Lösungen der Übungsaufgaben I

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1 Mathematik für die ersten Semester (2. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben I C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

2 1.1 Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen): a) (A B) (B A) (Kommutativgesetz) b) (A B) (B A) (Kommutativgesetz) c) (A B) C A (B C) (Assoziativgesetz) d) (A B) C A (B C) (Assoziativgesetz) e) A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz) f) A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz) g) (A B) A B (de Morgansches Gesetz) h) (A B) A B (de Morgansches Gesetz) Die Äquivalenz der Aussagen ergibt sich aus der Gleichheit der entsprechenden Spalten der Wahrheitstafeln für a) h). a) b) g) h) A B A B B A A B B A (A B) A B (A B) A B c) d) e) f) A B C (A B) C A (B C) A (B C) (A B) C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel oder durch Äquivalenzumformung mit Hilfe von bereits bekannten Aussagen die Wahrheit der folgenden logischen Gesetze: a) A ( A) (Doppelte Negation) b) A A (Tertium non datur) c) (A A) (Kontradiktion) d) ((A B) A) B (Abtrennungsregel, modus ponens) e) ((A B) B) A (Widerlegung, modus tollens) f) ((A B) (B C)) (A C) (Syllogismus) Die wahre Aussage wird mit 1 bezeichnet. Wenn eine Spalte der Wahrheitstafel nur aus Einsen besteht, ist die Wahrheit der Aussage gezeigt.

3 a) b) c) A A A ( A) A A A A A (A A) d) e) A B A B (A B) A ((A B) A) B A B B (A B) B A ((A B) B) A f) A B C A B B C (A B) (B C) =: D A C D (A C) Die Wahrheit der Aussagen kann auch durch Äquivalenzumformung mit Hilfe von bereits bekannten Aussagen gezeigt werden. Das ist im Allgemeinen schwieriger. Als Beispiel wird dies für Aufgabe 1.2c durchgeführt: (A A) A A (de Morgansches Gesetz, Aufgabe 1.1g) A A (Aufgabe 1.2a) Die letzte Aussage ist immer wahr nach Aufgabe 1.2b. 1.3 Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr, welche sind immer falsch, welche sind vom Wahrheitswert der Einzelaussagen abhängig? a) A A b) A A c) (A B) A d) A (B A) e) (A (A B)) B f) (A B) (B A) g) (A B) (A B) h) B (A (A B)) immer wahr: b, d, e, g immer falsch: a abhängig vom Wert der Einzelaussagen: c, f, h

4 Im Einzelnen ergeben sich folgende Wahrheitstafeln für die Aufgaben a h: a) b) A A A A A A c) d) e) A B A B (A B) A B A A (B A) (A (A B)) (A (A B)) B d) Lösung durch Äquivalenzumformung A (B A) A (B A) A ( B A) A B A A A B immer wahr 1.3e) vergleiche 1.2d f) g) A B A B B A) (A B) (B A) A B A B (A B) (A B) h) A B A B A (A B) B B (A (A B)) Seien A = {1, a, b, c } und B = {1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A B, die Vereinigung A B und die Differenz A \ B sowie B \ A. A B = {1, c }, A B = {1, 2, 3, a, b, c }, A \ B = {a, b }, B \ A {2, 3 }

5 2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A B) C A (B C). Das Assoziativgesetz gilt nicht, wenn Schnitt und Vereinigung in einem Ausdruck verwendet werden: Wir wählen A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4}, C = {5, 6}. Dann ist (A B) C =, aber A (B C) = {1, 2, 3}. 2.3 Für die nicht leere Menge M prüfe man durch logische Herleitung und mit Mengendiagrammen die Sätze: a) M M = M (Idempotenzgesetz) M M = {x x M x M } = {x x M } = M (da A A = A ) b) M M = M (Idempotenzgesetz) M M = {x x M x M } = {x x M } = M (da A A = A ) c) M \ M = «M \ M = {x x M x M } = {x x x } = d) M = M = {x x M x } = {x x x } = e) M D = M (D ist neutrales Element der Schnittbildung) M D = {x x M x D } = {x x M} = M f) M = M ( ist neutrales Element der Vereinigung) M = {x x M x } = {x x M } = M g) M D = D M D = {x x M x D } = {x x D } = D h) A (A B) = A (Absorptionsgesetz) A A B B i) A (A B) = A (Absorptionsgesetz) A A B B

