Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 59. Grenzwerte InAbhängigkeitvomParameter α R istdiefolge (a n ) n N mit a n αn +( 3) n gegeben. 4 n Für welche α konvergiert die Reihe a n? Was ist in diesem Fall der Wert der Reihe? n Spaltet man a n in die Summe aus b n ( ) α n 4 und cn ( ) 3 n, 4 ist die Reihe c n n als geometrische Reihe mit q c 3/4 absolut konvergent. Nach.9.3 konvergiert also a n, wenn b n konvergiert. Allerdings kann a n nicht konvergieren, wenn n n n b n n nicht konvergiert, denn aus der Konvergenz der Reihe für a n und der Reihe für c n würde (wieder nach.9.3) die Konvergenz der Reihe für b n a n +( c n ) folgen. a n konvergiert also genau dann, wenn auch b n konvergiert und diese geometrische n n Reihe konvergiert genau dann, wenn q b α /4 < ist. a n ist also konvergent für α ( 4,4) und sonst divergent. Der Wert der Reihe ist dann die Summe der Werte der geometrischen Reihen, also α/4 + +3/4 4 4 α 7 α 8 7α. Aufgabe H 6. Stetigkeit Gegeben sind die folgenden Funktionen f j : D j R, j {,}. x x f (x) x, x 5x 5x+ f (x) x, x 3 7x+6, x, x (a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D j R, für den die Abbildungsvorschrift sinnvoll ist. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und f. (b) Finden Sie zu jedem < ε < ein δ > so, dass f (U δ () D ) U ε (f ()). (c) Existiert zu jedem ε > ein δ > so, dass f (U δ () D ) U ε (f ()) gilt? (d) Ist die Funktion f stetig an der Stelle x? Ist f stetig an der Stelle x? (a) Das Schaubild von f.5 n f (x) x Seite

2 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Das Schaubild von f f (x) x Die Funktion f kann auf ganz R definiert werden, d.h. D R. Für f formt man Zähler und Nenner um: 5x 5x+ 5(x )(x ), x 3 7x+6 (x )(x )(x+3), und da eine gesonderte Vorschrift für x existiert, ist der maximale Definitionsbereich D R { 3,}. (Die Funktion ist an x zwar stetig fortsetzbar, aber dennoch nicht definiert.) (b) f (U δ () D ) U ε (f ()) gilt, wenn für alle x-werte, die weniger als δ von entfernt liegen der Abstand des Bildes f (x) von f () kleiner ε ist. Das δ muss also so klein gewählt werden, dass für jedes x U δ () D der Abstand f (x) f () < ε wird. Es ist für δ < 5 und x U δ () f (x) f () 5 x+3 x (x )+5 < δ 5 δ, da x ( δ,δ) auf (x )+5 (5 δ,5+δ) führt. δ Das δ muss also so gewählt werden, dass ε, d.h. δ 5ε/(+ε) < 5. 5 δ (c) Weil für alle x < f (x) f () f (x) gilt, existiert zu ε (,] kein δ > mit f (U δ () D ) U ε (f ()), da stets f ( δ/) U ε (f ()). (d) Die ε-δ-definition der Stetigkeit liefert mit den vorigen beiden Aufgabenteilen: Die Funktion f ist nicht stetig an x und f ist stetig an x. Aufgabe H 6. Stetigkeit und Folgen Gegeben sei sie Funktion { ( cos π f: R R: x + ) 4 x für x für x. f(x) Ihr Computerplot ist rechts dargestellt. 4 π x 4 π Seite

3 5. Gruppenübung Höhere Mathematik (a) Berechnen Sie für die Folge (a n ) n N 4 mit a n die Grenzwerte π(+4n) lim a n und lim f(a n ). n n (b) Finden Sie eine Folge (b n ) n N mit lim b n sowie lim f(b n ). n n (c) Finden Sie eine Folge (c n ) n N mit lim c n so, dass (f(c n )) n N divergiert. n (d) Ist f stetig im Punkt x? Entscheiden Sie dies unter Verwendung von..3. (a) lim n 4 π(+4n) 4 π lim n +4n, ( π lim f(a n) lim cos n n 4 + π(+4n) ) 4 ( ) π +4πn lim cos n 4 ( π ) lim +nπ n cos (b) Für die Folge (b n ) n N mit b n 4 π(3+8n) gilt und (c) Die Folge (c n ) n N mit lim n 4 π(3+8n) 4 π lim n 3+8n ( π lim f(b n) lim cos n n 4 + π(3+8n) ) 4 ( ) 4π +8πn lim cos n 4 lim cos(π +πn) n c n { an für gerades n b n für ungerades n hat den Grenzwert lim c n, da sowohl die Teilfolge, die aus den Folgengliedern n mit geradem Index besteht, als auch die Teilfolge, die aus den Folgengliedern mit ungeradem Index besteht, gegen den Grenzwert konvergiert. Es gilt { für gerades n f(c n ) für ungerades n. Die Folge (f(c n )) n N hat also zwei verschiedene Häufungspunkte und konvergiert nicht. (d) Die Funktion f ist unstetig im Punkt x, da die gegen konvergierende Folge (b n ) n N die Bedingung lim n f(b n ) f() nicht erfüllt, vergleiche Definition Seite 3

4 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 6. Stetigkeit und Folgen Sei f: [, ) [, ) stetig mit x f(x) 3x. Für die Folge (a n ) n N, a n R + gelte a n > f(a n+ ) für alle n N. Zeigen Sie, dass (a n ) n N konvergiert und bestimmen Sie lim n f(a n ). Geben Sie ein Beispiel einer solchen Funktion f und einer solchen Folge (a n ) n N an. Aus a n > f(a n+ ) und x f(x) folgt a n > f(a n+ ) a n+ und damit a n+ a n / a n /4... a / n. Damit ist lim a n a lim n. n n Da f stetig ist, gilt ( ) lim f(a n) f lim a n f() n n und aus f() 3 folgt f(). Alternativ kann der Grenzwert auch mit dem Sandwichsatz gefolgert werden da a n f(a n ) 3a n ist lim a n lim f(a n ) 3 lim a n. n n n Die Folge a n 3 n und die Funktion f(x) x erfüllen die Bedingungen, denn es ist x f(x) x 3x und a n 3 n > 3 3 n f(a n+). Seite 4

5 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 63. Funktionsgrenzwerte Bestimmen Sie folgende Funktionsgrenzwerte. 3x 4 8x +5 (a) lim x 5x 4 8x 3 +3 (b) lim x sin(x )/x 3 (c) lim x + (d) Bestimmen Sie, für welche a R +,b R der Grenzwert (cos(x)) 3sin(x)cos(3x) x x 3x x3 +4 x x in R existiert. lim x x 3 ax+b (a) Mit der Notation aus Satz.8. ist hier n k und der Grenzwert als a n /b n gegeben, 3x 4 8x +5 also lim x 5x 4 8x (b) Da sin(x)/x für alle x R beschränkt ist, folgt dies auch für sin(x )/x und somit sin(x ) lim x x 3 (c) Der Zähler lässt sich abschätzen sin(x ) lim x x x. (cos(x)) 3sin(x)cos(3x) cos(x) +3 sin(x) cos(3x) +3 4, und eine Erweiterung der Summanden im Nenner liefert lim (cos(x)) 3sin(x)cos(3x) 4 x + x x 3x x3 +4 lim x + x x x x + 3x+4x 3+4x 3 x (d) Eine Erweiterung führt auf lim x 3 ax+b lim x x lim x lim x ( x 3 ax+b )( x 3+ ax+b ) x 3 ax b x 3+ ax+b x 3+ ax+b a x+ 3x + a+ b x 3 b x 3+ ax+b. Der erste Summand konvergiert nur, falls a, der zweite konvergiert immer: b R. Aufgabe H 64. Gleichheitsproblem Gegeben sind die Funktionen f: ( π, π) R: x ( x 9 ) ( x tan ) und g: R R: x 3x. Seite 5

