Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II

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1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II Michael Sammler Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

2 Gliederung 1 Lineare Rekurrenzen 2 Big Integer 3 Simultane Kongruenzen 4 RSA Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

3 Gliederung 1 Lineare Rekurrenzen 2 Big Integer 3 Simultane Kongruenzen 4 RSA Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

4 Beispiel Problem Ein Farmer hat eine Population Hasen. Er fängt mit einem jungen Paar Hasen an. Jede Woche wird jedes junge Paar Hasen alt und ein altes Paar bekommt eines neues junges Paar Hasen als Kinder. Wieviele Paare Hasen hat der Farmer in Woche n? Sei F n die Anzahl an Hasenpaaren nach n Wochen. F 1 = 1 F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

5 Naive Lösung long fibonacci ( long n) { int fib [n +1]; fib [0] = 0; fib [1] = 1; for ( long i = 2; i <= n; i ++) { fib [i] = fib [i -1] + fib [i -2]; } return fib [n]; } Laufzeit: O(n) Zu langsam ab ca. n = 10 8 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

6 Alternative Formulierung Formel: F n+1 = F n + F n 1 Definition von F n+1 in Matrix-Schreibweise: ( ) ( ) ( ) Fn Fn = F n 1 0 F n 1 Rekursion auflösen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fn Fn Fn 1 = = F n 1 0 F n F n 2 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) 1 1 Fn Fn 2 = = = F n F n 3 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

7 Alternative Formulierung Vollständig auflösen: ( ) ( ) n ( ) Fn F1 = F n 1 0 F 0 = ( n ( ) ) 0 schnelle Matrixexponentation (siehe ZAA1) Laufzeit: O(log n) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

8 Vergleich Vergleich mit 1000 Testläufen: Naive Lösung Matrix-Lösung Laufzeit O(n) O(log n) n = 10 ca. 0,0s ca. 0,0s n = ca. 0,25s ca. 0,0s n = ca. 28 min ca. 0,0s n = ca. 0,03s Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

9 Definition Lineare Rekurrenz Folge a i, i N lineares Bildungsgesetz für a n, dass nur von den letzten k a i abhängt Beispiele: F n = F n 1 + F n 2 a n = 2a n 1 + 3a n 2 + 4a n 3 b n = b n 1 2b n 2 + 4b n 4 (+ entsprechende Basiswerte) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

10 Beispiel Für b n = b n 1 2b n 2 + 4b n 4 haben wir folgende Matrix: b n b n 1 b n 2 = b n 3 b n 1 b n 2 b n 3 b n 4 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

11 Komplexeres Beispiel Problem Wir haben k Slots, die von 1 bis k nummeriert sein und in denen jeweils eine Zahl steht. In jedem Schritt gehen wir die Slots von links nach rechts durch, multiplizieren erst jeden Slot mit seiner Nummer und addieren dann alle Zahlen, die in Slots rechts von ihm stehen. Welche Zahlen stehen in den Slots nach n Schritten? Sei a i,m der Wert des Slotes mit der Nummer i nach m Schritten. k a i,m = i a i,m 1 + j=i+1 a j,m 1 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

12 Komplexeres Beispiel Als Matrix formuliert: a 1,n a 1,n 1 a 2,n. = a 2,n a k,n k a k,n 1 Rekursion aufgelöst: a 1,n a 2,n. = a k,n k n a 1,0 a 2,0. a k,0 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

13 Komplexeres Beispiel Beispiel für k = 4: = a 1,n a 2,n a 3,n a 4,n n a 1,0 a 2,0 a 3,0 a 4,0 streng genommen keine lineare Rekurrenz mehr, aber Ansatz funktioniert trotzdem Laufzeit: O(k 3 log n) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

14 Komplexeres Beispiel Geht das noch schneller? Idee: Diagonalisierung Diagonalisierung A = XQX 1 wobei Q eine Diagonalmatrix ist. Dabei stehen auf der Diagonale von Q die Eigenwerte von A und in X die entsprechenden Eigenvektoren. Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

15 Komplexeres Beispiel Mit A = XQX 1 : A n = (XQX 1 ) n = XQ } X 1 {{ X} QX 1... XQ } X 1 {{ X} QX =I =I A n = XQ n X 1 Q n lässt sich in O(k log n) berechnen, da nur die Elemente auf der Diagonale potenziert werden müssen. Damit nur noch zwei k k Matrixmultiplikationen. Insgesamt: O(k 3 + k log n) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

