Hallo Welt für Fortgeschrittene
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- Gabriel Böhler
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1 Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Florian Habur Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen
2 Übersicht Modulare Arithmetik Rechenregeln Fast Exponentiation Algorithmus von Euklid Eigenschaften des ggt Berechnung des ggt Lemma von Bézout Erweiterung Diophantische Gleichungen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 2
3 Übersicht Primzahlen Definitionen und Eigenschaften Primzahltest durch Probedivision Sieb des Eratosthenes Der Fermat sche Satz Der Miller-Rabin - Test Der Pollard-Rho - Algorithmus Die Teileranzahl-Funktion τ(x) Die Eulersche Phi - Funktion φ(x) Quellen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 3
4 Übersicht Modulare Arithmetik Rechenregeln Fast Exponentiation Algorithmus von Euklid Eigenschaften des ggt Berechnung des ggt Lemma von Bézout Erweiterung Diophantische Gleichungen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 4
5 Modulare Arithmetik Rechenregeln 1 Addition a + b c (mod n) (a mod n) + (b mod n) c (mod n) Subtraktion a b c (mod n) (a mod n) (b mod n) c (mod n) Multiplikation a b c (mod n) (a mod n) (b mod n) c (mod n) Division Das funktioniert leider nicht so einfach! Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 5
6 Modulare Arithmetik Rechenregeln 2 Exponentiation lässt sich auf Multiplikationen zurückführen: int exp(int a, int b, int n){ int ret = 1; for(int i=0; i<b; i++){ ret = (ret * a%n)%n; } return 0; } Aufwand: O(b), aber O(2 β ) mit β = log(b) als Eingabegröße! Das geht besser! Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 6
7 Modulare Arithmetik Fast Exponentiation Jede natürliche Zahl b lässt sich darstellen als (m 2) + r, mit r {0,1} Folglich gilt: a b = a m 2+r = (a m )² a r Bei der Fast Exponentiation wird nun a m rekursiv genauso aufgeteilt. Modulares Rechnen funktioniert dann analog zur Multiplikation. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 7
8 Modulare Arithmetik Fast Exponentiation int fastexp(int a, int b, int n){ if (b==0) return 1; if (b==1 a==0) return a%n; int m = fastexp(a, b/2, n) % n; if (b%2==0) return (m*m) % n; a = a%n; m = (m*m)%n; return (m * a)%n; } log b Rekursionsstufen In jeder Stufe konstant viele Multiplikationen und Modulo- Operationen Aufwand: O(log b) bzw. O(β) Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 8
9 Übersicht Modulare Arithmetik Rechenregeln Fast Exponentiation Algorithmus von Euklid Eigenschaften des ggt Berechnung des ggt Lemma von Bézout Erweiterung Diophantische Gleichungen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 9
10 Algorithmus von Euklid Eigenschaften des ggt Definition (größter gemeinsamer Teiler, ggt): Die größte natürliche Zahl, die zwei Ganzzahlen a und b teilt, heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b. ggt(a,b) = ggt(b, a-b) ggt(a,b) = ggt(b, a%b) ggt von mehr als zwei Zahlen: ggt(a, b, c) = ggt(a, ggt(b, c)) = ggt(ggt(a, b), c) Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 10
11 Algorithmus von Euklid Berechnung des ggt Wie finde ich den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen? Der traditionelle Algorithmus: int ggt(int a, int b){ if (a==0 b==0) return a+b; if(a>b) return ggt(a, a-b); return ggt(b, b-a); } Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 11
12 Algorithmus von Euklid Berechnung des ggt Wie finde ich den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen? Schnellere Variante: int ggt(int a, int b){ if (b==0) return a; return ggt(b, a%b); } Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 12
13 Algorithmus von Euklid Berechnung des ggt Binäre Variante (Stein s Algorithm): bool even (int a){ return!(a & 1); } int ggt (int a, int b){ if (a==0 b==0) return a + b; if (even(a) && even(b)) return 2 * ggt(a/2, b/2); if (even(a) &&!even(b)) return ggt (a/2, b); if (!even(a) && even(b)) return ggt (a, b/2); if (!even(a) &&!even(b)) if (a > b) return ggt (a - b, b); else return ggt (a, b - a); } Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 13
