Übungen zu Numerische Methoden I. Achte Übungseinheit 2., 3. und 4. Juni Interpolation in Tabellen. Inhalt der achten Übungseinheit:

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Kristina Kraus
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1 Übungen zu Numerische Methoden I Achte Übungseinheit 2., 3. und 4. Juni 2008 Inhalt der achten Übungseinheit: Interpolation in Tabellen Symbolische und numerische Integration Eigenwertaufgaben 7. Interpolation in Tabellen Häufig sind Werte einer Funktion tabellarisch gegeben, wie im folgenden Beispiel: T cp Spezifische Wärmekapazität von kohlenstoffarmem Stahl in J/kg K für Temperaturen zwischen 0 und 600C Gesucht sind Funktionswerte zwischen den Stützstellen der Tabelle. In der Vorlesung wurde Lagrange-, Neville- und Newton-Interpolation behandelt. Im Skriptum sind für diesen Datensatz Beispiele durchgerechnet. Aufgabe 56 Interpolation: Lagrange Schreiben Sie das kubische Lagrange-Interpolationspolynom für die obigen Daten der spezifischen Wärmekapazitäten von C an und implementieren Sie es als function.m- Datei. Das Polynom ist direkt in der Lagrange-Form zu implementieren. Es soll nicht auf die Standardform a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 umgeformt werden (Grund: rechnerisch umständlich und fehleranfällig, ungünstig in Hinsicht auf Rundungsfehler). Stellen Sie Datenpunkte und Interpolationspolynom graphisch dar. Aufgabe 57 Interpolation: Newton Erstellen Sie das kubische Interpolationspolynom nach Newton für die obige Tabelle der spezifischen Wärmekapazitäten, im Bereich C. Die Koeffizienten sollen Sie händisch ausrechnen, das Polynom implementieren Sie dann in der Newtonschen Form als function-m-datei (nicht auf die Standardform a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 umrechnen!) Stellen Sie Datenpunkte und Interpolationspolynom graphisch dar. Zur Rechengeschwindigkeit: Wie viele Multiplikationen braucht eine Polynomauswertung in der Standardform a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3? Wie viele Multiplikationen braucht Ihre Implementierung? Vergleichen Sie dazu folgende Schreibweise des Newtonschen Polynoms: es erlaubt die rechengünstigste Auswertung eines Interpolationspolynoms. cp = ( ( e-7*(T-500))*(T-400))*(T-300);

2 7.2 Integration Integration von Tabellenwerten Wenn zu einer Funktion nur diskrete Datenpunkte vorliegen, kann daraus ihr Integral näherungsweise mit verschiedenen numerischen Quadraturformeln berechnet werden. Aufgabe 58 Integral der spezifischen Wärmekapazität Zur vorigen Aufgabe waren Tabellenwerte der spezifische Wärmekapazität von kohlenstoffarmem Stahl gegeben. Das Integral der spezifischen Wärmekapazität ist die Enthalpie. Berechnen Sie für die gegebenen Daten das Integral von T = 0 bis T = 600 mit der Simpson-Regel (3 Stützstellen T = 0,300,600) mit der 3/8-Regel (4 Stützstellen T = 0, 200, 400, 600) mit der zusammengesetzten Trapezregel (h = 00) mit der zusammengesetzten Simpson-Regel (h = 00) Hinweis: In MATLAB lässt sich die Multiplikation von Funktionswerten mit Gewichtsfaktoren elegant als Skalarprodukt zweier Vektorenschreiben. Am Beispiel der 3/8-Regel: b=600; a=0; f= [ ]; w=[ 3 3 ]/8; int38=(b a) f w Numerische Integration in MATLAB Wenn eine Funktion nicht in geschlossener Form integrierbar ist, oder der Rechenausdruck zu kompliziert wird, ist numerische Integration (auch: numerische Quadratur) möglich. Der MATLAB-Befehl q = quad(fun,a,b) berechnet das Integral von f in den Grenzen von a nach b mit einer adaptiven Simpson-Regel. Dabei kann f inline gegeben sein, >> q=quad(./ x,,2) q = >> Achtung, punktweise Vektor-Rechenoperationen.\,.^ usw. verwenden oder als Funktions-Henkel, genauso wie beim Aufruf von fzero(). Aufgabe 59 Berechnen Sie numerisch e x dx π/4 x 2 dx 0 cos(φ) cos(π/4) dφ 2

3 Wie gross sind jeweils die Fehler? Das erste Integral hat den Wert Das zweite Beispiel ist ein uneigentliches Integral, es berechnet die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels, sein Wert ist ; MATLAB gibt eine Warnung, liefert aber eine passable Näherung. Beim dritten Integral rechnen Sie bitte selber nach und prüfen das Ergebnis. 7.3 Eigenwerte und Eigenvektoren MATLAB-Befehle: d = eig(a) liefert Vektor von Eigenwerten [V,D] = eig(a) Spalten von V sind Eigenvektoren, Diagonalelemente von D sind Eigenwerte. Aufgabe 60 Vektoriteration Was passiert, wenn man einen Vektor wieder und wieder mit derselben Matrix multipliziert? Testen Sie für den Vektor x = (,0,0) T und die Matrix A 2 A = Wenn man den Befehl x = A*x zehnmal iteriert, werden die Zahlen in x schon recht groß. Dividieren Sie nun zusätzlich in jedem Schritt den Vektor x nach der Multiplikation mit A durch seine erste Komponente. Das ändert nicht die Richtung von x, hält aber die Zahlenwerte der Komponenten in übersichtlichen Grenzen. Sie können das in der Form >> y=a*x; x = y/y() im Workspace durchspielen. Was beobachten Sie? Zu welchem Wert konvergiert y? Iterieren Sie nun, beginnend mit dem Startvektor x = (,0,0) T, >> y=a\x; x = /y() *y Zu welchem Wert konvergiert /y? Berechnen Sie auch mit MATLAB-Befehlen Eigenwert und Eigenvektoren. Was haben Ihre Ergebnisse mit den Eigenwerten und -vektoren von A zu tun? Aufgabe 6 QR-Iteration zur Eigenwert-Berechnung Gegeben sei eine quadratische Matrix A. Die QR-Zerlegung faktorisiert A in das Produkt A = Q R. Wenn man nun die Faktoren in umgekehrter Reihenfolge ausmultipliziert, erhält man eine neue quadratische Matrix A neu = R Q. Iteration nach Art eines Fixpunkt- Verfahrens sieht in MATLAB so aus: % QR-Iteration eps=.e-5 for i=:500 [Q R]=qr(A); Aneu=R*Q; 3

