n n!

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1 Frage: Auf wieviele Arten lässt sich das Wort Binomialoeffizient lesen? Binomialoe inomialoef nomialoeff omialoeffi ialoeffizi aloeffizie loeffizien oeffizient Das ist ein Sript! Dennoch ann man hier sehen, welche Begriffe definiert wurden und welche Sätze bewiesen wurden. Bei vielen Sätzen ist der Beweis sizziert, so dass diese Zusammenfassung ideal für Studenten sein müsste, die die Vorlesung gründlich nachgearbeitet haben. Elementare Kombinatori Endliche Mengen Definition enldicher Mengen, Vereinigung und Durchschnitt Kardinalität einer endlichen Menge Teilmengen einer Menge, die Potenzmenge P(M) einer Menge M Bijetion Teilmenge von M = {a, a 2,..., a n } und Binärzahlen der Länge n Satz: #P(M) = 2 #M. Permutationen und n! Die natürlichen Zahlen und die vollständige Indution Stirlingformel: n! 2πn ( ) n n e (ohne Beweis.) n n! Frage: Wieviele Stellen hat 000! (Tipp: Stirlingsche Formel).2 Binomialoeffizienten Sei n N so defineieren wir Definition 3: Definition : Definition 2: = ( n 0 wenn < 0 oder > n ) ( wenn = 0 oder = n + n ) sonst. = Koeffizient von x im Polynom ( + x) n = Anzahl der -elementigen Teilmengen von {, 2, 3,..., n} Definition 4: ( ) { n = 0 wenn < 0 oder > n sonst. n! (n )!! Satz: Alle vier Definitionen stimmen überein. Das Pascalsche Dreiec

2 n n = 2 n ( ) = 0 wenn n > 0 =0 =0..5 Berechnung der Gewinnwahrscheinlicheit im Lotto (6 aus 49) Berechnung der Anzahl der 0er, er,...,6er im Lotto Prop.: Es gibt genau ( n ) Möglicheiten n Bonbons an Kinder zu verteilen, so dass jedes Kind mindestens ein Bonbon erhält. Frage: Wieviele Möglicheiten gibt es n Bonbons an Kinder zu verteilen, ohne die Bedingung, dass eines leer ausgeht?.4 Fibonacci Zahlen Definition: F 0 = 0, F = und F n+2 = F n+ + F n. (Reursive Definition) n F n Es gelten die folgenden Aussagen über die Fibonacci Zahlen: n = F n+2 2 F 3n 3 F 4n 5 F 5n a =0 Frage: Was ist die leinste natürliche Zahl > 0, so dass 7 f n für alle n N gilt? Explizite Formel: Es gilt F n = 5 (x n x n 2) mit x = x 2 = 5 2. Näherungsformel: Es gilt F n xn. 5 2 Der Ring Z/n Z Rechnen mit Resten Die Äquivalenzrelation a b mod n. Satz: Die folgenden Operationen von Restlassen sind wohldefiniert: [a] + [b] := [a + b], [a] [b] := [a b], [a] [b] := [a b]. Definition: Nullteiler, Einheit und nilpotente Elemente. Prop: Ist [a] Z/n Z und [a] [0], dann gilt [a] ist entweder Nullteiler oder Einheit. Definition: ϕ(n) = #((Z/n Z) ). Frage, was ist ϕ(000)? 2.2 Primzahlen Definition einer Primzahl: p ist Primzahl, wenn p genau zwei positive Teiler hat. Satz: Jede natürliche Zahl n ist als Produtvon Primzahlen darstellbar. Satz: Gilt n i= p i = m i= q i mit Primzahlen p i und q i mit p p 2... p n und q q 2... q m, so gilt m = n und p i = q i für alle i =,..., n. Folgerung: p ab = p a oder p b.

