Gliederung. Algorithmen und Datenstrukturen I. Eine wichtige Frage. Algorithmus. Materialien zur Vorlesung. Begriffsbestimmung EUKLID Primzahltest

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Inge Berger
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1 Gliederung Algorithmen und Datenstrukturen I Materialien zur Vorlesung D. Rösner Institut für Wissens- und Sprachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 1 Winter 2009/10, 12. Oktober 2009, c 2009/10 D.Rösner D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ Eine wichtige Frage Algorithmus Frage: Was ist die wichtigste Fähigkeit, die in einem Studium der Informatik oder Wirtschaftsinformatik oder Computervisualistik oder Computer Systems Engineering/Ingenieurinformatik oder vergleichbarer Studiengänge erworben und ausgebaut werden sollte? mögliche Antwort: Fähigkeit, für (viele) Probleme Lösungen finden zu können Problemlösungen dabei in Form von Algorithmen, die dann in ausführbare Programme umgesetzt Algorithmus ist einer der zentralen Begriffe der Informatik Algorithmen: gibt es auch unabhängig von Computern gibt es schon seit tausenden von Jahren Bezeichnung Algorithmus ist vom Namen des persischen Gelehrten Muhammed Al Chwarizimi (etwa 783 bis 850) abgeleitet (s.a. [PD08]) D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

2 Algorithmus Algorithmus Algorithmen (zumindest in einem intuitiven Sinne) begegnen uns auch im Alltag: Kochrezepte Bau- und Montageanleitungen Betriebsanleitungen... s.a. [SS02] eine intuitive für Algorithmus (vgl. [SS02]) Ein Algorithmus ist eine präzise (d.h. in einer festgelegten Sprache abgefasste) endliche Beschreibung eines allgemeinen Verfahrens unter Verwendung ausführbarer elementarer (Verarbeitungs-)Schritte. D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ s Algorithmus s Algorithmus Auf ( 300 v. Chr.) geht ein Algorithmus zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teiler (ggt) zweier nicht negativer ganzer Zahlen zurück. Der ggt von x und y ist definiert als diejenige Zahl z, für die gilt: z ist Teiler von x, z ist Teiler von y und für jedes z mit z Teiler von x und z Teiler von y gilt: z z Eine Möglichkeit zum Bestimmen des ggt (x, y): Bestimme die Primfaktorzerlegung von x und die Primfaktorzerlegung von y und bilde das Produkt derjenigen Primfaktoren, die sowohl in der Faktorzerlegung von x als auch in der Faktorzerlegung von y vorkommen. Beispiel: Bestimmung des ggt(12,42) D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

3 s Algorithmus s Algorithmus s Algorithmus ist einfacher und eleganter. Er nutzt die folgenden Beziehungen: ggt(x, y) = ggt(y, Rest von x/y)... falls y > 0 ggt(x, y) = x... falls y = 0 Fragen: Terminiert der Algorithmus immer? Warum? Wird immer der richtige Wert berechnet? m.a.w.: Ist der Algorithmus korrekt? Hilft Testen beim Beantworten dieser Frage? D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ s Algorithmus s Algorithmus eine mögliche Realisierung in Haskell: ggt :: Int -> Int -> Int ggt x y = if y > 0 then ggt y (rem x y) else if y == 0 then x else error "ggt: Argument y darf nicht negativ sein" Erläuterungen: einige Beispiele für Verwendung: Main> ggt Main> ggt Main> ggt D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

4 s Algorithmus Algorithmus alternative Realisierung mit Wächtern (guards): ggt :: Int -> Int -> Int ggt x y y > 0 = ggt y (rem x y) y == 0 = x otherwise = error "ggt : Argument y darf nicht negativ sein" Bedingungen der Wächter werden nacheinander (von oben nach unten) überprüft sobald eine erfüllt ist, wird ihre rechte Seite (nach =) ausgewertet und ergibt den Wert otherwise als letzter Wächter trifft immer zu (sog. catch all-bedingung) D. Rösner AuD I 2009/ Primzahlen... z.b. wichtig für bestimmte Verschlüsselungsverfahren im folgenden werden Varianten eines entwickelt (s.a. [SS02], p. 65) zur Erinnerung: Definition: Eine natürliche Zahl n (n > 1) ist genau dann Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Beispiele: prim oder nicht prim? 2 ist... 3 ist... alle geraden Zahlen grösser 2 sind ist ist D. Rösner AuD I 2009/ Algorithmus Algorithmus erster Schritt: Test auf Teilbarkeit: istteilervon :: Int -> Int -> Bool istteilervon cand zahl = mod zahl cand == 0 Beispiele für Verwendung: Main> 5 istteilervon 20 True Main> istteilervon 7 15 False Main> istteilervon 7 63 True erste Version des Algorithmus: Um zu entscheiden, ob n > 1 Primzahl, teste, ob n durch irgendeine Zahl m mit 2 <= m < n teilbar. Wenn dies zutrifft, dann ist n nicht prim, andernfalls ist n prim. realisiert mit einer Hilfsfunktion: istprim :: Int -> Bool istprim n = if n <= 1 then False else primtest 2 n primtest m n = if m >= n then True else primtest (m + 1) n D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

5 Algorithmus Algorithmus Variante 1 funktioniert (d.h. ist effektiv), ist aber nicht effizient genug verbesserte Variante: Ziel: unnötigen Aufwand vermeiden es brauchen nur m = 2 und dann nur noch ungerade m getestet werden es braucht auch nicht bis m = n getestet zu werden, sondern es reicht zu testen, solange m*m <= n Mit beiden Veränderungen lässt sich der Aufwand deutlich verringern. Motto (manchmal): Make it work, then make it fast! Variante 2: istprim :: Int -> Bool istprim n = if n <= 1 (n > 2 && istteilervon 2 n) then False else primtest 3 where primtest m = if m * m > n then True else primtest (m + 2) Hinweis: primtest ist hier lokale Definition (nach where), d.h. nur innerhalb von istprim sichtbar n ist innerhalb von primtest sichtbar und braucht daher nicht als Parameter übergeben zu werden D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ Algorithmus Literatur: I weitere Variante: istprim :: Int -> Bool istprim n = if n <= 1 then False else primtest 2 where primtest m = if m * m > n then True else primtest (if (m==2) then (m+1) else (m+2)) Hinweis: der letzte else-zweig in primtest könnte gleichwertig auch wie folgt lauten:... else if (m==2) then primtest (m+1) else primtest (m + 2) Gustav Pomberger and Heinz Dobler. Algorithmen und Datenstrukturen Eine systematische Einführung in die Programmierung. Pearson Education Dtl. GmbH, München, Gunter Saake and Kai-Uwe Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen Eine Einführung mit Java. dpunkt.verlag, Heidelberg, ISBN D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

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