Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018

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1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 Binary Decision Diagrams KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Shannon-Formeln Shannon-Formeln sind aussagenlogische Formeln, die aufgebaut sind aus dem dreistelligen Operator sh den Konstanten und Aussagevariablen P,..., P n,... Semantik von sh für eine Interpretation I { vali (P val I (sh(p, P 2, P 3 )) = 2 ) falls val I (P ) = F val I (P 3 ) falls val I (P ) = W oder in Tabellenform: val I (P ) W W W W F F F F val I (P 2 ) W W F F W W F F val I (P 3 ) W F W F W F W F val I (sh(p, P 2, P 3 )) W F W F W W F F Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 2/2 (Druckversion)

3 Eigenschaften des sh-operators sh(p, P 2, P 3 ) ( P P 2 ) (P P 3 ) sh(p, P 2, P 3 ) ( P P 3 ) (P P 2 ) sh(p, P 2, P 3 ) (P P 3 ) ( P P 2 ) sh(a, B, C) sh(a, B, C) sh(, P 2, P 3 ) P 2 sh(, P 2, P 3 ) P 3 sh(p,, ) P sh(p,, ) P sh(p, P 2, P 2 ) P 2 sh(sh(p, P 2, P 3 ), P 4, P 5 ) sh(p, sh(p 2, P 4, P 5 ), sh(p 3, P 4, P 5 )) A sh(p, A P=, A P= ) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 3/2 (Druckversion)

4 Normierte Shannon-Formeln Wir fixieren eine Ordnung auf der Menge der Aussagevariablen, etwa die durch die Ordnung der Indizes gegebene. Definition. Die Konstanten, sind normierte sh-formeln. 2. sh(p i, A, B) ist eine normierte sh-formel wenn A und B normierte sh-formeln sind und für jede in A oder B vorkommende Variable Pj gilt i < j. Theorem Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es eine äquivalente normierte sh-formel. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 4/2 (Druckversion)

5 Shannon-Graphen Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 5/2 (Druckversion)

6 Shannon-Graphen 2 3 Ein sh-graph ist ein gerichteter, binärer, zusammenhängender Graph. Jedem nichtterminalen Knoten v ist eine natürliche Zahl index(v) zugeordnet. Von jedem nichtterminalen Knoten v gehen zwei Kanten aus. Eine davon ist mit, die andere mit gekennzeichnet. Jeder terminale Knoten v ist mit oder versehen. Wir definieren dafür wert(v) durch wert() = F und wert() = W. Ist der nichtterminale Knoten w ein unmittelbarer Nachfolger von v, dann gilt index(v) < index(w). Es gibt genau einen Wurzelknoten. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 6/2 (Druckversion)

7 Weitere Beispiele von Shannon-Graphen i i 2 2 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 7/2 (Druckversion)

8 Shannon-Graphen und Boolesche Funktionen Jedem sh-graphen G kann man eine m-stellige Boolesche Funktion f G zuordnen, wobei m die Anzahl der in G vorkommenden verschiedenen Indizes i,..., i m ist. Wir fassen f G als eine Funktion mit den Eingabevariabeln P i,..., P im auf und bestimmen den Funktionswert f G (P i,..., P im ), indem wir an der Wurzel von G beginnend einen Pfad durch G wählen. Am Knoten v folgen wir der Kante, wenn die Eingabevariable P index(v) den Wert F hat, sonst der Kante. Der Wert des terminalen Knotens ist der gesuchte Funktionswert. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

9 Shannongraph als Boolesche Funktion G: 2 3 f G (F, W, F ) =? Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 9/2 (Druckversion)

10 Shannongraph als Boolesche Funktion G: 2 3 f G (F, W, F ) = F Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 /2 (Druckversion)

11 f P 2 Konstruktion von Shannon-Graphen Beispiel f 3 P f f 4 P 3 P 3 f 2 P 2 f (P, P 2, P 3 ) = { W falls { i 3 P i = W } = 2 F sonst f (P 2, P 3 ) = f (W, P 2, P 3 ) = W falls (P 2 = W und P 3 = F ) oder (P 2 = F und P 3 = W ) F sonst f 2 (P 2, P 3 ) = f (F, P 2, P 3 ) = { W falls P 2 = P 3 = W F sonst f 3 (P 3 ) = f (W, W, P 3 ) = P 3 f 4 (P 3 ) = f (W, F, P 3 ) = P 3 f 5 (P 3 ) = f (F, F, P 3 ) = F f 6 (P 3 ) = f (F, W, P 3 ) = P 3 = f 4 (P 3 ) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 /2 (Druckversion)

