eine durchschnittliche Beschleunigung dar. Die Momentbeschleunigung erhält man aus dem Differenzenquotient durch den Grenzübergang a( t) lim t t d dt Physik1_WS17/18 3

24 3..7 Die ungleichmäßig beschleunigte Bewegung d ds Setzt man in die Gleichung a die Gleichung ein, dt so erhält man dt a( t) d dt d ds dt dt d s dt s Die Beschleunigung ist gleich dem Differentialquotienten der Geschwindigkeit nach der Zeit oder gleich dem zweiten Differentialquotienten der Weges nach der Zeit. a( t) d dt d s dt s Physik1_WS17/18 4

25 3..8 Ableitung der Gesetze für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Die bereits behandelten Gesetze für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung lassen sich aus den allgemeinen Definition on Geschwindigkeit und Beschleunigung herleiten. Stellt man d a dt a d dt mit a = const. nach um, so erhält man Integriert man obige Gleichung erhält man d a dt a dt at C Die Integrationskonstante C bestimmt man aus den Anfangsbedingungen. Geht man daon aus, dass der Körper zum Zeitpunkt t = die Anfangsgeschwindigkeit hat, so gilt C =. So erhält man die bekannte Gleichung at Physik1_WS17/18 5

26 3..8 Ableitung der Gesetze für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Setzt man das Ergebnis in die Gleichung ds at dt ds at s at dt dt ds dt ein, so erhält man Nimmt man an, dass zur Zeit t = die zurückgelegte Strecke s = ist, so ist C =. So ergibt sich a s t t s at dt dt s a t t C Physik1_WS17/18 6

27 3.3 Mehrdimensionale Bewegung Bisher wurde die Bewegung in einer Koordinatenrichtung betrachtet. Nun soll die Bewegung in einem Raum betrachtet werden. Die Bewegungsgrößen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung können als Vektoren aufgefasst werden Physik1_WS17/18 7

28 3.3.1 Vektoren und Vektoralgebra Vektoren - sind Größen die durch einen Betrag und eine Richtung bestimmt sind - mit Vektoren können mathematische Operationen durchgeführt werden - wird grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der in Richtung des Vektors weist und dessen Länge proportional zum Betrag des Vektors ist - Es gibt unterschiedliche Kennzeichnungen für Vektoren. Im allgemeinen werden sie fett geschrieben, oder sie erhalten einen Pfeil über den sie bezeichnenden Buchstaben. - Schreibweise: Vektor, Betrag eines Vektors a a Physik1_WS17/18 8

29 3.3.1 Vektoren und Vektoralgebra Addition on Vektoren c c a b b Es gilt: a b c Bei der Addition on Vektoren können, die Vektoren ertauscht werden. a b b a a Physik1_WS17/18 9

30 3.3.1 Vektoren und Vektoralgebra Subtraktion on Vektoren b c=a-b a c a b Die Subtraktion des Vektors b om Vektor a erfolgt indem man b zu a addiert Physik1_WS17/18 3

31 3.3.1 Vektoren und Vektoralgebra Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar a a a b a b Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) b ab a b cos a Physik1_WS17/18 31

32 3.3. Komponentendarstellung on Vektoren Physik1_WS17/18 3 Betrachtet man ein kartesisches Koordinatensystem, dann hat ein Vektor 3 Komponenten, die senkrecht aufeinander stehen. Die Einheitsektoren dieses Koordinatensystems seien k j i,, Die Komponenten eines Vektors seien a x, a y und a z a Schreibweisen für einen Vektor z y x z y x z y x a a a a k a j a i a a a a a a Betrag eines Vektors: z y x

33 3.3.3 Geschwindigkeit und Beschleunigung als Vektoren Zur eindeutigen Bestimmung on Geschwindigkeit und Beschleunigung gehören nicht nur die Angabe des Zahlenwertes mit Einheit, sondern auch die Angabe der Richtung. Daher sind Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren. Die Vektorbetrachtung ist on besonderer Bedeutung bei der Überlagerung on Bewegungen, die gleichzeitig ablaufen Physik1_WS17/18 33

34 Der Ortsektor Der Ortsektor eines Massenpunktes ist ein Vektor, om Ursprung des Koordinatensystems zum Ort des Teilchens. Befindet sich ein Massepunkt am Punkt (x,y) so ist der Ortsektor r x i y j Es befindet sich ein Massepunkt zum Zeitpunkt t 1 am Punkt P 1 und besitztden Ortsektor 1r und zum Zeitpunkt t am Punkt P und habe den Ortsektor r. Die Ortsänderung des Massepunktes ist der Verschiebungsektor r r r Physik1_WS17/18 34

35 Der Geschwindigkeitsektor Vektor der mittleren Geschwindigkeit -ist der Quotient des Verschiebungsektors und des Zeitinteralls Δt = t -t 1 - zeigt in Richtung des Verschiebungsektors m r t Bewegt sich der Massepunkt nicht auf einer Geraden, sondern auf einer Kure, so ist der Vektor der Momentangeschwindigkeit die Ableitung des Ortsektors an der Zeit in Analogie zur Definition der allgemeinen Geschwindigkeit d r d t d x d t i d y d t j d z d t k Physik1_WS17/18 35