16 Komplexeres Beispiel Beispiel von vorhin: Bei einer Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte auf der Diagonale n = k n k Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

17 Komplexeres Beispiel Für k = 4: n = n Wenn man will, kann man bei diesem Beispiel die Laufzeit noch weiter auf O(k 2 + k log n) drücken. Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

18 Gliederung 1 Lineare Rekurrenzen 2 Big Integer 3 Simultane Kongruenzen 4 RSA Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

19 Allgemein Java/C++ rechnen normalerweise mit Integern fester Größe (short, int, long...) C++: signed und unsigned möglich (Standard: signed) Aufpassen: 1 << 40 == 0, 1ull << 40 == Standardmäßig lieber mit ll als mit int rechnen. Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

20 C++ Kein eingebauter Datentyp für beliebig große Integer Möglichkeiten: long long int128 (GNU Erweiterung) Größe 8 Byte 16 Byte Minimum Maximum cout? Oder selbst BigInt implementieren (siehe Templates) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

21 C++ - Code Deklaration: oder typedef long long ll; typedef int128 ll; Code: ll fac = 1; for ( int i = 1; i <= n; i ++) { fac *= i; } Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

22 Java java.math.biginteger stellt beliebig große Integer bereit keine Operatorenüberladung BigInteger fac = BigInteger. ONE ; for ( int i = 1; i <= n; i ++) { fac = fac. multiply ( BigInteger. valueof (i)); } Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

23 Python normaler Integer hat beliebige Präzision fac = 1 for i in range (1, n +1) : fac *= i Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

24 Vergleich Syntaxunterstützung beliebige Größe C++ Java Python Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

25 Gliederung 1 Lineare Rekurrenzen 2 Big Integer 3 Simultane Kongruenzen 4 RSA Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

26 Beispiel Problem Peter hat einige Münzen. Wenn er sie in 10er Stapel aufteilt, bleiben 3 übrig. Mit 8er Stapeln bleiben 5 übrig und wenn Peter 2er-Stapel bildet, bleibt eine Münze übrig. Wieviele Münzen hat Peter mindestens? Sei x die Anzahl Münzen, die Peter besitzt. x 5 (mod 8) x 3 (mod 10) x 1 (mod 2) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

27 Definition Simultane Kongruenz Eine Simultane Kongruenz ist ein Gleichungssystem der Form mit x, a i, m i Z x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) x a 3 (mod m 3 ). Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

28 Naive Lösung z.b. für x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) x a 3 (mod m 3 ) for ( ll x = a1; x < m1 * m2 * m3; x += m1) { if (x % m2 == a2 && x % m3 == a3) { cout << x << endl ; break ; } } Aufwand: O(m 2 m 3 ) Allgemein für k Kongruenzen: O( k i=2 m k) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

29 Strategie Können wir zwei simultane Kongruenzen auf eine abbilden, sind wir fertig: Bei n Gleichungen nehmen wir die ersten beiden Gleichungen, kombinieren diese und haben noch n 1 Gleichungen. Eine Gleichung x a 1 (mod m 1 ) hat die Lösung x = a 1. Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

30 Beispiele x 3 (mod 8) x 3 (mod 7) x 4 (mod 5) x 5 (mod 7) x 3 (mod 4) x 0 (mod 2) x 2 (mod 4) x 0 (mod 2) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

31 Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) a 1 a 2 (mod ggt (m 1, m 2 )) Und ist dann eindeutig mod kgv (m 1, m 2 ) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

32 Lösung für ggt = 1 Für ggt (m 1, m 2 ) = 1: x a 1 (mod m 1 ) x = a 1 + z 1 m 1 x a 2 (mod m 2 ) x = a 2 + z 2 m 2 Ziel: z 1 oder z 2 herausfinden Gleichungen subtrahieren: a 1 + z 1 m 1 (a 2 + z 2 m 2 ) = 0 Aufteilen: a 1 a 2 = z 2 m 2 z 1 m 1 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

33 Lösung für ggt = 1 Erinnerung an ZAA1: erweiterter Eukild Für ggt (m 1, m 2 ) = 1 kann z 1, z 2 berechnen, dass gilt: Verglichen mit: ergibt: z 2 = z 2 (a 1 a 2 ) Rückeinsetzen: 1 = z 2 m 2 z 1 m 1 a 1 a 2 = z 2 m 2 z 1 m 1 x = a 2 + z 2 m 2 = a 2 + z 2 (a 1 a 2 ) m 2 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

