Aufgabenblatt 4 IT-Security Angewandte Informatik WS 2016/17

Transkript

1 Aufgabenblatt 4 IT-Security Angewandte Informatik WS 2016/17 Lernziele 6 Punkte Bibliothek BigInt (Schnelle) Algorithmen für Multiplikation und Division Erweiterter Euklid'scher Algorithmus Für dieses Aufgabenblatt benötigen Sie viel Zeit. Aufgaben Es soll der Beginn einer Bibliothek für Algorithmen mit beliebig hoher Genauigkeit erstellt werden. In diesem Aufgabenblatt wird der erste Teil dazu erstellt; in späteren Aufgabenblättern werden diese Routinen benutzt und eventuell ergänzt, d.h. wer die letzten beiden Aufgabenblätter bearbeiten möchte, muss dieses Blatt in jedem Falle erfolgreich lösen. Als Programmiersprachen sind möglich: C (empfohlen), C++, Java, C#, PHP, JavaScript, Python, Pascal/Delphi. Auf keinen Fall dürfen fertige Bibliotheken, z.b. BigInteger bei Java, bei der Lösung benutzt werden. Selbstverständlich sind diese Bibliotheken zum Testen benutzbar. Wichtig ist: Testen, Testen und Testen. Dazu können Sie ein Framework, wie z.b. cunit, junit etc. und die gerade erwähnten Bibliotheken benutzen. Sie können auch externe Werkzeuge wie z.b. bc (Shell) dazu benutzen, Testdaten zu generieren. In jeden Falle muss jede Routine mit jeweils mindestens 10 Tests, besser mehr, die auch Extremfälle beinhalten, getestet werden. Ein Programm, das dies tut sei es ein Hauptprogramm, das die Routinen entsprechend aufruft, oder sei es eine Testklasse ist notwendig zur Bearbeitung dieses Aufgabenblatts. Es ist eine Entscheidung zu treffen, wie viele Bits breit eine Stelle in einer Integer-Variablen (Zelle) sein soll bzw. die Basis oder der Modulo-Wert für eine Zelle. Für 32bit-Maschinen wäre dies 16, für 64bit-Maschinen 32. Die benutzten Bits einer Zellen sollten immer eine 2er-Potenz sein. Dann ist eine Datenstruktur zu definieren, die (a) den Wert als Array von unsigned int, (b) eine Angabe über die Array-Größe und (c) eine Angabe darüber, welches Array-Element von der höchsten Wertigkeit betrachtet, einen - 1 -

2 Wert ungleich 0 hat (d.h. alle höherwertigen Zellen haben den Wert 0), beinhaltet. Dieser Datentyp möge BigInt heißen; es lassen sich damit positive sowie negative ganze Zahlen darstellen. Die nächste Entscheidung betrifft die Fehlerbehandlung: Wird beim Overflow, Underflow eine Exception geworfen oder ein Errorcode geliefert? Im letzteren Fall muss z.b. der Aufrufer als Return-Wert den Errorcode vom Ergebnis unterscheiden können. Diese Entscheidung hat Einfluss auf die Signaturen der Methoden. Wer gerne in Java (oder C#) programmiert, kann sich an die Signaturen von Java anlehnen (Siehe z.b. Web-Link Nr. 7). Dann sieht die Parameterversorgung etwas anders aus. Die folgenden Signaturen orientieren sich an den prozeduralen Ansatz. Bis auf zwei sollen in diesem Aufgabenblatt alle folgenden Routinen realisiert werden; es wird sich in späteren Aufgabenblättern herausstellen, dass diese Bibliothek erweitert werden muss. Es werden hier die Signaturen in einer Freistilnotation angegeben; diese müssen dann entsprechend der Programmiersprache umgeschrieben werden, z.b. als Klassen oder Module. Das betrifft auch die Fehlerbehandlung und die Return-Codes. Nun die Kernfunktionen: func BigInt add(bigint x, y) - Schulbuchaddition func BigInt sub(bigint x, y) Schulbuchsubtraktion func BigInt mul(bigint x, y) Schulbuchmultiplikation func BigInt mulkara(bigint x, y) Karazuba-Multiplikation. Diese Routine ist für dieses Aufgabenblatt optional. func BigIntMod div(bigint x, y) Schulbuchdivision Der Returnwert vom Typ BigIntMod ist eine Struktur bestehend aus dem Divisionsergebnis und dem Rest. func BigInt power(bigint x, y>0) Schnelle Exponentiation x y func BigInt powermod(bigint x, y>0, m>0) Exponentiation x y mod func BigInt powermodprim(bigint x, y>0, p>1) Exponentiation x y mod p, wobei p eine Primzahl ist. Hierbei kann mit dem kleinen Satz von Fermat optimiert werden (Randbedingungen beachten). func BigInt powermodprim2(bigint x, y>0, p>1, q>1) Potenzierung x y mod p*q, wobei p und q zwei Primzahlen sind. Hierbei kann mit dem chinesischen Restzahlensatz optimiert werden. Diese Routine ist für dieses Aufgabenblatt optional. func BigInt gcd(bigint x>0, y>0) Euklid'scher Algorithmus. Dieser kann in der binären Form realisiert werden. func BigIntgcd egcd(bigint x>0, y>0) Erweiterter Euklid'scher Algorith

