3. Die Einheit auf der rechten Seite der Gleichung ist eine Längeneinheit. 4. v 1. = 100 km/1 h = 100 km/h; v 4. = 55 km/0,5 h = 110 km/h; v 3

Transkript

1 Bewegungen Arbeitsblätter siehe beiliegende CD-ROM, Verzeichnis: _AB_LZ/ 13_bewegungen Lösungen zu den Arbeitsblättern AB 1: Bewegungen im Diagramm Die Diagramme müssen um die Achsenbeschriftungen und Skaleneinteilungen ergänzt werden. Das passende Diagramm ist rechts oben. AB 2: Schnelle Eisenbahnzüge Vergrößerung von Treibrädern, Verkleidung der Loks, Gewichtsreduktion, Verwendung von Elektromotoren, 3. Emissionsbelästigung, geringer Wirkungsgrad durch komplizierte Mechanik, flächendeckende Verfügbarkeit elektrischer Energie, Transportkosten der Kohle, hoher Wirkungsgrad der Elektromotoren, hoher Wartungsbedarf, schlechte Arbeitsbedingungen, 4. t 1 = s/v = 3 km/2 km/h = 1,5 h = 9 min t 2 = s/v = 3 km/4 km/h =,75 h = 45 min Die Zeitersparnis beträgt 45 Minuten. AB 3: Geschwindigkeit 1. a) Pro Runde sind 32 m zu fahren. Es wurden 1 Runden gefahren. Der Sieger benötigte genau 4 min. b) s = 1 32 m = 3 2 m, t = 4 min = 24 s. v = s/t = 3 2 m/24 s = 13,3 m/s = 48 km/h 2. Eine Bewegung ist gleichförmig, wenn in gleichen Zeitintervallen gleiche Strecken zurückgelegt werden. 3. Die Einheit auf der rechten Seite der Gleichung ist eine Längeneinheit. 4. v 1 = 45 km/,5 h = 9 km/h; v 2 = 55 km/,5 h = 11 km/h; v 3 = 1 km/1 h = 1 km/h; v 4 = 4 km/,75 h = 53,3 km/h; v ge = 24 km/2,75 h = 87,3 km/h AB 4: Beschleunigung 1. a) a = 5 m/ 2 b) Es ergibt sich der gleiche Wert, da die Beschleunigung konstant ist. c) Die Beschleunigung der Bewegungen in den Bildern 1 b und 1 c ist nicht gleichmäßig. In Bild 1 b ist die Beschleunigung zunächst größer. In Bild 1 c ist die Beschleunigung zunächst kleiner. 2. Bewegungen, bei denen die auftretende Beschleunigung konstant ist, heißen gleichmäßig beschleunigte Bewegungen. Ist die Beschleunigung nicht konstant, so spricht man von einer ungleichmäßig beschleunigten Bewegung. 3. a) v zu = 6 m/s; b) v End = 16 m/s 4. Die Angabe s = 32 m ist zu groß. Der Körper hatte zunächst die Geschwindigkeit v = und erst im Endpunkt betrug sie v = 8 m/s. Stationenkarten zu den Lernzirkeln siehe beiliegende CD-ROM, Verzeichnis: _AB_LZ/ 13_bewegungen Lernzirkel LZ 1: Waagerechte Wurfbewegungen Der Lernzirkel kann leicht um Stationen mit weiteren Schülerexperimenten ergänzt werden. Je nach Klassengröße sollten manche Stationen mehrfach aufgebaut werden. Erforderliche Materialien werden auf den Stationenkarten angegeben. Bewegungen 83

