Programmierung 1 (Wintersemester 2015/16) Lösungsblatt: Aufgaben für die Übungsgruppen: 8 (Kapitel 9)

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1 Fachrichtung 6. Informatik Universität des Saarlandes Tutorenteam der Vorlesung Programmierung Programmierung (Wintersemester 5/6) Lösungsblatt: Aufgaben für die Übungsgruppen: 8 (Kapitel 9) Hinweis: Dieses Übungsblatt enthält von den Tutoren für die Übungsgruppe erstellte Aufgaben. Die Aufgaben und die damit abgedeckten Themenbereiche sind für die Klausur weder relevant noch irrelevant. Grundlagen Teil Aufgabe 8. (Wohlgeformtheit) Notieren Sie zunächst die vier Wohlgeformtheitsbedingungen. Finden Sie dann für jede der Bedingungen eine Prozedur, die nur gegen diese verstößt. Ist dies möglich? Lösung 8.: Im Folgenden ist zu jeder Wohlgeformtheitsbedingung eine Prozedur angegeben, die nur gegen diese verstößt. (a) Rekursive Anwendungen der Prozedur erfolgen nur auf Elemente des Argumentbereichs der Prozedur. p n = if true then 4 else p (n ) Funktionen werden nur auf Elemente ihres Definitionsbereichs angewendet. p n = if true then 4 else p (, ) + 3 Es werden nur Ergebnisse im Ergebnisbereich der Prozedur geliefert. p n = Die definierenden Gleichungen sind disjunkt und erschöpfend. p = 5 Aufgabe 8. Sei die folgende mathematische Prozedur gegeben: ggt : N + N + N + ggt(x, x) = x ggt(x, y) = ggt(x y, y) ggt(x, y) = ggt(x, y x) x > y x < y (a) Bleiben die Wohlgeformtheitsbedingungen für die definierenden Gleichungen gültig, wenn man den Ergebnisbereich zu Z verändert? den Argumentbereich zu N N verändert? den Argumentbereich zu N N und den Ergebnisbereich zu Z verändert? Geben Sie die Anwendungsgleichung für ggt(4, 6) an. Geben Sie die Rekursionsfolge für ggt(3, 4) an.

2 Lösung 8.: (a) Ja Nein, da für ggt(, ) ausgegeben werden müsste, der Ergebnisbereich N + allerdings nicht die enthält. Ja ggt(4, 6) = ggt(8, 6) (3, 4) (6, 4) (6, 8) (6, ) (6, 6) Aufgabe 8.3 p(n) = n = p(n) = 3 p(n ) n > (a) Bestimmen Sie die Ergebnisfunktionen der beiden Prozeduren. Bestimmen Sie die Rekursionsfunktion. Zeichnen Sie die Rekursionsbäume für p(5) und q(4). Geben Sie die Rekursionsrelation für p und q an. Lösung 8.3: (a) Ergebnisfunktion für p: λn N.3 n Ergebnisfunktion für q: λn N. q : N N q(n) = n = q(n) = q(n ) + q(n ) n > Rekursionsfunktion für p : λn N. if n = then else n Rekursionsfunktion für q : λn N. if n = then else n, n Da p linearrekursiv ist, zeichnen wir den Rekursionsbaum als Rekursionsfolge: (5) (4) (3) () () () Da q baumrekursiv ist, bekommen wir hier einen Baum: Die Rekursionsrelation für p und q ist gleich: {(n, n ) n N n > } Aufgabe 8.4 (Erweitern einer Prozedur) Geben Sie eine Prozedur euclid : Z Z Z an, die euclid aus Kapitel 9. erweitert und deren definierenden Gleichungen ohne Konditionale formuliert sind. Lösung 8.4: euclid : Z Z Z euclid (x, ) = x euclid (x, y) = euclid (y, x mod y) für y Hinweis: Nach dem Erweitern muss die so entstandene Prozedur für alle möglichen Eingaben der Ursprungsprozedur das gleiche Ergebnis wie diese bringen. Das heißt aber auch, dass die Ausgabe für Eingaben, die nicht von der Ursprungsprozedur genommen werden, beliebig sein kann. euclid kann daher, sobald eines der beiden

