MECHANIK --- BEWEGUNGEN Bewegung heißt, daß sich die Lage eines betrachteten Objektes ändert.

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1 MECHANIK --- BEWEGUNGEN Bewegung heißt, daß sich die Lage eines betrachteten Objektes ändert. Dazu muß die Lage angegeben werden, am besten durch Koordinaten, z.b. geographische Länge und Breite. In der Physik meist: Kartesische Koordinaten: x x z y P z y Punkt P wird festgelegt durch seine Koordinaten (x,y,z). Koordinaten sind die Längen der Strecken, in die in die x,y,z Richtung gegangen werden muss, um zu P zu gelangen. x z y P z y Angabe von P durch den Ortsvektor Der Ortsvektor hat stets seinen Beginn im Koordinatenursprung. x Bei BEWEGUNGEN ist der ORTSVEKTOR eine FUNKTION der ZEIT d.h. 1

2 Wir betrachten zunächste Bewegung eines Punktes. Allgemeinster Fall: Bewegung entlang einer Kurve im Raum, z.b. fliegender Vogel. Momentane Lage durch Ortsvektor gegeben Abb 2.1 Biologiische Physik ist Lageänderung zwischen 1s und 2s ungefähr der zurückgelegter Weg SPEZIALFALL GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG: in gleichen Zeiten gleiche Wege Weg in 1. Sekunde Weg in 2. Sekunde Weg in 3. Sekunde Weg in 4. Sekunde Gleichförmige Bewegung ist immer GERADLINIGE BEWEGUNG 2

3 Definition der GESCHWINDIGKEIT Kohärente Einheit: Einheit die aus den Grundeinheiten nur durch Multiplikation und Division erhalten wurde [v] = m.s -1 andere Einheiten km/h mph mm/d Empfehlung: rechnen Sie immer mit kohärenten Einheiten!! 1 m/s =??? km/h 3

4 Falls die Bewegung in eine Richtung erfolgt: ist die Richtung ohnehin klar Es genügt, die Entfernung von einen willkürlichen gewählten Punkt anzugeben WEGZEIT DIAGRAMM zur VERANSCHAULICHUNG VON BEWEGUNGEN WEGZEIT DIAGRAMM verwendet ein Koordinatensystem wobei in der xrichtung die Zeit aufgetragen wird (Zeitachse, t-achse) in der y Richtung der Weg (Wegachse, s-achse) Auf der t-achse wird die Zeit ab einen willkürlich gewählten Anfangspunkt für die Zeitmessung aufgetragen (zb Abfahrtszeitpunkt des Zuges) Auf der s-achse wird der Weg ab einen willkürlich gewählten Anfangspunkt für die Längenmessung aufgetragen. Bei ausgedehntenen Körpern eines markanten Punktes zb Entfernung des Puffers des letzen Waggons vom Prellbock des Abfahrtsbahnhofes Anfangspunkte werden üblicherweise günstig gewählt s s(t) Bewegung ist üblicherweise durch eine Kurve im (s,t)-diagramm dargestellt: s = s(t) t 4

5 Spezialfall: Bewegung im Weg-Zeit Diagramm wird durch eine Gerade dargestellt s s In gleichen Zeiten werden gleiche Wege zurückgelegt: s ---> t t t gleichförmige Bewegung Geschwindigkeit ist die Steigung der Geraden: Steil: große Geschwindigkeit flach: geringe Geschwindigkeit Horizontal??? negative Steigung?? 5

6 GERADLINIGE UNGLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG Die Definition der Geschwindigkeit Kann nicht mehr verwendet werden da nicht mehr in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden Wir führen die Mittlere Geschwindigkeit ein Das ist jene Geschwindigkeit mit der eine gleichförmige Translation erfolgen müßte, um in der Zeit t den Weg s zurückzulegen Hängt von der Wahl von t ab!!!!! Leicht zu sehen am Beispiel des freien Falls: Beim freien Fall ist s = (g/2). t 2 mit g = 10 m.s -2 Daher s = 5 m.s -2 (g/2). t 2 Z.B. für t = 2s ergibt sich s= 5 m.s -2. (4s) 2 =20m.s -2.s 2 =20m Einige Werte: Zeit ,001 1,01 1,1 s 1,5 Weg , ,1005 6,05 11,25 m 6

7 Geschwindigkeit zwischen der 1. und 2. Sekunde: t = 2s 1s = 1s, s = 20m 5m = 15 m, v = 15m / 1s = 15 m s -1 Geschwindigkeit zwischen der 1 und 1,5 Sekunden: t = 1,5s 1s = 0,5s, s = 11,25m 5m = 6,25 m, v = 6,25m / 0,5s = 12,5 m s -1 Geschwindigkeit ist vom Zeitintervall abhängig!!!! Momentangeschwindigkeit: Geschwindigkeit in einem kurzen Moment t Was ist kurz???? t---->0 Vermutung!!! 7

8 Mittlere Geschwindigkeit: Momentangeschwindigkeit: Momentangeschwindigkeit ist erster Differentialquotient des Weges nach der Zeit Anschaulich Momentangeschwindigkeit ist die Steigung der Tangente an die Kurve im WegZeit Diagramm s s 2 s 1 s 2 -s 1 Steigung der Geraden ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten t 1 und t 2 t 2 -t 1 t t 1 t 2 8

9 s Kürzeres Zeitintervall andere Sekante (Gerade), andere Steigung t s Noch kürzeres Zeitintervall: Wieder andere Steigung t 9

10 s Noch kürzeres Intervall: Sehne kaum von der Kurve unterscheidbar t s Zeitintervall ----> 0 Sehne geht über in die Tangente t Steigung der Tangente ist die Momentangeschwindigkeit 10

11 Falls Weg als Funktion der Zeit gegeben ist Geschwindikeit durch Differenzieren ermittelbar BESCHLEUNIGUNG: wie rasch sich die Geschwindigkeit ändert Die Beschleunigung ist wie die Geschwindigkeit ein Vektor GEICHMÄSSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG: in gleiche Zeiten gleiche GESCHWINDIGKEITSZUNAHME Der freier FALL ist ein BEISPIEL für eine GEICHMÄSSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG. für jedes t dieselbe BESCHLEUNIGUNG (Geschwindigkeitsänderung) 11

12 UNGLEICHMÄSSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNGEN Überlegungen analog zur Geschwindigkeit Momentanbeschleunigung Der Beschleunigungsvektor muß nicht in Richtung der Bewegung zeigen!!!! Falls es sich um eine geradlinige Bewegung handelt: Geschwindigkeits-Zeit Diagramm v v(t) t Die Beschleunigung ist anschaulich die Steigung der Tangente: Positiv wenn die Geschwindigkeit zunimmt, negativ bei Abnahme 12

13 Eine gleichförmige Bewegung a=0 ergibt eine horizontale Linie im (v,t) Diagramm v v(t) v Die Fläche unter der Geschwindigkeits-Zeit Kurve ist der zurückgelegter Weg t t v v(t) s Betrachte kurzes Zeitintervall t, in diesem verändert sich die Geschwindigkeit kaum. Daher ist s = v(t). t. t t Das ist die schmale Fläche unter der Kurve 13

14 Nun hintereinaderliegende kurze Zeitintervalle v v(t) t Fläche jedes Streifens ist der zurückgelegte Weg. Summe aller Streifen ist die Fläche unter der Kurve Analog für Beschleunigung: v= Fläche unter der Kurve im Beschleunigungs-Zeit Diagramm 14

15 Zusammenfassung: Umkehrungen: 15

16 Beispiel für die Anwendung dieser Integrale: Gleichmäßig bescheunigte Bewegung, a = const =??? =??? Bedeutung von v 0 und s 0 Anfagsgeschwindigkeit und Lage Freier Fall: durch spezielle Wahl des Koordinatensystems läßt sich eine einfache Formel finden: Zum Zeitpunkt des Loslassens ist s 0 =0. Entfernungen werden normal auf die Erdoberfläche (nach unten ist positiv) gemessen. Im Augenblick des Loslassens ist v 0 =0 s 0 =0, v 0 =0, a=g=10 m s -2 16

17 Wurf nach oben: andere Koordinatensystem: Entfernung vom Erdboden nach oben positiv, daher a = - g v 0 ist positiv. v=v 0 g.t s=( g/2)t 2 +v 0.t Am Umkehrpunkt (höchster Punkt) ist v = 0 dies geschieht zur Zeit t h, das Objekt befindet sich dann s h über dem Boden. 0=v 0 g.t h --> t h =v 0 /g s h =( g/2) (t h ) 2 +v 0. t h Eingesetzt ergibt sich: s h =v 02 /(2g) ZUSAMMENSETZUNG VON BEWEGUNGEN: Falls sie voneinander unabhängig sind, ergeben sich Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen durch VEKTORIELLE ADDITION v 2 v 1 + v 2 v 1 Vogel fliegt bei Wind mit 3m/s aus NW mit 12 m/s nach N. Selbstvertändlich wird er vom Wind abgetrieben.welche Geschwindigkeit und Richtung hat er über Boden? 17