2 S Aufträge S. 225 Lösungen und Hinweise zu den Arbeitsaufträgen, Heimversuchen und Aufgaben A1 Siehe Schülerbuch, S. 225, B1 (Bewegungsarten) und S. 224, B5 (Bewegungsformen). A2 Individuelle Schülerlösungen (siehe Beispiele im Schülerbuch, S. 224/225). A3 Bei der gleichförmigen Bewegung werden in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurückgelegt, bei der ungleichförmigen Bewegung nicht. Aufträge S. 227 A1 Lässt sich die Geschwindigkeit ohne Behinderung oder Gefährdung anderer Verkehrsteilnehmer längere Zeit (mindestens 3 s) konstant halten, so kann sie durch Abzählen von Entfernungsbaken am Seitenrand bestimmt werden. Bei bekanntem Abstand ð s zweier Baken (meist 1 m) und der in Sekunden gestoppten Zeit t für die an gleicher Stelle am Fahrzeug vorbeibewegten n Baken ergibt sich seine Geschwindigkeit v als Quotient v = n (1 m)/t. Dieser Wert in m/s ist mit 3,6 zu multiplizieren, damit die Geschwindigkeit wie auf dem Tacho in km/h ausgedrückt wird. A2 s in km t in min A3 Wenn man in dem Moment, in dem der erste Sessel startet, mit der Zeitmessung beginnt, lauten die Zeit-Weg-Gesetze: 1 ( t) = 8,3 m _ t s 2 ( t) = 8,3 _ m t 5 m s 3 ( t) = 8,3 _ m t 1 m s in m t in min Sinnvollerweise sind für das Diagramm bei jedem Sessel nur Werte s aus dem Intervall [ m 15 m] zugelassen. Aufträge S. 228 A1 a = ð v km ð t = 72 h 8 = 2 _ m s 8 = 2,5 _ m. Diagramme: s 2 2 v in m s 3 2 a in m s Bewegungen

3 Aufträge S. 228 A2 Intervall t =,3 s bis t =,75 s; ð t =,45 s; ð v =,5 m _ ; Intervall t =,75 s bis t = 1,2 s; ð t =,45 s; ð v =,2 m _ ; Intervall t = 1,2 s bis t = 1,5 s; ð t =,3 s; ð v =,15 m _ ; Die Beschleunigung nimmt ab. a = ð v ð t = 1,11 m _ 2 a = ð v ð t =,44 m _ 2 a = ð v ð t =,5 m _ 2 Aufträge S. 229 Aufträge S. 23 Aufträge S. 231 A1 Beispielsweise wäre es möglich, den in B1 gezeigten Versuch (herabrollender Zylinder) so zu modifizieren, dass der Zylinder eine Lichtschranke durchlaufen muss. Aus der Verdunkelungszeit der Lichtschranke (und dem Durchmesser des Zylinders) lässt sich näherungsweise eine Momentangeschwindigkeit bestimmen. Die Position der Lichtschranke wird dann verändert, um unterschiedliche Weglängen s zu bekommen. Liefert das t-v-diagramm eine Ursprungsgerade, so ist deren Steigung der Wert der Beschleunigung a. A1 Die Lösung ist abhängig von der gemessenen Bewegung. A1a) s (t ) = 2,5 m _ 2 t m _ t und v (t ) = 5 m _ t + 12 m _ b),2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2, 2,2 2,4 s in m 2,3 4,4 6,3 8 9,5 1,8 11,9 12,8 13, ,3 14,4 v in _ m s-v-diagramm: 12 v in m s 8 4 s in m Die Veränderung von v mit dem Weg ist an der Steigung zu erkennen. Die Steigung nimmt mit größer werdendem s immer größere negative Werte an. Das bedeutet, dass die Abnahme der Geschwindigkeit gegen Ende des Bremsvorgangs größer wird. Die Behauptung stimmt also. Aufträge S. 233 A1 Es fällt sofort auf, dass die zurückgelegten Weglängen bei der fallenden Kugel immer größer werden, beim Papiertrichter jedoch einen konstanten Wert erreichen. Bewegungen 85