6 6. Gruppenübung Höhere Mathematik (a) Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x) g(x) mindestens drei Lösungen im Intervall ( π, π) hat. (b) Nimmt f auf [,] ein Maximum an? Nimmt f auf ( π,+π) ein Maximum an? Hinweis: Untersuchen Sie das Verhalten von f für x π und x π+ und werten Sie f an x ±3 aus. (a) Die Funktion ( x h: x f(x) g(x) (x 9) tan 3x ) ist für x π + bestimmt divergent nach und für x +π bestimmt divergent nach +. An x ±3 ist f(x) und somit ist h( 3) 9 und h(3) 9. Da h als Summe aus einer steigen Funktion und einem Produkt stetiger Funktionen selbst auch stetig ist, muss nach dem Nullstellensatz in den Intervallen ( π, 3), ( 3,3) und (3,π) je eine Nullstelle liegen. (b) Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ein Maximum und ein Minimum an. Somit nimmt f auf dem kompakten Intervall [,] ein Maximum an. Das Intervall ( π,+π) ist offen also nicht kompakt und da f für x +π bestimmt divergent nach + ist, nimmt sie auch kein Maximum an. Aufgabe H 65. Zwischenwertsatz bei einem Solarmodul Der Ertrag eines Solarmoduls an einem Sommertag liegt bei 6 Wh. Das Modul liefert also eine durchschnittliche Leistung von 5 W. Zeigen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass es einen Zeitraum von einer Stunde am Tag gibt, in dem das Modul genau 5Wh produziert. Hinweis: Sei f(t) die zum Zeitpunkt t erbrachte Energie. Betrachten Sie f(t+) f(t) für t [,3]. Sei f(t) die zum Zeitpunkt t [,4] erbrachte Energie und sei g(t) : f(t+) f(t) (t [,3]) die zwischen dem Zeitpunkt t und dem Zeitpunkt t+ erbrachte Energie. Wir müssen zeigen, dass ein Zeitpunkt t [,3] existiert, sodass g(t ) 5 ist, und das machen wir mithilfe des Zwischenwertsatzes. Zunächst mal ist die Abbildung f stetig, weil sie monoton wachsend ist und keine Sprungstellen hat. Also ist auch g stetig und um den Zwischenwertsatz auf g anwenden zu können, müssen wir daher nur noch zeigen, dass t,t [,3] so existieren, dass g(t ) 5 und g(t ) 5. Dies zeigen wir mit einem Widerspruchsbeweis. Angenommen es existiere kein t mit g(t ) 5. Dann gälte g(t) > 5 für alle t [,3] Insbesondere gälte diese Ungleichung also für alle t {,,...,3} und damit (teleskopierende Summen!) f(4) f() 3 k f(k +) f(k) 3 k g(k) > 3 k Seite 6

7 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Aber dies kann nicht sein, weil nach Voraussetzung die insgesamt erzeugte Energie f(4) f() eben gleich (und nicht größer) 6 ist. Entsprechend folgt aus der Annahme es existiere kein t mit g(t ) 5. und damit g(t) < 5 für alle t [,3] f(4) f() 3 f(k +) f(k) 3 g(k) < k k k Somit haben wir den Widerspruch. Es gibt also t,t mit g(t ) 5 und g(t ) 5 und nach dem Zwischenwertsatz auch ein t [t,t ] mit g(t ) 5. Aufgabe H 66. Umkehrfunktionen Gegeben sind die Mengen M R {,,} und N R {} und die Funktionen f: M N: x x + +4x, g: N M: x. x 4 x (a) Berechnen Sie f(g(x)). Ist g die Umkehrfunktion von f? Es gilt f(g(x)) + +4x x ( + +4x ) x 4 x (+ +4x ) x((+ +4x ++4x ) 4x ) x. g ist nicht die Umkehrfunktion von f. Es reicht nicht zu zeigen, dass f(g(x)) x für alle x N gilt. Wie in Definition.3.7 festgelegt, muss man ebenfalls überprüfen, dass g(f(x)) x für alle x M ist. Es gilt beispielsweise an der Stelle x : g(f()) g( /3) 4. (b) GebenSieTeilmengen Ñ N und M M soan,dassdiejeweiligeneinschränkungen von f und g Umkehrfunktionen voneinander sind. Es gilt g(f(x)) + und für x > dann +4 ( x x x 4 x 4 ) ( + +4 ( ) ) x (x 4) x 4 x sowie für x <... (x 4)+ (x 4) +6x x x 4+ (x +4) x x... (x 4) (x 4) +6x x x 4 (x +4) x 4 x Man muss also f auf M { x R x > } M einschränken. Da f an und Pole mit Vorzeichenwechsel hat und die Grenzwerte für x und x Null sind, ist der Wertebereich R {} und daher ist Ñ N. Seite 7

8 6. Gruppenübung Höhere Mathematik (c) Bestimmen Sie lim x + g(x). Es gilt + +4x lim g(x) lim x + x + x lim x + x + x +4 (d) Skizzieren Sie die Graphen von f und g und markieren Sie die Graphen der Einschränkungen aus (b). Der Graph von f besteht aus der schwarzen und den blauen Kurven, der Graph von g wird durch die grüne Kurve dargestellt. Die Einschränkung von f besteht nur aus den blauen Kurven Seite 8

9 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 67. Konvergenzradien von Potenzreihen (a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe n a n z n für (i) a n (n/(n+)) n (ii) a n (n ) n (b) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen und skizzieren Sie die Konvergenzkreise. Untersuchen Sie, für welche Werte von z R die Reihen konvergieren bzw. divergieren. (i) n3 (3z +6) n n + (ii) n (5z i) n n n (a) (i) Wegen lim ( n (n/(n+)) n lim n n ( n n n+) lim (n+) n n+) e ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ρ e. (ii) Wegen lim n (n ) n lim n der Potenzreihe ρ. (b) (i) Umformung ergibt n3 n ( n ) +/n ist der Konvergenzradius (3z +6) n n + 3 n (z +)n n + n3 also z. Wegen n + n ist ( 3 n /n 3 lim lim n n +) n (n +) 3 /n und es ergibt sich der Konvergenzradius ρ /3. Die Potenzreihe divergiert damit auf R\[ 7/3, 5/3] und konvergiert auf ( 7/3, 5/3). Die Randpunkte des Konvergenzkreises müssen separat betrachtet werden. In z 7/3 erhalten wir die alternierende Reihe n ( ) n n +, die nach dem Leibnizkriterium konvergiert (denn ( n ) konvergiert ja monoton + fallend gegen ). In z 5/3 findet man die harmonische Reihe als untere Abschätzung: n n n + n Also hat man Konvergenz in z 7/3 und Divergenz in z 5/3. Seite 9 n

10 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (ii) Umformung ergibt n (5z i) n n n 5 n (z n i/5)n n n also z i/5. Wegen n n für n > ist ( ) 5 n /n 5 lim lim n n n n (n n) 5 /n und es ergibt sich der Konvergenzradius ρ /5. Es liegen keine reellen Punkte im Konvergenzkreis und auf dem Rand nur z. Hier gilt ( i) n n n n n und es liegt absolute Konvergenz, also auch Konvergenz vor. Die Reihe konvergiert also für z und divergiert für z R {}. Aufgabe H 68. Produkt von Potenzreihen Seien die Abbildungen f : U ρf () C und g : U ρg () C gegeben durch f(z) : n (z/) n und g(z) : n z n. Bestimmen Sie die Konvergenzradien ρ f von f und ρ g von g. Schreiben Sie f g als Potenzreihe und geben Sie deren Konvergenzradius an. Was hat diese Potenzreihe zu tun mit der Funktion h: C {,} C: z 3z +z? n (a) Wegen lim n n n / und lim n n gilt ρ f und ρ g. Außerdem ist die Potenzreihe von f g nach Satz.4. gegeben durch n k n a k b n k z n n k n k z n ( n )z n, wobei wir im zweiten Schritt die geometrische Summenformel benutzt haben, nach der n n k (/) k (/)n+ / ( (/) n+ ) (/) n gilt für alle n N {}. Wegen n n (n ) Seite