4 end if(norm(a-aneu)<eps) break; end A = Aneu; Dieses Verfahrens (mit Tricks zur Konvergenzbeschleunigung) ist ein Standardverfahren zur Eigenwertberechnung. Verwenden sie als Beispielmatrix A=hilb(4) und iterieren Sie. Ebenso für weitere Beispielmatrizen gallery( lehmer,5) und full(gallery( poisson,3)) Zu welcher Art von Matrix konvergiert das Verfahren jedesmal? Sehen Sie einen Zusammenhang mit den jeweiligen Eigenwerten der Matrizen? Aufgabe 62 Nullstellen der Determinante Gegeben sei die quadratische Matrix A, A = Implementieren Sie eine Funktion, welche für gegebenes x die Determinante det(a xi) berechnet. Berechnen Sie diese Funktion mit verschiedenen Werten für x zwischen 0 und 4 und zeichnen Sie einen Graphen. Finden Sie aus der graphischen Darstellung oder mittels fzero() Werte von x, für die det(a xi) möglichst genau 0 wird. Zur Kontrolle: für x = 0 ist det(a xi) = 6, für x = ist det(a xi) = 0. Es gibt noch vier weitere Werte 0 < x < 4, wo det(a xi) gleich null wird. Was haben diese Werte mit den Eigenwerten von A zu tun? Aufgabe 63 Anwendungen: Hauptachsentransformation, stabiler Zustand a) Der Spannungstensor in einem Material sei (in willkürlichen Einheiten) p = In welche Richtungen zeigen die Hauptachsen des Spannungstensors? Wie lautet der auf Diagonalgestalt transformierte Tensor? b) Eigenwerte in der Soziologie: Soziologen interessieren die Verschiebungen zwischen gesellschaftlichen Schichten von einer Generation zur nächsten. Nehmen wir als einfaches Beispiel an, es gäbe drei Berufsschichten: Leitende Position (L), Mittelklasse (M) und Hilfsarbeiter (H). Die folgende Tabelle faßt Datenmaterial aus den späten Vierzigerjahren in England und Wales zusammen. L M H L 0,448 0,054 0,0 M 0,484 0,699 0,503 H 0,068 0,247 0,486 natürlich kann so ein Beispiel nur aus dem klassenbewussten England kommen! 4

5 Dabei bedeutet der Wert in Zeile i und Spalte j dieser Matrix den Anteil an Kindern von Personen mit Beruf in Klasse j, die einen Beruf der Klasse i ergreifen (zum Beispiel arbeitet sich ein Anteil von 0,503 der Kinder von Hilfsarbeitern zu Mittelklasse-Beschäftigten hoch). Sofern sich diese Verhältnisse nicht ändern, strebt der Anteil von Personen in den einzelnen Schichten im Laufe einiger Generationen einem stabilen Verhältnis zu. Der betragsgrößte Eigenwert dieser Matrix ist, und ein zugehöriger Eigenvektor gibt einen stabilen Zustand an. Das bedeutet, wenn die Anzahl von Personen in den drei beruflichen Schichten im selben Verhältnis steht wie die Komponenten eines Eigenvektors, dann ändert sich dieses Verhältnis nicht von einer Generation zur nächsten. Berechnen Sie dieses Verhältnis! Aufgabe 64 Anwendung: Schwingungsgleichung Die Eigenschwingungsformen und zugehörigen Frequenzen einer schwingenden Saite lassen sich näherungsweise aus dem Eigenwertproblem Ax = λx bestimmen. Man denkt sich die Saite dazu in n Einzelmassen, wie Perlen auf einer Schnur, zerlegt. Für grosse n nähert sich die Perlenschnur einer kontinuierlichen Massenverteilung an. Die n n Matrix A ist nach dem Muster der Matrix in Aufgabe 62 aufgebaut: A = Hat die Saite die Länge l und Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c, dann ist die Eigenschwingungsfrequenz ν(in Hz) bestimmt durch ν = n + c λ 2π l Dem kleinsten Eigenwert von A entspricht die Frequenz der Grundschwingung, die weiteren Eigenwerte entsprechen den Obertönen. Erstellen Sie für n = 5,0,20 die Matrix A, setzen Sie der Einfachheit halber c/l = und berechnen Sie die Frequenzen der Grundschwingung und der ersten drei Oberschwingungen. Zeichnen Sie die entsprechenden Eigenvektoren; sie geben die Schwingungsformen an. Die Folie 20 der 9. Vorlesung beschreibt ein ähnliches Eigenwertproblem (Schwingungen der frei hängenden Kette).. 5

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