4 Aufträge S. 233 Abgelesene Werte bei der Kugel: t in ms s in cm , ,5 t-s-diagramm: 6 s in cm t in ms Der ungefähr parabelförmige Verlauf legt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nahe. Das Zeit-Weg-Gesetz könnte lauten: s (t ) = 5, 1 4 cm t ms 2 2 = 5, _ m t s 2 2 Abgelesene Werte bei dem Papiertrichter: t in ms s in cm t-s-diagramm: 1 s in cm 5 Der zunächst angedeutet parabelförmige Verlauf geht in einen linearen Verlauf über. Hier kann allenfalls für den zweiten Abschnitt t =,3 s,75 s eine Funktionsvorschrift angegeben werden: s (t ) = 1,5 _ m t,2m t in ms Aufträge S. 236 A1 s x = v t t = s x _ v y = _ 1 2 g t 2 = _ 1 2 g s x 2 v 2 = g 2 v 2 s x 2 Aufträge S. 238 A1 Bewegt sich etwa das Bezugssystem 2 mit v gegenüber dem Bezugssystem 1, so hat ein Körper, der sich im Bezugssystem 2 zum Zeitpunkt t 1 mit v 1 und zum Zeitpunkt t 2 mit v 2 bewegt, gegenüber dem Bezugssystem 1 die Geschwindigkeiten v 1 + v bzw. v 2 + v. Damit erhält man die Beschleunigung des Körpers im Bezugssystem 1 zu a = ( v 2 + v ) ( v 1 + v ) t 2 t 1 = v 2 v 1 t 2 t 1 Man stellt fest, dass sich die Geschwindigkeit v des Bezugssystems 2 heraushebt. Die Beschleunigung ist also unabhängig von einer konstanten Geschwindigkeit des einen Bezugssystems gegenüber dem anderen. 86 Bewegungen

5 Rückblick S. 239 B1 Die Funken haben eine sehr hohe waagerechte Geschwindigkeit, daher ist die Parabelform ihrer Bahnkurve kaum erkennbar. Bei längerer Beobachtung (also einem größeren Bildausschnitt) würde die Wurfparabel auch bei den hier gerade aussehenden Bahnen erkennbar sein. B2 Eine beschleunigte Bewegung. B3 Nein, ein freier Fall liegt nur dann vor, wenn keinerlei Reibungskräfte wirken. B4 Weil der Einfluss des Luftwiderstandes bei geringer Fallhöhe vernachlässigbar gering ist und ohne Luftwiderstand alle Körper gleich schnell fallen. Heimversuche S Schneller Radfahren Messung mehrerer Zeit-Weg-Koordinatenpaare, dann Näherung der Beschleunigung mit a = ð v /ð t oder Regression. 2 Reaktionszeit messen Für den vom Lineal zurückgelegten Weg gilt: s (t ) = 1 2 g t 2. Nach t aufgelöst, lässt sich die Reaktionszeit aus dem Weg bestimmen: t = Ö 2s g Aufgaben S a) Alle (reibungsfreien) Bewegungen, die als Fallbewegung verstanden werden können also auch die Bewegung auf der schiefen Ebene, erfahren eine konstante Beschleunigung. In grober Näherung können auch Verzögerungen durch Reibung (Bremsen) bei nicht zu hohen Geschwindigkeiten oder durch elastische Verformung bei kleinen Auslenkungen als konstant betrachtet werden. Kräfte auf geladene Körper in elektrischen Feldern beschleunigen diese ebenfalls konstant. Demnach haben fast alle anderen Bewegungserscheinungen keine konstante Beschleunigung. b) Geradlinige Bewegung: gleichförmige, beschleunigte und verzögerte Bewegung möglich Schwingung: Es liegt immer eine ungleichförmige Bewegung vor, Phasen beschleunigter und verzögerter Bewegung wechseln sich ab. Kreisbewegung: Bei einer Kreisbewegung handelt es sich immer um eine beschleunigte Bewegung, weil die Geschwindigkeit ständig ihre Richtung ändert. Der Betrag der Geschwindigkeit kann entweder konstant sein oder sich ändern. Geradlinige Bewegungen 2 a) Es könnte die gleichförmige Bewegung dreier Fahrzeuge,, dargestellt sein. Fahrzeug und starten zur gleichen Zeit an unterschiedlichen Orten mit verschiedenen Geschwindigkeiten und bewegen sich aufeinander zu. Fahrzeug startet zu einem späteren Zeitpunkt und bewegt sich in dieselbe Richtung wie Fahrzeug. Dabei hat Fahrzeug eine größere Geschwindigkeit als Fahrzeug. Alle drei Fahrzeuge treffen sich zur selben Zeit an einem bestimmten Ort. b) Es handelt sich bei Fahrzeug und um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Bei Fahrzeug liegt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung vor. Die Beschleunigung von Fahrzeug ist größer als die von Fahrzeug. Alle drei Fahrzeuge erreichen zum gleichen Zeitpunkt dieselbe Geschwindigkeit v. Bewegungen 87

