Einleitung Grundlagen spez. Zahlenfolgen Zusammenfassung Kombinatorik. im Rahmen Hallo Welt für Fortgeschrittene. Johannes Simon

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1 Kombinatorik im Rahmen Hallo Welt für Fortgeschrittene Johannes Simon TODO 1 / 41

2 Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Bestimmung der Zahl möglicher Anordnungen oder Auswählen von unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge beschäftigt. wikipedia.de

3 Gliederung Beispiele & Hinweise Kombinatorik aus der Schule Permutationen Kombinationen Variationen Spezielle Zahlenfolgen Fibonacci Zahlen Catalan Zahlen Euler Zahlen Stirling Zahlen (I. & II. Art) Integer Partitionen Beispiele & Hinweise 3 / 41

4 Permutation - Definition Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination lat. permutare (ver)tauschen Die Veränderung der Anordnung einer Menge durch Vertauschen ihrer Elemente mathematisch: bijektive Abbildung einer Menge Ω auf sich selbst 4 / 41

5 Beispiele Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Wieviele Möglichkeiten gibt es, n unterscheidbare Elemente in beliebiger Reihenfolge nebeneinander anzuordnen? Lösung: n! Beispiel: Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 (unterscheidbare) Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Für die 1. Kugel: 4 Möglichkeiten (keine Position besetzt) 2. Kugel: 3 Möglichkeiten (da eine schon besetzt) insgesamt: 4*3*2*1 Möglichkeiten = 4! = 24 5 / 41

6 Beispiele Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Elemente in beliebiger Reihenfolge nebeneinander anzuordnen, wobei k Elemente gleich sind? (k <= n) Lösung: n! k! Erweiterung der obigen Aufgabe (Mississippi Problem) n Elemente, wobei es mehrere Gruppen (a, b, c...) gleicher Elemente gibt. (Gruppen a, b, c haben keine Schnittmenge) Lösung: n! a! b! c!... 6 / 41

7 Spezialfälle Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Wieviele Möglichkeiten gibt es, n (unterscheidbare Elemente) im Kreis anzuordnen, wobei nur bezüglich der benachbarten Elemente unterschieden wird? n! n 2 Lösung: Lösung: n! n 2 Erläuterung des Nenners (n*2) Faktor n: für jede Belegung gibt es n identische Belegungen durch Rotation um jeweils ein Element. Beispiel: (123) = (312) = (231) Faktor 2: bei jeder Belegung kann eine Spiegelung an einer Achse durch die Mitte vorgenommen werden, ohne dass sich die Nachbarn ändern Anschaulich: = 7 / 41

8 Variation - Definition Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Auswählen mit Beachtung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten auf k Plätze n Objekte zu verteilen (mit/ohne Zurücklegen) (n >= k) 1. ohne Zurücklegen ( Wettlaufproblem ) Lösung: 2. mit Zurücklegen ( Zahlenschlossproblem ) Lösung: k! n k = n! n k! n k 8 / 41

9 Beispiel Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Wieviele Möglichkeiten muss man für ein 5-stelliges Zahlenschloss (0-9) höchstens durchprobieren, wenn man weiß, dass die Zahl 1 einmal, die 2 zweimal vorkommt und die 1. Position die 4 ist? Lösung: Erläuterung: Faktor 1: eine Möglichkeit für die 1. Position Faktor (4 über 3): 3 von 4 übrig geblieben Plätzen auswählen für die Zahlen 2, 2, 1 Faktor 3: 3 Möglichkeiten um 3 Elemente unterschliedlich anzuordnen, wobei 2 Elemente gleich sind (MISSISSIPPI Problem) Faktor 10: 10 Möglichkeiten für den letzten übrig gebliebenen Platz 9 / 41

10 Kombination - Definition Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Auswählen ohne Beachtung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten, k Objekte aus einer n - elementigen Menge auszuwählen auch bekannt als Urnenmodell 1. Ziehen ohne Zurücklegen Lösung: n k 2. Ziehen mit Zurücklegen Würfeln Lösung: n k 1 k = n k 1! k! n 1! 10 / 41

11 Der Binomialkoeffizient Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination n k = n! k! n k! Definition n k = n n k Auswahl der Komplementärmenge n k = n 1 k n 1 k 1 Rekursionsgleichung n n = n 0 = 1 Basisfälle n 1 = n 11 / 41