18 N Wind Vogel Bewegung über Boden 12m/s 5m/s 45 v φ Cosinussatz: v 2 =(12m/s) 2 +(5m/s) 2-12m/s.5m/s.cos 45 v=10,1m/s Sinussatz: sin φ:5m/s=sin 45 :v --> sin φ =5m/s.sin45 /10,1m/s φ=12,1 Vogel fliegt N12,1 O Schräger Wurf nach oben: Kann als Zusammensetzung aus freiem Fall und gleichförmiger Bewegung aufgefaßt werden. Geschwindigkeiten wund Wege werden mit v h und v v bzw s h und s v bezeichnet Koordinatensystem: v-richtung vertikal nach oben h-richtung horizontal Erdboden hat x=0 Anfangsgeschwindigkeit hat v 0v in v-richtung v 0h in h Richtung Erdbeschleunigung in die negative v-richtung 18

19 Von früher: Vertikal: v 0 = v 0v, a=-g v v =-g.t+ v 0v s v =(-g/2).t 2 +v 0v.t horizontal: v 0 = v 0h, a=0 v v =v 0h s v =v 0h.t Beispiel: Lama spuckt mit 10 m/s aus der Schnauze, die 1m über Boden ist unter 45 nach oben. Wie weit müssen die Zoobesucher entfernt stehen um nicht getroffen zu werden. 19

20 Koordinatensystem: Vertikalentfernung vom Erdboden nach oben positiv gemessen. v 0v =10m/s.sin 45 = 7,07m/s v 0h =10m/s.sin 45 = 7,07m/s 45 s 0v =1m (da über Boden) s 0h =0 a= -10ms -2 in die Vertikalrichtung Allgemein ist: s=(a/2).t 2 +v 0.t+s 0 Eingesetzt horizontal: s h =(7,07m/s).t (*) Eingesetzt vertikal: s v =(-5m/s 2 ).t 2 +(7,07m/s).t+1m Wenn Speichel am Boden auftrifft ist s v =0. Daher 0 =(-5m/s 2 ).t 2 +(7,07m/s).t+1m Daraus t ermittelbar. In (*) eingesetzt ergibt sich de nötige Sicherheitsabstand. Beispiel: Sprung aus dem Stand. Referenzpunkt für unsere Überlegungen ist der Schwerpunkt. Am Ende der Absprungphase sei er 1m über Boden. Der Sprung ist dann ein Wurf nach oben auf 1,6 m Höhe (Rekord 1.65m) 20

21 Koordinatensystem so gewählt daß der Nullpunkt der Entfernungsmessung 1m über Boden ist. Daher ist die Wurfhöhe h= 0.6m Aus h=v 2 /2g ergibt sich die Absprunggeschwindigkeit zu v 2 =2gh v 2 =2. 10ms -2. 0,6m Daher v=3.46 m/s Absprungphase gleichmäßige Beschleunigung von 0.6 auf 1m über Boden mit der Beschleunigung a. Wir wählen geeignete Koordinaten: Nullpunkt ist 0,6m über Boden: ---> (gleichmäßig) beschleunigte Bewegung von 0 auf 0.4 m Die Endgeschwindigkeit bei der Beschleunigungsphase muß 3.46 m/s sein Aus s=(a/2). t 2 und v=a.t ergibt sich a=v 2 /(2s)=15ms -2 Aus t=v/a ergibt sich die Beschleunigingszeit zu 0,23 s Übungsaufgabe: Heuschrecke hüpft 59 cm. Hat eine Beschleunigungsstrecke von 4cm. Wie groß ist die Beschleunigung, wie lange dauert der Vorgang? 21

22 KRAFT und MASSE Beschleunigung kommt nicht von selbst sondern durch Muskelkontraktion Triebwerk Motor... Allgemeiner, erst durch Wechselwirkung mit einem anderen Objekt kann eine Beschleunigung auftreten. Ohne Wechselwirkung findet eine gleichförmige geradlinige Bewegung (TRÄGHEITSPRINZIP, Newton) Falls Wechselwirkung zwischen zwei Körpern auftritt beeinfussen sich die Bewegungen gegenseitig es tritt eine BESCHLEUNIGUNG auf. Wir nennen die URSACHE einer BESCHLEUNIGUNG die KRAFT = 1 N (Newton) Ein frei fallender Körper fuhrt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit g=10 ms -2 aus (experimentelles Faktum), g ist zum Erdmittelpunkt gerichtet 22

23 1 N ist die Schwerkraft von 0,1kg kn, Einheit + SI Vorsilbe: mn, km, MN zb auf Kanaldeckel steht Tragfahigkeit 150 kn. Welche Masse?? Es gibt zwei Arten von Kräften KONTAKTKRAFTE: Durch die Wechselwirkung der Moleküle mit einer Reichweite 10 bis 100 pm z.b. Kohäsion, Reibung,Verformung FERNWIRKUNGSKRAFTE Reichweite unbeschränkt aber mit der Entfernung abnehmend: Graviatation, elektrostatische, magnetische Kräfte Bei WECHSELWIRKUNG Kraft von A auf B ist entgegengesetzt zu Kraft von B auf A Abb Biologische Physik KRAFT ist VEKTOR daher VEKTORIELLE ADDITION Addition durch Vektorparellelogramm oder 23