12 Shannon-Graphen vs normierte Shannon-Formeln Es gibt eine offensichtliche Korrespondenz zwischen Shannon-Graphen und normierten Shannon-Formeln: n-te Variable entspricht Knoten mit Index n. Von jetzt an betrachten wir nur noch Shannon-Graphen. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 2/2 (Druckversion)

13 Reduzierte Shannon-Graphen Definition Ein sh-graph heißt reduziert, wenn. es keine zwei Knoten v und w (v w) gibt, so daß der in v verwurzelte Teilgraph G v mit dem in w verwurzelten Teilgraph G w isomorph ist. 2. es keinen Knoten v gibt, so dass die beiden von v ausgehenden Kanten zum selben Nachfolgerknoten führen. Ein reduzierter Shannongraph heißt auch ordered binary decision diagram: (O)BDD. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 3/2 (Druckversion)

14 Einfachstes Beispiel isomorpher Shannon-Graphen Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 4/2 (Druckversion)

15 Beispiel für Reduktion Elimination isomorpher Subgraphen Isomorphismus π : Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 5/2 (Druckversion)

16 Beispiel für Reduktion Elimination isomorpher Subgraphen Isomorphismus π : 2 2 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 5/2 (Druckversion)

17 Beispiel für Reduktion Elimination doppelter Kanten Isomorphismus π : 2 2 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 5/2 (Druckversion)

18 Beispiel für Reduktion Elimination doppelter Kanten Isomorphismus π : 2 2 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 5/2 (Druckversion)

19 Isomorphie von Shannon-Graphen Definition Seien zwei sh-graphen H, G gegeben. Ihre Knotenmengen seien V, V 2. H, G heißen zueinander isomorph (H = G) genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung π von V nach V 2 gibt mit:. index(k) = index(π(k)) für jeden Nichtterminalknoten k V 2. wert(k) = wert(π(k)) für jeden Terminalknoten k V 3. Für jeden Nichtterminalknoten k V, dessen -Kante/-Kante zu dem Knoten k /k führt, gilt: die -Kante von π(k) führt zu π(k ), die -Kante zu π(k ). Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 6/2 (Druckversion)

20 Ein Kriterium für Reduziertheit Theorem Sei G ein Shannongraph, so daß für jedes Paar von Knoten v, w gilt wenn dann index(v) = index(w), die -Nachfolger von v und w identisch sind und die -Nachfolger von v und w identisch sind v = w Dann erfüllt G die Bedingung () aus der Definition reduzierter Shannongraphen, d.h. für jedes Paar x, y von Knoten gilt wenn dann G x isomorph zu G y ist x = y Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 7/2 (Druckversion)

21 Beispiel für Reduktion Nun inkrementell Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

22 Beispiel für Reduktion Nun inkrementell Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

23 Beispiel für Reduktion Nun inkrementell Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

24 Beispiel für Reduktion Nun inkrementell Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

25 Beispiel für Reduktion Nun inkrementell 2 2 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

26 Beispiel für Reduktion Nun inkrementell 2 2 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

27 Beispiel für Reduktion Nun inkrementell 2 2 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 8/2 (Druckversion)

28 Eindeutigkeit reduzierter Shannon-Graphen Theorem Sind G, H reduzierte sh-graphen zu Σ = {P,..., P n }, dann gilt f G = f H G = H. (Zu jeder Booleschen Funktion f gibt es bis auf Isomorphie genau einen reduzierten sh-graphen H mit f = f H ). Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 9/2 (Druckversion)

29 BDD-Größe in Abhängigkeit von Variablenordnung Zwei BDDs für (x x 2 ) (x 3 x 4 ) (x 5 x 6 ) (x 7 x 8 ) x x x2 x3 x3 x3 x5 x5 x5 x5 x4 x7 x7 x7 x7 x7 x7 x7 x7 x5 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x6 x4 x4 x4 x4 x7 x6 x6 x8 x8 Ordnung: x < x 2 < x 3 < x 4 < x 5 < x 6 < x 7 < x 8 Ordnung: x < x 3 < x 5 < x 7 < x 2 < x 4 < x 6 < x 8 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 2/2 (Druckversion)

30 Eine harte Nuß [BDD für Multiplikationen] X enthalte 2k Variablen {x,..., x k, y,..., y k } x = x... x k und y = y... y k bezeichnen k-stellige Binärzahlen. für i < 2k bezeichne Mult i die boolsche Funktion, die das i-te Bit des Produktes von x mit y beschreibt. Theorem Für jede Ordnung < der Variablen in X gibt es einen Index i < 2k, so dass der BDD B Multi,< mindestens 2 k/8 Knoten besitzt. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 2/2 (Druckversion)