14 Algorithmus von Euklid Lemma von Bézout Das nach Etienne Bézout ( ) benannte Lemma von Bézout besagt: Für alle a,b aus Z gibt es ganzzahlige Koeffizienten s, t, sodass ggt(a, b) = s a + t b Die Koeffizienten s und t können mit einer Erweiterung des Algorithmus von Euklid berechnet werden. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 14
15 Algorithmus von Euklid Erweiterung int s, t; int extendedeuclid(int a, int b){ if (b==0) { s=1; t=1; return a; } int ret = extendedeuclid(b, a%b); int s2 = s; s = t; t = s2 (a/b)*t; return ret; } Die Berechnung des ggt funktioniert analog zum einfachen Algorithmus Parallel dazu werden in jeder Rekursionsstufe die Koeffizienten s und t für a und b aus den s, t der letzten Stufe berechnet. Aufwand steigt im Vergleich zum einfachen Algorithmus um O(log n), wobei n = min(a, b). Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 15
16 Algorithmus von Euklid Erweiterung Begründung des Algorithmus: 1. ret = ggt(a,b) 2. ret = ggt(b, a%b) 3. ret = a s + b t aus 2. und 3. folgt: ret = b*salt + (a%b)*talt a%b kann man umformen: ret = b*salt + (a b* a/b )*talt = a*talt + b*(salt - a/b *talt) s = talt und t = salt - a/b * talt lösen Gleichung 3 Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 16
17 Übersicht Modulare Arithmetik Rechenregeln Fast Exponentiation Algorithmus von Euklid Eigenschaften des ggt Berechnung des ggt Lemma von Bézout Erweiterung Diophantische Gleichungen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 17
18 Diophantische Gleichungen Definition (Diophantische Gleichung): Eine Gleichung der Form f(x 1,x 2,..,x n )=0 mit ganzzahligen Koeffizienten, bei der man sich nur für die ganzzahligen Lösungen interessiert, heißt diophantische Gleichung. Von Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch bewiesen: Die Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung ist nicht entscheidbar. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 18
19 Diophantische Gleichungen Definition (Lineare diophantische Gleichung): Eine diophantische Gleichung der Form a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c heißt lineare diophantische Gleichung. Eine lineare diophantische Gleichung hat genau dann Lösungen, wenn c durch den ggt aller a i teilbar ist. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 19
20 Diophantische Gleichungen Lösung von linearen dioph. Gleichungen mit n = 2: a 1 x 1 + a 2 x 2 = c Bedingung für Lösbarkeit: ggt(a 1, a 2 ) c Anwendung von erweitertem Euklid-Algorithmus: Berechne u,v in ua 1 + va 2 = ggt(a 1, a 2 ) c ua 1 + c va 2 = c ggt(a 1, a 2 ) Durch Koeffizientenvergleich kommt man auf eine Lösung: x 1 = u c / ggt(a 1, a 2 ) x 2 = v c / ggt(a 1, a 2 ) Allgemeine Lösung: x = (x 1 + m t, x 2 + n t), mit a 1 m + a 2 n = 0, t Z Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 20
21 Diophantische Gleichungen Beispiel: 2x 1 + 3x 2 = 26 Erste Lösung: x 1 = 13, x 2 = 0 2m + 3n = 0 m = 3, n = -2 Allgemeine Lösung: x = (13 + 3t, -2t) Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 21
22 Übersicht Primzahlen Definitionen und Eigenschaften Primzahltest durch Probedivision Sieb des Eratosthenes Der Fermat sche Satz Der Miller-Rabin - Test Der Pollard-Rho - Algorithmus Die Teileranzahl-Funktion τ(x) Die Eulersche Phi - Funktion φ(x) Quellen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 22
23 Primzahlen Definitionen und Eigenschaften Definition (Primzahl): Eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann, heißt Primzahl. Definition (relativ prim): Zwei ganze Zahlen a und b heißen relativ prim(teilerfremd), wenn gilt: ggt(a, b) = 1 Fundamentalsatz der Arithmetik: Für jede natürliche Zahl n>1 gibt es eine eindeutige Primzahlzerlegung n = p i1 1 p i2 2 p ik k Anzahl der Primzahlen: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 23
24 Primzahlen 2 Fragestellungen: Ist eine Zahl x eine Primzahl? Primzahltests, Sieb des Eratosthenes Wie finde ich die Primzahlzerlegung von einer Zahl x? Probedivisionen Pollard-Rho - Algorithmus Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 24
