Beispiel bestimme x Z mit. es gilt also. gilt dann. für x = 1 i k c i (M/m i ) v i gilt. y c i mod m i (1 i k), nämlich y = x mod M

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1 Chinesischer Restesatz einfachste Form p, q Z >0 mit ggt(p, q) = 1 Bézout-Koeffizienten u, v Z p u + q v = 1 also p u 1 mod q und q v 1 mod p für b, c Z sei x = c p u + b q v, dann gilt für y Z gilt y b mod p y c mod q x b mod p x c mod q x y mod (p q) d.h. es gibt in Z p q genau eine Lösung y der simultanen Kongruenzen y b mod p und y c mod q, nämlich y = x mod (p q) bestimme x Z mit x 3 mod 5 und x 2 mod 7 berechne mittels erweitertem euklidischen Algorithmus Bézout-Koeffizienten für (5, 7) es gilt also für gilt dann = 1 3 = 5 1 in Z 7 und 2 = 7 1 in Z 5 x = 3 7 ( 2) = = 12 x 3 mod 5 und x 2 mod 7 und ebenso für jede Zahl y mit y x mod (5 7), also insbesondere auch für y = 23 Z Beweis bestimme Bézout-Koeffizienten u i, v i Z für m i und M/m i (1 i k) m i u i + (M/m i ) v i = 1 Chinesischer Restesatz Theorem Zu paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen m 1, m 2,..., m k mit M = m 1 m 2 m k und Elementen c 1 Z m1, c 2 Z m2,..., c k Z mk gibt es genau ein c Z M mit c c i mod m i (1 i k) für x = 1 i k c i (M/m i ) v i gilt für y Z gilt x c i (mod m i ) (1 i k) y c i (mod m i ) (1 i k) y x (mod M) d.h. es gibt in Z M genau eine Lösung y der simultanen Kongruenzen y c i mod m i (1 i k), nämlich y = x mod M 3 4

2 bestimme x Z mit x 3 mod 5, x 1 mod 7, x 7 mod 11 eea liefert Bézout-Koeffizienten < 1 mod = 1 also ( 2) 77 0 mod 7 0 mod 11 < 0 mod = 1 also ( 1) 55 1 mod 7 0 mod 11 < 0 mod = 1 also ( 5) 35 0 mod 7 1 mod 11 Warum funktioniert das? die Zahlen e i = (M/m i ) v i (1 i k) haben die Indikatoreigenschaft 1 mod m i e i (1 i k) 0 mod m j für j i Damit kann man Zahlen mit vorgegebenen Kongruenzeigenschaften (= Werten an den Stellen m i ) mittels Linearkombination konstruieren für x = 1 i k c i e i gilt x c i mod m i (1 i k) Lösung x = 3 ( 2) ( 1) ( 5) 35 = mod Dieses Konstruktionsprinzip ist weit verbreitet. Andere Instanzen sind die Interpolationsformel von Lagrange Zu vorgegebenen (paarweise verschiedenen) Stellen m 1, m 2,..., m k C und Werten c 1, c 2,..., c k C gibt es genau ein Polynom p(x) = 0 i<k p i X i mit Grad < k, das an den Stellen m i die vorgegebenen Werte c i annimmt Dieses p(x) kann man angeben p(m i ) = c i (1 i k) p(x) = 1 i k c i j i (X m j) j i (m i m j ) Dabei gilt für die Polynome j i e i (X) = (X m j) 1 für i = j j i (m die Indikatoreigenschaft e i (m j ) = i m j ) 0 für i j die Darstellung Boolescher Funktionen in disjunktiver Normalform B = {0, 1} n Boolesche Algebra mit,, Jede Boolesche Funktion f B n B kann als Boolesches Polynom f(x 1,..., X n ) = b B n f(b) e b (X 1,..., X n ) dargestellt werden. Dabei sind für b = (b 1, b 2,..., b n ) B n die Minterme e b (X 1,..., X n ) = X i ( X i ) b i =1 b i =0 Funktionen mit 1 für (b 1,..., b n ) = (a 1,..., a n ) e b (a 1,..., a n ) = 0 für (b 1,..., b n ) (a 1,..., a n ) 7

