Determinanten. Kapitel Permutationen

Transkript

1 Kapitel 5 Determinanten 51 Permutationen Die Permutationen einer Menge M, d h die bijektiven Abbildungen von M auf M, bilden bekanntlich eine Gruppe S(M) Im Folgenden benötigen wir nur die Permutationen der Mengen n = {1,, n} (n N), d h die Elemente der symmetrischen Gruppen S n = S(n) 511 Definition Eine n n Matrix aus K n n, bei der in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine 1 und sonst nur Nullen stehen, heißt Permutationsmatrix über K 512 Satz (Gruppe der Permutationsmatrizen) Die n n Permutationsmatrizen über einem Körper K bilden eine Untergruppe P(n, K) der Gruppe O(n, K) der orthogonalen Matrizen, und P(n, K) ist isomorph zur Gruppe S n vermöge P : S n P(n, K), σ P σ = (δ i,σ(j) ) Die Multiplikation einer Matrix A K n n mit der Permutationsmatrix P σ von rechts (bzw mit P σ T von links) bewirkt die entsprechende Permutation der Spalten (bzw Zeilen) von A 513 Folgerungen Für jede Permutation σ S n gilt: (1) P σ e j = e σ(j) (j te Spalte von P σ ), (2) A P σ = (a 1,, a n )P σ = (a σ(1),, a σ(n) ) und P σ T B = P σ T (3) P σ T = P 1 σ = P σ 1 b 1 b n = 514 Definition Die Permutation von n, die i mit j vertauscht (i j), heißt Transposition und wird mit τ ij bezeichnet P τij ist also die Transpositionsmatrix T ij aus Abschnitt Satz (Produktdarstellung durch Transpositionen) (1) Jede Permutationsmatrix kann durch maximal n 1 elementare Umformungen vom Typ (3) (Transpositionen) in die Einheitsmatrix transformiert werden (2) Die Permutation(smatriz)en sind genau die Produkte von Transposition(smatriz)en Die Menge T n der Transpositionen erzeugt also die symmetrische Gruppe S n (3) Ist id n ein Produkt von k Transpositionen, so ist k gerade b σ(1) b σ(n), 58

2 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Definition Eine Permutation σ heißt gerade oder ungerade, je nachdem ob σ das Produkt einer geraden oder ungeraden Anzahl von Transpositionen ist Das Signum oder die Signatur von σ wird definiert durch { 1, falls σ gerade sign (σ) := 1, falls σ ungerade 517 Bemerkungen (1) Jede Transposition ist selbstinvers und ungerade (2) Die Anzahl der Transpositionen in einer Produktdarstellung einer Permutation σ ist nicht eindeutig durch σ bestimmt, aber sie ist aufgrund von 515 (3) für festes σ immer gerade oder immer ungerade 518 Satz und Definition (Produktivität des Signums, alternierende Gruppe) Für je zwei Permutationen σ, τ S n gilt: sign (σ τ) = sign σ sign τ Die Abbildung sign : S n { 1, 1} ist also ein Gruppen Homomorphismus Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe von S n, die sogenannte alternierende Gruppe A n 519 Beispiel Für n=3 ist die symmetrische Gruppe S n die disjunkte Vereinigung der Menge A n aller geraden Permutationen und der Menge T n aller Transpositionen Im Gegensatz zu A n ist aber T n keine Untergruppe! A 3 {}}{ (1, 2, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) T 3 {}}{ (2, 1, 3) (3, 2, 1) (1, 3, 2) Für n > 3 gibt es keine solche Zerlegung, obwohl stets A n T n = Ø gilt Zum Beispiel ist die Permutation (2, 3, 4, 1) weder gerade noch eine Transposition 5110 Definition Eine Permutation σ S n heißt zyklisch oder ein Zykel der Länge k, falls es paarweise verschiedene Zahlen j 1,, j k n gibt, so dass σ(j m ) = j m+1 für m < k, σ(j k ) = j 1, und σ(i) = i sonst Dieses σ wird notiert als (j 1 j k ) (nicht zu verwechseln mit Permutationen (j 1,, j k ) S k ) 5111 Satz Jede Permutation besitzt eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung als Produkt elementfremder Zykel Stellt man das kleinste Element jedes Zykels an den Anfang und ordnet die Zykel nach Größe der Anfangselemente, so ist die Darstellung sogar völlig eindeutig Ist σ Produkt von insgesamt m Zykeln der Längen k 1,, k m, so gilt sign (σ) = ( 1) (k 1 1)++(k m 1) 5112 Beispiel σ =(2, 3, 5, 6, 1, 4, 8, 7, 9) = (1235)(46)(78)(9), sign (σ) = ( 1) = 1

