Aufgabe Zusatz.1. Aufgabe Zusatz.2. Aufgabe Zusatz.3. Aufgabe Zusatz.4. HTWK Leipzig, Fakultät IMN Prof. Dr. Sibylle Schwarz

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1 HTWK Leipzig, Fakultät IMN Prof. Dr. Sibylle Schwarz Zusatz. Übung zur Vorlesung Modellierung Wintersemester 2018/19 Lösungen bis 13. Januar 2019 einzusenden im Opal-Kurs zum Modul: Aufgabe Zusatz.1 Geben Sie vier Mengen A, B, C, D an, so dass A B = C D =, A C, 1 A D, B C = {2}, B D = {3} und B \ (C D gilt. Aufgabe Zusatz.2 Welche der folgenden Aussagen sind für jedes beliebige Paar von Mengen (A, B (2 M 2 wahr und welche falsch? Begründen Sie Ihre Antworten. a. (A B (A \ B, b. (B A (B A = B, c. (A B (A \ B =, d. (A B (A B = A, e. (B A (A \ B. Aufgabe Zusatz.3 Welche der folgenden Aussagen gelten für die Menge M = 2 {0,1} {0}? Begründen Sie Ihre Antworten. a. M g. {0} M b. M c. { } M d. { } M e. 0 M f. 0 M Aufgabe Zusatz.4 Geben Sie für endliche Mengen A und B an, wieviele a. einstellige Relationen R A existieren, b. zweistellige Relationen R A B existieren, c. binäre Relationen R A 2 existieren, d. n-stellige Relationen R A n existieren, e. nullstellige Relationen R A 0 existieren, f. einstellige Funktionen f : A B existieren, g. einstellige Funktionen f : B A existieren, h. {0} M i. {{0}} M j. {{0, 1}} M k. {0, {1}} M l. {{0}, {1}} M

2 h. zweistellige Funktionen f : A 2 B existieren, i. n-stellige Funktionen f : A n B existieren, j. nullstellige Funktionen f : A 0 B existieren, k. einstellige Funktionen f : A {0, 1} existieren, l. zweistellige Funktionen f : A 2 {0, 1} existieren, m. n-stellige Funktionen f : A n {0, 1} existieren, n. nullstellige Funktionen f : A 0 {0, 1} existieren, o. einstellige boolesche Funktionen f : {0, 1} {0, 1} existieren, p. zweistellige boolesche Funktionen f : {0, 1} 2 {0, 1} existieren, q. n-stellige boolesche Funktionen f : {0, 1} n {0, 1} existieren. r. nullstellige boolesche Funktionen f : {0, 1} 0 {0, 1} existieren. Aufgabe Zusatz.5 Welche der folgenden Aussagen gelten für alle binären Relationen R M 2 auf Mengen M? Begründen Sie Ihre Antworten. a. Jede asymmetrische Relation ist irreflexiv. b. Jede irreflexive Relation ist asymmetrisch. c. Jede antisymmmetrische Relation ist asymmetrisch. d. Jede transitive irreflexive Relation ist asymmetrisch. Aufgabe Zusatz.6 Jede Funktion f : A B definiert auf dem Menge A eine zweistellige Relation R f A A durch R f = {(x, y f(x = f(y} a. Zeigen Sie, dass die Relation R f für jede Funktion f eine Äquivalenzrelation ist. b. In wieviele Äquivalenzklassen teilt die durch die Funktion g : N N mit g(n = n 3 definierte Relation R g die Menge N? Zeigen Sie, dass diese Äquivalenzklassen gleichmächtig sind. c. Sind alle Äquivalenzklassen der durch die Funktion h : N + N mit h(n = log 3 n definierte Relation R h gleichmächtig? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe Zusatz.7 Zeigen Sie dass das lexikographische Produkt (R S zweier totaler Ordnungen R M 2 und S M 2 eine totale Ordnung ist.

