Lineare Algebra, Prüfung mit Lösungen

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1 Lineare Algebra, Prüfung mit Lösungen M. Gruber.Januar, 8:{:, R. (), R. (), R. (); Codes IB8, IC8, IF8.

2 . ( Punkte) Gegeben sei das Gleichungssystem Ax = b mit A = a) Geben Sie eine Basis des Nullraums von A an. und b = : Eine Basis des Nullraums ist 8 >< >: ; 9 >= >; P. b) Geben Sie eine partikulare des Gleichungssystems an, deren erste und deren letzte Komponente gleich ist. x allgemein = + c + c ; mit c = =; c = gilt x partikular = = = : x partikular = = = P.

3 . ( Punnkte) Sei A = : Gesucht ist die LDU-Zerlegung von A, d.h. eine untere Dreiecksmatrix L, eine Diagonalmatrix D und eine oberen Dreiecksmatrix U mit A = LDU; auf den Diagonalen von L und U sollen nur Einsen stehen. A = 8 = 8 {z } {z } {z } L D U L = P. D = P. U = P.

4 . ( Punkte) Sei A eine Matrix. Ihr Nullraum N(A) habe die Basis linker Nullraum N(A T ) die Basis. a) Welche Dimension hat der Nullraum von A? (" # ; " #), ihr Der Nullraum von A hat eine Basis aus zwei Vektoren, hat also die Dimension zwei. b) Welche Dimension hat der Spaltenraum von A? dim N(A) = P. Die Vektoren der Nullraumbasis haben funf Komponenten, also hat A funf Spalten. Der Spaltenraum von A hat Dimension drei, namlich Spaltenzahl minus Nullraumdimension. c) Welche Dimension hat der Zeilenraum von A? Die Dimensionen von Spaltenraum und Zeilenraum sind gleich. d) Welche Dimension hat der linke Nullraum von A? dim C(A) = P. dim C(A T ) = P. Die Basis des linken Nullraums enthalt einen Vektor. Seine Dimension ist eins. e) Welchen Rang hat A? Rang, Spaltenraumdimension und Zeilenraumdimension sind gleich. dim N(A T ) = P. rank A = P.

5 . ( Punkte) Sei A die invertierbare Matrix : a) Geben Sie die Determinante von A an. det A = = P. b) Geben Sie die Spur von A an. trace A = P. c) Geben Sie die Eigenwerte ; ; von A an. ; ; = =; =; = P. d) Geben Sie den Grenzwert lim n! A n an. lim n! A n = P. e) Geben Sie die Determinante von A an. det A = P. f) Geben Sie die Spur von A an. trace A = P. g) Geben Sie die Eigenwerte ; ; von A an. ; ; = ; ; P.

6 . (9 Punkte) Die Vektoren a = ; b = ; c = sollen orthogonalisiert werden. Welche orthogonalen Vektoren A; B; C erhalt man mit Gram- Schmidt? (Normierung auf ist nicht verlangt.) A = ; B = ; C = A; B; C = ; ; 9 P.

7 h. ( Punkte) Sei P der Projektor auf die Gerade, die von a) Wie lautet P als Matrix? P = B(B T B) B T mit B = Da B T B = ist, ist P = (=)BB T = b) Welchen Rang hat P? h i. i erzeugt wird. P = Der Rang des Projektors ist die Dimension seines Bildraumes. P. rank P = P. c) P hat den Eigenwert. Geben Sie einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert an. Ein Eigenvektor zum Eigenwert ist P. d) P hat den Eigenwert. Geben Sie einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert an. Ein Eigenvektor zum Eigenwert ist P.

8 . ( Punkte) Gegeben sind die (t; y)-wertepaare ( ; ); ( ; ); (; ); (; ). Sie sollen nach der Methode der kleinsten Quadrate durch eine Gerade der Form t! a + bt gettet werden. Im Idealfall (losbares Gleichungssystem) erfullen die Koezienten a; b die Gleichung a = : b Die Gleichung hat aber keine. Ersatzweise losen wir a = b T T Wir erhalten als Komponenten der Naherungslosung a = ; b = =. a) Wie lauten a und b? : b) Wie gro ist die Summe der kleinsten Quadrate? a; b = ; = P. Die Summe der kleinsten Quadrate ist die Lange des Fehlervektors \rechte Seite minus Systemmatrix mal Naherungsvektor" zum Quadrat, also = = =: Summe der kleinsten Quadrate= = P. 8

9 8. ( Punkte) Hasenpopulation h(t) und Fuchspopulation f(t) eines Biotops entwickeln sich nach den Dierentialgleichungen d dt h = h d dt f = h f f a) Wie lauten die Eigenwerte der Systemmatrix? Die Systemmatrix ist =. Sie hat die Eigenwert (da sie singular ist) und = (den Wert ihrer Spur). b) Geben Sie zugehorige Eigenvektoren an. ; = ; = P. x ; x = = ; P. c) Sei h() = und f() h =. i Welches Gleichgewicht stellt sich ein, d.h. welcher Wert ergibt sich fur lim h(t) t!? f (t) Der Anfangswerte-Vektor h i hat die Eigenvektordarstellung [ ] = [ ]. Die sfunktion lautet daher = e t [ ]. Sie hat den Grenzwert [ ]. h(t) f(t) h i lim h(t) t! = f (t) P. 9