25 Primzahlen 2 Fragestellungen: Ist eine Zahl x eine Primzahl? Primzahltests, Sieb des Eratosthenes Wie finde ich die Primzahlzerlegung von einer Zahl x? Probedivisionen Pollard-Rho - Algorithmus Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 25
26 Primzahlen Primzahltest durch Probedivision bool isprime(int a){ if (a%2 == 0) return false; int i = 3; for(; i*i<=a; i+=2){ if (a%i == 0) return false; } return true; } Idee: Prüfe die Teilbarkeit von a mit der 2 und allen ungeraden Zahlen von 3 bis a 1/2. Wenn a nicht durch eine solche Zahl teilbar ist, ist es prim. Aufwand: O(a 1/2 ) Aufwand in Eingabegröße β = log(a) : O(2 β/2 ) Das ist exponentiell! Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 26
27 Primzahlen Sieb des Eratosthenes Markiert jede Zahl bis zu einer vorgegebenen Grenze als prim oder zusammengesetzt. Vorgehensweise: Erzeuge Liste mit allen Zahlen von 2 bis n a = 1 Solange eine unmarkierte Zahl b ex. mit a < b <= n 1/2 : Markiere alle Vielfachen von b ab b² a = b Die unmarkierten Zahlen sind Primzahlen, die Markierten sind zusammengesetzt Effizient bei vielen Anfragen, aber Speicheraufwand O(n) = O(2 β ) Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 27
28 Primzahlen Der Fermat sche Satz Satz (Kleiner Fermat scher Satz): Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl a<p gilt: a a p (mod p) Daraus folgt für alle a mit ggt(a, p) == 1: a p-1 1 (mod p) Der kleine Satz von Fermat bildet eine Basis für probabilistische Primzahltests Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 28
29 Primzahlen Der Fermat sche Satz Mit dem Satz von Fermat ist folgender Test möglich: pseudo_prime(n){ if (2 n-1 %n!= 1) return composite; // Das ist sicher! else return prime; // Das leider nicht! } Es gibt ein paar sog. Pseudo-Primzahlen, die den Test bestehen, obwohl sie zusammengesetzt sind: z.b. 341, 561, 645, W keit bei einer zufälligen 512-Bit Zahl: Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 29
30 Primzahlen Der Fermat sche Satz Einige zusammengesetzte Zahlen, die Carmichael Zahlen, erfüllen den Satz von Fermat für alle Basen a Es gibt zwar nur 255 Carmichael-Zahlen, die kleiner als sind, aber es gibt sie: z.b. 561, 1105, 1729 => Verwendung des Satzes als Primzahltest nur bedingt möglich Testcases sind leider nicht zufällig. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 30
31 Primzahlen Der Miller-Rabin - Test Idee: Finde eine andere Art von Zeugen, die zusammengesetzte Zahlen noch sicherer identifizieren Ein weiterer Satz besagt für jede Zahl p: Wenn eine Zahl x existiert, sodass x² 1 (mod p), dann ist p keine Primzahl. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 31
32 Primzahlen Der Miller-Rabin - Test Damit kann man einen Test zeuge(a,n) konstruieren, ob eine Zahl a als Zeuge für n dienen kann: n sei die zu testende Zahl und ungerade Dann gilt: n-1 = 2 t u mit t>=1, u 1 (mod 2) => a n-1 (a u ) 2t (mod n) Berechne x = a u Wiederhole (t-1)-mal: Berechne x = x 2 %n Prüfe, ob x = 1 Wenn ja, return true // Satz von letzter Folie Prüfe, ob x 2 %n = 1: Wenn ja, return false // n-1 1 (mod n) gilt immer! Return true Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 32
33 Primzahlen Der Miller-Rabin - Test Verwendung von zeuge(a,n) im Miller-Rabin - Test: Annahme: n > 2 und n 1 (mod 2) Miller-Rabin(n, zeugen[]): for i in zeugen: if(zeuge(i, n)): return false; //n ist zusammengesetzt return true; //n ist Primzahl (fast sicher) Als sichere Zeugen reichen aus: für n < die ersten 3 Primzahlen für n < die ersten 5 Primzahlen, für n < 3.4 x die ersten 7 Primzahlen Fehlerwahrscheinlichkeit e bei s bel. Zeugen: e <= 2 -s Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 33
34 Primzahlen 2 Fragestellungen: Ist eine Zahl x eine Primzahl? Primzahltests, Sieb des Eratosthenes Wie finde ich die Primzahlzerlegung von einer Zahl x? Probedivisionen Pollard-Rho - Algorithmus Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 34
