Relationen können als spezielle Mengen verstanden werden.
|
|
|
- Ruth Kuntz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 4.3 Relationen Relationen können als spezielle Mengen verstanden werden. Hierfür muss zunächst der Begriff eines weiteren mengentheoretischen Objektes der des geordneten n-tupels eingeführt werden. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 1
2 Geordnete n-tupel Bei Mengen ist die Reihenfolge ihrer Elemente irrelevant, d.h. es gilt z.b.: { xy, } = { yx, }. Für bestimmte Zwecke werden geordnete Zusammenstellungen von Objekten benötigt. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 2
3 Der einfachste Fall einer solchen Zusammenstellung ist ein geordnetes Paar xy,, wobei x das erste Element und y das zweite Element des Paares ist. Im Allgemeinen gilt: xy, yx,. Geordnete Paare lassen sich als spezielle Mengen definieren. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 3
4 Auf der Basis von geordneten Paaren lassen sich geordnete Tripel xyz,,, geordnete Quadrupel xyzz,,, ', geordnete Quintupel xyzz,,, ', z '' etc., allgemein geordnete n-tupel x,, x 1 n, wobei n N, definieren. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 4
5 Kartesisches Produkt (nach René Descartes, ) Aus zwei gegebenen Mengen lässt sich eine Menge von geordneten Paaren bilden. D4.13 A B= { xy, x A y B} def A kreuz B Das Kartesische Produkt (bzw. die Kreuzmenge) von A und B ist die Menge aller geordneten Paare derart, dass das erste Element aus A und das zweite Element aus B stammt. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 5
6 Beispiel: Sei A= { abc,, } und B= { 1,2}. A B= { a,1, a,2, b,1, b,2, c,1, c,2 }? Bestimme B A. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 6
7 Verallgemeinerung: D4.14 A... A {,...,... } 1 n= x x def 1 n x A x 1 1 n An A 1 kreuz... kreuz A n Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 7
8 Beispiel: Sei A= { abc,, } und B= { 1,2}.,1,1,,1,2,,2,1,,2,2, a a a a A B B= b,1,1, b,1,2, b,2,1, b,2,2, c,1,1, c,1,2, c,2,1, c,2,2 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 8
9 D A = A A def die 2. Kartesische Potenz von A Die 2. Kartesische Potenz von A ist das Kartesische Produkt (bzw. die Kreuzmenge) von A mit sich selbst. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 9
10 ? Bestimme 2 A für A { abc,, } =. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 10
11 Verallgemeinerung: D4.16 A n = A def A n-mal A die n. Kartesische Potenz von A Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 11
12 Relationen als Mengen von n-tupeln Eine 2-stellige (oder binäre) Relation R zwischen Elementen x und y lässt sich mit { xy, Rxy (, )}, d.h. der Menge der geordneten Paare xy, identifizieren, für die Rxy (, ) gilt. D4.17 R ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation zwischen Elementen x von A und y von B gdw R A B. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 12
13 Dass zwei Elemente x und y in einer Relation R zueinander stehen, kann damit nicht nur mit Rxy (, ) oder xry, sondern auch mit xy, Rangezeigt werden. Beispiel: füttert... F: Relation des Fütterns Fxy (, ), xfy, xy, F Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 13
14 Beispiel: Angenommen, für A= { Lisa,Bart,Maggie} und B= { Karlo,Pluto} gelte, dass Bart den Kater Karlo und Maggie sowohl Karlo als auch den Hund Pluto füttert. Die Relation des Fütterns F zwischen Elementen von A und B ist dann wie folgt bestimmt: F= { Bart,Karlo, Maggie,Karlo, Maggie,Pluto}, wobei F { Lisa,Bart,Maggie} { Karlo,Pluto}, d.h. F Lisa,Karlo, Lisa,Pluto, Bart,Karlo, Bart,Pluto, Maggie,Karlo, Maggie,Pluto Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 14