6 Aufgaben S Beide Bewegungen sind bis zum Zeitpunkt der Ruhe gleichförmig. In einem Fall ist die Geschwindigkeit negativ: v 1 = 6, m 5, = 1,2 _ m v in m s 1 Im anderen Fall ist die Geschwindigkeit positiv: v 2 = _ 5, m 4, = 1,25 m_ Man erhält nebenstehendes t-v-diagramm: 1 ( t ) = 1,2 _ m t, s 2 ( t ) = 1,25 _ m t bis t = 4 s, dann s 2 ( t ) = 5m Zur Untersuchung kann ein Diagramm gezeichnet oder die Geschwindigkeit für die einzelnen Intervalle berechnet werden. Es ergibt sich, dass eine gleichförmige Bewegung vorliegt. s (t ) = 53 m _ t 5 ð s = 11 m, ð t =,4 s. Wir gehen von einer gleichförmigen Bewegung aus, sonst ist die Aufgabe nicht lösbar: v = 99 km/h 6 Gegeben: s = 1,75 m; t = _ 3 s 5 =,6 s. Bei der Fallstrecke s = 1,75 m beträgt die Fallzeit t =,6 s. Mit s = 1_ 2 a t 2 folgt a = 2 s t 2 = _ 2 1,75 m = 9,72 m_ (,6 ) 2 s 2 Der Wert ist etwas zu klein; das ist stimmig, da die Luftreibung vernachlässigt wurde. 7 Das Diagramm zeigt eine Gerade, also ist die Beschleunigung a für alle Quotienten ð v/ð t konstant. So findet man etwa: a = 3 _ m 1 _ m 3 s 1 = 2 m 2 =,1 _ m s 2 Bei einer größeren Beschleunigung würden zu denselben Zeitpunkten größere Geschwindigkeiten gehören, die Gerade würde daher steiler verlaufen. 8 Zu berechnen ist die erreichte Geschwindigkeit nach 2 m freiem Fall. Die Fallzeit beträgt t = Ö 2 g Ö = 2 2 m 9,81 _ m s 2 = 2,2 s, damit folgt v = g t = 9,81 _ m s 2 2,2 s = 19,81 _ m = 71,31 km h 9 Bei einer konstanten Beschleunigung muss _ konstant sein. Wir erhalten folgende t 2 Quotienten: 4,8 m (,8 s) 2 = 7,5 _ m s 2 43,3 m (2,4 s) 2 = 7,52 _ m s 2 97,5 (3,6 s) 2 = 7,52 _ m s 2 23 m (5,2 s) 2 = 7,51 _ m s 2 Das t-s-gesetz könnte also lauten: s = 7,51 _ m s 2 t 2. t-v-gesetz: v (t ) = 15, _ m t. Alternativ kann auch mit einer quadratischen Regression gearbeitet s 2 werden. 1 a) Zum Zeitpunkt t = s startet der Körper mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s und beschleunigt die nächsten 2 Sekunden gleichmäßig. Er erreicht die Geschwindigkeit v = 3 m/s und bewegt sich nun 2 Sekunden lang gleichförmig mit dieser Geschwindigkeit. Dann wird erneut 2 s lang gleichmäßig beschleunigt bis v = 4 m/s. Abrupt bremst nun der Körper die nächsten 2 Sekunden lang gleichmäßig, bis sich die Geschwindigkeit auf 1 m/s verringert hat. Die letzten 4 s bewegt er sich gleichförmig mit dieser Geschwindigkeit. 88 Bewegungen

