Kanonische Primfaktorzerlegung

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1 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Kanonische Primfaktorzerlegung Satz 1 Jede natürliche Zahl n lässt sich auf genau eine Weise in der Form n = p α 1 1 pα 2 2 pα r r schreiben, wobei r eine nichtnegative ganze Zahl ist, p 1 < p 2 < < p r Primzahlen und α 1,..., α r natürliche Zahlen sind. Beispiel: =

2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Isomorphie Zwei Gruppen G := (G,, 1, 1 G ) und H := (H,, 1, 1 H ) sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung ϕ : G H gibt, die strukturerhaltend ist, d.h. für die folgendes gilt: ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x 1 ) = ϕ(x) 1, ϕ(1 G ) = 1 H. Um anzugeben, dass G und H isomorph sind, schreibt man G = H.

3 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Das direkte Produkt Seien G := (G,, 1, 1 G ) und H := (H,, 1, 1 H ) Gruppen. Auf der Menge ist durch G H := {(g, h) g G, h H} (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) := (g 1 g 2, h 1 h 2 ) (g, h) 1 := (g 1, h 1 ) eine Gruppe mit dem neutralen Element (1 G, 1 H ) definiert. Man nennt sie das direkte Produkt von G und H.

4 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Der Basissatz, erster Teil Vom Basissatz, der die endlichen abelschen Gruppen klassifiziert, zitieren wird ohne Beweis einen Teil: Satz 2 Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer Gruppen Jede endliche abelsche Gruppe ist also isomorph zu einer Gruppe der Form Z n1 Z n2 Z nr.

5 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Z 2 Z 2 Die Addition der Gruppe Z 2 und des direkten Produktes Z 2 Z 2 : (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (0, 1) (0, 1) (0, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 0)

6 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Z 2 Z 3 + (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1)

7 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Z 2 Z 3 ist zyklisch! + (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 0) (1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) (0, 0) (0, 1) Vielfache von (1, 2) sind: (1, 2), (1, 2) + (1, 2) = (0, 1), (0, 1) + (1, 2) = (1, 0), (1, 0) + (1, 2) = (0, 2), (0, 2) + (1, 2) = (1, 1), (1, 1) + (1, 2) = (0, 0).

8 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Umschreiben: (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) 0 0 (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 1) (0, 1) (0, 2) 0 (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 2) (0, 2) 0 (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (1, 2) 0 (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 0) (0, 1) (0, 2) 0 (1, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) 0 (0, 1)

9 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen p. Umschreiben: (1, 2) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) 1 (0, 1) (0, 1) (0, 2) 0 (1, 1) 1 (1, 0) (0, 2) (0, 2) 0 (0, 1) 1 (1, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) 1 0 (0, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) 1 (1, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) 0 (0, 1)

10 Umschreiben: (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) 0 (1, 1) 1 (1, 0) (0, 2) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 1) 1 (1, 0) 2 (0, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) 0 2

11 Umschreiben: usw Umsortieren der Zeilen und Spalten ergibt die vertraute Tafel der Addition modulo 6.

12 Z 2 Z 3 = Z =

13 Z 2 Z 2 = Z4 + (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (0, 1) (0, 1) (0, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 0) Jedes Element ist zu sich selbst invers, hat also Ordnung 2. Deshalb ist Z 2 Z 2 nicht zyklisch.

14 Wann ist Z m Z n zyklisch? Satz 3 Z m Z n = Z m n ggt(m, n) = 1. Beweisskizze: Seien i Z m, j Z n, und a eine natürliche Zahl. Das a-fache des Elements (i, j) Z m Z n ergibt sich so: a (i, j) = (a i mod m, a j mod n). Für a = kgv(m, n) kommt jedenfalls (0, 0) heraus. Die Ordnung eines Elementes ist also höchstens kgv(m, n). Die Ordnung kann also nur dann gleich m n sein, wenn m und n teilerfremd sind. Ist dies der Fall, dann hat das Element (1, 1) die Ordnung m n.

15 Welche zykl. Gruppen sind zerlegbar? Wenn eine zyklische Gruppe direkt zerlegbar ist, dann sind die Faktoren notwendigerweise ebenfalls zyklisch. Anders gesagt: Wenn eine zkylische Gruppe als ein direktes Produkt geschrieben werden kann, dann nur als ein drirektes Produkt zyklischer Gruppen. Der Satz Z m Z n = Zm n ggt(m, n) = 1 zeigt, welche Gruppen dafür in Frage kommen: Es sind diejenigen, deren Ordnung als Produkt teilerfremder Zahlen geschrieben werden kann.

16 Unzerlegbar Eine zyklische Gruppe Z k der Ordnung k kann genau dann nicht als Produkt kleinerer abelscher Gruppen geschrieben werden, wenn die Zahl k eine Primzahlpotenz ist. Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen. Jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Zyklische Gruppen von Primzahlpotenzordnung sind direkt unzerlegbar.

17 Der Basissatz Satz 4 Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer Gruppen, deren Ordnungen Primzahlpotenzen sind. Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Es gibt deshalb (bis auf Isomorphie) genau so viele ablesche Gruppen mit k Elementen, wie es Möglichkeiten gibt, die Zahl k als ein Produkt von Primzahlpotenzen zu schreiben.

18 Beispiel: Ordnung 144 Welche abelschen Gruppen mit 144 Elementen gibt es? Lösung: Die kanonische Darstellung von 144 ist 144 = Die geordneten Partitionen der Zahlen 2 und 4 sind: 4 = 4 = = = = = 2 = Es gibt deshalb 5 2 Möglichkeiten, 144 als Produkt von Primzahlpotenzen zu schreiben: 144 = 16 9 = = = = = = = = =

19 Abelsche Gruppen der Ordnung 144 Es gibt also (bis auf Isomorphie) genau 10 abelsche Gruppen mit 144 Elementen, nämlich die Produkte einer Gruppe aus {Z 16, Z 8 Z 2, Z 4 Z 4, Z 4 Z 2 Z 2, Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 } mit einer Gruppe aus {Z 9, Z 3 Z 3 }. Z 16 Z 9, Z 8 Z 2 Z 9, Z 4 Z 4 Z 9, Z 4 Z 2 Z 2 Z 9, Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 9, Z 16 Z 3 Z 3, Z 8 Z 2 Z 3 Z 3, Z 4 Z 4 Z 3 Z 3, Z 4 Z 2 Z 2 Z 3 Z 3, Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 3 Z 3.