15 Ein Spezialfall ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation R in einer Menge A, d.h. zwischen Elementen ein und derselben Menge. D4.18 R ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation in A gdw 2 R A. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 15
16 ? Angenommen, für A= { Lisa,Bart,Maggie} gelte, dass zum einen Lisa und Maggie Bart und zum anderen Bart und Maggie Lisa mögen und außerdem Bart sich selbst mag. Bestimme die Relation des Mögens M in A als eine Teilmenge von A A. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 16
17 Lisa,Lisa, Lisa,Bart, Lisa,Maggie, A A= Bart,Lisa, Bart,Bart, Bart,Maggie, Maggie,Lisa, Maggie,Bart, Maggie,Maggie Voraussetzungen: Lisa und Maggie mögen Bart Bart und Maggie mögen Lisa Bart mag sich selbst Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 17
18 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 18 Lisa,Lisa, Lisa,Bart, Lisa,Maggie, Bart,Lisa, Bart,Bart, Bart,Maggie, Maggie,Lisa, Maggie,Bart, Maggie,Maggie A A = Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart M =
19 Verallgemeinerung: Eine n-stellige Relation R zwischen Elementen x,..., x 1 n lässt sich entsprechend mit { x,, x (,, )} 1 n Rx x 1 n, d.h. mit der Menge der geordneten n-tupel x,, x 1 n identifizieren, für die Rx (,, x ) 1 n gilt. D4.19 R ist eine n-stellige Relation zwischen Elementen x 1 von A, x von A, und x n von A n gdw R A... A 1 n. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 19
20 Eine 2-stellige (oder binäre) Relation kann auch als eine Abbildung aus einer Menge nach einer Menge aufgefasst werden. D4.20 R ist eine (binäre) Abbildung aus A nach B gdw R A B. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 20
21 Beispiel: Die binäre Relation oder Abbildung F lässt sich wie folgt darstellen: Lisa Bart Maggie Karlo Pluto A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 21
22 Jedes Element von B, das mit einem bestimmten Element x von A gepaart auftritt, nennt man ein Bild von x bei R. Umgekehrt heißt jedes Element von A, das mit einem bestimmten Element y von B gepaart ist, ein Urbild von y bei R. Die Menge der Urbilder bei R bilden den Vorbereich Vb und die Menge der Bilder den Nachbereich Nb von R. D4.21 (1) VbR = x A y B[ xy R] ( ) {, } def (2) NbR = y B x A[ xy R] ( ) {, } def Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 22
23 ? Gib für die Relationen F und M jeweils deren Vor- und Nachbereich an. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 23
24 Das Komplement R ' einer Relation R A Benthält alle geordneten Paare aus A B, die nicht Elemente von R sind. D4.22 R ' = { xy, xy, R} def Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 24
25 1 Dagegen enthält die Inverse R einer Relation R A Balle geordneten Paare aus B A, die aus den Paaren von R dadurch hervorgehen, dass die Reihenfolge von deren Elementen umgekehrt wird. D4.23 R 1 = def { yx, xy, R} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 25
26 Beispiel: Wenn { Bart,Karlo, Maggie,Karlo, Maggie,Pluto} F=, dann sind: F= ' { Bart,Pluto, Lisa,Karlo, Lisa,Pluto } 1 F = Dabei gilt: { Karlo,Bart, Karlo,Maggie, Pluto,Maggie } Lisa,Karlo, Lisa,Pluto, F ' Bart,Karlo, Bart,Pluto, = A B Maggie,Karlo, Maggie,Pluto F 1 Karlo,Lisa, Pluto,Lisa, Karlo,Bart, Pluto,Bart, = B A Karlo,Maggie, Pluto,Maggie Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 26
27 1? Wie lässt sich das Komplement F ' von F und die Inverse F von F angesichts dessen charakterisieren, dass F die Relation des Fütterns (... füttert... ) ist? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 27