11 7. Gruppenübung Höhere Mathematik ergibt sich der Konvergenzradius ρ f g der Potenzreihe von f g zu ρ f g. Was hat nun die Potenzreihe von f g, deren Koeffizienten wir oben bestimmt haben, mit der angegebenen Funktion h zu tun? Weil die Potenzreihe von f g die Summe zweier (im wesentlichen) geometrischer Reihen ist, können wir deren Werte mithilfe der geometrischen Summenformel explizit ausrechnen, und zwar gilt n k n a k b n k z n z n n (z/) n n z z/ 4 z +z ( z)( z) h(z) für alle z U () U ρf g (). Also ist die Potenzreihe von f g auf ihrem Konvergenzkreis U ρf g () nichts anderes als h Uρf g (). Dies ergibt sich auch, wenn man die Terme für die Reihen von f und g multipliziert: z/ Aufgabe H 69. Potenzreihen? Gegeben sind die Reihen f(z) z/ (z )(z ) z 3z + k (z 4z +4) k und g(z) 3k (a) Bestimmen Sie die Reihenwerte f(),f(4),g(),g(4). k (z 4z 4) k. 3k (b) Formen Sie f(z) in eine Potenzreihe um. Begründen Sie mit Hilfe des ersten Aufgabenteils, warum f(3) konvergiert, ohne die Reihe selbst zu untersuchen. (c) Überprüfen Sie, dass g() nicht konvergiert. Begründen Sie damit und mit dem ersten Aufgabenteil, dass sich g(z) nicht in eine Potenzreihe umformen lässt, die dasselbe Konvergenzgebiet wie g(z) hat. (a) Es ist f() f(4) (4/8) k und der Grenzwert dieser geometrischen Reihe ist (b) /( /). k Des weiteren ist g() g() ( 4/8) k und der Grenzwert dieser geometrischen Reihe ist /(+/) /3. f(z) k k 3k (z 4z +4) k k 3k (z )k. Potenzreihen haben einen Konvergenzkreis. Da 3 auf der x-achse zwischen und 4 liegt, liegt 3 im Kreis der auch und 4 enthält, und da f dort konvergiert, muss es dies auch an 3 tun. (Da, 3 und 4 auf einer Geraden liegen, können Sie nicht alle auf dem Rand des Kreises liegen. D.h. auch wenn und 4 Kreisrandpunkte sind, ist 3 im Kreisinneren.) Seite

12 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (c) Setzt man in g ein ergibt sich ( ) k und diese Reihe konvergiert nicht (keine k Nullfolge). Potenzreihen haben einen Konvergenzkreis. Da (+4)/ liegt in jedem Kreis der auch und 4 enthält. Da g an und 4 konvergiert, nicht aber an, kann es keinen Konvergenzkreis geben und somit ist g keine Potenzreihe. Aufgabe H7. Formel von Euler und de Moivre (a) Schreiben Sie f(x) (sin(x)) 3 (cos(x)) als Linearkombination von Funktionen der Form sin(mx) und cos(nx), mit m, n N. (b) Leiten Sie die folgende Formel her. n cos(πk/n) k Hinweis: Nach Verwendung der Formel von Euler und de Moivre stößt man auf geometrische Summen. (a) Nach Einsetzen der Formeln aus (.4.8), sin(x) i (eix e ix ) und cos(x) (eix +e ix ), folgt mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes (cos(x)) 4 (eix +e ix ) 4 (e4ix ++e 4ix ) und (sin(x)) 3 8i (eix e ix ) 3 8i (e3ix 3e ix +3e ix e 3ix ). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert (sin(x)) 3 (cos(x)) 3i (e4ix ++e 4ix )(e 3ix 3e ix +3e ix e 3ix ) 3i ( 7eix +7e ix +5e 3ix 5e 3ix 3e 5ix +3e 5ix +e 7ix e 7ix ) 7 6 sin(x) 5 6 sin(3x)+ 3 6 sin(5x) 6 sin(7x). (b) Mit cos(πk/n) (eπik/n +e πik/n ) ergibt sich n cos(πik/n) n (e πik/n +e πik/n ) n (e πi/n ) k + n (e πi/n ) k k k k k ( ) (e πi/n ) n + (e πi/n ) n, e πi/n e πi/n da (e πi/n ) n e πi. Seite

13 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Differenzierbarkeit Untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob die Funktion f an der Stelle x und die Funktion g an den Stellen x und x differenzierbar sind. x für x x f :R R : x ( x) für x > g :R R : x x+ 3 +x x Betrachtet wird der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten von f an der Stelle x. f(x) f() lim x + x lim x + ( x) x lim ( x) x + x Dieser existiert nicht, die Funktion kann also an x nicht differenzierbar sein. Dies gilt, obwohl der links- und rechtsseitge Grenzwert der Ableitung für x > f (x ) (x) x für x < in x übereinstimmen. Die Funktion g lässt sich abschnittsweise ohne Beträge schreiben: (x+) 3 +x(x ) für x g(x) (x+) 3 x(x ) für x < (x+) 3 x(x ) für x < x 3 +4x +x+ für x x 3 +x +4x+ für x < x 3 4x x für x < Für den Differenzenquotienten an x ergibt sich somit (mit Hilfe von Polynomdivisionen) g(x) g( ) lim x x+ lim x + g(x) g( ) x+ x 3 4x x + lim x x+ lim x + x 3 +x +4x++ x+ lim x x 3x+ 3 lim x + x +x+3 3, die Grenzwerte stimmen also überein, die Funktion ist in x differenzierbar. Seite 3

14 8. Gruppenübung Höhere Mathematik In x erhält man analog g(x) g() lim x x lim x + g(x) g() x x 3 +x +4x+ 8 lim x x lim x + x 3 +4x +x+ 8 x lim x x +3x+7 lim x + x +5x+7 3, die Grenzwerte stimmen also nicht überein, die Funktion ist in x nicht differenzierbar. Aufgabe H 7. Tangenten Eine Seilbahn führt vom Punkt A (6,) auf zwei durch die Parabeln p : y x +3x+, p : y x x+ dargestellte Berge. y C B D A x Wo befinden sich die Bergstationen B, C und D, in denen die Seile tangential aufliegen? Seilbeschreibende Gerade g : y s (x 6) s : Steigung der Tangente in Punkt B s b+3 Vergleich der y-koordinaten von p und g b +3b+ ( b+3)(b 6) b b+9 Lösungen: b, 6± 7 Lösung links von Bodenstation (positive Höhe) und damit Punkte auf Parabeln: Steigung des zweiten Seils b 6 7 B (b,( b 3)(b+6)) (6 7, ) C (c, c +3c+), D (d, d d+) s d d+c 3c d c Seite 4.

15 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Steigung muss Steigungen der Berge entsprechen: s c+3 d d c In s Punkte: (c ) c++c 3c ( c+3) 4c 6 c. C (,3), D (,). Aufgabe H 73. Ableitungen Bestimmen Sie den maximalen reellen Definitionsbereich von f. Berechnen Sie f. Gibt es Stellen im Definitionsbereich von f, in denen f nicht existiert? (a) f(x) x x x (b) f(x) (c) f(x) arctan((tan(x)) ) x + Bestimmen Sie bei (a) auch f. (a) Wegen f(x) x x gilt erstmal für den Definitionsbereich D f (, ) und die Ableitungen berechnen sich wie folgt: f (x) ( exp( xln(x)) ) ( exp( xln(x)) x ln(x)+ ) x x x (ln(x)+) ( f (x) x x ( x ln(x)+ ) ) x ( x x x ln(x)+ ) ( +x x x x x 4x x ln(x) ) x x ( 4 x x (ln(x)) +4ln(x) ) ln(x)+4 x und f ist differenzierbar auf D f. (b) Der Definitionsbereich ist gegeben durch D f (, ] [, ), die Ableitung ist (c) ( ( ) f x / ) (x) x + x(x +) x(x ) (x +) f ist differenzierbar auf (, ) (, ). ( ) x ( x x + x + ( ) x / + x ) / x (x +) x 4 f (x) ((tan(x)) ) +(tan(x)) 4 tan(x)(+(tan(x)) ) +(tan(x)) 4. Der Definitionsbereich von f ist D f R { π +kπ k Z} und f ist differenzierbar auf D f. Aufgabe H 74. Höhere Ableitungen Bestimmen Sie die n-te Ableitung folgender Funktionen. Seite 5