35 Primzahlen Der Pollard-Rho-Algorithmus Mit normaler Probedivision bis zu einer Zahl R kann man eine Zahl < R 2 faktorisieren. Mit Pollard-Rho kann mit dem selben Aufwand eine Zahl bis R 4 faktorisiert werden wenn man nicht Pech hat. Heuristisches Verfahren Laufzeit und auch Erfolg nicht garantiert Oft genutztes Verfahren wegen hoher Effizienz und konstantem Speicheraufwand Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 35
36 Primzahlen Der Pollard-Rho-Algorithmus Wenn eine Zahl n einen echten Teiler d hat, gilt für zwei unterschiedliche Zahlen x und y in der Restklasse von n: x y (mod d) x-y ist Vielfaches von d ggt((x-y), n) >= d ggt((x-y), n) ist echter Teiler von n Pollard-Rho erzeugt eine Folge von (Pseudo-)Zufallszahlen x und y in der Restklasse von n. In jedem Schritt wird überprüft, ob ggt((x-y), n) ein echter Teiler von n ist. Da sich die Folgen nach einigen Durchgängen wiederholen, kann an diesem Punkt abgebrochen werden. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 36
37 Primzahlen Der Pollard-Rho-Algorithmus int Pollard-Rho(int n){ int i = 1, x = rand() % (n-1); int y = x, k = 2, d; while ( true ){ i++; x = (x*x-1)%n; d = ggt(y-x, n); if ( d!=1 && d!=n ) return d; if ( x == y ) return 1; if ( i==k ){ y = x; k *= 2; } } } Die Folge, welche x erzeugt, wird berechnet mit: x(i+1) = (x(i) 2-1)%n Wenn die Anzahl der Durchläufe eine Potenz von 2 ist, wird das x als neues y gespeichert. => Abruchkriterium, wenn sich die x - Folge wiederholt. Erwarteter Aufwand, bis ein Teiler p gefunden ist: O(p 1/2 ) Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 37
38 Übersicht Primzahlen Definitionen und Eigenschaften Primzahltest durch Probedivision Sieb des Eratosthenes Der Fermat sche Satz Der Miller-Rabin - Test Der Pollard-Rho - Algorithmus Die Teileranzahl-Funktion τ(x) Die Eulersche Phi - Funktion φ(x) Quellen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 38
39 Die Teileranzahl-Funktion τ(x) Wieviele Teiler hat 1476? τ(1476)! Definition(Teileranzahl-Funktion): Die Teileranzahl-Funktion τ(x) ordnet jeder natürlichen Zahl die Anzahl ihrer Teiler zu. 1 und x werden mitgezählt. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 39
40 Die Teileranzahl-Funktion τ(x) Für alle Primzahlen gilt: τ(x) = 2 Für alle m, n mit ggt(m,n) = 1 gilt: τ(m) τ(n) = τ(m n) Aber wieviele Teiler hat denn 1476? Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 40
41 Die Teileranzahl-Funktion τ(x) Berechnung von τ(x): Sei p e1 1 p e2 2 p e3 3 p ek k die Primfaktorzerlegung von x Dann gilt: τ(x) = (e 1 +1) (e 2 +1) (e 3 +1) (e k +1) 1476 = τ(1476) = (2+1)(2+1)(1+1) = 18 Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 41
42 Die Eulersche Phi - Funktion φ(x) Definition (Eulersche Phi Funktion): Die Eulersche Phi - Funktion φ(x) ordnet jeder natürlichen Zahl x die Anzahl der natürlichen Zahlen y zu, für die gilt: y < x ʌ ggt(x,y) = 1 Berechnung von φ(x): Bestimme die Primfaktorzerlegung p 1 e1 p 2 e2 p k ek von x φ(x) = x (1 - p 1-1 ) (1 - p 2-1 ) (1 - p k -1 ) Wenn x prim ist, gilt: φ(x) = x (1 x -1 ) = x - 1 Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 42
43 Die Eulersche Phi - Funktion φ(x) Eigenschaften der Phi Funktion: φ(m) φ(n) = φ(m n) Satz (Satz von Euler): Für jede natürliche Zahl n und jede natürliche Zahl a<n gilt: a φ(n) 1 (mod n) Wenn n prim ist, erhält man daraus den Satz von Fermat. Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 43
44 Übersicht Primzahlen Definitionen und Eigenschaften Primzahltest durch Probedivision Sieb des Eratosthenes Der Fermat sche Satz Der Miller-Rabin - Test Der Pollard-Rho - Algorithmus Die Teileranzahl-Funktion τ(x) Die Eulersche Phi - Funktion φ(x) Quellen Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 44
45 Quellen HalloWelt-Vorträge: ZAA1_2004 von Christian Kollee ZAA1_2005 von Jeremy Constantin ZAA_2008 von Matthias Niessner ZAA1_2010 von Christoph Egger Internetquellen: Literatur: Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Introduction to Algorithms, Third Edition, The MIT Press, 2009 Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 45
46 Fragen? Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Florian Habur Folie 46
47 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen
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