3 Argumente negativ ist, beliebige Ergebnisse zurückgeben, solange bei positiven Argumente das gleiche wie bei euclid zurückgegeben wird. Aufgabe 8.5 (Terminierungsfunktionen) Geben Sie (wenn vorhanden) Terminierungsfunktionen für folgende Prozeduren an: (a) a : N N a(n) = n < a(n) = a(n 3) a(n ) n b : Z N b(n) = 7 n b(n) = b(n ) b(n ) Lösung 8.5: (a) λn N.n n < n λn Z.if n < then else n + λn N.if n > 5 then else 6 n λ(m, n) N N.m + n c : N N c(n) = 3 n > 5 c(n) = c(n + ) n 5 d : N N N d(m, n) = d(m, n) m > 4 d(m, n) = d(m, n ) m 4 n > d(m, n) = m n m m 4 n Aufgabe 8.6 (Ergebnisfunktionen) Geben Sie die Ergebnisfunktionen folgender Prozeduren an: (a) a : N N a(z) = z = a(z) = z a(z ) z > b : N N N b(e, i) = e i = b(e, i) = e b(e, i ) i > c : Z N c(a) = c(a a) a < c(a) = a = c(a) = a + c(a a) a > d : Z N d(t) = d( t + ) t < d(t) = t = d(t) = t + d(t ) t > Lösung 8.6: (a) λn N. λ(a, b) N N.a b+ λn Z. n + λw Z.if w then w (w ) else ( w + ) ( w) (Hinweis: Gauß-Summe verschieben) Aufgabe 8.7 Geben Sie für: (a) eine natürliche Terminierungsfunktion an. eine strukturelle Terminierungsfunktion an. Lösung 8.7: (a) λxs L(X). xs λxs L(X).xs dou : L(X) N dou(nil) = dou(x :: xr) = dou(xr) 3

4 Aufgabe 8.8 (a) Schreiben Sie eine mathematische Prozedur drei : N N, die für ein Argument n die Zahl 3 n+ berechnet. Geben Sie eine Terminierungsfunktion für drei an. Schreiben Sie eine mathematische Prozedur vier : N\{} N, die mithilfe von iter : N X (X X) X für ein Argument n > die Zahl 4 n berechnet. Schreiben Sie eine mathematische Prozedur rev : L(X) L(X), die eine Liste xs reversiert. Geben Sie eine Terminierungsfunktion für rev an. Lösung 8.8: drei(n) = 3 n = (a) drei(n) = 3 drei(n ) n > Terminierungsfunktion: λn N.n vier(n) = iter(n,, λk N.4 k) rev(nil) = nil rev(x :: xr) = rev(xr)@[x] Terminierungsfunktion: λxs L(X).xs Korrektheitssatz Aufgabe 8.9 (Sehr wichtig!) Erklären Sie ausführlich, was Sie beim Korrektheitssatz zeigen! Inwiefern ist der Korrektheitssatz vergleichbar zum folgenden Beispiel? Beispiel: Ein Gleichungssystem x = ist gegeben. Um zu zeigen, dass eine Lösung für die Gleichung ist, setzt man für x in der Gleichung ein. Aufgabe 8. (Fakultät) Beweisen Sie, dass die Prozedur die Funktion fac = λn N.n! berechnet. fak : N N fak(n) = für n = fak(n) = n fak(n ) für n > Lösung 8.: Zunächst zeigen wir, dass die Prozedur fak terminiert. Dazu geben wir eine natürliche Terminierungsfunktion an: λn N.n. Also ist Dom fac Dom fak. Nun bleibt zu zeigen, dass fac die definierenden Gleichungen von fak erfüllt. Dafür machen wir eine Fallunterscheidung:. Fall: n = : =! Definition von! = f ac() Definition fac. Fall: n > : n fac(n ) fac in definierende Gleichungen von fak eingesetz) = n (n )! Definition von fac = n! Definition von! = fac(n) Definition von fac 4