16 8. Gruppenübung Höhere Mathematik (a) f: ( b a,+ ) R: x ln(ax+b), wobei a R+, b R Hinweis: Verwenden Sie Induktion. (b) g: R {,} R: x (x 3x+) Hinweis: Schreiben Sie g(x) als Linearkombination von Kehrwerten linearer Terme und verwenden Sie dann (a). (c) h: R R: x x e 3x Hinweis: Verwenden Sie die Leibnizformel aus Aufgabe P66. (a) Wir wollen mit vollständiger Induktion zeigen, dass die folgende Gleichung gilt (ln(ax+b)) (n) ( )n (n )!a n (ax+b) n. IA Für n gilt (ln(ax+b)) a ax+b ( ) ( )!a (ax+b). IV Die n-te Ableitung von ln(ax+b) lasse sich in der oben genannten Form darstellen. IS Dann gilt für die n+-te Ableitung: ( ) ( ) n (n )!a n ( ) n (n )!a n( (ax+b) n) (ax+b) n ( ) n (n )!a n a ( n) (ax+b) n ( )n n!a n+ (ax+b) n+. (b) Wir haben g(x) (x 3x+) Jetzt von (a) erhält man Es folgt dass (g(x)) (n) x 3x+ (x )(x ) x x. ( ) (n) a ( )n n!a n+ ax+b (ax+b), n+ ( ) (n) ( )n n! x+b (x+b) n+. ( ) (n) ( ) (n) ( )n n! x x (x ) ( )n n! n+ (x ) n+. (c) Wir haben h(x) h (x)h (x), wobei h (x) x, h (x) e 3x und jetzt können wir die Leibnizformel verwenden: n ( ) n h (n) (x) h (x) (k) h (x) (n k). k k Seite 6

17 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Esgilt h (x) x, h (x), h (x) (k) füralle k 3; h (x) 3e 3x, h (x) 9e 3x, h (x) (3) 7e 3x. Wir wollen mitvollständiger Induktion zeigen, dassdie folgende Gleichung gilt h (x) (m) ( ) m 3 m e 3x. IA Siehe oben. IV Die m-te Ableitung von e 3x lasse sich in der oben genannten Form darstellen. IS Dann gilt für die m+-te Ableitung: ( ( ) m 3 m e 3x) ( ) m 3 m ( 3) e 3x ( ) m+ 3 m+ e 3x. Schließlich haben wir h (n) (x) k ( ) n h (x) (k) h (x) (n k) k x ( ) n 3 n e 3x +nx ( ) n 3 n e 3x +n(n ) ( ) n 3 n e 3x ( ) n 3 n ( 9x 6nx+n(n ) ) e 3x. Seite 7

18 also ist der ursprungliche Grenzwert e 3 e e. D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 75. Grenzwerte Berechnen( Sie folgende Grenzwerte. (a) lim x ln(x) ) x cos(x) (b) lim x + x sin(x) (c) lim ln(x) ln( x) x (d) lim x ( ) cos(x) x cos(x) ( (a) DerAusdruckistvonderForm.Esgilt lim x ln(x) ) x ln(x) lim x x (x )ln(x), jetzt von der Form. Die Regel von l Hospital zweimal angewandt liefert x ln(x) lim x (x )ln(x) lim x lim x x ln(x)+ x x x xln(x)+x lim x ln(x)++. (b) DerAusdruckistvonderForm.DieRegelvonl Hospitalzweimalangewandtliefert cos(x) lim x + x sin(x) lim x + sin(x) xsin(x)+x cos(x) cos(x) lim x + sin(x)+4xcos(x) x sin(x) +. (c) Der Ausdruck ist von der Form, so dasss man nicht unmittelbar die Regel von l Hospital anwenden kann. Man formt daher wie folgt um: ln(x)ln( x) ln( x), ln(x) was von der Form ist. Daher gilt ln( x) lim x ln(x) lim x x x(ln(x)) lim x(ln(x)) x x (ln(x)) +ln(x) lim x (d) Der Ausdruck ist von der Form, so dasss man nicht unmittelbar die Regel von l Hospital anwenden kann. Man formt daher wie folgt um: ( ) ( ) cos(x) cos(x) x lim x elim x ln cos(x). x cos(x) Jetzt kann man die Regel von l Hospital verwenden (Form ): lim x ( ) cos(x) x ln lim cos(x) ln(cos(x)) ln(cos(x)) x x ( cos(x) sin(x) + x lim x sin(x) + sin(x) cos(x) cos(x) x lim cos(x) sin(x) x. x ) + 3

19 9. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 76. Differentiation von Umkehrfunktionen Gegeben seien die Funktionen f: R + R: x x x+ und g: [,+ ) R: x x 3 3x. (a) Zeigen Sie, dass g streng monoton steigend ist. Was sagt das über die Existenz einer Umkehrfunktion? (b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g (y) an der Stelle y. (c) Bestimmen Sie den Wertebereich W : f(r + ) und skizzieren Sie den Graphen von f. (d) Berechnen Sie die Umkehrfunktion f : W R +. (e) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion f wie in Satz.3.. (f) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion f direkt. (a) Die Ableitung von g ist g (x) 3x 6x 3x(x ) >, x (,+ ). Da g auf dem Intervall stetig und streng monoton steigend (siehe Satz.4.8) ist, ist g umkehrbar. (b) Der Funktionswert y ergibt sich für x 3, damit ist die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle g(3) d dy g (y) y g(x ) g (x ) 9. (c) Es gilt f (x) (x+) >, x (,+ ). Da f auf R + stetig und streng monoton steigend ist, ist f umkehrbar. Weiterhin gilt lim f(x) und lim x + f(x). x + Wegen der Stetigkeit nimmt f also alle Werte aus dem Intervall W (,) an. (d) Aus der Gleichung y x x+ y+ folgt x, also gilt y f (y) y +, y (,). y (e) Die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle y f(x ) ist d dy f (y) y f(x ) f (x ) (x +) ( ) y + y + (f) Die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle y ist (direkt) d dy f (y) y d y + dy y y ( )(y +) ( y ) ( y ). ( y ). Aufgabe H 77. Mittelwertsatz Gegeben sei die Funktion f: R + R: x x. (a) Bestimmen Sie eine Zwischenstelle ξ (,4) so, dass f (ξ) f(4) f() ist.

20 9. Gruppenübung Höhere Mathematik (b) Begründen Sie mit dem Mittelwertsatz die Ungleichungen x (x ) < x < (x ) für x >. Skizzieren Sie die Graphen der drei beteiligten Funktionen. (a) Die Funktion f ist stetig auf dem Intervall [, 4] und in (, 4) differenzierbar. Mit dem Mittelwertsatz folgt, dass ein ξ (,4) existiert, so dass f (ξ) f(4) f() gilt. 4 Einsetzen der Ableitung der Funktion f und der Funktionswerte liefert die Gleichheit ; es folgt also ξ 9. ξ 3 4 (b) Wir betrachten die Funktion f auf dem Intervall [, x]; mit dem Mittelwertsatz folgt, dass ein ξ (,x) existiert, so dass f (ξ) f(x) f() gilt. Da ξ im Intervall (, x) x liegt, folgt < x <. Einsetzen von ξ f (ξ) in diese Ungleichungen liefert x x < x <. Durchmultiplizieren mit (x ) > liefert nun x (x ) < x < (x ) für x >. Aufgabe H 78. Taylorpolynom und Restglied Gegeben sind die Funktionen f: R {} R: x x und g: R R: x sin(x). (a) Bestimmen Sie T 5 (f,x,) und R 5 (f,x,). (b) Bestimmen Sie T 4 (g,x, π 4 ) und R 4(g,x, π 4 ). (c) Schätzen Sie den Fehler ( ( 3 ) T f f, 3 ), mit Hilfe des Restglieds nach oben ab und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem tatsächlichen Fehler. (a) Um das Taylorpolynom 5. Stufe samt Restglied angeben zu können, brauchen wir die ersten sechs Ableitungen von f: f (x) x, f () (x) x 3, f (3) (x) 6x 4 f (4) (x) 4!x 5, f (5) (x) 5!x 6, f (6) (x) 6!x 7 Da das Taylorpolynom um den Punkt entwickelt wird, setzt man in die Funktion und in die ersten fünf Ableitungen x ein: f(), f (), f () (), f (3) () 3!, f (4) () 4!, f (5) () 5! Damit erhält man das Taylorpolynom und das Restglied: T 5 (f,x,) (x )+(x ) (x ) 3 +(x ) 4 (x ) 5 R 5 (f,x,) (+ϑ x, (x )) 7 (x ) 6

