Strukturmechanische Schwingungen mit der Finiten Elemente Methode

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1 Strukturmechanische Schwingungen mit der Finiten Elemente Methode Unterlagen für die Durchführung des Praktikumsversuches 1. Schritt: Datenfiles mit Definition der Gitterelemente einlesen Datenfiles: Rechteck_4.asc RechteckPi_200.asc RechteckPi_1054.asc Kreis_13.asc Kreis_201.asc Violine_65.asc Violine_508.asc TrommelA_321.asc TrommelB_321.asc (Vergleich mit u.a. Matrixelementen) (Vergleich mit analytischem Spektrum) (Vergleich mit analytischem Spektrum) (Kann der Unterschied dieser beiden Trommeln gehört werden?) Die Zahl nach '_' steht für die Anzahl der Elemente N (Elemente) Die Definition der Gitter besteht aus und den Positionen der Stützstellen ( Stütz ) ( Elemente) Index der Stützstelle Index des Elements { } Matrix tri i, k = n, n N, i N, k 1..3 x n, y n, n N ( Stütz) Index der Stützstell im Element (In MatLab ist die Funktion fscanf zum Einlesen jeder der beiden Matrizen geeignet) Beispiel Rechteck_4: Graphische Darstellung des Gitters: November 2016

2 2 Wissenschaftliches Rechnen - Praktikum Inhalt der Datei Rechteck_4.asc: Tri X-Y Die Anzahl der Stützstellen N (Stütz) ergibt sich als maximales Element in tri. Weitere DatenFiles

3 Kurt Bräuer: 7. Strukturmechanische Schwingungen mit der Finiten Elemente Methode November 2016

4 4 Wissenschaftliches Rechnen - Praktikum 2. Schritt: Graphische Darstellung der Gitter entsprechend den obigen Darstellungen (eventuell mit GnuPlot: 'Plot(filename) with lines (oder linesp)', 1 Leerzeile zwischen den einzelnen Elementen!) (In MatLab eignet sich die Funktion fill. Mit ihr können alle Elemente mit einem einzigen Aufruf gezeichnet werden). 3. Schritt: Berechnung der Matrizen Die Matrizen werden teilweise recht groß und sind sehr dünn besetzt. Daher sind 'sparse' Matrizen dringend zu empfehlen! Die folgenden Zahlenbeispiele beziehen sich auf die Daten von Rechteck_4.asc Zu berechnen sind Volumen g der Elemente entsprechend (50): { (,2 ) ( (,1))}{ ( (,3)) ( (,1))} { x( tri( i,3 )) x( tri( i,1 ))}{ y( tri( i,2 )) y( tri( i,1) )} g i = x tri i x tri i y tri i y tri i ( Elemente) i N Massenmatrix D entsprechend (33) g 1 0 g( 1) 0 0 g( 1) 1 D= g( 2) Matrizen der Basiskoeffizienten A entsprechend (15)

5 Kurt Bräuer: 7. Strukturmechanische Schwingungen mit der Finiten Elemente Methode 5 ( ),1 (,2 ) ( (,3)) ( ) ( ) x tri i x tri i x tri i mit X =y tri i,1 y tri i,2 y tri i, ist A = X i N i i Elemente Die Inverse kann für 3 3-Matrizen leicht mit Hilfe Unterdeterminanten berechnet werden: i j ( ) X det( X), mit und ij X = aij aji = Xij = det X ( Zeile i und Spalte j gestrichen) Auf ist ein kleines MatLab-Programm zu finden, das halt noch in die verwendete Computersprache übersetzt werden muss. Steifheitsmatrizen K nach (33) mit K i N ( 1) ( i ) a11a11 + a12a12 a11a21 + a12a22 a11a31 + a12a32 = a21a11 + a22a12 a21a21 + a22a22 a21a31 + a22a32 ( i ) a31a11 + a32a12 a31a21 + a32a22 a31a31 + a32a32 ( Elemente) 1 g K 0 ( 2) 1 g( 2) K ist K = 2 0 g( 3) K Transformation auf eindeutige Stützstellen nach(36) ( 1) ( ) δntri, ( i, k) Ergebnisse für die Daten aus Rechteck_4.asc: tri = ( Elemente) ( Elemente) ( N ) { } T n,3 i 1 + k =, i N, k 1..3 X = Y = T = (3,1) 1 (4,2) 1 (5,3) 1 (5,4) 1 (1,5) 1 (2,6) 1 (3,7) 1 (5,8) 1 (2,9) 1 (5,10) 1 (4,11) 1 (1,12) 1 A = D = (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) (8,8) (9,9) (10,10) (11,11) (12,12) November 2016