3 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Multilineare Abbildungen und Determinantenfunktionen In der Ebene R 2 hat man eine Flächenfunktion F, die jedem von u und v aus R 2 aufgespannten Parallelogramm die orientierte Fläche F (u, v) = u v sin (u, v) = u 1 v 2 u 2 v 1 zuordnet Sie hat folgende Eigenschaften: F ist linear in beiden Argumenten, insbesondere F (λu, v) = F (u, λv) = λ F (u, v) F (u, v) = F (u, u + v) = F (u + v, v) F (v, u) = F (u, v) F (u, v) 0 (u, v) ist eine geordnete Basis F (e 1, e 2 ) = 1 Analoge Eigenschaften hat die Volumenfunktion S im Raum R 3, die durch das Spatprodukt (das orientierte Volumen ) gegeben ist: S(u, v, w) = (u v) w = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 S ist linear in jedem Argument, d h bei zwei festgehaltenen Argumenten ist S eine lineare Funktion des dritten Arguments Die Addition eines Arguments zu einem anderen ändert den Wert von S nicht, Vertauschung zweier Argumente ändert das Vorzeichen Ferner gilt S(u, v, w) 0 genau dann, wenn (u, v, w) eine geordnete Basis ist, und es gilt S(e 1, e 2, e 3 )=1 Diese Spezialfälle motivieren die folgenden Begriffsbildungen und Überlegungen 521 Definition V und W seien Vektorräume über einem Körper K (z B W = K) Weiter sei n eine natürliche Zahl Für A = (a 1,, a n ) V n und b V bezeichne A j (b) das n-tupel, welches bei Ersetzen von a j durch b entsteht, also A j (b) j = b und A j (b) i = a i für i j Eine Abbildung F von V n nach W heißt multilinear (bzw bilinear im Fall n = 2), wenn F linear in jedem Argument ist, d h für alle j n, A V n, x, y V und λ K gilt: F (A j (x + y)) = F (A j (x)) + F (A j (y)), F (A j (λx)) = λ F (A j (x)) F heißt alternierend, falls F (A) = 0 für alle A = (a 1,, a n ) V n gilt, bei denen zwei der n Argumente a j gleich sind 522 Satz (Alternierende multilineare Abbildungen) Für eine multilineare Abbildung F : V n W betrachte man folgende Aussagen: (a) F (A) = 0, falls A = (a 1,, a n ) und Rang A := dim(ka Ka n ) < n (b) F ist alternierend (c) F ändert bei Vertauschung zweier Argumente das Vorzeichen (d) F (A σ) = sign (σ) F (A) für σ S n, A = (a 1,, a n ) V n und A σ = (a σ(1),, a σ(n) ) Allgemein gilt: (a) (b) = (c) (d) Falls nicht das Nullelement von K ist, sind alle vier Aussagen äquivalent

4 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Beispiele (1) Für n=1 sind die multilinearen Abbildungen nichts anderes als die linearen Abbildungen (2) Die Flächenfunktion des R 2 und das Spatprodukt des R 3 sind multilinear und alternierend (3) Das Skalarprodukt des K n oder K n ist bilinear; alternierend ist es nicht Wenn = 0, d h 1 = 1 in K gilt, so ist x y = y x = y x, also (c) in 522 erfüllt, obwohl das Wort Vorzeichenänderung hier bedeutungslos ist (4) Für jede Matrix A K n n ist die Abbildung S A : K n 2 K, (x, y) x T A y bilinear Sie ist genau dann alternierend, wenn A schiefsymmetrisch, d h A T = A ist (5) Das Vektorprodukt : R 3 2 R 3 ist bilinear und alternierend, aber keine Abbildung in den Grundkörper R 524 Definition Sei n eine natürliche Zahl, K ein Körper und V ein n-dimensionaler Vektorraum über K Eine Funktion D : V n K heißt Determinantenfunktion, falls (D1) Multiplikation eines der n Argumente mit λ K das λ-fache des Funktionswerts bewirkt: D(A j (λa j )) = λ D(A) für j n und λ K, (D2) bei Addition eines Arguments zu einem anderen der Funktionswert unverändert bleibt: D(A j (a i + a j )) = D(A) für i j 525 Satz (Charakterisierung der Determinantenfunktionen) Die Determinantenfunktionen D : V n K sind genau die multilinearen alternierenden Abbildungen von V n in den Körper K 526 Folgerungen (Regeln für Deteminantenfunktionen) V sei ein n-dimensionaler Vektorraum, D : V n K eine Determinantenfunktion und A V n (1) D(λA) = λ n D(A) für λ K (2) D(A j (λa i + a j )) = D(A) für i j und λ K (3) Rang A < n = D(A) = 0 (4) Gilt D(B) = 0 für eine geordnete Basis B von V n, so ist D bereits die Nullfunktion 527 Beispiele (1) Die Nullfunktion 0 : V n K ist stets eine Determinantenfunktion (2) Von der Nullfunktion verschiedene Determinantenfunktionen sind für n = 1 die Identität auf einem beliebigen Körper K für n = 2 die Flächenfunktion F : R 2 2 R für n = 3 die Volumenfunktion S : R 3 3 R Für n > 3 ist die Existenz von Determinantenfunktionen außer der Nullfunktion keineswegs offensichtlich! Wir beweisen sie in 5211

