Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I Lösungsvorschlag

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner WS 207/8 Blatt Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I Lösungsvorschlag 7 Der Nachweis, daß (M, ) und (N, ) mit M { A R n n A A E n } und N { A R n n det(a) ± } Gruppen sind, erfolgt analog zu Satz 26 der Vorlesung, wonach (GL n (R), ) eine (für n 2 nichtabelsche) Gruppe bildet: Für alle A, B, C M gilt: Wegen A A E n und B B E n ergibt sich (A B) (A B) A B B }{{} E n A A A E n, also A B M; damit ist eine innere Verknüpfung auf M Es ist (A B) C A (B C); damit ist assoziativ Wegen E n E n E n E n E n ist E n M, mit A E n A E n A; damit ist E n bezüglich das neutrale Element Wegen A A E n ist A invertierbar mit A A, und es gilt A (A ) A (A ) (A A) E n E n ; damit ist A M mit A A E n A A, also ist A das zu A bezüglich inverse Element Damit ist (M, ) eine Gruppe Für alle A, B, C N gilt: Wegen det(a) ± und det(b) ± ergibt sich det(a B) det(a) det(b) (±) (±) ±, also A B N; damit ist eine innere Verknüpfung auf N Es ist (A B) C A (B C); damit ist assoziativ Wegen det(e n ) ist E n N, mit A E n A E n A; damit ist E n bezüglich das neutrale Element Wegen det(a) ± und damit det(a) 0 ist A invertierbar mit det(a ) det(a) ± ±; damit ist A N mit A A E n A A, also ist A das zu A bezüglich inverse Element Damit ist (N, ) eine Gruppe

2 Wir zeigen nun noch die beiden echten Inklusionen M N und N GL n (R): Für alle A M gilt A A E n, woraus mit dem Determinantenmultiplikationssatz det(e n ) det(a A ) det(a) det(a ) (det(a)) 2 }{{} det(a) und damit det(a) ±, also A N, folgt; damit ist M N Für die Matrix gilt zum einen und zum anderen damit ist M N A diag(2,,,, ) Rn n 2 det(a) 2, also A N, 2 A A diag(4, 4,,, ) E n, also A / M; Für alle A N gilt det(a) ±, so daß A wegen det(a) 0 invertierbar ist, es gilt also A GL n (R); damit ist N GL n (R) Für die Matrix A diag(2,,,, ) R n n gilt det(a) 2 n 2 und damit zum einen und zum anderen damit ist N GL n (R) det(a) 0, also A GL n (R), det(a), also A / N; 8 Die gegebene Matrix A n (a ij ) i,j R n n mit {, falls i j + oder i j, a ij 0, sonst besitzt die Gestalt A n R n n Für den Induktionsanfang erhalten wir für n ist A (0), also det(a ) 0, und ( ) 0 für n 2 ist A 2, also det(a 0 2 ) 0 ( ) 2 2

3 Für den Induktionsschritt n n mit n 3 erhalten wir ferner mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes det(a n ) A n ( ) +2 Zeile 0 A n 2 0 Spalte ( ) ( ) + det(a n 2 ) det(a n 2 ) Ist nun n ungerade, so ist auch n 2 ungerade, und wir erhalten mit der Induktionsvoraussetzung det(a n ) det(a n 2 ) 0 Ist nun n gerade, so ist auch n 2 gerade, und wir erhalten mit der Induktionsvoraussetzung det(a n ) det(a n 2 ) ( ) ( ) n 2 2 ( ) n ( ) n 2 9 Für n N mit n 2 werde die n n Matrix A n R n n n betrachtet Es ist zunächst det(a 2 ) ( 2) 6 sowie 2 2 det(a 3 ) ( ) ( 2 4 8) ; Sarrus

4 ferner zeigen wir für alle n 2 mit vollständiger Induktion det(a n ) (n + 2)! 4 Für n 2 ist det(a 2 ) 6 (2+2)!, und für n n + ist det(a n+ ) n n letzte Zeile + erste Zeile n n Laplace ( ) ((n+)+) 2 3 ( ) letzte Zeile n 2 zweite Zeile erste Zeile Induktions- voraussetzung +( ) ((n+)+(n+)) (n + 3) det(a n ) ( ) n n 2 +(n + 3) det(a n ) (n + 2)! 0 + (n + 3) 4 (n + 3)! 4

5 20 a) Für α, β, γ, δ R erhalten wir α β γ δ α β γ δ A A β α δ γ γ δ α β β α δ γ γ δ α β δ γ β α δ γ β α ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) E 4 Für die Lösung des lineare Gleichungssystem A x b treffen wir folgende Fallunterscheidung: Für α β γ δ 0 ist A 0 und b 0, und wir erhalten das lineare Gleichungssystem 0 x 0 mit der Lösungsmenge L R 4 Für (α, β, γ, δ) (0, 0, 0, 0) erhalten wir wegen α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 > 0 aus der obigen Beziehung A A ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) E 4 A α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 A E 4 }{{} A und damit Wegen A α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 A A x b x A b α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 A b α β γ δ α α 2 + β 2 + γ 2 + δ β α δ γ 2 γ δ α β 0 0 δ γ β α δ α 2 δ 2 α 2 + β 2 + γ 2 + δ α β + γ δ 2 α γ β δ 2 α δ ergibt sich die Lösungsmenge α 2 δ 2 L α 2 + β 2 + γ 2 + δ α β + γ δ 2 α γ β δ 2 α δ

6 b) Gemäß a) gilt und damit A A ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) E 4 det ( A A ) det (( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) E 4 ), woraus sich mit dem Determinantenmultiplikationssatz sowie den Rechenregeln für die Determinante det(a) det(a ) ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) 4 det (E4 ), wegen det(a ) det(a) und det(e 4 ) also det(a) 2 ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) 4 det(a) ± ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) 2, ergibt Da in der Leibnizformel für die Determinante det(a) der Summand α 4 ausschießlich für die Permutation σ id mit sign(σ) + entsteht, geht der Summand α 4 positiv in die Determinante ein, so daß nur in Frage kommen kann det(a) ( α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2) 2