Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II

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1 . Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Malte Meyn. Juni Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

2 Inhalt. Große Zahlen java.math.biginteger. Lineare Rekurrenzen. Simultane Kongruenzen und Chinesischer Restsatz. Der RSA-Algorithmus Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

3 Inhalt. Große Zahlen java.math.biginteger. Lineare Rekurrenzen. Simultane Kongruenzen und Chinesischer Restsatz. Der RSA-Algorithmus Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

4 Javas BigInteger import java.math.biginteger; beliebig große ganze Zahlen verhält sich wie Zweierkomplement-Integer, aber ohne Überlauf immutable, d. h. für jede Operation wird ein neues Objekt angelegt Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

5 Wichtige Methoden I mangels Operatorenüberladung: add, xor, equals,... Bitmanipulation: int bitlength() shiftleft(int) setbit(int)... Konvertierung: valueof(long) BigInteger(String) tobytearray()... weitere wie max, signum, abs, pow etc. Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

6 Wichtige Methoden II Zufall: BigInteger(int bits, Random rand) Primzahlen: BigInteger(int bits, int certainty, Random rand) probableprime(int bits, Random rand) nextprobableprime() isprobableprime(int cert) Zahlentheorie: gcd(biginteger other) modinverse(biginteger mod) modpow(biginteger exp, BigInteger mod) Richtig gute Zufallszahlen kriegt man nur mit java.security.securerandom, welches von java.util.random erbt. Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

7 Darstellung von großen Zahlen Array oder Liste aus Ziffern eines primitiven Datentyps Basis: m, wenn man die Ziffern voll ausnutzt oder n, wenn man Ausgabe braucht Vorteil Array: einfacher zu implementieren, kein Overhead Vorteil Liste: dynamisch wachsend Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

8 Inhalt. Große Zahlen java.math.biginteger. Lineare Rekurrenzen. Simultane Kongruenzen und Chinesischer Restsatz. Der RSA-Algorithmus Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

9 Rekursiv definierte Folgen Viele Zahlenfolgen (a n ) n N = (a, a, a,...) können rekursiv definiert werden. O handelt es sich dabei um homogene lineare Rekurrenzen: k Startwerte s,..., s k k Konstanten c,..., c { k s n a n = c a n + c a n + + c k a n k n k n > k Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

10 Rekursiv definierte Folgen Viele Zahlenfolgen (a n ) n N = (a, a, a,...) können rekursiv definiert werden. O handelt es sich dabei um homogene lineare Rekurrenzen: k Startwerte s,..., s k k Konstanten c,..., c { k s n a n = c a n + c a n + + c k a n k n k n > k Wie berechnet man nun die ersten n Elemente? nur das n-te Element? Malte Meyn Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II. Juni /

11 Beispiel: F -Zahlen Die Folge (f n ) n N der F -Zahlen ist wie folgt definiert: n = f n = n = f n + f n n > Hier sind also k =, s = s = und c = c =.

12 Naiver Ansatz Folgender Ansatz berechnet fast alle Werte mehrfach, Laufzeit O(Φ n ): function F N (n) if n = n = then return return F N (n ) + F N (n )

13 Naiver Ansatz Folgender Ansatz berechnet fast alle Werte mehrfach, Laufzeit O(Φ n ): function F N (n) if n = n = then return return F N (n ) + F N (n ) Entrekursivierung hil und beantwortet unsere Frage nach den n ersten Elementen: function F I (n) f = f = for i,..., n do f i = f i + f i return f

14 Einzelne Werte einer Folge Wenn wir nun die. Fibonacci-Zahl wissen wollen, müssen wir dafür erst andere berechnen O(n). Geht das nicht besser?

15 Einzelne Werte einer Folge Wenn wir nun die. Fibonacci-Zahl wissen wollen, müssen wir dafür erst andere berechnen O(n). Geht das nicht besser? Doch, durch Lösung der linearen Differenzengleichung f n f n f n = : Problem: ( ( f n = ) n ( ) n ) + Polynomgleichung k-ten Grades muss gelöst werden für k > nicht trivial Genauigkeit bei großen n fehlt

16 Matrix für rekursiven Schri Schreibt man die Konstanten c,..., c k wie folgt in eine Matrix M, dann kann man den rekursiven Berechnungsschri durch eine Matrixmultiplikation ausdrücken: c... c k c k... a n a n. a n k = a n a n. a n k+

17 Mehrfaches Anwenden der Multiplikation liefert weitere Werte: M M M } {{ } m-mal a n. a n k+ = Aufgrund der Assoziativität der Matrixmultiplikation ist also auch M m a n. a n k+ = a n+m. a n k+ +m a n+m. a n k+ +m

18 Daraus folgt c... c k c k... n k s ḳ. s = a n. a n k+

19 Daraus folgt c... c k c k... n k s ḳ. s = a n. a n k+ Die Potenz der Matrix M kann mi els fast exponentiation berechnet werden: function M (M, m) if m = then return 1 k if m (mod ) then return M (M, m ) else return M (M, m ) M Aufwand von O(log m k ), für kleine k also O(log n) sta O(n).

20 Beispiel: f Für die Fibonacci-Zahlen ist (c,..., c k ) = (, ), also ( ) M = und Um f zu ermi eln, berechnet man M ( s s ) ( = ) s ḳ. s = ( ) = ( ) ( ) ( ) f = f

21 Inhomogene lineare Rekurrenzen Inhomogene lineare Rekurrenzen haben zusätzlich noch eine Funktion b in ihrer Definition: k Startwerte s,..., s k k Konstanten c,..., c { k s n a n = c a n + c a n + + c k a n k + b(n) n k n > k

22 Inhomogene lineare Rekurrenzen Inhomogene lineare Rekurrenzen haben zusätzlich noch eine Funktion b in ihrer Definition: k Startwerte s,..., s k k Konstanten c,..., c { k s n a n = c a n + c a n + + c k a n k + b(n) n k n > k Für konstantes b(n) = B kann man wieder Matrizen verwenden: c... c k c k B a n a n.... = a n k a n a n. a n k+

23 Inhalt. Große Zahlen java.math.biginteger. Lineare Rekurrenzen. Simultane Kongruenzen und Chinesischer Restsatz. Der RSA-Algorithmus

24 Eier zählen Eine alte Frau geht über den Marktplatz. Ein Pferd tri auf ihre Tasche und zerbricht die gekau en Eier. Der Besitzer des Pferdes möchte den Schaden ersetzen und fragt die alte Frau, wie viele Eier in ihrer Tasche waren. Sie weiß die exakte Zahl nicht mehr, aber sie erinnert sich, dass genau ein Ei übrig bleibt, wenn sie beim Auspacken die Eier immer zu zweit aus der Tasche nimmt. Das Gleiche geschieht, wenn sie die Eier immer zu dri, zu viert, zu fün und zu sechst aus der Tasche nimmt. Nur wenn sie die Eier zu siebt aus der Tasche nimmt, bliebt kein Ei übrig. Was ist die kleinste Zahl an Eiern, welche die alte Frau in ihrer Tasche haben kann? [ ]

25 Eier zählen Eine alte Frau geht über den Marktplatz. Ein Pferd tri auf ihre Tasche und zerbricht die gekau en Eier. Der Besitzer des Pferdes möchte den Schaden ersetzen und fragt die alte Frau, wie viele Eier in ihrer Tasche waren. Sie weiß die exakte Zahl nicht mehr, aber sie erinnert sich, dass genau ein Ei übrig bleibt, wenn sie beim Auspacken die Eier immer zu zweit aus der Tasche nimmt. Das Gleiche geschieht, wenn sie die Eier immer zu dri, zu viert, zu fün und zu sechst aus der Tasche nimmt. Nur wenn sie die Eier zu siebt aus der Tasche nimmt, bliebt kein Ei übrig. Was ist die kleinste Zahl an Eiern, welche die alte Frau in ihrer Tasche haben kann? [ ] Antwort: Es sind mindestens Eier.

26 Simultane Kongruenzen Eine simultane Kongruenz ist ein System von linearen Kongruenzen. a a (mod n ) a a (mod n ). a a k (mod n k ) Ein a, welches für gegebene a,..., a k und n,..., n k alle k Kongruenzen erfüllt, heißt Lösung der simultanen Kongruenz.

27 Der Chinesische Restsatz Seien n,..., n k paarweise teilerfremd und N = k i= n i. Dann hat die simultane Kongruenz modulo N genau eine Lösung a. a a (mod n ). a a k (mod n k )

28 Der Chinesische Restsatz Seien n,..., n k paarweise teilerfremd und N = k i= n i. Dann hat die simultane Kongruenz modulo N genau eine Lösung a. a a (mod n ). a a k (mod n k ) Anmerkung: Es gibt verschiedene Versionen des Satzes, bei Cormen [ ] ist dies z. B. nur ein Korollar aus dem eigentlichen Satz. Erste Erwähnung im Sūn Zǐ Suànjīng (Sūn Zǐs Handbuch der Arithmetik),. Jhd. n. Chr.?

29 Finden einer Lösung. Berechne N i = N n i = n n i n i+ n k.. Berechne M i mit N i M i (mod n i ). erweiterter E. Berechne a = k i= a in i M i. Dann ist a eine Lösung der simultanen Kongruenz.

30 Warum funktioniert das? Da n i N j für i j, ist auch n i N j M j, also Insgesamt ist also N j M j (mod n i ) und N i M i (mod n i ). a a N M + + a i N i M i + a i N i M i + a i+ N i+ M i+ + + a k N k M k a + + a i + a i + a i+ + + a k a i (mod n i )

31 Beispiel (Tafel) Gegeben sei die simultane Kongruenz a (mod ) a (mod ) Diese hat die Lösung a (mod ).

32 Was, wenn die n i nicht paarweise teilerfremd? Eine Lösung existiert genau dann, wenn i, j : ggt(n i, n j ) (a i a j ) und alle Lösungen sind kongruent mod kgv(n,..., n k ).

33 Lösung durch sukzessive Substitution I.. Schreibe die erste Kongruenz als a = a + n q. Setze dies in die zweite Kongruenz ein und forme um:. Teile durch t := ggt(n, n ): a + n q a (mod n ) = n q a a (mod n ) q n t a a t (mod n t ) Dies ist möglich, weil ggt(n, n ) (a a ).

34 Lösung durch sukzessive Substitution II... Berechne Inverse i von n t mod n t und multipliziere mit ihr: q i a a t (mod n t ) Schreibe dies als q = i a a t + r n t. Setze in a = a + n q ein und schreibe als Kongruenz: ( ) a = a + n i a a + r n t t = a a + n t i (a a ) (mod n n ) t

35 Lösung durch sukzessive Substitution III. Ersetze die ersten beiden Kongruenzen im System durch die neue.. Falls nun k = : fertig. Sonst: gehe zu. Kurzfassung:. Berechne t = ggt(n, n ) und prüfe, ob t (a a ) (falls nicht, gibts keine Lösung). Berechne i = ( n ) t (mod n t )... Ersetze die ersten beiden Kongruenzen durch a a + n t i (a a ) (mod n n t ).

36 Beispiel (Tafel) Gegeben sei die simultane Kongruenz a (mod ) a (mod ) Diese hat die Lösung a (mod ).

37 Beispiel (Tafel) Gegeben sei die simultane Kongruenz a (mod ) a (mod ) Diese hat die Lösung a (mod ). Dagegen ist a (mod ) a (mod ) unlösbar.

38 Inhalt. Große Zahlen java.math.biginteger. Lineare Rekurrenzen. Simultane Kongruenzen und Chinesischer Restsatz. Der RSA-Algorithmus

39 Security

40 Symmetrische Kryptosysteme symmetrisches Kryptosystem: Nachrichten werden mit demselben Schlüssel ver- und entschlüsselt alle Teilnehmer müssen den selben Schlüssel verwenden unvermeidliche Schwachstelle ist also die Schlüsselübertragung, die nicht abgehört werden darf Beispiel: C -Chiffre, Advanced Encryption Standard

41 Asymmetrische Kryptosysteme Wenn jeder seinen eigenen Schlüssel verwendet, braucht man keinen zu übertragen. Entschlüsseln: privater Schlüssel, den die anderen Teilnehmer nicht kenne Verschlüsseln: öffentlicher Schlüssel, von dem man nicht auf den privaten schließen kann Beispiel für ein asymmetrisches Kryptosystem: RSA

42 RSA von R. R, A. S, L. A entwickelt als sehr sicher eingeschätzt langsam, deshalb zum Verschlüsseln von Schlüsseln schnellerer symmetrischer Vefahren eingesetzt

43 E sche φ-funktion Zur Erinnerung: Für p P ist φ(p) = (p ). Außerdem gilt für p, q P φ(pq) = pq p q + = (p )(q ) Alle p Vielfachen von q und alle q Vielfachen von p werden gestrichen, aber pq darf nicht doppelt gestrichen werden.