21 9. Gruppenübung Höhere Mathematik (b) Für die Funktion g werden nur die ersten fünf Ableitungen benötigt: g (x) cos(x), g () (x) 4sin(x), g (3) (x) 8cos(x) g (4) (x) 6sin(x), g (5) (x) 3cos(x) Nun setzt man in die Funktion und in die ersten vier Ableitungen x π ein: 4 g( π 4 ), g ( π 4 ) g(3) ( π 4 ), g() ( π 4 ) 4, g(4) ( π 4 ) 6 Damit erhält man das Taylorpolynom und das Restglied: T 4 (g,x, π 4 ) (x π 4 ) + 3 (x π 4 )4 R 4 (g,x, π 4 ) 4 5 cos ( π +ϑ x, π 4 (x π 4 ) ) (x π 4 )5. (c) Es gilt T (f,x,) (x )+(x ), also T (f, 3,) (3 )+(3 ) 3 4 und damit ( ( 3 f ) T f, 3 ), Andererseits R (f, 3 ( ) 4,) +ϑ3,(3 ) ( 3 )3 (ϑ3, +) < 4 8.

22 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 79. Integration Berechnen Sie folgende Integrale. (a) e x cos(x) d x (c) (b) arcsin(x) d x (d) π π x cos(x) d x x cos(x ) d x (a) Partielle Integration liefert e x cos(x) d x [e x cos(x)] + e x sin(x) d x [e x cos(x) + e x sin(x)] 4 e x cos(x) d x, es folgt dass e x cos(x) d x [ ] 5 ex (cos(x) + sin(x)) (b) Partielle Integration und dann Substitution x t, d t x liefern d x x [ arcsin(x) d x [x arcsin(x)] + d x x arcsin(x) + ] x. x (c) Zweimal partielle Integration verwenden: π (d) Substitution x t, d t d x π x cos(x) d x [ x sin(x) ] π π x sin(x) d x gilt. π π sin(π) + [x cos(x)] π cos(x) d x π cos(π) [ sin(x)] π π. x liefert x cos(x ) d x π x cos(t) d t [sin(t)]π sin(π ). Aufgabe H 8. Integration Berechnen Sie folgende Integrale. (a) (b) / 3 x arctan(x) d x (sin(x)) 3 (cos(x)) d x Hinweis: Siehe Aufgabe H7(a). (c) (d) e e ln (ln(x)) x d x ln(ln(x)) + ln(x) d x Seite

23 . Gruppenübung Höhere Mathematik (a) Partielle Integration liefert / 3 [ x x arctan(x) d x arctan x (b) Mit Aufgabe H7(a) gilt ] / 3 6 arctan(/ 3) π 36 / 3 d x + / 3 / 3 / 3 x + x d x + x + x d x + x d x π 36 + [ x + arctan x]/ 3 π π 6 π 9 3. (sin(x)) 3 (cos(x)) 7 6 sin(x) 5 6 sin(3x) sin(5x) 6 sin(7x), also lässt sich der Integral einfach berechnen als 7 (sin(x)) 3 (cos(x)) d x 6 sin(x) 5 6 sin(3x) sin(5x) 6 sin(7x) d x [ 7 6 cos(x) cos(3x) 3 8 cos(5x) + ] cos(7x). (c) Partielle Integration liefert e e ln (ln(x)) x d x [ln(x) ln(ln(x))] e e e e x d x ln(e ) ln(ln(e )) ln(e) ln(ln(e)) [ln(x)] e e ( ) 4 ln() + ln. e (d) Partielle Integration für den ersten Term liefert ln(ln(x)) + d x [x ln(ln(x))] ln(x) [x ln(ln(x))]. ln(x) d x + ln(x) d x Aufgabe H 8. Gegeben sei die Funktion Kurvendiskussion f : R R: x e x (x 3). Führen Sie eine Kurvendiskussion für f durch im Sinne von.8. (.) Definitionsbereich und Wertebereich: schon da. (.) Symmetrien: Wir erhalten f( x) e x (x 3). Die Funktion f ist weder gerade noch ungerade, weil f( x) f(x) und f( x) f(x), deshalb ist die Kurve nicht symmetrisch. Seite 3

24 . Gruppenübung Höhere Mathematik (3.) Stetigkeit: als Produkt zweier stetiger Funktionen, ist f auch stetig auf R. (4.) Nullstellen: f(x) e x (x 3) x 3 x {± 3}. (5.-6.) Differenzierbarkeit: als Produkt zweier differenzierbarer Funktionen, ist f auch differenzierbar auf R. Ableitung, Extremalstelle, zugehörige Funktionswerte: f (x) e x (x 3) + xe x e x (x + x 3) f (x) e x (x + x 3) x + x 3 x 3,4 { 3, } f( 3) 6, f() e e3 Es gilt f (x) <, für x ( 3, ), und f (x) <, für x (, 3) (, + ), also x 3 3 ist ein lokales Maximum und x 4 ist ein lokales Minimum. (7.-8.) Zweite Ableitung und Wendepunkte: f (x) e x (x + x 3) + e x (x + ) e x (x + 4x ) f (x) x + 4x x 5,6 { ± 5} f (x) < x ( 5, + 5) f (x) > x (, 5) ( + 5, + ) Die Wendepunkte heißen ( 5, f( 5)) und ( + 5, f( + 5)). (9.) Verhalten an den Rändern, andere Funktionswerte: lim f(x), lim x f(x) + x + f() 3, f( 5) ( )e 5, f( 5) (6 4 5)e + 5 (.) Skizze: Seite 4

25 . Gruppenübung Höhere Mathematik x x Aufgabe H 8. Taylorreihe Gegeben seien die Funktionen g : R R: x x 3 3x + 3x und f : R R: x cos(x). (a) Berechnen Sie die Taylorreihe T (g, x, ). (b) Berechnen Sie die Taylorreihe T (g, x, ). Weisen Sie die Übereinstimmung von T (g, x, ) und g(x) für x R nach. (c) Berechnen Sie die Taylorreihe T (f, x, ). Weisen Sie mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange die Übereinstimmung von T (f, x, ) und f(x) für x R nach. (d) Bestimmen Sie eine Stammfunktion für f als Potenzreihe mit Hilfe von (c). (a) Es gilt g (x) 3x 6x + 3, g (x) 6x 6, g (3) (x) 6, g(k)(x) für k 4. Also gilt g(), g () 3, g () 6, g (3) () 6, g(k)() für k 4 und T (g, x, ) + 3! x + 6! x + 6 3! x3 + 3x 3x + x 3. (b) Es gilt g(), g (), g (), g (3) () 6, g(k)() für k 4 und T (g, x, ) 6 3! (x )3 (x ) 3. Seite 5

26 . Gruppenübung Höhere Mathematik (c) Induktiv zeigt man, dass für alle n N gilt f(n)(x) ( ) n n cos(x) f(n + )(x) ( ) n+ n+ sin(x). Daher gilt f(n)() ( ) n n und f(n + )(). Die Koeffizienten der Taylorreihen haben also die Form { ( ) k/ k a k falls k gerade k! falls k ungerade Die Taylorreihe lässt sich kompakter schreiben als T (f, x, ) ( ) n (x) n. (n)! n Alternativ : einsetzen von x in die Reihe für den Cosinus liefert das gleiche Ergebnis. (d) Gliedweise Integration liefert eine Stammfunktion für f als Potenzreihe n ( ) n n x n+ (n + )!. Seite 6

27 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 83. Partialbruchzerlegung Berechnen Sie die folgenden Integrale. x 4 + (a) x 3 x dx x 3x+ (b) dx x(x+) (c) (d) 3x+5 x(x +x+) dx e x cosh(x) dx 3 Hinweis: Substitution. (a) Polynomdivision und Nennerzerlegung ergeben x 4 + x 3 x x+ x + x 3 x x+ x + x(x )(x+). Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet also und wir erhalten x + x(x )(x+) A x + B x + C x+, x + A(x )+B(x +x)+c(x x) und daraus A, B C 3. Das ergibt x 4 + x 3 x dx [ x (b) Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet und wir erhalten x + 3 x+ dx x x + 3 ln( x )+ 3 ln( x )+ 3 ] ln( x+ ). x 3x+ x(x+) A x + B x+ + C (x+), x 3x+ A(x +x+)+b(x +x)+cx und daraus A, B, C 6. Das ergibt x 3x+ dx x(x+) x x+ 6 (x+) dx [ ln( x ) ln( x+ )+ 6 x+ ].

28 Aufgabe H 84. Ober- und Untersumme Sei f: R R: t (t+).. Gruppenübung Höhere Mathematik (c) Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet und wir erhalten 3x+5 x(x +x+) A x + Bx+C x +x+ + Dx+F (x +x+) 3x+5 A(x 4 +4x 3 +8x +8x+4)+Bx 4 +(B+C)x 3 +(B+C)x +Cx+Dx +Fx. Das ergibt A 5,B 4 5,C 4 5,D 5,F. Daraus ergibt sich 3x+5 5 x(x +x+) dx 4 x 5 4 x+ x +x+ 5x+4 (x +x+) dx [ 5 4 ln( x ) 5 8 ln(x +x+)+ 5 ] 4x +x+ 5 4 x +x+ dx+ (x +x+) dx. Nach der Formel aus gilt (x +x+) dx x +x+ dx+ x+ (x +x+). Das ergibt 3x+5 x(x +x+) dx [ 5 4 ln( x ) 5 ] x+6 8 ln(x +x+) arctan(x+)+. 4(x +x+) (d) Substitution e x t, e x dt liefert dx e x cosh(x) dx 3 8 (t +) 3 dt. Nach der Formel aus gelten dt [arctan(t)] t + (t +) dt [ ] t + dt+ t (t +) (t +) dt 3 [ ] 3 4 (t +) dt+ t 4(t +) [ 3 8 arctan(t)+ 3 t 8t + + t 4(t +) [ arctan(t)+ t ] t + ]. Es folgt ] [3arctan(e e x cosh(x) dx x )+ 3ex 3 e x + + e x. (e x +)

29 Aufgabe H 85. Integrale und Flächeninhalte Sei f: R R: x +x. Sei g: R {} R: x x+.. Gruppenübung Höhere Mathematik (a) Sei x >. Berechnen Sie mittels Ober- und Untersummen x f(t)dt. Wählen Sie dabei die Partitionen so, dass der Abstand zwischen zwei benachbarten Teilungspunkten immer gleich ist. Hinweis: Siehe Lineare Algebra,..4. (b) Sei P {,,,3}. Bestätigen Sie durch direkte Rechnung, dass S(f,P) 3 f(t)dt S(f,P) ist. Finden Sie eine Partition Q {,a,b,3} derart, dass S(f,Q) > S(f,P) ist. (a) Wir wählen die Partition { x, x,, kx,, n x}. Damit gilt n n n n n ( ) x k S(f,P n ) n f n x n ( x k +x k ) n n x n + x3 n 3 k k ( ) x3 x (n )n ((n )n(n ))+ +x 3 6n x3 6 n n ( 3n + n ( )+x n n ( ) x k + n f n x ( x k n ) n k +x n x3 3 +x +x ) x3 S(f,P n ) +x k n x n + k k ( ) x3 x n(n+) (n(n+)(n+))+ +x 6n3 n (+ x3 3n 6 + n ( )+x + ) n n 3 k + x n n n k +x n x3 3 +x +x Da die Grenzwerte der Ober- und Untersumme übereinstimmen, gilt k k + x n x k + x n n k n k + x n k f(t)dt x 3 3 +x +x. Wir haben also eine Stammfunktion von f(t) berechnet. (b) Im a-teil wurden die allgemeinen Formeln für Ober- und Untersumme bestimmt. Mit der Partition P {,,,3} gilt nun n 3 und x 3. Einsetzen liefert S(f,P) 7 ( + ) ( +9 ) S(f,P) 7 ( ++ ) ( +9 + ) Mögliche Partitionen mit Untersumme größer als S(f, P) sind: (i) Q {, 3, 9 4,3}, mit S(f,Q ) (ii) Q {,.3,.,3}, mit S(f,Q ) (iii) Die bestmögliche Partition ist jedoch (mit Näherungswerten für a und b) Q best {,.853,.9,3} mit S(f,Q best ) n k

30 . Gruppenübung Höhere Mathematik (a) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, von den Geraden x und x und von der x-achse eingeschlossen wird. Hinweis: Die Substitution x sinh(t) ist hilfreich. (b) Zeigen Sie, dass ln(x+ x +) eine Stammfunktion von (x +) / ist. Weisen Sie arsinh(x) ln(x+ x +) für x R nach. Berechnen Sie lim arsinh(x) ln(x). x + (c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g auf [,+ ) und der Geraden x eingeschlossen wird. Fertigen Sie eine Skizze an. (a) Es ist +x dx zu bestimmen. Wir integrieren zuerst unbestimmt. Die Substitution x sinh(t), dx dt cosh(t) liefert +x dx cosh (t)dt. Mit partieller Integration, u cosh(t) und v cosh(t), erhält man cosh (t)dt sinh (t)dt+[sinh(t)cosh(t)]. Mit Hilfe der Identität sinh (t) cosh (t) folgt cosh (t)dt [t]+ [sinh(t)cosh(t)]. Rücksubstitution und die Identität cosh(arsinh(x)) x + ergibt +x dx cosh (t)dt [arsinh(x)]+ [xcosh(arsinh(x))] [ arsinh(x)+x ] x +. Somit gilt +x dx [ arsinh(x)+x ] x + ( arsinh()+ ) 5 arsinh()+ 5. (b) Es ist d ( ln(x+ ) x dx +) x+ x + ( + ) x x + x +. Damit ist ln(x+ x +) eine Stammfunktion von (x +) /. Es gilt nach Beispiel.3.3 und nach Satz.4.6 gilt dann d dx (arsinh(x)) +x arsinh(x) ln ( x+ ) x + +c

31 . Gruppenübung Höhere Mathematik für eine Konstante c R. Setzt man in diese Identität x ein, so folgt ( c ln + ) + +c arsinh() und damit ist arsinh(x) ln ( x+ x + ) bewiesen. Damit gilt ( lim arsinh(x) ln(x) lim ln x + x + x+ ) ( ) x + lim x ln + + x ln(). x + (c) Es gilt ( ) x+ x x ++ > +x ( +x ) 4x für x R+ und mit Lineare Algebra.5.7 gilt g(x) > f(x) für x R +. Daher wollen wir bestimmen, was der roten Fläche in der Skizze entspricht. + g(x) f(x)dx g f Es gilt + + g(x) f(x)dx x+ x +x dx [ lim x +ln(x) arsinh(x) x ] β x + β + ( lim (β β ) ( )) +β lim arsinh(β) ln(β) β + β + ( ( ) ( ) 4 +ln arsinh ) 5. 4

32 . Gruppenübung Höhere Mathematik Weiterhin ist lim β(β β(β +β +β ) lim )(β + +β ) β + β + β + +β β(β (+β )) lim β + β + +β lim β lim. β β + β β + +β Gesamt erhalten wir ( + g(x) f(x)dx ln() ( ) ( ) 4 ln +arsinh + ) 5 4 ( ( ) ) 5 3 (ln()+ln(/))+arsinh 4 ( ) 8 ln 5 +. Aufgabe H 86. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren und berechnen Sie gegebenenfalls deren Werte. + (a) x(ln(x)) dx arctan(x) (c) dx +x (b) x x 4 + dx (d) (a) Die Substitution ln(x) t, dt liefert x dx Daher konvergiert 3 π/3 x(lnx) dx t dt (b) Substitution x t, x dt liefert dx x x 4 + dx cot(x)+tan(x) x dx [ ] [ ]. t ln x [ dx lim ] x(lnx) a + ln(x) a lim ( a + ln( ) + ln(a) ) ln() + lim a + ln(a) ln(). t + dt [ ] [ ] arctan(t) arctan(x ).