28 ? Bestimme die Relationen M ' und 1 M als Teilmengen von A A. Lisa,Lisa, Lisa,Bart, Lisa,Maggie, A A= Bart,Lisa, Bart,Bart, Bart,Maggie, Maggie,Lisa, Maggie,Bart, Maggie,Maggie Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 28
29 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 29 Lisa,Lisa, Lisa,Bart, Lisa,Maggie, Bart,Lisa, Bart,Bart, Bart,Maggie, Maggie,Lisa, Maggie,Bart, Maggie,Maggie A A = Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart M = Lisa,Lisa, Lisa,Maggie, ' Bart,Maggie, Maggie,Maggie M =
30 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 30 Lisa,Lisa, Lisa,Bart, Lisa,Maggie, Bart,Lisa, Bart,Bart, Bart,Maggie, Maggie,Lisa, Maggie,Bart, Maggie,Maggie A A = Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart M = 1 Bart,Lisa, Lisa,Bart, Bart,Bart, Lisa,Maggie, Bart,Maggie M =
31 Eigenschaften von binären Relationen D4.24 (1) R in A ist reflexiv gdw x A[ xx, R]. (2) R in A ist irreflexiv gdw x A[ xx, R]. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 31
32 Beispiele: (a) Sei A= {1,2,3}. reflexiv: R= { 1,1, 2,2, 3,3 } 1 irreflexiv: R= { 1,3, 2,3 } 2 (b) Sei A die Menge der Menschen. reflexiv: ist ebenso alt wie irreflexiv: ist älter als Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 32
33 D4.25 (1) R in A ist symmetrisch gdw xy, Axy [, R yx, R]. (2) R in A ist asymmetrisch gdw xy, Axy [, R yx, R]. (3) R in A ist antisymmetrisch gdw xy, Axy [, R yx, R x= y]. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 33
34 Beispiele: (a) symmetrisch: R= { 1,2, 2,1, 2,2 } 3 asymmetrisch: R= { 1,2, 3,1 } 4 antisymmetrisch: R= { 1,1, 2,3 } 5 (b) symmetrisch: ist Geschwister von asymmetrisch: ist Mutter von antisymmetrisch: ist nicht älter als Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 34
35 D4.26 (1) R in A ist transitiv gdw xyz,, Axy [, R yz, R xz, R]. (2) R in A ist intransitiv gdw xyz,, Axy [, R yz, R xz, R]. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 35
36 Beispiele: (a) transitiv: R= { 1,1, 1,2, 1,3, 2,3 } 6 intransitiv: R= { 1,2, 2,3 } 7 (b) transitiv: ist Vorfahre von intransitiv: ist Großtante von Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 36
37 D4.27 R in A ist konnex (oder linear) gdw xy, Ax [ y xy, R yx, R]. Beispiele: (a) R= { 1,3, 2,1, 3,2 } 8 (b) ist älter als oder ebenso alt Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 37
38 ? Welche der vorangehend definierten Eigenschaften hat die Relation M? M= { Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart} Ist M reflexiv oder irreflexiv? Ist M symmetrisch, asymmetrisch oder antisymmetrisch? Ist M transitiv oder intransitiv? Ist M konnex? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 38
39 D4.28 (1) R aus A nach B ist linkstotal gdw [, ] x Ay B xy R (2) R aus A nach B ist rechtstotal (oder surjektiv) gdw [, ] y B x A xy R. Damit gibt es bei linkstotalem R zu jedem Element von A mindestens ein Bild (d.h. VbR ( ) = A), bei rechtstotalem R zu jedem Element von B mindestens ein Urbild (d.h. NbR ( ) = B). Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 39
40 ? Ist die Relation F linkstotal oder rechtstotal oder beides? F= { Bart,Karlo, Maggie,Karlo, Maggie,Pluto} Lisa Bart Maggie Karlo Pluto A B? Was folgt hieraus für die inverse Relation 1 F? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 40
41 ? Ist die Relation M linkstotal oder rechtstotal oder beides? M = { Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart}? Was folgt hieraus für die inverse Relation 1 M? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 41