12 Implementierung C++ Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination // n ueber k, Komplexitaet O(n) long long binom(int n, int k) { //min <= n/2 (Overflow - vermeidung) int min = (k < n-k? k: n-k); long long result = 1; n k = n n k for (int i = 1; i <= min; i++) { result *= n; // Division geht exakt result /= i; n--; return result; n k = n n n min 1 k n 1 ganzzahlig n 2 ganzzahlig n min ganzzahlig 12 / 41

13 Pascalsches Dreieck (PD) Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Das PD lässt sich von oben nach unten berechnen mittels der Rekursionsgleichung (siehe vorige Folie) unter Verwendung von DP oder unter Verwendung der Definition nächste Folie 13 / 41

14 Spezialanwendung Beispiele & Hinweise Permutation Variationen Kombination Zusammenhang mit Binomischer Formel: a b n = i=0 n n i ai b n i Spezialfall: a, b = 1; 2-er Potenzen 14 / 41

15 1430, 429, 132, 42, ,... 1, 1, 2, 5, Zahlenfolgen Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen Fibonacci-Zahlen Catalan-Zahlen Stirling-Zahlen (I. und II. Art) Euler-Zahlen Integer-Partitionen / 41

16 Fibonacci-Folge Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, Bekannt durch Leonardo Fibonacci die Zahlenfolge lässt sich in sehr vielen Gebieten wiederfinden und dient oft als Annäherung. (z.b. bei der Populationsrate von Hasen) f n = f n 1 f n 2 f 0 = 0 f 1 = 1 Basisfälle (Definition für n > 1) 16 / 41

17 Implementierung Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen Naive Implementierung der Definition führt bei größeren Zahlen schnell zum TIMELIMIT und zu endlosen Rekursionsschritten. Besser: Verwendung schneller Exponentiation von Matrizen: fib(n) lässt sich so in O(log n) berechnen n = f n 1 f n f n f n 1 17 / 41

18 Implementierung C++ Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen // n-te Fibonacci Zahl, Komplexität O(log n) // Matix Multiplikation als Pseudocode (!) // 2x2 Matrix int M[2][2] = {{1,1{0,1; int fib (int n) { matpow(n-1); return M[0][0]; Schnelle Implementierung: n = f n 1 f n f n f n 1 // schnelle Exponentiation der Matrix M void matpow(int n) { if (n > 1) { matpow(n/2); M = M*M; if (n%2 == 1) M = M*{{1,1{1,0 18 / 41

19 Catalan-Zahlen Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, , Benannt nach Eugène Charles Catalan taucht sehr häufig im Bereich der Kombinatorik auf, z.b. Anzahl der Möglichkeiten, ein konvexes n-eck durch Diagonalen in Dreiecke zu zerteilen (zb.: n = 5) Anzahl der wohlgeformten Klammerausdrücke Anzahl möglicher Binärbäume... alle diese Probleme können aufeinander reduziert werden (THI 3 ;) 19 / 41

20 Definitionen Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen Definition: C n = 1 n 1 2n n Rekursive Definition: C n 1 n = k=0 C k C n k also z.b. C 3 = C 0 C 2 C 1 C 1 C 2 C 0 20 / 41

21 Implementierung C++ Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen // globale Variablen, NMAX in der main() initialisieren int NMAX; // Array auf Nmax initialisieren unsigned long long nums[nmax]; // Implementierung der Rekursiven Formel mit DP void catalan() { // Array initialisieren memset(nums, 0, sizeof(nums)); nums[0] = 1; nums[1] = 1; // Array bis NMAX berechnen for(int n = 1; n < NMAX; n++) { for (k=0; k<n; k++) { nums[n] += nums[k]*nums[n-k]; C n 1 n = k=0 C k C n k 21 / 41

22 Stirling-Zahl I Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen Sie beschreibt die Anzahl der unterschiedlichen Möglichkeiten eine Permutation mit n Elementen in k Zyklen zu zerlegen. Schreibweise: s n, r = [ n k ] 0 k n Rekursive Definition: [ n k ] = [ n 1 k 1] n 1 [ n 1 k ] 22 / 41