36 Der Beschleunigungsektor Vektor der mittleren Beschleunigung -ist der Quotient der Änderung des Vektors der Momentangeschwindigkeit und des Zeitinteralls Δt = t -t 1 - zeigt in Richtung des Verschiebungsektors a m t Bewegt sich der Massepunkt nicht auf einer Geraden, sondern auf einer Kure, so ist der Vektor der Momentanbeschleunigung die Ableitung des Geschwindigkeitsektors an der Zeit in Analogie zur Definition der Allgemeinen Geschwindigkeit d a d t d d d x y z a i j k d t d t d t Physik1_WS17/18 36

37 3.3.4 Der waagerechte Wurf Ein Körper wird waagerecht on einer Rampe aus der Höhe h mit einer Anfangsgeschwindigkeit gestoßen und bewegt sich dann anschließend mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Vernachlässigt man den Luftwiderstand, so führt der Körper Bewegungen gleichzeitig aus 1.) eine geradlinig gleichförmige Bewegung in x-richtung.) gleichzeitig fällt der Körper durch den Einfluss der Graitation nach unten (freier Fall) Physik1_WS17/18 37

38 3.3.4 Der waagerechte Wurf Für die waagerechte Bewegung in x-richtung gelten die Gesetze für die gleichförmige Bewegung: Weg Zeit Gesetz x t Zeit Geschwindigkeits Gesetz x ( t) Für die senkrechte Bewegung nach unten gelten die Gesetze für den freien Fall: Weg Zeit Gesetz g y t Zeit Geschwindigkeits Gesetz gt y Wurfweite: Wurfzeit: x W g h t h g Physik1_WS17/18 38

39 3.3.4 Der waagerechte Wurf Der Ortsektor ergibt sich aus den Weg-Zeit-Gesetzen für die beiden Bewegungskomponenten des waagerechten Wurfs t g t r t r g t Betrachtet man nun den Wurf ektoriell, so setzt sich der Geschwindigkeitsektor aus der Geschwindigkeitskomponente der gleichförmigen Bewegung (x-komponente) und der des freien Falls (y-komponente) zusammen gt o g t Physik1_WS17/18 39

40 3.3.4 Der waagerechte Wurf - Beispielaufgabe- Ein Kind rutscht im Schwimmbad eine Rampe hinunter. Es erlässt sie horizontal und trifft 1,5 m tiefer in, m horizontaler Entfernung auf das Wasser. Mit welcher Geschwindigkeit erlässt es die Rutsche? Lösung: = 3,6 m/s Physik1_WS17/18 4

41 3.3.5 Der schiefe Wurf Beim schiefen Wurf wird ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit schräg nach oben geworfen. Die Geschwindigkeit bleibt konstant, hat aber eine x- und eine y-komponente. Es gilt x y ox oy cos sin Gleichzeitig wirkt auf den Körper die Graitation, so dass er nach unten fällt. Die Graitation wirkt nur in der y-komponente. Hier gelten die Gesetze des freien Falls. Für die Beschleunigung und Geschwindigkeit gilt: a g gt Physik1_WS17/18 41

42 3.3.5 Der schiefe Wurf Physik1_WS17/18 4 Betrachtet man die beiden Bewegungen, die sich beim schiefen Wurf überlagern und betrachtet die beiden Komponenten der Bewegung, so erhält man t g t y t r y x Ortsektor: Geschwindigkeitsektor Beschleunigungsektor: gt y x g a

43 3.3.5 Der schiefe Wurf Physik1_WS17/18 43 Für die Ortskomponenten gilt, unter der Voraussetzung, das x = t g t y y t x y x Beides sind Funktionen der Zeit. Stellt man die Gleichung für x nach t um und setzt diese in die Gleichung für y ein, so erhält man die Gleichung für die Bahnkure ) ( x g x y x y x x y Setzt man die Geschwindigkeitskomponenten ein, so ergibt sich cos tan ) ( x g x y x y Gleichung für die Wurfparabel

44 3.3.5 Der schiefe Wurf Wurfweite Die Wurfweite ergibt sich aus der Bahnkure für den Schnittpunkt der y-achse mit der x-achse. Das heißt, es ist y = g y x tan x cos Für den Spezialfall y = gilt für die Wurfweite: x g sin Physik1_WS17/18 44

45 3.3.5 Der schiefe Wurf Flugzeit Betrachtet man wieder den Spezialfall y =, so kann man die Flugzeit unter der Voraussetzung y = aus der Gleichung y yt g t bestimmen. Es gilt t g sin Physik1_WS17/18 45

46 3.3.5 Der schiefe Wurf Wurfhöhe und Steigzeit Die Wurfhöhe erreicht ein Körper, wenn die y-komponente der Geschwindigkeit sich um positien zum negatien Betrag umkehrt, dass heißt es gilt y =. Es wird wieder der Spezialfall y = betrachtet. y sin gt S Hieraus kann man die Steigzeit t S berechnen: t S g sin Physik1_WS17/18 46

47 3.3.5 Der schiefe Wurf Betrachtet man die Bahnkure y(t) y S y t S g t S so ergibt sich für die Wurfhöhe y S 1 sin g Physik1_WS17/18 47

48 3.3.5 Der schiefe Wurf - Beispiel Eine Kanone wird auf einen Abschusswinkel on 45 eingestellt. Sie feuert eine Kugel mit einer Geschwindigkeit on 3 m/s ab. a) Welche Höhe erreicht die Kugel? b) Wie lange fliegt sie? c) Welche horizontale Reichweite besitzt die Kanone? Lösung: a) h max = 94 m b) t = 43, s c) x W = 9174 m Physik1_WS17/18 48