5 Aufgabe 8. (Quadratzahlen) Zeigen Sie, dass die Prozedur die Funktion λn N. (n + ) berechnet. p n = if n < then else p(n ) + n + Lösung 8.: Sei f = λn N. (n + ). Die natürliche Terminierungsfunktion λn N. n zeigt, dass Dom p = N und somit Dom f Dom p. Laut Satz 9. wird f dann von p berechnet, falls f die definierenden Gleichungen von p für alle n N erfüllt. Für den Fall n = ist dies klar, da ( + ) =. Sei also n >. Dann gilt if n < then else f(n ) + n + = f(n ) + n + (Konditional auswerten) = ((n ) + ) + n + (Definition von f) = n + n + (vereinfachen) = (n + ) (Binomische Formel) = f n (Definition von f) Aufgabe 8. (Multiplikation mit Addition) Konstruieren Sie eine terminierende Prozedur p : Z N Z, die die Funktion f = λ(x, n) Z N. x n durch wiederholte Addition berechnet. (a) Zeigen Sie die Terminierung der Prozedur p mit einer natürlichen Terminierungsfunktion. Beweisen Sie mit dem Korrektheitssatz die Korrektheit Ihrer Prozedur. Lösung 8.: p : Z N Z p(x, n) = für n = p(x, n) = x + f(x, n ) für n > (a) λ(x, n) Z N. n Beweis mit dem Korrektheitssatz. Wir zeigen zuerst, dass Dom f Dom p gilt. Das folgt daraus, dass p für alle (x, n) Z N terminiert wegen Aufgabenteil (a). Nun zeigen wir, dass f die definierenden Gleichungen von p für alle (x, n) Z N erfüllt. Wir unterscheiden zwei Fälle:.Fall: n = if n = then else x + f(x, n ) = (Definition Konditional) = x = f(x, ) (Definition f) = f(x, n).fall: n > if n = then else x + f(x, n ) = x + f(x, n ) (Definition Konditional) = x + x (n ) (Definition f) = x ( + (n )) = x n = f(x, n) (Definition f) Aufgabe 8.3 (Korrektheitssatz) Geben Sie zu folgenden Prozeduren die Ergebnisfunktion an und beweisen Sie ihre Korrektheit. 5

6 (a) a : N N a n = für n = a n = a(n ) + a(n ) für n > b : Z Z Z b(n, m) = für m = b(n, m) = n b(n, m ) für m c : N Z c = c n = c (n ) für n > d : N N d = d = d n = + d(n ) für n > Lösung 8.3: (a) Ergebnisfunktion: f = λn N.4 n Beweis mit dem Korrektheitssatz. Wir zeigen zuerst, dass Dom f Dom a gilt. Dafür zeigen wir mithilfe einer natürlichen Terminierungsfunktion, dass a für alle n N terminiert: λn N.n Somit gilt Dom f = N = Dom a Nun bleibt noch zu zeigen, dass f die definierenden Gleichungen von a erfüllt.. Fall: n = = 4 Mathe = f f in die definierenden Gleichung von a eingesetzt. Fall: n > f(n ) + f(n ) = 4 n + 4 n Definition von f = ( 4 n ) Mathe = 4 4 n Mathe = 4 n Mathe = f n Definition f Ergebnisfunktion: g = λ(n, m) Z N.n m Beweis mit dem Korrektheitssatz. Wir zeigen zuerst, dass Dom g Dom b gilt. Dafür zeigen wir mithilfe einer natürlichen Terminierungsfunktion, dass b (n, m) Z N terminiert: λ(n, m) Z N.m Somit gilt Dom g = N = Dom b Nun bleibt noch zu zeigen, dass f die definierenden Gleichungen von b erfüllt.. Fall: n = = n Mathe = g (n, ) Definition von g. Fall: n > n g (n, m ) = n n m Definition von g = n m Mathe = g (n, m) Definition von g Ergebnisfunktion: h = λn N. n Beweis mit dem Korrektheitssatz. Wir zeigen zuerst, dass Dom h Dom c gilt. Dafür zeigen wir mithilfe einer natürlichen Terminierungsfunktion, dass c n N terminiert: λn N.n Somit gilt Dom g = N = Dom c Nun bleibt noch zu zeigen, dass f die definierenden Gleichungen von c erfüllt.. Fall: n = = Mathe = n da n = = h Definition von h. Fall: n > 6