3 mus. Dieser kann in der binären Form realisiert werden. Der Returnwert vom Typ BigIntgcd ist eine Struktur bestehend aus dem ggt-wert und den beiden Faktoren u und v der Linearkombination, deren Werte auch negativ sein können. Nun die Konverter-Routinen - dies sind zugleich auch die Erzeugungsroutinen: func BigInt string2bigint(string x) Konvertieren einer Dezimalzahl in einem String nach BigInt, auch negative Zahlen func String bigint2string(bigint x) Konvertieren einer BigInt-Zahl nach einem Dezimalzahl-String, auch negative Zahlen func BigInt int2bigint(int x) Konvertieren einer int-zahl zu BigInt, auch negative Zahlen, int kann 32bit oder auch 64bit breit sein. Nun die absehbaren Hilfsroutinen: func int eq(bigint x, y) liefert true, falls x = y ist func bool gt(bigint x, y) liefert true, falls x > y ist Bei Bedarf können noch die Varianten ge(x>=y), lt(x<y) oder le(x<=0) realisiert werden. Das hängt vom Bedarf in anderen Algorithmen ab. func bool even(bigint x) liefert ein True, falls unterstes Bit 0 ist func bool bit(bigint x, int y>=0) liefert das Bit an der Position y, von 0 angezählt, even() ist daher not bit(x,0) func BigInt shift(bigint x, int y>=0) Verschiebt x um y Bits nach rechts, also eine Division mit 2er-Potenzen func int zerobits(bigint x) - liefert die Anzahl der untersten Bits, die 0 sind, ohne dass eine 1 dazwischen ist. Diese Routine wird für die binären Versionen des Euklid schen Algorithmus benötigt. func BigInt reduce(bigint x, m>1) Reduziert x auf den Bereich 0..m-1; es wird die MOD-Operation durchgeführt. Beachten Sie die Behandlung negativer x-werte. func BigInt resize(bigint x) bestimmt die Anzahl der Zellen, die ungleich 0 sind, d.h. ohne einen Vorlauf von 0. Diese Routine sollte intern immer aufgerufen werden, wenn die Zahl der Zellen sich geändert haben könnte. func BigInt copy(bigint x, int b>=0) kopiert die unteren b Bits von x als Return-Wert. Ist b gleich 0, dann wird die gesamte Zahl kopiert. Diese Routine wird für die Karazuba-Multiplikation benötigt. Mit b=0 wird die Zahl geklont. Der Sinn bzw. Zweck dieser Routinen ergibt sich aus den kryptographischen - 3 -

4 Algorithmen. Bitte beachten Sie folgendes Prinzip: Es kommt auf Korrektheit und nicht auf Performanz an. Lieber langsam und korrekt statt schnell und (manchmal) inkorrekt. Der Sinn der Aufgaben besteht darin, dass Sie die Algorithmen durch Programmieren verstehen. Noch ein paar Hinweise: Damit die Strukturen BigInt nicht kopiert zu werden brauchen, arbeiten Sie wie bei Java intern mit Pointern. Um das Leben einfacher zu gestalten allokatieren Sie alle BigInt-Arrays gleichlang mit 2048 bit (oder mehr); das sollte für den Hausgebrauch reichen. Die Abfrage auf Overflow und Underflow müssen Sie in jedem Fall programmieren. Dadurch ersparen Sie sich eine Verlängerung. Einige Routinen verkürzen den relevanten Teil der Zahlen (Bereich der unteren Zellen ungleich 0), so dass dann die Routine resize() aufgerufen werden muss. Bei den Grundrechenarten ist es hilfreich, dass beide Operanden gleich lang sind. Daher erweitern Sie den kürzeren Operanden auf die relevante Größe des längeren Operanden, auch wenn darunter die Performanz leidet. Links k html Abnahme Zur Abnahme des "Moduls" BigInt gehören folgende Dateien: Testfälle mit Reports, Source-Code und Projektdateien, z.b. nbproject oder make-dateien etc. Die Tests müssen der minimalen Bedingung genügen, dass alle Programmpfade einmal durchlaufen werden. Bitte vergessen Sie nicht die Extremfälle, z.b

5 Die Vorführung besteht in folgenden Ablauf: (1) Source-Code-Begutachtung, (2) Übersetzung und (3) Testlauf. Auch diese Aufgabe kann per abgegeben werden, dann mit allen Sourcen, Übersetzungsdateien, z.b. make bzw. netbeans-projekte, einschließlich der Tests. Alles muss ohne weiteres auf dem Rechner des Dozenten laufen können (Java, C++, Linux, CentOS 6.8). Programmieren Sie also portabel