5 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Bemerkung Im Spezialfall des Standardraumes V = K n kann man die Determinantenfunktionen D : K n n K als Funktionen auf dem Matrizenraum K n n auffassen Unter Benutzung der Elementarmatrizen aus 43 lesen sich die beiden Bedingungen dann wie folgt: (D1) D(A D j (λ)) = λ D(A) für λ K: D(A) wird mit λ multipliziert, wenn man eine Spalte durch ihr λ-faches ersetzt, (D2) D(A E ij (1)) = D(A): D(A) bleibt unverändert, wenn man eine Spalte zu einer anderen addiert Statt der Umformung (D2) darf man sogar eine beliebiges skalares Vielfaches einer Spalte zu einer anderen addieren, ohne den Funktionswert zu verändern 529 Definition Eine Determinantenfunktion D : K n n K nennt man normiert, falls für die Einheitsmatrix E K n n gilt: D(E) = 1 Unser Ziel ist es zu zeigen, daß es zu jedem n N und jedem Körper K genau eine solche normierte Determinantenfunktion gibt Die nächste, grundlegende Definition geht auf Leibniz zurück 5210 Definition Für A = (α ij ) K n n heißt det A := n sign (σ) σ S n i=1 α σ(i),i die Determinante der Matrix A Damit hat man für jedes n N und jeden Körper K eine Funktion det n K = det : K n n K 5211 Satz (Hauptsatz über Determinantenfunktionen) Die folgenden Aussagen über eine Funktion D : K n n K sind äquivalent: (a) D ist eine normierte Determinantenfunktion (b) D ist multilinear, alternierend und normiert (additive Struktur) (c) D(AB) = D(A)D(B) und D(L) = λ 1 λ 2 λ n, falls L eine obere oder untere Dreiecksmatrix mit den Diagonalelementen λ,, λ n ist (multiplikative Struktur) (d) D = det n K Für jeden n-dimensionalen K-Vektorraum V bilden die Determinantenfunktionen D : V n K einen Vektorraum der Dimension 1 Speziell sind die Determinantenfunktionen D : K n n K genau die skalaren Vielfachen von det n K

6 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Folgerungen (Rechenregeln für Determinanten) (1) det ist (spalten )multilinear, insbesondere gilt: det(λa) = λ n det A (2) det verändert sich bei Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen nicht (3) det ändert das Vorzeichen bei Spaltenvertauschung (4) det(ab) = det A det B (5) det A 0 gilt genau dann, wenn A invertierbar ist In diesem Fall ist det(a 1 ) = (det A) 1 (6) det(a T ) = det A ( ) ( ) A B A O (7) det = det = det A det D O D C D für A K m m, B K m (n m), C K (n m) m, D K (n m) (n m) (Kästchenregel) λ 1 λ (8) det 0 = λ 1 λ 2 λ n = det λ n λ n (1), (2) und (3) gelten analog für Zeilen statt Spalten 5213 Lemma (Explizite Berechnung von Determinanten) (1) A = ( α 11 ) K 1 1 = det A = α 11 ( ) α11 α (2) A = 12 K 2 2 α 21 α 22 = det A = α 11 α 22 α 21 α 12 α 11 α 12 α 13 (3) A = α 21 α 22 α 23 K3 3 α 31 α 32 α 33 = det A = α 11 α 22 α 33 α 31 α 22 α 13 + α 21 α 32 α 13 α 11 α 32 α 23 + α 31 α 12 α 23 α 21 α 12 α Bemerkungen Die Regel (3) wird meist Regel von Sarrus (Franz, 19 Jh) genannt, stammt aber ursprünglich von Leibniz (17 Jh) Für n=4 hat man nach der Leibnizschen Formel bereits 4! = 24 Summanden zu berechnen Für n 4 verwendet man aufgrund der Vielzahl der auftretenden Summanden (n!) andere Methoden wie beispielsweise die Entwicklung nach Zeilen oder Spalten (siehe 537) 5215 Schreibweise statt det