3 Aufgabe Zusatz.8 Die Relation R N N ist definiert durch R = {(m, n a N(am = n}. Geben Sie für jede Zahl k {0, 2, 3, 4, 6, 12} an: a. π 2 ( R {k} b. π 2 ( R 1 {k} Aufgabe Zusatz.9 Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antworten: a. Wieviele Kanten hat der K 13? b. Wieviele Kanten hat der K 15,27? c. Für welche n N enthält der K n einen Eulerkreis? d. Für welche n N enthält der K n einen bipartiten Teilgraphen? e. Für welche n N enthält der K n einen bipartiten induzierten Teilgraphen? f. Für welche n N enthält der K n einen bipartiten aufspannenden Teilgraphen? g. Geben Sie alle Zahlen n an, für die K n ein Teilgraph des C 5 ist. h. Geben Sie alle Zahlen n an, für die C 5 ein Teilgraph des K n ist. i. Geben Sie alle Zahlen n an, für die C n ein Teilgraph des K 5 ist. Aufgabe Zusatz.10 Eine Graph G, der isomorph zu seinem Komplement G ist, heißt selbstkomplementär. a. Geben Sie alle selbstkomplementären Graphen mit höchstens 4 Ecken an. b. Geben Sie alle selbstkomplementären Graphen mit höchstens 5 Kanten an. c. Für welche n 10 gibt es selbstkomplementäre Graphen mit n Knoten? Begründen Sie. Aufgabe Zusatz.11 Beantworten Sie folgenden Fragen für den Graphen Graph P = (V, E mit V = ( ( {1,...,5} 2 und E = {{M, N} V 2 M N = }. Begründen Sie Ihre Antworten. a. Wieviele Ecken und Kanten hat der Graph P? b. Existiert ein Eulerweg im Graphen P? c. Existiert ein Hamiltonpfad im Graphen P? d. Existiert ein Hamiltonkreis im Graphen P? e. Ist der Graph P bipartit? f. Bestimmen Sie die chromatische Zahl von P. Aufgabe Zusatz.12 Zeigen Sie, dass es keinen zusammenhängenden (ungerichteten schlingenfreien Graphen mit n Knoten und weniger als n 1 Kanten gibt.

4 Aufgabe Zusatz.13 Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Halbordnungen auf der Menge aller endlichen Graphen sind: a. Teilgraph b. induzierter Teilgraph c. aufspannender Teilgraph Aufgabe Zusatz.14 a. Beschreiben Sie die folgenden Sachverhalte durch logische Formeln: Tom hat drei Paar Schuhe: ein Paar rote Stiefel, ein Paar blaue Stiefel und ein Paar grüne Halbschuhe. E trägt immer genau eines dieser Paare. Seine grünen Schuhe trägt er immer, wenn kein Schnee liegt. Liegt Schnee, dann trägt er Stiefel. Wenn die Sonne nicht scheint, trägt er seine gelbe Jacke. Seine Freundin mag kein Rot, deshalb trägt er nie etwas rotes, wenn er sie besucht. Tom trägt nie gelb und blau zugleich. Verwenden Sie dazu nur die Aussagevariablen: G Tom trägt grüne Schuhe R Tom trägt rote Stiefel. B Tom trägt blaue Stiefel. J Tom trägt seine gelbe Jacke. F Tom besucht seine Freundin. S Es liegt Schnee. O Die Sonne scheint. b. Bei welchem Wetter kann Tom seine Freundin mit Jacke besuchen? Welche Schuhe trägt er dabei? Aufgabe Zusatz.15 Finden Sie die Modellmengen für die Formel ϕ = ((p (q r ( p (q r und ihre Negation ϕ. Aufgabe Zusatz.16 Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? ( a b (a b b a b (a b (1 a b a b ((a b (b c ((a b c (4 a b (a b (b a (5 (a (a b b Begründen Sie jede Ihrer Antworten durch äquivalente Umformungen oder Angabe eines Gegenbeispieles. (2 (3 (6

5 Aufgabe Zusatz.17 a. Geben Sie für P = {p, q, r, s} eine aussagenlogische Formel ϕ AL(P an, die genau von allen Belegungen erfüllt wird, unter denen mindestens zwei der Atome falsch sind. b. Geben Sie zu eine zu dieser Formel äquivalente Formel ψ AL(P in DNF an. c. Geben Sie zu eine zu dieser Formel äquivalente Formel η AL(P in CNF an. Aufgabe Zusatz.18 Überlegen Sie sich, wie Eulersche Quadrate der Größe n n durch aussagenlogische Formeln in CNF modelliert werden können. Informationen zu Eulerschen Quadraten finden Sie z.b. unter a. Wieviele Aussagenvariablen werden benötigt? Welche Information repräsentieren sie? b. Wie lassen sich die Spielregeln durch aussagenlogische Formeln in CNF modellieren? c. Wie lassen sich Eulersche Quadrate mit SAT-Solvern lösen? Aufgabe Zusatz.19 Zeigen Sie, dass die folgenden Strukturen Halbringe sind: a. ({0, 1}, XOR, b. ( 2 (A,, Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter