Numerische Methoden 4. Übungsblatt

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1 Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 0 Institut für Analysis Prof. Dr. Michael Plum Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel Numerische Methoden 4. Übungsblatt Aufgabe 9: QR-Verfahren (Bearbeitung bis Do,.05.) Schreiben Sie in Pseudo-Code oder Matlab ein Programm zur Realisierung des QR- Verfahrens zu einer Matrix A R n n. Gehen Sie hierbei folgermaÿen vor: a) Denieren Sie die maximale Anzahl an Interationen maxiter= 00 und eine Fehlertoleranz TOL = 0 6. b) Führen Sie die QR-Iteration der Matrix so lange durch, bis maxiter überschritten wird oder alle Unterdiagonaleinträge der aktuellen Iterierten A k betragsweise kleiner als TOL sind. Verwen Sie hierzu die Matlab-Funktion qr und geben Sie die Anzahl der benötigten Iterationen aus, um die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens zu überprüfen. c) Geben Sie die approximierten Eigenwerte aus. Bei Gelegenheit können Sie Ihr Programm anhand der Matrizen 7 + i 5i 5i + i A = 0i 8 i 5 i 5 + i 5 + 4i 4 + 5i + 5i 6 9i i i i.0 +.0i.0.0i A = i i i i i i 0.0.0i i 4i 4 + i 6 i i mit Eigenwerten + 5i,,, + i bzw. i, i, 6, 6.0 testen. Wie viele Iterationen wären nötig, um im zweiten Fall die Fehlertoleranz zu unterbieten? Welche Beobachtung ergibt sich hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit? Lösung: Programm: siehe Matlab-Datei QReigenvalues.m. Beim ersten Zahlenbeispiel ergeben sich 9 Iterationen, währ beim zweiten Beispiel

2 964 Iterationen notwig sind, um die Fehlertoleranz einzuhalten. Der Grund hierfür ist die Abhängigkeit der Konvergenzgeschwindigkeit von λ λ für die betragsgröÿten -bzw. zweitgröÿten Eigenwerte λ, λ der Matrix. Dieser Quotient beträgt im ersten Beispiel 0.588, währ im zweiten Beispiel der Zahlenwert lautet. Aufgabe 7: QR-Zerlegung (Bearbeitung bis Do,.05.) Der in der Übung besprochene naive Algorithmus zur QR-Zerlegung benötigt O(n 4 ) Elementaroperationen +,,, /. Finden Sie einen Algorithmus mit O(n ) Elementaroperationen, indem Sie die spezielle Struktur der Householder-Matrizen H w = I ww H für w C n, w = verwen. Lösung: Aufwandsberechnung zum untenstehen Algorithmus: (Wurzelziehen wird als Elementaroperation gewertet.) Berechnung der Spaltennorm: (n j) + Belegung der Diagonalen: Berechnung des Householder-Vektors: n j Neue Matrix A erstellen: (n j + ) ((n j) + (n j)) Neue Matrix Q erstellen: n ((n j) + (n j)) Wir erhalten als Rechenaufwand n ( ) (n j) n j + 5(n j + )(n j) + 5n(n j) j= = n ( (8 + 5n)(n j) (n j) ) j= = 9 n + (8 + 5n) n (n j) + 5 j= n n = 9n + (8 + 5n) j + 5 j= (n )n = 9n + (8 + 5n) = n (5 6 n n j= j n (n j) j= (n )n(n ) ) 5 6 n

3 [n,m] = size(a); Q = eye(n); d = zeros(n,); for j=:n %Berechnung der Spaltennorm von v=a(j:,j) s = 0; for i=j:n; s = s + A(i,j)*A(i,j); s = sqrt(s); % Die Diagonale der neuen Matrix d(j) = - sign(a(j,j))*s; %Der Householder-Vektor wird berechnet und unterhalb %der Diagonalen gespeichert nor = sqrt(*s*(s+abs(a(j,j)))); A(j,j) = A(j,j)-d(j); for k=j:n A(k,j) = A(k,j)/nor; % Neue Matrix A erstellen for i=j+:n s=0; for k=j:n s=s+ A(k,j)*A(k,i); for k=j:n (k,i)=a(k,i)-*a(k,j)*s; % Neue Matrix Q erstellen for i=:n s = 0; for k=j:n s = s + Q(i,k)*A(k,j); for k=j:n Q(i,k) = Q(i,k)-*s*A(k,j); for j=:n for i=:n for j=:i- R(i,j)=0; R(i,i)=d(i); for j=i+:n R(i,j)=A(i,j);

4 Aufgabe 8: Simplex-Algorithmus (Bearbeitung bis Do,4.06.) Lösen Sie mit Hilfe des Simplex-Algorithmus die folgen Optimierungsprobleme: a) Maximiere 7x + 9x + 8x + 7x 4 unter den Nebenbedingungen x + 4x + 5x + 7x 4 4 x + x + x + x 4 7 x + x + x + x 4 4 x 0,..., x 4 0 b) Maximiere 8 + x + x + x + x 4 unter den Nebenbedingungen x + x + x x 4 8 x + x 4 4 x + x + x 4 x, x 0, x, x 4 Bringen Sie hierzu die jeweiligen Probleme zunächst auf Standardform. Verwen Sie die Tableau-Schreibweise. Lösung: a) Anfangstableau: x x x Da 8 > 7; 9; 7 ist die Pivot-Spalte die dritte Spalte und 4 < 7 ; 4 5 liefert als Pivot-Element a =. Durch Zeilenumformungen und Austausch der Basiselemente (x 7 [.Zeile] gegen x [.Spalte]) erhält man

5 x 5 x 6 x Da nur in der ersten Spalte ein negatives Element in der Zielfunktionszeile zu nden ist, wird nach Pivotelementen in der ersten Spalte gesucht. Wegen <, 8 lautet das Pivot-Element a =. Durch Zeilenumformungen und Austausch der Basiselemente (x 6 [.Zeile] gegen x [.Spalte]) ergibt sich x x x Alle Koezienten der Zielfunktionszeile sind positiv und der Algorithmus ist zu Ende. Wir erhalten anhand der Werte aus der rechten Spalte des Tableaus 7x + 9x + 8x + 7x 4 = = 47 Der Maximierer ist durch den Vektor (, 0, 7, 0) mit Zielfunktionswert 47 gegeben. b) Zunächst ergibt die Substitution das äquivalente Problem y = x y = x y = x y 4 = x 4 + Maximiere + y + y y + y 4 unter den Nebenbedingungen y + y y y 4 y + y 4 y y + y 4 4 y 0,..., y 4 0. Durch Umschreiben der Ungleichungen erhalten wir das folge äquivalente Problem in Standardform Maximiere + y + y y + y 4 unter den Nebenbedingungen y + y y y 4 y y 4 y y + y 4 4 y 0,..., y 4 0.

6 Anfangstableau: y y y Pivotelement ist a = und Zeilenumformungen sowie Austausch der Basiselemente y 5 y liefert y y y Pivotelement ist a 4 = und Zeilenumformungen sowie Austausch der Basiselemente y 7 y 4 liefert y y y Alle Koezienten der dritten Spalte sind negativ, d.h. es existiert kein Maximum. Dem Tableau kann man entnehmen, dass der Vektor y(t) = (y (t),..., y 7 (t)) = (0, 4 + 8t, t, 6 + t, 0, + t, 0) für alle t 0 zulässig ist und es gilt (vgl. letzte Zeile des letzten Tableaus) y (t) + y (t) y (t) + y 4 (t) = 4 6y (t) + 6y (t) 7y 5 (t) 5y 7 (t) = t t.