3 Algebraische Version des Chinesischen Restesatzes Die Abbildung Isomorphismus der Ringe Z 4 Z Z 36 Ψ Z M Z m1 Z m2 Z mk a (a mod m 1, a mod m 2,..., a mod m k ) ist ein Isomorphismus von Ringen, insbesondere auch für die invertierbaren Elemente (Einheiten) (Isomorphismus von Gruppen) Ψ(Z M ) = Z m 1 Z m 2 Z m k Bemerkung aus der Isomorphie der Einheitengruppen folgt ϕ(m) = ϕ(m 1 ) ϕ(m 2 ) ϕ(m k ) d.h. die Multiplikativität der Eulerschen ϕ-funktion Z Z 4 Z 36 Isomorphismus der Einheitengruppen Z 4 Z Z Z Z 4 Z Addition in Z 36 Z 4 Z Schema der modularen Arithmetik wobei op {+,, inverse} Z M Ψ Z m1 Z m2... Z mk op op op... op Z M Ψ 1 Z m1 Z m2... Z mk Ψ ist eine Auswertungsabbildung, ihre Umkehrung Ψ 1 ist eine Interpolationsabbildung Z 36 Z 4 Z (22, 25) Ψ (2, 1) (4, 7) Ψ Multiplikation in Z 36 Z 4 Z Z 36 Z 4 Z (22, 25) Ψ (2, 1) (4, 7) Ψ

4 Das Schema der modularen Arithmetik Z M Ψ Z m1 Z m2... Z mk f f f... f Inverse in Z 36 Z 4 Z Z 36 Z 4 Z 25 Ψ 1 7 inv36 inv4 inv 13 Ψ Z M Ψ 1 Z m1 Z m2... Z mk gilt für alle Funktionen f, die mit den Ringoperationen verträglich sind ( Homomorphismen ), d.h. aus {+,, inverse} mittels Komposition entstehen. Man kann Berechungen in Z modularisiert ausführen, wenn man M gross genug macht (d.h. genügend viele kleine Moduln m i, z.b. Primzahlen in Maschinenwortgrösse) Vorteil Exaktes Rechnen in Bereichen kontrollierter Grösse, Parallelisierung Berechnung einer Determinanten A = det A =? Beachte Determinanten sind Ringterme, deshalb det A det(a mod m) mod m und det(a mod m 1 m 2 m k ) det(a mod m i ) mod m i (1 i k) Moduln m 1 = 2, m 2 = 31, m 3 = 37, m 4 = 41 M = m 1 m 2 m 3 m 4 = Berechungen in den einzelnen Z mi (1 i 4) A mod 2 = 22 0 det(a mod 2) = (det A) mod 2 = A mod 31 = det(a mod 31) = (det A) mod 31 =

5 A mod 37 = det(a mod 37) = (det A) mod 37 = A mod 41 = det(a mod 41) = (det A) mod 41 = Modulares Schema Z Z 2 Z 31 Z 37 Z 41 A Ψ A mod 2 A mod 31 A mod 37 A mod 41 detm det2 det31 det37 det Ψ Dieses Schema zeigt Tatsächlich gilt sogar det A 7522 mod M det A = 7522 Das kann man folgern, wenn man weiss, dass 0 det A < M oder (M/2) det A M/2 ist (z.b. mittels der Ungleichung von Hadamard für Determinanten) 17 1 Modulare Arithmetik lässt sich sehr effizient z.b. für die exakte Lösung von ganzzahligen Gleichungssystemen mit sehr grossen Koeffizienten einsetzen Literaturhinweise J. D. Lipson, Elements of Algebra and Algebraic Computing, Addison-Wesley, Kapitel. D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2, (Seminumerical Algorithms), Addison-Wesley, Abschnitt J. v.z. Gathen, J. Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, Kap. 5. Was tun, wenn die Moduln nicht teilerfremd sind? Wegen n (x a) d n d (x a) gilt x a mod n d n x a mod d und somit gilt x a mod m lösbar ggt(m, n) a b x b mod n und allgemein für beliebige Moduln m i (1 i k) x a i mod m i (1 i k) lösbar ggt(m i, m j ) a i a j (1 i < j k) Die Lösung ist eindeutig modulo kgv(m 1, m 2,..., m k ). 1 20

6 Lösung von < x 3 mod 6= x 7 mod ; existiert wegen ggt(6, ) = 2 (3 7). < x 3 mod 6= >< x 1 mod 2 >= < x 7 mod ; x 0 mod 3= x 0 mod 3 x 15 mod 24 > >; x 7 mod ; x 7 mod Lösung von < x 7 mod = x 2 mod 12; existiert nicht wegen ggt(, 12) = 3 (7 2). Genauer x 7 mod x 1 mod 3 x 2 mod 12 x 2 mod 3 Ergänzende Bemerkung zur Algebra sind p, q Z >0 beliebig, so gibt es einen Isomorphismus von Ringen Z p Z q Z ggt(p,q) Z kgv(p,q) jede endliche kommutative Gruppe Z m1 Z m2... Z mk ist isomorph zu genau einer Gruppe (Elementarteilersatz) Z d1 Z d2... Z dl mit 2 d 1 d 2... d l Isomorphie von endlichen kommutativen Gruppen Z m1 Z m2... Z mk? Zn1 Z n2... Z nl kann man mittels lokaler Transformationen (p, q) (ggt(p, q), kgv(p, q)) effizient entscheiden, indem man die Indexfolgen (m 1,..., m k ) und (n 1,..., n l ) in Elementarteilerform transformiert