23 Stirling-Zahl I Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen Veranschaulichung: Anzahl der Möglichkeiten, die Menge M{a,b,c mit Kardinalität n = 3 in jeweils 2 (nichtleere) Zyklen (r = 2) zu zerlegen: (ab) (c) (ac) (b) (a) (bc) s(3, 2) = 4 (b) (ac) 23 / 41

24 Stirling-Zahl I Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen DP- Implementierung anhand des Rekursions-Dreiecks und der Formel k n [ 3 1] [ n ] k 1 Info: Code Implementierung an der Tafel... (Code siehe nächste Seite) [ n k ] = [ n 1 k 1] n 1 [ n 1 ] k, n 0 24 / 41

25 Implementierung C++ Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen // globale Variablen int NMAX; // Array auf Nmax initialisieren long long nums[nmax][nmax]; // i = n; j = k; Implementierung der Rekursiven Formel mit DP void stirling1() { // Array initialisieren memset(nums, 0, sizeof(nums)); nums[0][0] = 1; [ n k ] = [ n 1 k 1] n 1 [ n 1 k ] // "Pascal Dreieck" bis NMAX berechnen for (int n = 1; n < NMAX; n++) { for (int k = 1; k <= n; k++) { nums[n][k] = nums[n-1][k-1] + (n-1)*nums[n-1][k]; Analog lassen sich alle anderen Zahlenfolgen mit DP implementieren! Hinweis: BIGINTEGER verwenden 25 / 41

26 Stirling-Zahl II Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen Die Stirling-Zahl zweiter Art S(n,r) beschreibt die Anzahl der unterschiedlichen Möglichkeiten aus einer Menge mit n Elementen r nichtleere, disjunkte Teilmengen zu bilden. Jede solche Möglichkeit ist eine Partition mit r Teilmengen. Schreibweise: S n,r = S n r = { n r Iterative Definition: S n,r = 1 r! j=0 r 1 j r j r j n Rekursive Definition: { n r = { n 1 r 1 r { n 1 r 26 / 41

27 Stirling-Zahl II Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen zur Veranschaulichung Anzahl der Möglichkeiten, die Menge M{a,b,c,d (Kardinalität n = 3) in r = 2 nichtleere, disjunkte Teilmengen aufzuspalten: {a, b {c, d {a, c {b, d {a, d {b, c {a, b, c {d {a, b, d {c {b, c, d {a S(3, 2) = 7 {a, c, d {b 27 / 41

28 Implementierung C++ Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen // Stirling Zahlen 2. Art, S(n,r) Iterativ, ohne DP (meist nicht gefragt) // Komplexitaet O(n*r) int stirling2 (int n, int r) { int sum = 0, tmpsum = 0, fak = 1; N = n; for (int j = 0; j =< r; j++) { // fastexp: O (log n) tmpsum = fastexp(r j, n); // binom: O (n) tmpsum *= binom(r, j); if ((n % 2) == 1) { sum -= tmpsum; else { sum += tmpsum; fak *= j; return sum/fak; S n,r = 1 r! j=0 r 1 j r j r j n 28 / 41

29 Implementierung C++ Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen // DP - Implementierung // globale Variablen, in der main() initialisieren int NMAX; // Array auf Nmax initialisieren unsigned long long nums[nmax][nmax]; // Implementierung der Rekursiven Formel mit DP void stirling2() { // Array initialisieren memset(nums, 0, sizeof(nums)); nums[0][0] = 1; { n r = { n 1 r 1 r { n 1 r // "Pascal Dreieck" bis NMAX berechnen for (int n = 1; n < NMAX; n++) { for (int r = 1; r <= n; r++) { nums[n][r] = nums[n-1][r-1] + r * nums[n-1][r]; 29 / 41

30 Euler-Zahlen Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen Anzahl der Permutationen von n Elementen, die genau k aufsteigende Teilfolgen haben Schreibweise: n k Iterative Definition: n k k = 1 j =0 j n 1 k j 1 n j Rekursive Definition: n k = k n 1 n k 1 n 1 k 1 k 0 k n 30 / 41