34 Lösung für ggt 1 Wie oben: a 1 a 2 = z 2 m 2 z 1 m 1 Idee: Faktor von z 1 und z 2 relativ prim machen durch ggt (m 1, m 2 ) dividieren a 1 a 2 ggt (m 1, m 2 ) = z 2 ggt ( m 2 ggt (m 1,m 2 ), m 1 m 2 ggt (m 1, m 2 ) z 1 ggt (m 1,m 2 ) ) = 1 m 1 ggt (m 1, m 2 ) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

35 Lösung für ggt 1 Nun wenden wir EEA auf 1 = z 2 Verglichen mit: a 1 a 2 ggt (m 1, m 2 ) = z 2 ergibt: z 2 = z 2 Rückeinsetzen: m 2 ggt (m 1, m 2 ) z 1 a 1 a 2 ggt (m 1,m 2 ) m 2 ggt (m 1,m 2 ) und m 1 ggt (m 1,m 2 ) an: m 2 ggt (m 1, m 2 ) z 1 x = a 2 + z 2 m 2 = a 2 + z 2 m 1 ggt (m 1, m 2 ) m 1 ggt (m 1, m 2 ) a 1 a 2 ggt (m 1, m 2 ) m 2 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

36 Beispiel Beispiel: x 5 (mod 8) x 3 (mod 10) x 1 (mod 2) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

37 Gliederung 1 Lineare Rekurrenzen 2 Big Integer 3 Simultane Kongruenzen 4 RSA Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

38 Motivation RSA erlaubt es verschlüsselte Daten über eine unsichere Verbindung auszutauschen ohne einen sicheren Kanal für den Schlüsselaustausch. Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

39 Idee Multiplizieren ist einfach, Faktorisieren schwer. RSA Factoring Challenge: Aufgabe: Primzahlen bestimmter Länge faktorisieren RSA-100: 330 bits 4 Stunden RSA-155: 512 bits 6 Monate RSA-768: 768 bits 2 Jahre Äquivalente Zeit auf einem Prozessor: 2000 Jahre Quelle: Wikipedia Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

40 Eulerische φ-funktion Eulerische φ-funktion φ(n) = {x N 1 x n, ggt (x, n) = 1}, also die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen. φ(6) = 2 1, 5 φ(14) = 6 1, 3, 5, 9, 11, 13 Spezialfall φ(p q) = (p 1)(q 1) für p, q prim φ(6) = φ(3 2) = (3 1)(2 1) = 2 φ(14) = φ(7 2) = (7 1)(2 1) = 6 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

41 Satz von Euler Satz von Euler a φ(n) 1 (mod n), wenn a und n teilerfremd. 5 φ(6) (mod 6) 5 φ(14) (mod 14) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

42 Schlüsselerzeugung Schlüsselerzeugung Erzeuge p, q als Primzahlen gewünschter Größe. Berechne N = p q und φ(n) = (p 1)(q 1). Wähle e, d, dass ggt (e, φ(n)) = 1 und e d = z φ(n) + 1 für ein z. Meist e = d mittels EEA bestimmen. Öffentlicher Schlüssel: (N, e) Privater Schlüssel: (N, d) z.b. p = 5, q = 11, e = 3, N = 5 11 = 55 φ(n) = (5 1)(11 1) = 4 10 = 40, d = 27 Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

43 Verschlüsseln Sei m die Nachricht, die übermittelt werden soll und c der verschlüsselte Text. Verschlüsseln c m e (mod N) p = 5, q = 11, e = 3, N = 5 11 = 55 m = 4: c m e (mod 55) m = 8: c m e (mod 55) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

44 Entschlüsseln c: verschlüsselter Text, m: Klartextbotschaft Entschlüsseln m c d (mod N) Begründung: c d (m e ) d m e d m z φ(n)+1 m z φ(n) m (m φ(n) ) z m 1 z m m (mod N) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

45 Beispiele p = 5, q = 11, e = 3, N = 55, d = 27 m = 4: c 9 (mod 55) c d (mod 55) m = 8: c 17 (mod 55) c d (mod 55) Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

46 Fragen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! FRAGEN? Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47

47 Quellen ZAA2 Folien von Jonathan Krebs HalloWelt/ZAA2_2014.pdf Applying Eigenvalues to the Fibonacci Problem 01/31/the-mysterious-eigenvalue/ Wikipedia - Chinesischer Restsatz wikipedia.org/wiki/chinesischer_restsatz Wikipedia - Satz von Euler http: //de.wikipedia.org/wiki/satz_von_euler Wikipedia - RSA numbers Michael Sammler Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II / 47