33 . Gruppenübung Höhere Mathematik Daher gilt [ ] x dx lim x 4 + a arctan(x ) a lim a arctan(a ) π π 4, also konvergiert das Integral gegen π 4. (c) Substitution arctan(x) t, dt liefert +x dx [ ] arctanx t +x dx tdt Damit gilt + 3 [ ] a arctanx dx lim +x a + (arctan(x)) 3 [ ] (arctan(x)). lim a + ((arctan(a)) π 9 ) (π 4 π 9 ) 5π 7, also konvergiert das Integral gegen 5π. 7 (d) Es gilt cot(x)+tan(x) ] [ln( sin(x) ) ln( cos(x) ) ln( x ) x dx. Daher konvergiert π/3 cot(x)+tan(x) [ ] π/3 dx lim ln( sin(x) ) ln( cos(x) ) ln( x ) x a + a 3 ln( ) ln( ) ln(π ) lim 3 (ln(sin(a)) ln(a)) a + ( ln( 3 3 ) lim π ln(sin(a) 3 ) 3 ) ln. a + a π

34 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 87. Konvergenz Untersuchen Sie auf Konvergenz: e x + cos(x) (a) dx (b) dx (c) x 6 +x exp(x ) (a) Wir definieren + g: R R: x x. ( ( )) tan dx (d) x Wir wollen nun das Grenzwertkriterium anwenden. Es gilt Da e x x 6 +x Aber es ist lim x + e x x 6 +x g(x) lim x + e x x 5 +. ( ( )) tan n n7 und g(x) auf dem Intervall (,] positiv und stetig sind, hat nach Satz 3.7. (b) Wir teilen das Integral auf in cos(x) exp(x ) e x dx dasselbe Konvergenzverhalten wie x 6 +x dx lim x β + [ln x ] β. Damit divergiert auch + symmetrisch ist, genügt es cos(x) exp(x ) dx + x dx. e x x 6 +x dx. + cos(x) exp(x ) dx+ cos(x) dx. Da exp(x ) cos(x) dx auf Konvergenz zu untersuchen. exp(x ) Da cos(x) nicht überall positiv ist und wir das Grenzwertkriterium anwenden wollen, exp(x ) betrachten wir cos(x) exp(x ),daausabsoluterkonvergenzinsbesonderekonvergenzfolgt. Wir definieren g: R R: x exp(x). Wir wollen nun das Grenzwertkriterium anwenden. Es gilt lim x + cos(x) exp(x ) g(x) lim x + da lim x + x x gilt. Da cos(x) exp(x ) stetig sind, hat nach Satz cos(x) exp(x x) lim x + exp(x x), und g(x) auf dem Intervall [,+ ) positiv und + cos(x) exp(x ) dx dasselbe Konvergenzverhalten wie exp(x) dx. Seite 34

35 . Gruppenübung Höhere Mathematik Nach Beispiel 3.7. konvergiert damit + cos(x) exp(x ) dx und damit + + dx, womit auch exp(x) cos(x) dx konvergiert. exp(x ) + cos(x) exp(x ) dx und (c) Wir wollen das Grenzwertkriterium verwenden. Es ist tan ( ( x) > und ) x > für x und beide Funktionen sind stetig auf [,+ ). Es gilt nach..5 ( tan(/x) Somit haben tan(/x) lim x + (/x) + ( tan nach konvergiert lim x + ( )) dx und x + x dx. /x + ) lim z + ( ) tan(z). z dx das gleiche Konergenzverhalten und x (d) Da tan(x) monoton steigend ist auf dem Intervall (, ], ist tan(/x) monoton fallend auf [,+ ) und demnach ist (tan(/x)) auch monoton fallend auf [,+ ). Mit ( ( )) dem Aufgabenteil (c) und Satz 3.8. konvergiert dann auch tan und n n ( ( )) damit auch tan. n n7 Aufgabe H 88. Potenzreihen (a) Berechnen Sie den Konvergenzradius ρ und die ersten zwei Ableitungen von ( ) k f: ( ρ,ρ) R: x x+ k(k ) xk (b) Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f. (c) Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f. (d) Finden Sie eine geschlossene Darstellung für k ( ) k+ ( ) Berechnen Sie k +. k (a) Es gilt x+ k3 ( ) k k(k ) xk k3 ( ) k+ k + xk+. für j a j x j mit a j ( ) j für j 6, j gerade j(j ) sonst j Zur Berechnung des Konvergenzradius genügt es die Reihe ab j 6 zu betrachten. Wir bestimmen den größten Häufungspunkt als Grenzwert der konvergenten Teilfolge der geraden Folgenglieder (der zweite Häufungspunkt ist offensichtlich ). Es gilt j lim j ( )j j(j ) lim j j lim j j j, j Seite 35.

36 . Gruppenübung Höhere Mathematik also konvergiert die Reihe für x. Summandenweises Ableiten ergibt f ( ) k (x) + k xk, k3 f (x) ( ) k x k ( ) j+ x j. k3 (b) Innerhalb des Konvergenzbereichs gilt x <, daher handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe und es gilt f (x) j j ( x ) j ( x ) + x +x + x. (c) Integrieren ergibt [f (x)] +x + x dx [ arctan(x)+x 3 ] x3. Einsetzen des Arguments liefert f (x) arctan(x)+x 3 x3 +. Wir integrieren zuerst arctan(x) mittels partieller Integration. Es ist arctan(x)dx arctan(x)dx [xarctan(x)] x +x dx [ xarctan(x) ] ln(+x ). Damit bestimmen wir f durch Integration von f. Es folgt [ [f(x)] xarctan(x)+ ln(+x )+ x ] x4 +x. Einsetzen des Arguments liefert (d) In Teil (c) wurde f(x) xarctan(x)+ ln(+x )+ x x4 +x. + gezeigt. Es ist also k3 j ( ) k k xk + j +x 3 x3 + ( ) j+ j + xj+ j +x 3 x3 arctan(x) ( ) j+ j + xj+ arctan(x). ( ) j+ j + xj+ Seite 36

37 . Gruppenübung Höhere Mathematik ( ) Da die geschlossene Form aus(d) lediglich innerhalb des Konvergenzkreises gilt, können wir nicht einfach den Wert einsetzen. Wir gehen wie in Beispiel.6.3 vor. Wir wollen Satz.6.7 auf g: [,] R: x arctan(x) anwenden. Nach.6.9 ist ( ) j+ j + xj+ die Taylorreihe von g um den Entwicklungspunkt. Wir wollen j lim R n(g,x,) für alle x [,] zeigen. Dazu zeigen wir n + arctan (n) (x) ( ) n (n )! sin(narccot(x)) ( +x ) n für n durch vollständige Induktion. Dazu brauchen wir die Identitäten sin(arccot(x)) +x und cos(arccot(x)) x +x. IA n : (arctan(x)) +x sin(arccot(x)). +x +x +x IS n n+: Mit der Induktionsvoraussetzung und (arccot(x)) +x gilt ( arctan (n+) (x) ( ) n (n )! sin(narccot(x)) ( +x ) n ( ) n (n )! cos(narccot(x))( n)(+x ) n sin(narccot(x))nx(+x ) n (+x ) n ( ) n n! cos(narccot(x))+sin(narccot(x))x ( +x ) n+. Weiterhin gilt mit den Additionstheoremen des Sinus und obigen Identitäten sin((n + ) arccot(x)) sin(n arccot(x)) cos(arccot(x)) + cos(n arccot(x)) sin(arccot(x)) cos(narccot(x))+sin(narccot(x))x. +x Somit gilt arctan (n+) (x) ( ) n n! sin((n+)arccot(x)) ( +x ) n+ und die Behauptung ist bewiesen. Damit gilt für das Restglied R n (g,x,) g (n+) (ϑ n x) x n+ (n+)! n+ x n+ +ϑ n x mit einem ϑ n [,]. Für x [,] ist +ϑ nx und damit +ϑ nx und somit x. +ϑ n x Somit ist R n (g,x,) und es folgt lim n+ R n(g,x,). Daher gilt n + ( ) j+ j + xj+ arctan(x) auch auf dem abgeschlossenen Intervall [,]. j Einsetzen von ergibt j ( ) j+ j + arctan() π 4. Seite 37 )

