Gliederung. Algorithmen und Datenstrukturen I. öschen in Rot-Schwarz-Bäumen. Löschen in Rot-Schwarz-Bäumen

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1 Gliederung Algorithmen und Datenstrukturen I Abstrakte Datentypen VII: in n D. Rösner Institut für Wissens- und prachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 1 Winter 2009/10, 10. Januar 2010, c 2009/10 D.Rösner D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ öschen in n in n in n ist zunächst wie in gewöhnlichen binären uchbäumen dabei: der Fall eines zu löschenden Knotens mit zwei nichtleeren Kindern wird dabei zurückgeführt auf des Knotens mit dem Minimum im rechten Teilbaum (alternativ: Maximum im linken Teilbaum) und Übernahme des Werts des Minimums in den zu löschenden Knoten die Wertübernahme bei Beibehaltung der Farbe des Knotens ändert nichts an der chwarztiefe also ist nur der Fall des s eines Knotens mit höchstens einem nichtleeren Kind zu betrachten Fälle: der zu löschende Knoten ist rot: Kind muss schwarz sein (gilt auch bei leerem Knoten als Kind) und kann ohne Veränderung der chwarztiefe den zu löschenden Knoten ersetzen der zu löschende Knoten ist schwarz: Kind ist rot: Kind wird schwarz gefärbt und kann dann ohne Veränderung der chwarztiefe den zu löschenden Knoten ersetzen Kind ist ebenfalls schwarz: dies ist der komplexe Fall, der im folgenden analysiert wird D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

2 öschen in n in n wir ersetzen zunächst den zu löschenden Knoten durch sein schwarzes Kind diesen Knoten nennen wir dann da vor dem die Rot-chwarz-Eigenschaften vorlagen, besitzt einen Elternknoten, einen Geschwisterknoten und dieser hat ein linkes Kind L und ein rechtes Kind R wir betrachten im folgenden, welche unterschiedlichen Konstellationen (für,, L und R) möglich sind und mit welchen Operationen dann die Rot-chwarz-Eigenschaften wiederhergestellt werden können 1 2 L R Abbildung: Rot-chwarz-Baum nach Verkürzung der chwarztiefe von faden durch schematisch; im folgenden verschiedene Fälle betrachtet D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ öschen in n in n Hinweise: im folgenden betrachten wir immer Fälle, bei denen die zu behebende Verringerung der chwarztiefe im linken Teilbaum auftritt die symmetrische ituation mit zu behebender Verringerung der chwarztiefe im rechten Teilbaum erfordert gleichartige symmetrische Transformationen (s. Übung) bei allen Analysen nutzen wir aus, dass vor der Löschung die Eigenschaften eines Rot-chwarz-Baums erfüllt waren 1 2 L R Abbildung: Fall 2: Roter Geschwisterknoten D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

3 öschen in n in n R L L R Abbildung: Transformation in Fall 2: Rechtsrotation, Farbentausch zwischen und Abbildung: Fall 3:,, L und R seien schwarz D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ öschen in n in n 1 2 L R Abbildung: Transformation in Fall 3: lokaler Ausgleich durch Reduktion der chwarztiefen durch Rotfärbung von beachte: die chwarztiefen aller fade durch sind nach der Transformation im Fall 3 identisch, aber um 1 geringer als vor der Löschung ist die globale Wurzel, dann ist nichts mehr zu tun (Fall 1) andernfalls muss rekursiv ein Ausgleich der chwarztiefen auf den nächsthöheren Ebenen des Baumes erreicht werden D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

4 öschen in n in n 1 2 L R Abbildung: Fall 4:, L und R seien schwarz, rot 1 2 L R Abbildung: Transformation in Fall 4: nach Umfärbungen ( schwarz, rot) haben fade durch chwarztiefe wie zuvor und die durch eine wieder um 1 erhöhte D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ öschen in n in n L R Abbildung: Fall 5: schwarz, L rot, R schwarz und linkes Kind seines Elternknoten L R Abbildung: Transformation in Fall 5: Linksrotation, rot färben und L schwärzen D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

5 öschen in n in n Effekt der Transformation in Fall 5: chwarztiefen bleiben unverändert Begründung: aber: hat nun schwarzen Geschwisterknoten mit rotem rechten Kind, d.h. Voraussetzung für Fall 6 trifft zu R Abbildung: Fall 6: sei schwarz, beliebig (d.h. rot oder schwarz), R rot D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/ öschen in n in n R Abbildung: Transformation in Fall 6: Rechtsrotation, Farbentausch zwischen und, R schwärzen Effekt der Transformation in Fall 6: fade durch haben einen schwarzen Knoten mehr Begründung: fade nicht durch haben gleiche Anzahl schwarzer Knoten wie zuvor Begründung: D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/

6 öschen in n Literatur: I Zusammenfassung: Arten von Transformationen chwarztiefen unverändert, aber neue Form als Einstieg in andere Transformation: Fall 2 Fall 5 lokaler Ausgleich der chwarztiefen, aber alle unterhalb der aktuellen Wurzel um 1 vermindert: Fall 3 Ausgleich rekursiv auf nächsthöherer Ebene erforderlich lokaler Ausgleich der chwarztiefen so, dass der treichungsverlust behoben: Fall 4 Fall 6 Chris Okasaki. urely Functional Data tructures. Cambridge University ress, Cambridge, UK, IB Fethi Rabhi and Guy Lapalme. Algorithms A Functional rogramming Approach. earson Education Ltd., Essex, nd edition, IB D. Rösner AuD I 2009/ D. Rösner AuD I 2009/