7 Aufgaben S. 241 b) t-s-diagramm: s in m Lkw: s (t ) = 5 km h t = 13,89 _ m t Pkw: Die Beschleunigung beträgt a = ð v s (t ) = 1 _ 2 2,53 m _ 2 t 2 km ð t = 1 h 11 = 27,78 _ m s = 2,53 _ m. Damit folgt: 11 s 2 Beide Gleichungen werden gleichgesetzt und nach t aufgelöst. Es ergibt sich: t = 1,98 s. Dies wird in s (t) eingesetzt: s = 153 m. Die Geschwindigkeit des Pkw beträgt dann: v (t) = a t = 2,53 _ m s 2 1,98 s = 27,78 _ m 1 km h 12 Gegeben v = 5 km/h = 14 m/s ; Reaktionszeit,5 s; Gelbphase 3 s. Unabhängig von der Beschaffenheit der Fahrbahn legt der Wagen während der Reaktionszeit die Strecke s = 14 m/s,5 s = 7 m zurück. Trockene Fahrbahn: Bremsweg s = v 2 ( Nasse Fahrbahn: Bremsweg s = 14 _ m ) 2 ) 2 2 6,5 _ m s 2 2 a = ( 14 m _ 2 2, m _ 2 = 49 m = 15 m Bei trockener Fahrbahn kann gebremst werden. Bei feuchter Fahrbahn war die Fahrgeschwindigkeit nicht angepasst; die Bremsung gelingt nicht mehr. Aufgaben S a) s = 1 _ 2 a t 2 = 1 _ 2 2, m _ 2 ( 9, s ) 2 = 81, m; v = a t = 18, m_ b) v = 1 km m = 1 1 h 3 6 = 27,8 _ m ; a = _ v t = 27,8 m 1,2 s 2 = 2,73 _ m s 2 s = 1 _ 2 a t 2 = 1_ 2 2,73 m _ 2 ( 1,2 s ) 2 = 142 m c) t = _ a v = 12, 4, = 3, s; s = _ 1 2 a t 2 = _ 1 2 4, _ m s 2 ( 3, s ) 2 = 18 m d) t = Ö 2 s a = 3,2 s; v = a t = 5, _ m s 2 3,2 s = 16 _ m Bewegungen 89

8 Aufgaben S Daten: Nr ,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 s in cm,3 1,1 2,5 4,4 6,8 9,2 11,7 14,1 _ t 2 in cm 7,5 6,9 6,9 6,9 6,8 6,4 6, 5,5 s 2 a) Man erhält als t-s-diagramm: b) Zwischen t und t 5 ist die Bewegung gleichmäßig beschleunigt, denn der Quotient s/ t 2 ist näherungsweise konstant. Zwischen t 5 und t 8 ist die Bewegung gleichförmig, denn der Graph ist linear. c) Der Mittelwert für die Werte _ s/ t 2 beträgt für den ersten Abschnitt s/ t 2 = 7, cm/ s 2. Somit lautet das Zeit-Weg-Gesetz: s = _ 1 14, cm 2 s 2 t 2 Die mittlere Geschwindigkeit zwischen t 5 und t 8 beträgt: v = s 8 s 5 cm t 8 t 5 = 7,3 12,2 cm,6 s Für den zweiten Abschnitt gilt somit: s = 12,2 cm s d) Bis zum Zeitpunkt t 5 ist die Bewegung gleichmäßig beschleunigt, d. h.: v = 2 s t. Somit ergibt sich v 4 = 11, cm und v 5 = 13,6 cm Danach ist v 12, cm e) Zugehöriges t-v-diagramm: t + 6,8 cm s in cm,5 1, 1,5 v in m s,5 1, 1,5 15 a) s (t ) = 1 _ 2 g t 2 =,5 9,81 m 2 (4 s) 2 = 78,48 m; v (t ) = a t = 9,81 m _ 2 4 s = 39,2 m _ b) s = 39,24 m; Gleichung nach t auflösen, es folgt t = 2,82 s Bevor man den Aufschlag hört, muss der Schall ebenfalls die 78,48 m überwinden. Er breitet sich mit konstanter Geschwindigkeit aus, also s (t ) = v t bzw. t = s/v =,23 s. Die Gesamtzeit beträgt also 4,23 s. 16 a) Freier Fall aus 1 m Höhe: s = 1 _ 2 g t 2 t = Ö 2s g Ö = 2 1 m 9,81 _ m = 1,43 s. Eintauchgeschwindigkeit: v = g t mit t = 1,43 s aus Teilaufgabe a) ergibt sich v = 14 m/s. b) Analog: Fallzeit für 7 m Höhe (entspricht Zeitpunkt des Vorbeiflugs am Drei-Meter-Brett): t = 1,19 s; d. h., Fallzeit von Max für die restlichen 3 m: 1,43 s 1,19 s =,24 s Fallzeit der Schwester für 3 m Höhe: t = Ö 2 3, m 9,81 _ m =,78 s. s 2 Somit kommt Max etwa eine halbe Sekunde früher als seine Schwester im Wasser an. 2 9 Bewegungen