38 . Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 89. Modell: Parabolische Quadrik als Funktionsgraph Für α,β R betrachten wir f β α: R R: (x,y) αy βx. Für k R sei N k (α,β) die Niveaumenge von f β α zum Niveau k. Das in der Präsenzübung benutzte Modell stellt einen Ausschnitt des Funktionsgraphen der Funktion f dar. Dargestellt ist der Bereich x,y. Sie finden das Modell auch unter: (a) ZeichnenSiefür (α,β) {(, 3),(,)} jeweils 5 nichtleereniveaumengen N k (α,β) mit k [,]. (b) Wie hängt die Gestalt des Graphen der Funktion f β α vom Paar (α,β) ab? (c) Bestimmen Sie alle Gestalten, die die Niveaumengen N k (α,β) annehmen können, und geben Sie zu jeder Gestalt ein dazu passendes Tripel (k,α,β) als Beispiel an. (a) Für (α,β) (, 3) ist f 3 (x,y) y +3x. Daher sind Niveaumengen zu k < leer. Zu k ist die Niveaumenge der Nullpunkt. In der folgenden Skizze sind die Niveaumengen zu k {.5,,.5,,.5,3} zu sehen Für (α,β) (,) ist f (x,y) y x. In der folgenden Skizze sind die Niveaumengen zu k {,,,,} zu sehen. Seite 38

39 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b) DerGraphderFunktion f β α kannalsquadrikmitdergleichung βx αy +z oder βx αx +x 3 aufgefasst werden, wobei entweder α oder β nicht verschwinden. Für den speziellen Fall α β hat der Graph die Gestalt einer Ebene. Sind beide Koeffizienten ungleich so muss man bzgl. der Gestalt zwischen den jeweiligen Vorzeichenkonstellationen unterscheiden. Haben α und β dasselbe Vorzeichen so ist die Gestalt ein hyperbolisches Paraboloid. Haben beide unterschiedliche Vorzeichen so ist die Gestalt ein elliptisches Paraboloid. Damit bleibt nun der Fall, dass nur einer der beiden Koeffizienten verschwindet und in diesem ergibt sich die Gestalt als parabolischer Zylinder. (c) Die Bedingungen für Niveaumengen liefern Quadrikgleichungen im Definitionsbereich. Aus Symmetriegründen geben die Fälle α,β < und >, sowie α <,β > und α >,β < jeweils die gleichen Formen für die Niveaus. Mit Hilfe der Klassifikation der ebenen Quadriken muss man jeweils die Fälle k <,k und k > betrachten. Für α,β > ergeben sich damit die Formen einer Hyperbel für k und die Form eines schneidenden Geradenpaars für k. Für α > und β < ergibt sich die leere Menge für k <, ein Punkt für k und eine Ellipse für k >. Nun gibt es aber noch die Fälle in denen je einer der Koeffizienten verschwindet oder sogar beide. Falls α β ist, so ist das -Niveau die ganze reelle Ebene und alle anderen Niveaus leer. Ist hingegen nur z.b. β und α >, so ist für k < das Niveau leer, für k eine Doppelgerade und für k > ein paralleles Geradenpaar. Damit sind bis auf die Parabel alle möglichen ebenen Quadriken vorgekommen plus in einem speziellen Fall die ganze reelle Ebene. Anmerkung: Quadriken ohne quadratischen Anteil sind in der Linearen Algebra nicht erfasst. Aufgabe H 9. Stetigkeit und Folgen Gegeben sei die Funktion 3x 4 (x ) f: R für (x R: (x,x ) x 8 +(x ),x ) (,) für (x,x ) (,). Seite 39

40 . Gruppenübung Höhere Mathematik 3x 4 (a) Stellen Sie Zähler und Nenner von (x ) in Multiindex-Notation im Sinne x 8 +(x ) von 4.. dar. Geben Sie jeweils die nichtverschwindenden Koeffizienten an. (b) Finden Sie eine Folge (a n ) n N mit lim a n (,) sowie lim f(a n ). n n (c) Gibt es eine Folge (b n ) n N mit lim b n (,) und lim f(b n )? n n (d) Ist f im Punkt (, ) stetig? (a) Für den Zähler ist g: R R: (x,x ) 3x 4 (x ) 3x 4 x 3x 4 α J a α x α, wobei die Menge J {(4,),(4,)} von Multi-Indizes verwendet wird. Die zugehörigen Koeffizienten sind a (4,) 3 und a (4,) 3. Für den Nenner ist h: R R: (x,x ) x 8 +(x ) x 8 +x x + α J a α x α, wobei die Menge J {(8,),(,),(,),(,)} von Multi-Indizes verwendet wird. Die zugehörigen Koeffizienten sind a (8,), a (,). a (,) und a (,). (b) FürdieFolge (a n ) n N mit a n (,+ n) gilt lim n a n (,) sowie lim n f(a n ). (c) Für die Folge (b n ) n N mit b n ( n,+ n 4 ) gilt lim n b n (,) und lim f(b 3 (+ ) n n) lim 4 n 4 n n +(+ ) lim n 8 n 4 n 3 n 8 n 8 3. Anmerkung: Man kann auch eine Folge (c n ) n N finden, sodass lim c n (,) gilt n und lim f(c n ) divergiert. n (d) WirhabeninAufagbenteil(c)eineFolge (b n ) n N mit lim b n (,) und lim f(b n ) n n f(,) gefunden. Daher ist die Funktion wegen 4..7 nicht stetig im Punkt (,). Seite 4

41 D. Garmatter, J. Hörner L. Iancu, N.M. Mach 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 5 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 9. Ableitungen Bestimmen Sie im Punkt P jeweils den Gradienten f(p), die Hessematrix Hf(P) und die Ableitung in Richtung v. (a) f(x,y,z) z e x y, P (,,3), v 6 (,,) (b) f(x,y,z) ln (a) Es ist ( ) exp((x+y) ) (z+) f(x,y,z) e x y ( v f)(,,3) e 5, P (,,), v xz yz z 6, f(,,3) e 5 6 e 5. ( 7, 7, ) Als Hessematrix ergibt sich z +4x z 4xyz 4xz Hf(x,y,z) e x y 4xyz z +4y z 4yz 4xz 4yz und damit Hf(,,3) e ( ) (b) Wir vereinfachen die Funktion. Es ist ln exp((x+y) ) ln(exp((x+y) )) ln((z + (z+) ) ) x +xy +y ln(z +). Damit gilt f(x,y,z) ( v f)(,,) Als Hessematrix ergibt sich und damit x+y x+y z +., f(,,) Hf(x,y,z) 7 7 (z+) Hf(,,)..,,

42 3. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 9. Existenz lokaler Extremstellen (a) Fertigen Sie jeweils eine Skizze der Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung von für c {,,} an. f c : R R: (x,y) x y(x +y +c cy 4) (b) Begründen Sie mit Hilfe der Skizze und Satz 4..8, dass f mindestens 4 lokale Extremstellen hat. (a) Die Funktion f c ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Es ist f c (x,y) x y(x +(y c) 4) Die Nullstellenmenge besteht also aus der x-achse, der y-achse und dem Kreis um (,c) mit Radius. Es findet immer ein Vorzeichenwechsel statt mit Ausnahme der y-achse (Doppelgerade bzw. doppelte Nullstelle ). y y c c x + + x Skizzen: c y x (b) Der Kreis, die x-achse und die y-achse definieren vier voneinander getrennte kompakte Mengen. Nach Satz 4..8 muss auf jeder dieser Mengen das Maximum und Minimum angenommen werden. Der Rand gehört aber jeweils zur Nullstellenmenge also muss im Inneren jeweils noch ein Extremum liegen (je nach Vorzeichen ein Maximum bei + oder ein Minimum bei - ) da die Funktion offensichtlich nicht konstant ist. Aufgabe H 93. Interpolation