6 2.4 Vereinfachen Sie: a) A (B A) = (A A) B = A B (unter Verwendung von 2.3a und des Assoziativgesetzes ) alternativ: A (B A) = {x x A x B x A } = {x x A x B } = A B b) (A B) = (A ) (B ) = = c) (A B*) (A* B) (A B) = (A \ B) (B \ A) (A B) = A B A A \ B A B B \ A B A B* = A \ B aus Mengendiagramm ersichtlich (bzw. Hinweis bei 2.4e) d) (A B*)* (A* B)* = (A* B) (A B*) = (A* A) (B B*) = D D = D e) Die Aufgabe wird in Teilschritten gelöst: (((A (B C)) B) \ C) ((A B A*) \ B) [Hinweis: A \ B = A B*] ((A (B C)) B = ((A B) (A C)) B = (A B) (A C) B = ((A B) B) (A C) = B (A C) ((A (B C)) B) \ C = (B (A C)) \ C = (B (A C)) C* = (B C*) ((A C) C*) = (B C*) (A ) = (B C*) = B C* (A B A*) \ B = (A B A*) B* = (D B ) B* = D B* = B* (((A (B C)) B) \ C) ((A B A*) \ B) = (B C*) B* = (B B*) (C* B*) = D (C B)* = (C B)* 2.5 Führt man in einer logischen Aussage die folgenden Ersetzungen bzw. ihre Umkehrungen durch:, und M M* (einschließlich D ), so erhält man die duale Aussage. Beispiel: M D = D ist dual zu M* =. Bilden Sie die dualen Aussagen zu a) A (B A) = A b) M = M c) M M* = D und prüfen Sie deren Gültigkeit. a) A (B A) = A duale Aussage: A* (B* A*) = A* Beweis: A* (B* A*) = A* (B A)* = (A (B A))* = A* b) M = M duale Aussage: M* D = M* Beweis: siehe 2.3e. c) M M* = D duale Aussage: M* M** = D* M* M** =, da D* = Beweis: M* M** = M* M = 2.6 A = { 1, a } und B = { 1, 2 }. Bilden Sie das Produkt A B sowie das Produkt B A.

7 A B = {(1, 1); (1, 2); (a, 1); (a, 2)} B A = {(1, 1); (1, a); (2, 1); (2, a)} 3.1 Welche Eigenschaften besitzen die folgenden Relationen? reflexiv symmetrisch transitiv { x, y x, y { Menschen } x ist älter als y } { x, y x, y { Menschen } x ist Bruder von y } { x, y x, y { Menschen } x ist Bruder oder Schwester von y } { x, y x, y { Menschen } x ist Mutter von y } { x, y x, y { Menschen } x ist Tochter von y } { x, y x, y { Menschen } x ist Onkel von y } { x, y x, y { Menschen } x ist Nachkomme von y } { x, y x, y { Städte } x ist mindestens 100 km entfernt von y } { x, y x, y { Städte } x ist eine Stunde Weges entfernt von y } { x, y x, y { Geraden } x ist parallel zu y } { x, y x, y { Geraden } x ist senkrecht zu y } { x, y x, y N x y ist ungerade } { x, y x, y N x teilt y } 3.2 Zu welchen Klassen (Äquivalenzrelation, Ordnungsrelationen) gehören die folgenden Relationen? Es werden die Abkürzungen r: reflexiv, s: symmetrisch, t: transitiv, as: asymmetrisch und an: antisymmetrisch verwendet. r s t as an Äquivalenz- Ordnungsrelation relation partiell streng a) x besitzt dieselbe Größe (Farbe, Dichte, Ladung, ) wie y. b) x > y c) x y d) x = y e) x + y = 2 f) x = 2 (x + 0y = 2: x + 0y = 2 y + 0z = 2 fl x + 0z = 2) 3.3 Zeichnen Sie die Relationsgraphen für die Übungen 3.2 b bis f. b) x > y : markiertes Gebiet ohne Gerade; c) x y : mit Gerade; d) x = y : nur Gerade 1 1 Die Reflexivität einer Relation erkennt man daran, dass der Graph die Hauptdiagonale (y = x) enthält.

8 e) x + y = 2 y = x 2 f) x = 2 oder x + 0y = e) Die Symmetrie der Relation erkennt man an der Symmetrie des Graphen relativ zur Hauptdiagonale. f) Symmetrie liegt nicht vor, wie man am Graphen sieht, der nicht symmetrisch zur Hauptdiagonale ist. Reflexivität liegt nicht vor, weil der Graph die Hauptdiagonale nicht enthält 3.4 Geben Sie jeweils ein Beispiel für folgende Relationen an: a) Eine Äquivalenzrelation, die ebenfalls partielle Ordnungsrelation ist: x = y b) Eine Äquivalenzrelation, die nicht partielle Ordnungsrelation ist: x y ist ohne Rest durch 3 teilbar c) Eine partielle Ordnungsrelation, die nicht Äquivalenzrelation ist: x y d) Eine Relation, die weder Äquivalenzrelation noch partielle Ordnungsrelation ist: x < y 3.5 Prüfen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität: a) f(x) = 2x x, y: f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y), f(αx) = 2αx = α2x = αf(x) b) f(x) = 2x + 1 x: f(0ÿx) = 2ÿ0ÿx Die Abbildung kann nicht linear sein. c) f(x) = x 2 x, y: f(x + y) = (x + y) 2 x 2 + y 2 = f(x) + f(y), f(αÿx) = (αÿx) 2 αx 2 = αf(x) Die Abbildung ist nicht linear, denn außer in speziellen Fällen gelten die obigen Ungleichungen. Bei Linearität müsste aber in allen Fällen Gleichheit gelten. Deswegen genügt es, die Nichtlinearität an einem speziellen Beispiel zu zeigen: d) f(x) = x f(1 + (-1)) = 1 + (-1) = 0 2 = = f(1) + f(-1) Für weitere Aufgaben zur Linearität siehe Übungen 13.8 und 13.9.