7 h(n ) = (n ) Definition von h = n + Mathe = n Mathe = h n Definition von h Ergebnisfunktion: λn N. n Korrektheit:. Fall: n = f = Definition f = Mathe, Definition. Fall: n = f = Definition f = Mathe, Definition 3. Fall: n > f n = n Definition f = + n Mathe = + n Mathe, Definition = + n Mathe = + f (n ) Aufgabe 8.4 (Äquivalenzbeweis: Genau hingeschaut) Betrachten Sie die beiden folgenden mathematischen Prozeduren: p : N Z Z p (, y) = y p (x, y) = p (x, y + ) für x > q : N Z Z q (, y) = y y q (x, y) = q (x, y + ) q (x, y + ) für x > Beweisen Sie, dass die beiden Prozeduren semantisch äquivalent sind. Geben Sie dabei genau an, wie Sie argumentieren und welche Sätze Sie benutzen! Lösung 8.4: Wir geben eine Funktion f an: f (, y) = y f N Z Z f (x, y) = f (x, y + ) für x > Dom f = Dom p, da der Definitionsbereich der Funktion f dem Argumentbereich der Prozedur p entspricht und die Prozedur p für alle ihre Argumente terminiert, wie die natürliche Terminierungsfunktion λ (x, y) N Z. x beweist. Nun zeigen wir zuerst, dass q die Funktion f berechnet. Dazu nutzen wir den Korrektheitssatz: (a) Dom f = Dom q, da Definitionsbereich von f und Argumentbereich von p übereinstimmen und q für alle Argumente terminiert (λ (x, y) N Z. x). f erfüllt die definierenden Gleichungen von q: Für x = : Für x > : f (, y) = y Definition f = y y Arithmetik f (x, y) = f (x, y + ) Definition f, x > = f (x, y + ) f (x, y + ) Arithmetik 7

8 Da q die Funktion f berechnet, und Dom f = Dom q, folgt mit Proposition 9.5, dass f die Ergebnisfunktion von q ist. Damit haben p und q die gleiche Ergebnisfunktion. Da auch ihr Argumentbereich gleich ist, sind sie laut Definition semantisch äquivalent. Grundlagen Teil Aufgabe 8.5 Wozu nutzen wir Terminierungsfunktionen? Sammeln Sie häufig vorkommende Terminierungsfunktionen! Lösung 8.5: Häufig kommen folgende Terminierungsfunktionen vor: λn N.n λn N.n + λn N.if n < then n else λ(m, n) N Z.m λ(m, n) Z Z. m n λxs L(X). xs λxs L(X).xs Aufgabe 8.6 Finden Sie prägnante Erklärungen für die folgenden Unterschiede: (a) Ausführungsprotokoll vs. Anwendungsgleichung Anwendungsgleichung vs. definierende Gleichung verkürztes Ausführungsprotokoll vs. Anwendungsgleichung Argumentbereich vs. Definitionsbereich (e) Rekursionsfunktion vs. Terminierungsfunktion Aufgabe 8.7 (Rekursionsbaum) Zeichnen Sie den Rekursionsbaum für das Argument (7, 5): f : N N N f(a, b) = a f(a, b) = f(a b, b) + f(b, a b) f(a, b) = f(a, b a) a = b a > b a < b Lösung 8.7: (7, 5) (, 5) (5, ) (, 3) (3, ) (, 3) (9, 3) (3, 9) (3, 9) (9, 3) (3, 9) (6, 3) (3, 6) (3, 6) (3, 6) (6, 3) (3, 6) (3, 6) 8