3 Die Funtion π(n). Prop.: Es gilt die elementare Abschätzung π(n) log 4 (n). Insbesondere gibt es unendlich viele Primzahlen. Prop.: Es gibt beliebig lange Primzahllücen, also aufeinanderfolgende Zahlen von denen eine eine Primzahl ist. 2.3 Der chinesische Restsatz Lemma: Seien n und natürliche Zahlen mit n, so ist die Abbildung Z/(nZ) Z/(Z) mit [a] n [a] ein wohldefinierter Ringhomomorphismus. Satz (Chinesische Restsatz): Sind m und n teilerfremd so ist der Ringhomomorphismus Z/(mnZ) Z/(nZ) Z/(mZ) ein Isomorphismus. Folgerung: Sind m und n teilerfremd so gilt: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Lemma: Ist p Primzahl, so gilt ϕ(p ) = p p. Satz: ϕ(n) = n p p. p n Satz: ( Kleiner Fermat ): Ist [a] (Z/nZ), so gilt [a] ϕ(n) = []. Folgerung : Ist p Primzahl und [a] [0], so gilt [a] p = [] in Z/pZ. Folgerung 2: Ist p Primzahl, so gilt [a] p = [a] für alle [a] Z/pZ Der Eulidische Algorithmus Inversenberechnung Methode in Z/nZ: = a aϕ(n). Beispiel mit schnellem Potenzieren: = 3 37 = = 45 in Z/73Z. Definition und Beispiele von Idealen in Z. Satz: Jedes Ideal I in Z ist von der Form (n) für ein eindeutiges n N. Definition ggt(a, b). Lemma: ggt(a, b) = ggt(b, a) = ggt(a b, b) = ggt(a+b, b) = ggt(a qb, b). Eulidischer Algorithmus zur Berechnung des ggt und Beispiele Satz: Sind a > b zwei natürliche Zahlen, so dass der Eulidische Algorithmus nach Schritten endet, so gilt a F + und b F. Erweiterer Eulidischer Algorithmus zur Berechnung des ggt(a, b) und zum Auffinden einer ganzzahligen Linearombination ggt(a, b) = m a + n b. Inversenberechnung Methode 2 in Z/nZ mittels Eulidischem Algorithmus Beispiel = ( 746) in Z/207Z Das RSA-Verfahren Klassische Verschlüsselung mit gemeinsamen Schlüssel Das RSA Verfahren Vorbereitung: p, q große Primzahlen, N = p q d teilerfremd zu ϕ(n) = (p )(q ) mittels Eulidischem Algorithmus bestimmen wir ein e mit d e mod ϕ(n) Öffentlicher Schlüssel: (d, N) Verschlüsseln: m m = m d mod N Übermitteln: m Entschlüsseln: ˆm = m e mod N

4 Hintergrundinfos zu großen Primzahlen und probabilistischen Primzahltests Codierung Warum codieren? Definition einer Metri, die Hammingsche Metri ϕ = : F 7 2 F K = er(ϕ) = {(a + b + c, b + c + d, a + c + d, a, b, c, d) a, b, c, d F 2 } F 7 2 Frage: Was ist das minimale Gewicht eines Elememetes K mit Codierung, der Hammingcode Wiederholung/Definition: Lineare binäre Codes, Länge eines Codes, Informationslänge und Informationsrate eines Codes Erste Beispiele: Lineare Codes in F 3 2 Definition: -Fehler orrigierende Codes und -Fehler-erennende Codes Definition der Hammingcode H 7 := er(ϕ) Satz: Der Hammingcode H 7 ist -Fehler orrigierend bei Informationsrate 4 7 Algorithmus zur Korretur beim Hammingcode und ein Beispiel 3 Graphentheorie Das Schema für das faule Ei Graphentheorie Grundbegriffe Definitionen von: Graphen G = (V, E) oder G = (V, E, ϕ), einfachen Graphen, Ordnung G eines Graphen G, Größe e(g) eines Graphen G, Grad d(x) einer Ece x, -regulärer Graph, Untergraph, Abbildung zwischen Graphen, Weg P n der Länge n, Abstand d(x, y) zwischen zwei Ecen, Zyel C der Länge Für einen Graphen G = (V, E) gilt die Formel: d(x) = 2e(G). Satz: Sei G = (V, E) ein endlicher Graph und d(x) 0 mod 2 für alle x V, dann existieren eine Zahl m und Zahlen { i } i=,...,m, sowie eine disjunte Zerlegung E = m E i, sowie Teilmengen E i, so dass C i = (Ei, V i ) G für alle i =,..., m gilt. 3.2 Erste Sätze Satz (Cauchy): Sind a, a 2,..., a n reelle Zahlen, so gilt stets ( n ) 2 n a i n a 2 i. i= i= x V i=

5 Satz (Satz vom Dreiec): Ist G = (V, E) ein einfacher Graph der Ordnung n. Gilt dann e = #(E) > n2, so enthält G einen Zylus C 4 3. Definitionen: Baum, Wald, Zusammenhangsomponente, Brüce. Satz: Ist G = (V, E) ein Wald, so existiert höchstens ein Pfad von x nach y für alle x, y V. Lemma: In einem Baum ist jede Kante eine Brüce. Lemma: Ein zusammenhängender Graph ist Baum G ist zylenfrei. Lemma: Jeder zusammenhängende Graph enthält einen aufspannenden Baum. 3.3 Die Gewichtsformel für einfache Graphen der Ordnung n Definition: Isomorphie von Graphen, Automorphismengruppe eines Graphen, Beispiele Definition einer Gruppenwirung auf einer Menge, Beispiele Bahn und Stabilisator eines Elements, Beispiele Die Bahnenformel: Sei Γ X X eine Gruppenwirung einer endlichen Gruppe auf einer Menge, so gilt #(X) = #(G) #(G x ). x G/X Satz (Gewichtsformel für Graphen) Es gilt für alle n N, dass G, ord(g)=n 2) #(Aut(G)) = 2(n n!. Dabei wird auf der linen Seite über alle Isomorphielassen von Graphen der Ordnung n summiert. Bemerung: a 3 = 4 3, a 0 = , , a 30 3,