31 Implementierung C++ Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen // Eulerzahlen <n über k> Iterativ, ohne DP // Komplexitaet O(n*k) int euler (int n, int k) { int sum = 0, tmpsum = 0; N = n; for (int j = 0; j =< k; j++) { // fastexp: O (log n) tmpsum = fastexp(k j +1, n); // binom: O (n) tmpsum *= binom(n+1, j); if ((n % 2) == 1) { sum -= tmpsum; else { sum += tmpsum; return sum; n k k = 1 j =0 j n 1 k j 1 n j 31 / 41

32 Implementierung C++ Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer Partitionen // globale Variablen int NMAX; // Array auf Nmax initialisieren unsigned long long nums[nmax][nmax]; // i = n; j = k; Implementierung der Rekursiven Formel mit DP void euler() { // Array initialisieren memset(nums, 0, sizeof(nums)); nums[0][0] = 1; n k = k n 1 k n k 1 n 1 k 1 // "Pascal Dreieck" bis NMAX (n = i, k = j) berechnen for (int n = 1; n < NMAX; n++) { for (int k = 1; k <= n; k++) { nums[n][k] = k * nums[n-1][k] + (n-k+1)*nums[n-1][k-1]; 32 / 41

33 Integer-Partitionen Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer-Partitionen Eine Integer-Partition n nennt man eine Menge von natürlichen Zahlen, deren Summe n ergibt. f(n,k) soll alle möglichen Zusammensetzungen von n aus Zahlen k liefern f(n,n) entspricht der Integerpartition von n Veranschaulichung: f(1, 1) =1:{1 f(2,2) =2: {{1,1, {2 f(3,3) =3: { {1,1,1, {2,1, {3 TODO f(3, 2) = 2 {{1,2, {1,1,1 f(4, 3) = 4 {{1,1,1,1, {1,1,2, {2, 2, {3, 1 33 / 41

34 Integer-Partitionen Fibonacci Catalan Stirling Euler Integer-Partitionen Diese Funktion addiert dann alle Möglichkeiten in denen k vorkommt und alle mit k-1 f (n, k) = f (n k, k) + f (n, k 1) Basisfälle/Abbruchkriterien: f (0, k) = 1, f (n, 0) = 0, f (n, k) = 0 für n < 0 TODO Klassischer Anwendungsfall: Münzwechselproblem 34 / 41

35 Beispiele (kreuz & quer) Beispiele & Hinweise 1. Möglichkeiten, von A nach B zu gelangen, ohne die Linie zu überqueren A n n B Luftlinie: [ A B ]= 2n 2 erlaubte Züge: nur auf den Diagonalen, vorwärts (rechts oben/unten) Lösung: CATALAN ZAHLEN C(n) (in diesem Fall 5) 35 / 41

36 Beispiele (kreuz & quer) Beispiele & Hinweise In jeder Truhe liegt je ein beliebiger Schlüssel (alle unterschiedlich) passend für genau eine der N Boxen... = N N 1... Mit 1 Dynamit kann 1 Truhe geöffnet werden... = M 1 M N Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit höchstens M Bomben alle Truhen geöffnet werden können? 36 / 41

37 Lösung Stirling Zahlen I k n Es gibt 50 Möglichkeiten, 5 Elemente in 2 Zyklen aufzuteilen eine Bombe ermöglicht hier den Einstieg in einen Zyklus Beispiele & Hinweise z.b. 5 Boxen, 2 Bomben: Lösung: möglich: = 74 oder: s(5,1)+s(5,2) insg.: = 119 oder s(5,1)+s(5,2) s(5,5) 74/119 = % 37 / 41

38 Beispiele & Hinweise Wichtige Hinweise ICPC Hinweise Implementierung der Zahlenfolgen/Binomialkoeffizienten meist mit der Rekursiven Formel unter Verwendung von DP erforderlich einfache Rekursion führt ziemlich sicher zum TIMELIMIT Zahlenwerte steigen oft sehr schnell (häufigste Fehlerursache!) MUSTER long long statt int verwenden (oder BIGINTEGER in Java) BigIntegerRealisierung: Dezimalstellen werden im Array gespeichert. (+, -, *, /... entsprechend angepasst) kann man auch selber in C++ implementieren ;) 38 / 41

39 Quellen wikipedia.de wikipedia.org Hallo Welt Archiv kompetente Komilitonen MUSTER 39 / 41

40 Codesnippet e N D 40 / 41