9 Aufgabe 8.8 (Terminierungsfunktionen) Geben Sie (wenn vorhanden) Terminierungsfunktionen für folgende Prozeduren an: (a) a : Z Z a(n) = + a(n div ) n mod = a(n) = a(n + ) n b : Z Z Z b(m, n) = n m b(m, n) = b(m +, n + ) m > n m n c N N N c(m, n) = c(m, n) m > c(m, n) = 9 m Lösung 8.8: (a) a terminiert nicht. λ(m, n) Z Z Z.if m > n then else n m + c ist eine Funktion, keine Prozedur. λ(m, n) Z Z Z. m n (e) λxs L(X).xs (e) d : Z Z N d(m, n) = d(m, n) d(m, n) = d(n, m + ) d(m, n) = 3 e : L(X) N e(nil) = 4 e(x :: xr) = e(xr) + m > n m < n m = n Aufgabe 8.9 (Rekursionsrelationen und Rekursionsfunktionen) Geben Sie die Rekursionsrelation und die Rekursionsfunktion folgender Prozeduren an: (a) a : Z Z a(n) = a(n ) b : Z N b(n) = b(n mod ) n < b(n) = n n c : Z N c(n) = c(n + ) + c(n div ) n 5 c(n) = n n < 5 (e) d : N Z d(n) = d(n ) d(n ) + d(n ) n mod = d(n) = 3 n d(n) n mod e : Z N Z e(z, n) = e(z, n) + e(z, n ) z < e(z, n) = e(n, z) z Lösung 8.9: Rekursionsrelation Rekursionsfunktion (a) {(a, a ) a Z} λn N. n {(a, a mod ) a Z a < } λn Z.if n < then n mod else {(a, a + ) a Z a 5} λn Z.if n 5 then n +, n div else {(a, a div ) a Z a 5} {(a, a ) a N a mod = } λn N.if n mod = then n, n, n else n {(a, a) a N a mod } (e) {((a, b), (a, b)) a Z b N a < } λ(z, n) Z N.if z < then (z, n), (z, n ) else (n, z) {((a, b), (a, b )) a Z b N a < } {((a, b), (b, a)) a Z b N a } Aufgabe 8. (Definitionsbereiche) Geben Sie den Definitionsbereich folgender Prozeduren an: 9

10 (a) a : Z Z a(z) = z a(z) = a(z ) z < z b : N Z b(n) = 3 n = b(n) = b(n) n = b(n) = b(n ) + b(n ) n > n 8 b(n) = b(n ) n > 8 c : Z Z c(z) = z c(z) = c(z + ) z < z d : Z N d(x) = x x < d(x) = d(x + 5) d(x 5) x x d(x) = d( x) x > Lösung 8.: (a) Z N\{, 3, 5, 7} {x x Z x < } Z\{x x x } Aufgabe 8. Warum ist die mathematische Prozedur zulässig, obwohl die SML-Prozedur aha : N R N aha(n, r) = if n < r then n else fun aha ( n: int, r: real ) = if n < r then n else falsch getypt ist? Lösung 8.: Mathematische Prozeduren sind unabhängig von den Eigenarten spezieller Programmiersprachen. Wichtig ist nur, dass Funktionen (wie z.b. <) nur auf Argumente ihres Definitionsbereichs angewendet werden (Wohlgefomrtheitsbedingung). Der Definitionsbereich von < ist R. Da N eine Teilmenge von R ist, ist es kein Problem, eine natürliche Zahl mit einer reelen zu vergleichen. In SML geht dies jedoch nicht, da int und real verschiedene Typen sind und der Operator < nur entweder auf real oder auf int definiert ist.