9 Aufgaben S. 242 Nicht geradlinige Bewegungen 17 s x s y v x v y t t t t Aufgaben S Für die Koordinaten der Bahnpunkte gilt: a) Waagerechter Wurf: x, i = v x i ð t ; s y, i = 1 _ 2 g (i ð t ) 2 (i =, 1, 2, 3, ) s y in m s x in m Gegeben: s x = 1,1 ; h =,6 m a) Berechnung der Austrittsgeschwindigkeit v x : x = v x t ; h = _ 1 2 g t 2 ; h = g s x 2 2 v 2 x v x 2 = g s x 2 2 h v x = s x Ö g 2 h v x = 1,1 m Ö 9,81 _ m s 2 2,6 m = 3,15 _ m Die Austrittsgeschwindigkeit beträgt v x = 3,15 m _ b) Berechnung der Auftreffgeschwindigkeit v : t = s x _ v x = 1,1 m 3,15 _ m =,35 s; v y = g t ; v y = 3,43 _ m v = Ö v 2 x + v y 2, v = 4,66 _ m Für den Betrag der Auftreffgeschwindigkeit ergibt sich v = 4,66 m _ 2 s x vom Plattformrand bis zum Beckenrand beträgt 15 m. Mit den Daten im Buch ergibt sich eine Fallzeit auf einem 1-m-Turm von 1,4 s, in denen diese 15 m zurückgelegt werden müssen: v x = 15 m/1,4 s = 1,7 m/s = 38,5 km/h. Dies ist die Geschwindigkeit, die ein Sprinter der Spitzenklasse aus der Ruhe heraus erst nach ca. 3,5 s (also nach rund 25 m) erreicht. Barfuß auf einer nur 5 m langen Plattform ist dies somit für einen Menschen absolut unmöglich. Bewegungen 91

10 Aufgaben S Der Beobachter sieht den Pfeil a) sich über den Abschusspunkt hinaus Richtung Zugende bewegen, b) an der Abschussstelle im freien Fall nach unten fallen, c) sich von der Abschussstelle in Richtung Lokomotive bewegen mit einer geringeren Geschwindigkeit als der Zug. v F v W v R a 22 Gegeben: v F = 3 km ; t = 18 min =,3 h; Ostabweichung 15 km. h a) Die obere Skizze in der Randspalte zeigt die Situation: Die Geschwindigkeitskomponente, die durch den Wind verursacht wurde, ist: 15 km v W = = 5 km,3 h h Mit den gewählten Bezeichnungen erhält man v R = Ö v 2 F + v W ( ) ( km 2 = Ö h ) 2 = 34 km h b) Die tatsächlich geflogene Strecke beträgt also s = v R t = 34 km,3 h = 91,2 km. h c) Aus der unteren Skizze entnimmt man sin a = v W v F = 5 =,17; a = 9,6 nach Westen. 3 v F v R v W 92 Bewegungen