7 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Beispiele (Anwendungen der Determinantentheorie) (1) Flächenberechnung: Ein von u und v in der Ebene R 2 aufgespanntes Parallelogramm hat die Fläche det(u, v) (2) Volumenberechnung: Ein Spat [u, v, w] im Raum R 3 hat das Volumen det(u, v, w) (3) Orientierung: Drei Vektoren u, v, w R 3 bilden genau dann ein Rechtssystem (Linkssystem), wenn det(u, v, w) > 0 (det(u, v, w) < 0) ist u, v, w liegen genau dann in einer Ebene durch 0 (sind linear abhängig), wenn det(u, v, w) = 0 ist (4) Explizite Lösung linearer Gleichungssysteme: Siehe 532 (5) Interpolation: Bei n verschiedenen Stützstellen λ 1,, λ n K und vorgegebenen Funktionswerten α 1,, α n existiert genau ein Interpolationspolynom p höchstens (n 1) ten Grades mit p(λ j ) = α j für jedes j n, da die sogenannte Vandermonde Determinante 0 λ 1 n 1 λ 1 λ n 0 λ n n 1 = (λ j λ i ) i<j nicht verschwindet Explizit ist das Interpolationspolynom nach Lagrange gegeben durch n x λ i p(x) = α j λ j λ i j=1 i n\{j} Durch die Isomorphismen zwischen Matrizenringen und Endomorphismenringen (siehe 4219) läßt sich der Begriff der Determinanten von Matrizen auf Endomorphismen übertragen 5217 Satz und Definition (Determinanten von Endomorphismen) Zu jedem K-Vektorraum V endlicher Dimension n N gibt es genau eine Abbildung det V : End K V K mit folgenden Eigenschaften: (1) det V (F ) = det MB B (F ) für jede geordnete Basis B von V (2) det V (F G) = det V (F ) det V (G) (3) det V (id V ) = 1 (4) det V (F 1 ) = det V (F ) 1 für F GL K (V ) Man nennt det V (F ) die Determinante von F 5218 Satz Jede orthogonale Matrix hat die Determinante 1 oder 1 Insbesondere hat jede Drehung die Determinante 1, hingegen jede Spiegelung an einer Ebene und jede Drehspiegelung die Determinante Folgerung Die Hintereinanderausführung zweier Drehungen, Ebenenspiegelungen oder Drehspiegelungen liefert stets eine Drehung

8 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Unterdeterminanten Zur Berechnung von Determinanten und zur expliziten Lösung linearer Gleichungssysteme benutzt man häufig sogenannte Unterdeterminanten, die durch Streichen gewisser Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix entstehen Eine frühere Notation, übersetzt in die Sprache der Matrizen, ist jetzt wieder nützlich: 531 Definition Für A K n n und b K n entsteht die Matrix A j (b) aus A, indem die j te Spalte durch b ersetzt wird 532 Satz (Cramersche Regel) Für A K n n und b, x = (x 1,, x n ) T K n gilt: Ax = b = j n ( x j det A = det A j (b)) Ist A invertierbar, d h det A 0, so ist die eindeutige Lösung von Ax = b gegeben durch x j = det A j(b) det A (j n) 533 Definition Für A K n n sei A ij K (n 1) (n 1) diejenige Matrix, die aus A durch Streichen der i ten Zeile und j ten Spalte entsteht det A ij heißt (n 1) reihige Unterdeterminante von A Induktiv definiert man (n k) reihige Unterdeterminanten Weiter sei α ij := ( 1)i+j det A j i (Vertauschung beachten!), und A := (α ij ) Kn n A heißt Komplementärmatrix bzw Adjunkte zu A 534 Lemma α ij = det A i(e j ) 535 Satz (Rechenregeln für die Komplementärmatrix) Für A K n n gilt: (1) A T = A T (2) AA = A A = det(a)e Insbesondere A 1 = (det A) 1 A, falls A invertierbar ist (3) A = (det A) n 2 A Insbesondere A = A, falls n = 2, und A = O, falls n > 2 und A nicht invertierbar ist ( ) ( ) a b d b 536 Beispiele (1) A = = A =, A = A c d c a (2) A = = A = , A = O

9 KAPITEL 5 DETERMINANTEN Satz (Laplacescher Entwicklungssatz) Für A = (α ij ) K n n und jedes feste j n gilt: n det A = ( 1) i+j α ij det A ij, i=1 und entsprechend für jedes feste i n: n det A = ( 1) i+j α ij det A ij j=1 538 Bemerkung Im Falle der Summation über i (bei festem j) spricht man von der Entwicklung nach der j ten Spalte, im Falle der Summation über j (bei festem i) von der Entwicklung nach der i ten Zeile Die jeweiligen Vorzeichen merkt man sich leicht an einem Schachbrettmuster : i j 539 Beispiel Berechnung 3-reihiger Determinanten durch Entwicklung nach der 2 Zeile (vgl 5213(3)): α 11 α 12 α α 21 α 22 α 23 = + α 31 α 32 α α α 12 α α 32 α + α α 11 α α 31 α α α 11 α α 31 α = 32 α 21 α 12 α 33 + α 21 α 32 α 13 + α 22 α 11 α 33 α 22 α 31 α 13 α 23 α 11 α 32 + α 23 α 31 α 12