42 D4.29 (1) R aus A nach B ist linkseindeutig (oder injektiv) gdw [ ] xx, ' A y B xy, R x ', y R x= x '. (2) R aus A nach B ist rechtseindeutig gdw [ ] x A yy, ' B xy, R xy, ' R y= y '. Damit gibt es bei linkseindeutigem R zu jedem Element von B höchstens ein Urbild, bei rechtseindeutigem R zu jedem Element von A höchstens ein Bild. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 42
43 ? Ist die Relation F linkseindeutig oder rechtseindeutig oder beides? F= { Bart,Karlo, Maggie,Karlo, Maggie,Pluto} Lisa Bart Maggie Karlo Pluto A B? Was folgt hieraus für die inverse Relation 1 F? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 43
44 ? Ist die Relation M linkseindeutig oder rechtseindeutig oder beides? M= { Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart}? Was folgt hieraus für die inverse Relation 1 M? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 44
45 Spezielle Arten von binären Relationen Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ist eine Äquivalenzrelation. Beispiele: (a) R= { 1,1, 1,2, 1,3, 2,1, 2,2, 2,3, 3,1, 3,2, 3,3 } 9 (b) ist ebenso alt wie Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 45
46 Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist eine schwache Ordnungsrelation (oder reflexive Halbordnung). Beispiele: (a) R = { 1,1, 1,2, 1,3, 2,2, 3,3 } 10 (b) ist nicht älter als Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 46
47 Eine Relation, die irreflexiv, asymmetrisch und transitiv ist, ist eine strenge Ordnungsrelation (oder irreflexive Halbordnung). Beispiele: (a) R = { 1,2, 1,3, 2,3 } 11 (b) ist älter als Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 47
48 Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und konnex ist, ist eine totale Ordnungsrelation (oder Totalordnung). Beispiel: (a) R = { 1,1, 2,1, 2,2, 3,1, 3,2, 3,3 } 12 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 48
49 ? Warum gehört die Relation M zu keiner dieser speziellen Arten? M = { Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 49
4.3 Relationen [ Partee 27-30, 39-51, McCawley , Chierchia ]
![4.3 Relationen [ Partee 27-30, 39-51, McCawley , Chierchia ]](/thumbs/61/46044113.jpg "4.3 Relationen [ Partee 27-30, 39-51, McCawley , Chierchia ]")
4 Elemetare Megetheorie 43 Relatioe [ Partee 7-30, 39-5, McCawley 48-49, Chierchia 534-536 ] Relatioe köe als spezielle Mege verstade werde Hierfür muss zuächst der Begriff eies weitere megetheoretische
4.4 Funktionen. Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle Abbildungen und damit spezielle Mengen.
4.4 Funktionen Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle Abbildungen und damit spezielle Mengen. Funktionen werden gewöhnlich mit f, g,... oder F, G,... notiert. Johannes Dölling: Logik
3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen
3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob
4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia ]
![4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia ]](/thumbs/64/51705212.jpg "4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia ]")
4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia 536-539 ] Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle bbildungen und damit nichts anderes als spezielle Mengen. Funktionen werden gewöhnlich
mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen
Einführung in die Logik - 6 mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Modelltheoretische / Denotationelle Semantik der Prdikatenlogik Ein Modell ist ein künstlich geschaffenes
Eine Relation R in einer Menge M ist eine Teilmenge von M x M. Statt (a,b) R schreibt man auch arb.