44 Satz von E Seien m, n N teilerfremd. Dann gilt m φ(n) (mod n) und damit für alle k N m kφ(n)+ k m m (mod n).

45 Satz von E Seien m, n N teilerfremd. Dann gilt m φ(n) (mod n) und damit für alle k N m kφ(n)+ k m m Für verschiedene Primzahlen p, q mit pq = n ist also (mod n). m kφ(pq)+ m (mod pq)

46 Sonderfall: ggt(m, n) Was, wenn n = pq und m, n nicht teilerfremd, aber m n?

47 Sonderfall: ggt(m, n) Was, wenn n = pq und m, n nicht teilerfremd, aber m n? Dann muss m durch p oder q teilbar sein. Sei also o. B. d. A. p m und q m. m kφ(pq)+ m (mod p) m kφ(pq)+ m k(p )φ(q)+ m (mod q) Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich m kφ(pq)+ m (mod pq)

48 Schlüsselerzeugung.. Wähle zwei verschiedene große Primzahlen p, q. Berechne n = pq.. Berechne φ(n) = (p )(q ).. Wähle e mit ggt(e, φ(n)) =. z. B. e = + P. Berechne d mit ed (mod φ(n)). erweiterter E öffentlicher Schlüssel: (e, n) privater Schlüssel: (d, n) geheimzuhalten bzw. zu vergessen: p, q, φ(n) Geht nicht immer, aber o. Gut für fast exponetiation.

49 Ver- und Entschlüsseln Gegeben: Klartext m < n, öffentlicher und privater Schlüssel (e, n) und (d, n). Berechne Geheimtext c als m e mod n. Berechne entschlüsselten Text m als c d mod n.

50 Warum funktioniert das? Es ist m c d (m e ) d m ed (mod n). Weil ed (mod φ(n)), existiert ein k mit ed = kφ(n) +. Mit dem Satz von E und unseren Ergänzungen ergibt sich m m kφ(n)+ m (mod n)

51 Beispiel I Alice hat die Antwort gefunden ( ) und will sie erstmal nur Bob mi eilen, um viel Geld mit der Programmierung von D T verdienen zu können. Eve, Alice Chefin, soll nichts davon erfahren. function D T sleep(. a) say( ) Bob sucht sich zwei Primzahlen p =, q = und berechnet n = und φ(n) = =. Dann wählt er e = und berechnet mithilfe des erweiterten E ischen Algorithmus d =.

52 Beispiel II Alice berechnet mod = und schickt die Nachricht Ich hab die Antwort gefunden: (RSA-verschlüsselt!) an Bob. Ziemlich dumm, wär sicherer gewesen, auch den Rest der Nachricht zu verschlüsseln. Aber Alice hat Glück: Eve ist gegen jede Form der Gewalt und wartet lieber ein paar Millionen Jahre (sie ist nämlich leider nicht in der Lage, zu faktorisieren). Naja, Bob rechnet nun jedenfalls mod = und freut sich für Alice.

53 Sicherheit von RSA Um d zu berechnen, müsste man φ(n) = (p )(q ) kennen. Und dazu müsste man n faktorisieren. Faktorisierung wird als schwierig angesehen, ist aber nicht bewiesen! Ebenfalls nicht bewiesen: Ist das die einzige Schwachstelle?

54 Literatur I Douglas Adams. Per Anhalter durch die Galaxis. Wilhelm Heyne Verlag, München,. Aufl.,. Albrecht Beutelspacher. Kryptologie Eine Einführung in die Wissenscha vom Verschlüsseln, Verbergen und Verheimlichen. Vieweg, Wiesbaden,. Aufl.,. BigInteger (Java Platform SE ). /docs/api/java/math/biginteger.html,. Juni. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms. The MIT Press, rd edition,.

55 Literatur II Daniel Laffling. Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II,. Juli. Chinesischer Restsatz. Juni. Eieraufgabe des Brahmagupta. Juni. Method of successive substitution. Juni. xkcd Security. /,. Juni.

56 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Fragen?