6 6 Wissenschaftliches Rechnen - Praktikum K = (1,1) (2,1) (3,1) (1,2) (2,2) (3,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,4) (5,4) (6,4) (4,5) (5,5) (6,5) (4,6) (5,6) (6,6) (7,7) (8,7) (9,7) (7,8) (8,8) (9,8) (7,9) (8,9) (9,9) (10,10) (11,10) (12,10) (10,11) (11,11) (12,11) (10,12) (11,12) (12,12) TDT' = (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) TKT' = (1,1) (2,1) (4,1) (5,1) (1,2) (2,2) (3,2) (5,2) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (1,4) (3,4) (4,4) (5,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) Schritt 4: Lösen des Eigenwertproblems Zu lösen ist das Eigenwertproblem nach (37): t t mit Kɶ = TKT und Dɶ = TDT KU ɶɶ = λdu ɶɶ Es sollten dabei, wenn möglich, nur wenige Eigenvektoren und Eigenwerte um λ= 0 berechnet werden! Es können die Routinen TRED2 TQLI aus den 'numerical recipes' verwendet werden (siehe NumRes.zip ohne Link auf der HomePage) Achtung! Manche Eigenproblem-Routinen (Jacobi-Methode) lösen nur Ax= λx für symmetrische Matrizen A. Man schreibt das Eigenwertproblem jedoch leicht um: t t t L Kɶ ( L)LU ɶ = λlu ɶ ɶ ii ( ii) t L: LL = Dɶ, hier also L = D ( ii) ( ii ) L : L L= 1, hier also L = L damit: Kɶ Uɶ Uɶ Zum Test eignet sich RechteckPi_1054 oder RechteckPi_200 Die Eigenwerte können analytisch angegeben werden:

7 Kurt Bräuer: 7. Strukturmechanische Schwingungen mit der Finiten Elemente Methode 7 = Eigenfunktionen: u x, y cos mx cos ny umn umn Randwerte: = = 0 x 0, oder 0, x y Eigenwerte λ : mn mn u x u = ( m + n ) u y 2 2 mn mn 2 2 { π} y { π} ( m: n) ( 0:0) ( 0:1) ( 1:0) ( 1:1) ( 2:0) ( 0:2) ( 1:2) ( 2:1) ( 2:2) ( 3:0) ( 0:3) λ mn mn Schritt 5: Graphische Darstellung der Eigenfunktionen Die Basisfunktionen stellt man am einfachsten über den finiten Elementen dar. (,, l ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x Koordinaten: X = x tri i,1, x tri i,2, x tri i,3 y-koordinaten: Y = y tri i,1, y tri i,2, y tri i,3 Amplituden. A =,1,,2,,3 l Uɶ l tri i Uɶ l tri i Uɶ l tri i und je nach Prammiersprache zum Beispiel fill X Y A i N i i i Elemente ( ɶ l ) oder gleich fill x tri ', y tri ', U tri ', oder mit GnuPlot: für einige Eigenfunktionen Uɶ, splot( filename)... 2 Leerzeilen zwischen den Elementen! Graphische Darstellung der 9 Eigenfunktionen von TrommelA_321 mit den kleinsten Eigenwerten: l November 2016

8 8 Wissenschaftliches Rechnen - Praktikum Abbildung: Eigenmoden des Verschiebungsfeldes u für den Datensatz 'TrommelA_319'. Die Amplitude u(x,y) ist farbkodiert dargestellt entsprechend dem jeweiligen Farbbalken. λ sind die jeweiligen Eigenwerte. Schritt 6: Kann man die Form einer Trommel hören Vergleichen Sie die Eigenspektren von TrommelA_321 und TrommelB_321 und entscheiden Sie dann die Frage. Schritt 7: Protokoll Das Protokoll sollte folgendes enthalten: 1. Einleitung (Kurze Beschreibung des physikalischen Problems) 2. Theorie (Kurze Beschreibung des Formalismus) 3. Kurze Programmbeschreibung 4. Nachweis der richtigen Programmfunktion (Graphischer Vergleich mit analytischen Eigenwerten) 5. Ergebnisse - Graphische Darstellung der Eigenmoden von Trommel A und Trommel B. - Graphischer Vergleich der Eigenwertspektren von Trommel A und Trommel B. Die graphischen Darstellungen sollen deutlich sein. Vor allem sollen sie mit gut lesbaren (großen) Buchstaben beschriftet sein (Figur, Achsen, eventuell einzelne Kurven). Beim 'Vergleich der Eigenwertspektren' sollen Sie sich eine Darstellung überlegen, welche die Unterschiede der beiden Trommeln klar zum Ausdruck bringt und eine Abschätzung erlaubt, ob diese Unterschiede im Bereich der Rechengenauigkeit liegen. Die Rechengenauigkeit lässt sich aus dem Vergleich der numerischen und analytischen Ergebnisse beim Rechteck abschätzen. 6. Zusammenfassung