24 Vektoraddition durch Parallelverschiebung Einen Vektor so verschieben, daß er bei der Spitze des anderen Vektors beginnt Summenvektor geht vom Beginn des ersten Vektors zum Ende des zweiten Vektors. ZERLEGUNG von KRÄFTEN in vorgegebene RICHTUNGEN durch Projektion auf diese Richtung. Schiefe Ebene: Zerlegung der Schwerkraft in zwei Kräfte: Normal zur Ebene, drückende Kraft (wird durch die Struktur aufgefangen) In Richtung der Ebene, treibende Kraft: Muß aufgewendet werden, um Gegenstand am hinabrollen, -gleiten zu hindern Abb Biologische Physik 24

25 Beispiel: Kraft beim Hochsprung. Es war a=15ms -2 Mit m= 50 kg ergibt sich F=750N Dazu noch Schwerkraft 500N Muskel müssen 1250 N aufbringen Beispiel. Zerlegung von Kräften bei Aufhängung an Seilen, Rucksack hat 25 kg Schwerkraft muß kompensiert werden Die Kraft kann wegen der Biegsamkeit der Schnüre nur in die Richtung der Seile wirken 25

26 Betrachte markiertes Dreieck: m.g/2 F 30 sin 30 = m.g/(2f) F = m.g/(2.sin30 ) = 25 kg.10 ms -2 /(2.0,5) = 250 N Bei großer Beschleunigung große Kraft!! Z.B plötzliches Abbremsen. Längerer Bremsweg bedeutet geringere Beschleunigung: Dehnbarer Sicherheitsgurt, Kletterseil, deformierbare Knautschzone Abfedern beim Aufsprung Kurzer Bremsweg bedeutet große Beschleunigung: 26

27 Beispiel: steifer Aufsprung: Schienbein hält maximal 50000N aus, verkürzt sich dabei um 1 cm. Aus welcher Höhe ist diese Grenze erreicht (Masse = 75 kg), beidbeiniger Aufsprung. a=f/m= 1333ms -2 Auftreffgeschwindigkeit aus v 2 = 2.a.s = ,01m 2 s -2 v=5.16 m/s Absprunghöhe aus v 2 = 2.g.h --> h = v 2 /2g = 1.33 m Falls Summe der Kräfte = 0: Ruhe oder gleichförmige Translation ARBEIT: KRAFT verursacht BEWEGUNG ARBEIT KRAFT x WEG W = F. s, skalares Produkt, es kommt auf die Richtung an!! F Hier ist die Arbeit Null!! s Einheit: [W] = 1N. 1m = 1Nm = 1 J Joule 1 Joule ist jene Arbeit die unter der Wirkung von 1 N bei einer Verschiebung von 1 m auftritt 27

28 Arbeit gegen die Schwerkraft: HEBEARBEIT W = m. g. h Da Hebekraft und Weg parallel sind ist das skalare Produkt nicht nötig. Weg Kraft um Masse zu heben Masse Schwerkraft m.g Kraft-Weg Diagramm F m.g Arbeit (m.g. s) ist die Fläche unterhalb der Kurve im Kraft - Weg Diagramm s s Beispiel: Rollstuhl 80 kg im Lift ein Stockwerk (3m) gefahren W = m.g.h=80 kg. 10 ms -2.3 m= 2400 Nm= 2400 J Auf einer Rampe mit 15 Neigung?? s 3m 15 m.g Es ist s = 3m /sin 15 = 11,59 m Winkel zwischen Kraft und Weg ist = 105 Arbeit = 11,59 m. 800 N. cos 105 = N 28

29 s 3m 15 m.g Anderer Weg: Treibende Kraft = m. g. sin 15 Arbeit = F. S = m.g. sin15. 3 m /sin 15 = m.g.3m=2400 J BESCHLEUNIGEN EINER MASSE F = m. a, s = a/2. t 2 W = ½ma 2 t 2 = ½.m.v 2 Aufgewendete Arbeit ist in der bewegenden Masse gespeichert 2 LEISTUNG ARBEIT pro ZEIT Einheit [P] = J.s -1 = W 29

30 Isoliertes System: Ein Bereich der gegen die Außenwelt abgegrenzt ist und mit dieser nicht in Wechselwirkung steht. Kein (merklicher) Austausch an Energie und Masse. (auch abgeschlossenes System genannt) Erhaltungssätze der Mechanik: In isolierten System ist Summe der Massen konstant, Summe der Energien Energieverlust zb bei Reibung ist Umwandlung in eine andere Form (Wärmeenergie) 30