4. Relationen 4.1 Grundlegende Definitionen Relation R in einer Menge M: Beziehung zwischen je 2 Elementen von M. Beispiel
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Dozentin: Wiebke Petersen 2. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 20 n-tupel und Cartesisches Produkt Mengen sind ungeordnet,
4 Mengentheorie. 4.1 Mengen
4 Mengentheorie 4.1 Mengen Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine elementare Basis für den Aufbau der gesamten Mathematik zu haben. Ihr Begründer ist Georg Cantor (1845-1918). Die Standard-Semantik
Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }
Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,
Einführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,
WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER. Diskrete Strukturen. wissen leben WWU Münster
MÜNSTER Diskrete Strukturen Dietmar Lammers Vorlesung SoSe 2010 > Relationen MÜNSTER Diskrete Strukturen 41/101 Seien A und B und für n N seien A 1 A 2...A n Mengen > Relationen MÜNSTER Diskrete Strukturen
Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit
Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {
Einführung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / Relatione
Eigenschaften von Einführung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / / Göttingen 2. November 2006 Eigenschaften von Mengenlehre Eigenschaften von Eigenschaften von Das Konzept Menge Eine Menge ist eine
Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie
Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie Sascha Trostorff 27. Oktober 2017 Inhaltsverzeichnis I. Einführung in die Mengenlehre 3 1. Grundlagen der Aussagenlogik 4 2. Naive Mengenlehre
Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 1 Mengen 2 Relationen Definition Operationen Eigenschaften Äquivalenzrelationen Mehrstellige Relationen 3 Abbildungen 4
Relationen und Funktionen
Vorkurs Mathematik Dr. Regula Krapf Sommersemester 018 Relationen und Funktionen Definition. Seien M und N Mengen. Eine Relation auf M N ist eine Teilmenge R M N. Falls (x,y) R, so schreibt man auch x
Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Teil 1: Wiederholung 1 Mengen 2 Abbildungen 3 Exkurs Beweistechniken 4 Relationen Definition Operationen Eigenschaften Äquivalenzrelationen
WS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws13/14
Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv
Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL 4 vom 25.10.2012 Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen Denition 23 (Abbildung(Funktion))
4. Mathematische und notationelle Grundlagen. Beispiel Mengen. Bezeichnungen:
4. Mathematische und notationelle Grundlagen 4.1 Mengen Beispiel 3 A 1 = {2, 4, 6, 8}; A 2 = {0, 2, 4, 6,...} = {n N 0 ; n gerade} Bezeichnungen: x A A x x A B A B A { } x Element A x nicht Element A B
2 Mengen, Abbildungen und Relationen
Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl
Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September 2007
Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Definition Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische)
Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom
Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 18.11.2004 Zur Wiederholung: Das Kartesische Produkt dient dem Ordnen von Mengen. A B = {(a, b) : a A, b B)} Spezialfall A = Äquivalenzrelation
Gliederung. Mengen und operationen. Relationen. Funktionen. Kardinalität von Mengen. Formale Grundlagen der Informatik Knorr/Fuchs SS 2000
Gliederung Mengen und operationen Relationen Funktionen Kardinalität von Mengen Mengen, Relationen, Funktionen 1 Mengen Definition (Naive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer
Relationen (Teschl/Teschl 5.1)
Relationen (Teschl/Teschl 5.1) Eine (binäre) Relation zwischen den Mengen M und N ist eine Teilmenge R der Produktmenge M N. Beispiele M Menge aller Studierenden, N Menge aller Vorlesungen, R : {(x, y)
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 23. November 2017 1/40 Satz 4.27 (Multinomialsatz) Seien r, n N 0. Dann gilt für
Grundlagen der Mathematik
Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Induktion und Rekursion 3.3 Boolsche Algebra Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 14/15 48 / 155 Überblick
Mathematische Strukturen
Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 16. April 2013 Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt (benannt nach René Descartes) von n Mengen M 1,..., M n ist M 1 M n := {(x 1,..., x n )
4. Funktionen und Relationen
4. Funktionen und Relationen Nikolaus von Oresmes Richard Dedekind (1831-1916) René Descartes 1596-1650 Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 4: Funktionen und Relationen 4.1 Funktionen:
Logik und Künstliche Intelligenz
Logik und Künstliche Intelligenz Kurze Zusammenfassung (Stand: 14. Januar 2010) Prof. Dr. V. Stahl Copyright 2007 by Volker Stahl. All rights reserved. V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung
Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung
LUDWIG- MAXIMILIANS- UNIVERSITY MUNICH DEPARTMENT INSTITUTE FOR INFORMATICS DATABASE Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung im Wintersemester 2012/13 Ludwig-Maximilians-Universität
Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre
Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.
Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen Dozentin: Wiebke Petersen 4. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 86 starke / schwache Ordnungen Eine Ordnung R einer Menge A ist
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 Mengen und Abbildungen 3.2 Induktion und Rekursion 3.3 Ausdrücke 3 Mathematische Grundlagen Einf. Progr. (WS 08/09) 102 Überblick 3.
Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt!
Relationen, Funktionen und Partitionen 1. Geordnetes Paar Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen
Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.
Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre 3 2.1 Grundlegende Definitionen
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Vorlesung Diskrete Strukturen Relationen
Vorlesung Diskrete Strukturen Relationen Bernhard Ganter WS 2009/10 Relationen Es seien A und B Mengen. Eine (binäre) Relation zwischen A und B ist eine Teilmenge von A B. Ein wichtiger Spezialfall ist
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen Dozentin: Wiebke Petersen 4. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 89 starke / schwache Ordnungen Eine Ordnung R einer Menge A ist
Tutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik &
Fundamente der Computational Intelligence Teil 4
Fundamente der Computational Intelligence Teil 4 Günter Rudolph Fachbereich Informatik, Lehrstuhl XI Fachgebiet Computational Intelligence WS 2006/07 Fuzzy Relationen Relationen mit scharfen Mengen X 1,
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik &
Vorlesung Diskrete Strukturen Relationen
Vorlesung Diskrete Strukturen Relationen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung in die Mathematik
Finden Sie eine Relation R und eine Menge A so dass
Relationen Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden Sie, ob die Relationen reflexiv auf A, symmetrisch bzw. transitiv sind. Geben Sie eine kurze
Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen)
DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE Fachrichtung 6. Informatik Universität des Saarlandes Christian Eisentraut, M.Sc. Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 0/3) Übungsblatt 8 (Relationen
1. Mengentheoretische Grundbegriffe. naiver Mengenbegriff : Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen
1. Mengentheoretische Grundbegriffe Cantors (1845 1918) naiver Mengenbegriff : Slide 1 Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Dozentin: Wiebke Petersen 2. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 25 n-tupel und Cartesisches Produkt Mengen sind ungeordnet,
3. Relationen. 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen. Rolf Linn. 3.
3. Relationen 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen 3. Relationen GM 3-1 Wozu Relationen? Mathematik Theoretische Informatik Kryptographie
Einführung in die Mengenlehre
Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei
Relationen. Ein wichtiger Spezialfall ist der, dass die Mengen identisch sind:
Relationen Es seien zwischen und und Mengen. Eine (binäre) Relation ist eine Teilmenge von. Ein wichtiger Spezialfall ist der, dass die Mengen identisch sind: und Eine binäre Relation auf einer Menge ist
Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2013/14 Relationalstrukturen 59 Definition Sei A eine nichtleere Menge, R ist eine k-stellige
Einführung in die Programmierung
Einführung in die Programmierung Teil 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Peer Kröger, Florian Richter, Michael Fromm Wintersemester 2018/2019 Übersicht 1. Mengen 2. Relationen und Abbildungen 3. Boolsche
Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Relationalstrukturen Definition Sei A eine nichtleere Menge, R ist eine k-stellige
Theoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 1: Grundlagen, Sprachen, Automaten schulz@eprover.org Software Systems Engineering Definition Eine Definition ist eine genaue Beschreibung eines Objektes
Relationen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Relationen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Relationen Es seien A und B Mengen. Eine (binäre) Relation zwischen A und B ist eine Teilmenge von
Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 14. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/17
1/17 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 14. November 2007 2/17 Komposition von Relationen und Funktionen seien R A B und S B C Relationen neue
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 46 / 708 Überblick
Bemerkungen zur Notation
Bemerkungen zur Notation Wir haben gerade die Symbole für alle und es gibt gebraucht. Dies sind so genannte logische Quantoren, und zwar der All- und der Existenzquantor. Die Formel {a A; ( b B)[(a, b)
3 Werkzeuge der Mathematik
3.1 Mengen (18.11.2011) Definition 3.1 Die Menge heißt leere Menge. :=»x M x x Definition 3.2 Es seien N und M Mengen. Wir definieren: und analog M N : (x M x N). N M : (x N x M). Wir sagen M ist Teilmenge
4. Funktionen und Relationen
Bestimmung der Umkehrfunktionen c) bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. y = x 3 y = x y = x y = (x+1)/2 y = x 1/3 y = 2x 1 Seite 27
Relationen. Es seien A und B Mengen. Eine (binäre) Relation zwischen A und B ist eine Teilmenge von A B.
Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p. 1 Relationen Es seien A und B Mengen. Eine (binäre) Relation zwischen A und B ist eine Teilmenge von A B. Ein wichtiger Spezialfall ist der,
Lösungen zu Kapitel 2
Lösungen zu Kapitel 2 Lösung zu Aufgabe 1: Wir zeigen die Behauptung durch vollständige Induktion über n. Die einzige Menge mit n = 0 Elementen ist die leere Menge. Sie besitzt nur sich selbst als Teilmenge,
2 Mengen, Relationen, Funktionen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 2 Mengen, Relationen, Funktionen 2.1 Mengen Definition 2.1 [Georg Cantor 1895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Dinge unserer
2 Mengen, Relationen, Funktionen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kapitel 2: Mengenlehre. Referenzen zum Nacharbeiten:
DM2 Slide 1 Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kapitel 2: Mengenlehre Referenzen zum Nacharbeiten: Lang 3 Meinel 2, 4, 5, 10.2-10.4 (zur Vertiefung: Meinel 10.5-10.8 und Beutelspacher 10)
Formale Sprachen und Automaten
Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen
1.3 Relationen und Funktionen
1.3. RELATIONEN UND FUNKTIONEN 1 1.3 Relationen und Funktionen Es gibt eine Konstruktion (Übungsaufgabe!) einer Klasse (a, b) mit der Eigenschaft (a, b) = (c, d) a = c b = d. Diese Klasse (a, b) heißt
Formale Grundlagen. Franz Binder. Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz
Formale Grundlagen Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2009S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Grundbegriffe Relationenprodukt Äquivalenzrelationen
4 Elementare Mengentheorie
4 Elementare Mengentheorie 4 Elementare Mengentheorie 4.1 Mengen [ Partee 3-11, McCawley 135-140, Chierchia 529-531 ] Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine asis für den ufbau der gesamten Mathematik
Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18
1/18 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 7. November 2007 2/18 Geordnete Paare Mengen sind ungeordnet: {a, b} = {b, a} für viele Anwendungen braucht
Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kapitel 2: Mengenlehre
Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kapitel 2: Mengenlehre Lang 3 Meinel 2, 4, 5, 10.2-10.4 (zur Vertiefung: Meinel 10.5-10.8 und Beutelspacher 10) Dean 2, 5-7
Lösungen 2 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren
Lösungen 2 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren µfsr, TU Dresden Version vom 26. September 2016, Fehler und Verbesserungsvorschläge bitte an benedikt.bartsch@myfsr.de
(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt
Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N
Zusammenhängen und Eigenschaften durch Relationen
Was bisher geschah Modellierung von Aussagen durch Logiken Daten durch Mengen Folgen Sprachen Zusammenhängen und Eigenschaften durch Relationen Definition, Beispiele Operationen auf Relationen: inverse
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre
Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilmenge R M N. Im Fall M = N sagen wir: R ist Relation auf M.
1.5 Relationen Es seien M und N Mengen. Definition Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilmenge R M N. Im Fall M = N sagen wir: R ist Relation auf M. Terminologie und Notation Es sei R M N eine Relation
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und
Algebra. Eine Menge A heißt abzählbar, wenn A gilt. Insbesondere sind, und abzählbar, und sind nicht abzählbar (überabzählbar).
Algebra 1 Mengen 1.1 Operationen A Anzahl der Elemente von A (Mächtigkeit, Betrag, Kardinalität) (A) Potenzmenge von X ( (A) = 2 A ) A B wenn jedes Element von A auch Element von B ist. A = B (A B und
Theoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 10: Einführung Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt:
aller Vornamen (oder nur die Vornamen, die in der Datenbank auftreten). Dann ist jede Zeile wie etwa
Kapitel 2 Relationen Im vorigen Kapitel haben wir n-stellige, kartesische Produkte M 1 M 2 M n kennen gelernt. Jetzt betrachten wir Teilmengen von kartesischen Produkten. Definition 2.1. Eine Teilmenge
Grundlagen. Kapitel Mengen
Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte
Aufgabe 3. Sei A eine Menge von Zahlen und neg das Tripel. neg = (A, A, R) A = N A = Z A = R A = R \ {0} mod : N 0 N N 0
Funktionen Aufgabe 1. Finden Sie 3 Beispiele von Funktionen und 3 Beispiele von partiellen Funktionen, die nicht total sind. Es sollten auch mehrstellige Funktionen darunter sein. Aufgabe 2. Zeigen Sie,
2 Modellierung mit Wertebereichen
2 Modellierung mit Wertebereichen Mod-2.1 In der Modellierung von Systemen, Aufgaben, Lösungen kommen Objekte unterschiedlicher Art und Zusammensetzung vor. Für Teile des Modells wird angegeben, aus welchem
: G G G. eine Abbildung. Gelten die folgenden Eigenschaften, so nennen wir (G,,e) eine Gruppe: (x,y) x y
5 GRUPPEN 5 Gruppen Hier fehlt eine schöne Einleitung oder ein motivierendes Beispiel. Definition [5.1] Sei G eine nicht-leere Menge, e G ein (ausgezeichnetes) Element in G und : G G G eine Abbildung.
Ordnungsrelationen auf Mengen. Beispiel einer Ordnungsrelation. Spezielle Elemente von Ordnungen. Spezielle Elemente von Ordnungen
Ordnungsrelationen auf Mengen! Eine (partielle) Ordnungsrelation oder kurz Ordnung O auf einer Menge M ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiel: M = { 1, 2, 3 }, O =
Ordnungsrelationen auf Mengen
Ordnungsrelationen auf Mengen Eine (partielle) Ordnungsrelation oder kurz Ordnung O auf einer Menge M ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiel: M = { 1, 2, 3 }, O =
Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA
Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA 1 Günter Lettl SS 2016 1. Algebraische Grundbegriffe 1.1 Verknüpfungen Definition 1. Es sei M eine nicht leere Menge. a) Eine Verknüpfung (oder (binäre) Operation) auf
Aussagenlogik. Mengenlehre. Relationen. Funktionen. Zahlentheorie. Vollständige Induktion. Reihen. Zahlenfolgen. WS 2016/17 Torsten Schreiber
Mengenlehre Aussagenlogik Relationen Zahlentheorie Funktionen Vollständige Induktion Zahlenfolgen Reihen 193 Definition einer Menge: Beziehungsjunktoren: ist Element, d.h. Wert und Format stimmen überein
Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag
Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 27 / 254 Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Definition 3.1 (Relationen)
Mathematik für Ökonomen 1
Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen
Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Lineare Algebra und Analytische Geometrie Manuel Kauers Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Version: 6. Dezember 25 2 Inhalt Teil I Algebraische Strukturen 5 Mengen.......................................
Beispiele für Relationen
Text Relationen 2 Beispiele für Relationen eine Person X ist Mutter von einer Person Y eine Person X ist verheiratet mit einer Person Y eine Person X wohnt am gleichen Ort wie eine Person Y eine Person
Kapitel 1. Mengen und Abbildungen. 1.1 Mengen
Kapitel 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Mengen Die Objekte der modernen Mathematik sind die Mengen. Obwohl die Logik einen axiomatischen Zugang zur Mengenlehre bietet, wollen wir uns in dieser Vorlesung auf