Warum darf sich der Laser irren? Vortrag von Ralph-Hardo Schulz Sommeruniversität an der FU Berlin,

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1 Warum darf sich der Laser irren? Vortrag von Ralph-Hardo Schulz Sommeruniversität an der FU Berlin, Prüfzeichensysteme zur Fehlererkennung 11 Europäische Artikel Nummer (EAN) Die EAN ist eine 13 ziffrige Nummer über dem Alphabet {, 1, 2,, 9}, dargestellt durch einen Strichcode (Barcode) (s Bilder 11 und 12!) Bild 11 Beispiel einer EAN a) b) a 2 a 3 Bild 12: Zum Strichcode a) Ausschnitt mit Andeutung der Codierung b) EAN Dabei setzt sich a 2 3 aus der Länderkennung a 2, der Nummer a 3 der produzierenden Firma, der Produktnummer a 8 2 und der Prüfziffer 3 zusammen Kontrolle: Man bestimmt die gewichtete Quersumme P( 3 ) := + 3 a 2 + a 3 + 3a Diese muss eine Zehnerzahl sein,( also ein Vielfaches von 1, eine Zahl, die bei der Division durch 1 den Rest hat,dh eine Zahl mit letzter Ziffer ) Beispiel erfüllt = 12 Bezeichnung Wir schreiben R m (P) = r, falls der Rest von P bei Division durch m gleich r ist (Alternativ: P r( mod m), gesprochen P kongruent r modulo m, mit r {,,m 1}) 1

2 Damit lautet die Kontrollgleichung der EAN Eigenschaften der EAN: R 1 (P) = bzw P (mod 1) 1 Übertragungs Fehler in einer Ziffer (Einzelfehler) werden erkannt Beweisskizze: Sei a= a i 3 zu b= b i 3 verfälscht Sei außer P(a) auch P(b) eine Zehnerzahl, sodass der Fehler nicht erkannt würde Ist i ungerade, so kann P(b) = + +b i + +3 = + +a i (b i a i ) = P(a)+(b i a i ) keine Zehnerzahl sein, außer es ist b i gleich a i ; ist i gerade, so P(b) = P(a) + 3(b i a i ) ebenfalls keine Zehnerzahl für b i a i P(b) kann daher keine Zehnerzahl sein, und der Fehler wird erkannt 2 Drehfehler (Vertauschung zweier benachbarter Ziffern) werden nur teilweise erkannt Beweis Übungsaufgabe Beispiel: Betrachte und ! 12 Internationale Standard Buchnummer (ISBN) Die ISBN ist eine 1-stellige Nummer b 1 b 2 b 9 b 1 mit b 1,,b 9 {, 1,, 9} (zu b 1 siehe unten!), in der Herkunftsland, Verlag und Buchtitel gekennzeichnet sind Duch die Wahl der Prüfziffer b 1 wird die Prüfbedingung: b 1 + 2b 2 + 3b b 1 ist eine 11-er Zahl bzw R 11 (b 1 + 2b b 1 ) = für die ISBN erfüllt Beispiele: (i) Die ISBN erfüllt = 29 = (ii) Die Berechnung der Prüfziffer b 1, zb von b 1 b 9 b 1 mit b 1 b 9 = führt zu einem Problem: Um auf den Rest zu kommen, muss b 1 den Wert 1 haben Um eine einstellige Prüfzifer zu erhalten, verwendet man das römische Zahlzeichen X, hat also für b 1 das Alphabet {, 1,, 9, X} Exkurs Man sieht, dass die Regeln für das Rechnen mit Resten wichtig sein können (i) R m (P) = r P = m k + r für P r (mod m) geeignetes k N {} (ii) R m (P + Q) = R m (R m (P) + R m (Q)) Mit Kongruenzen geschrieben: Aus P r(modm) und Q s( mod m) folgt P ± Q r ± s (modm) Beweisskizze: Aus P = mk + r und Q = ml + s folgt P ± Q = m(k ± l) + (r ± s), also R m (P ± Q) = R m (r ± s) 2

3 (iii) E gilt R m (P Q) = R m (R m (P) R m (Q)); bzw: Aus P r( mod m) und Q s(modm) folgt P Q r s(mod m) Eigenschaften der ISBN: Einzelfehler und Drehfehler werden erkannt Beweisskizze: = R 11 (b ib i + + 1b 1 ) R 11 (b ib i + + 1b 1) = R 11 (i(b i b i ) = i(b i b i) ist Elferzahl = b i = b i (da i und 11 teilerfremd sind und b i, b i {,, X}) = R 11 (b 1 + +ib i +(i+1)b i b 1 ) R 11 (b 1 + +ib i+1 +(i+1)b i + +1b 1 ) = R 11 (b i+1 b i ) = b i = b i+1 13 Nummern der Europäischen Banknoten Jede Euro-Banknote trägt eine 12-stellige alphanumerische Kennzeichnung 2, wobei ein das Ausgabeland angebender Buchstabe ist (X für Deutschland) Nach dessen Ersetzung durch eine Zahl (Position im Alphabet plus 1, also R 9 (25) = 7) erfüllt die Quersumme die Prüfgleichung R 9 ( + a ) = Beispiel: X (Nummer eines 1-Euro-Scheines) hat die Quersumme ( ) = 4 9 Übungsaufgabe: Untersuchen Sie, ob Einzelfehler und Drehfehler erkannt werden können! 14 Paritätskontrollcode Bei Wörtern a n über dem Alphabet {, 1} kann man Fehler durch Anhängen eines sogenannten Paritätskontrollbits erkennen Dies geschieht so, dass die Anzahl der Einsen in einem Wort gerade ist Ein Einzelfehler lässt sich so erkennen Beispiel: Der Fehler fällt auf, da die Anzahl der Einsen von gerade zu ungerade verfälscht wurde 2 Fehlerkorrigierende Codes Nicht nur Fehlererkennung, sondern sogar Korrektur von Fehlern ist bei geeigneten Codes möglich Meist betrachtet man dazu Wörter über dem digitalen Alphabet {, 1}, in die man die (sogenannten analogen) Ton- und Bild-Signale (durch Abtastung, Quantisierung und Codierung ) umwandelt Die Speicherung erfolgt bei CD und DVD als eine spiralförmige Spur, bestehend aus einer Folge von mikroskopisch kleinen Vertiefungen, pits genannt, mit daneben liegenden lands ; jeder Übergang land/pit und pit/land wird als eine 1 interpretiert, alle anderen Bits sind ; lands und pits werden bei der Wiedergabe von einem Laser gelesen Eine Vergrößerung socher Spuren zeigt Bild 21 In Bild 22 findet man eine schematische Darstellung der Codierung durch die lands und pits 3

4 Bild 21: Mikroskopisch kleine lands und pits Schnitt durch eine Spur Bild 22: Schematische Darstellung der Codierung durch lands und pits Bild 21 und 22 aus Carasso,Peek u Sinjou: The Compact Disc Digital Audio systemphilips techrev4, , 1982,No6 Die Codierung von Bild- und Ton-Signalen ist allerdings so kompliziert und benötigt zum Verständnis solche mathematischen Kenntnisse, dass wir hier nur auf das Hauptprinzip der Fehlerkorrektur eingehen können Dazu betrachten wir sogenannte Tetraden, dh Quadrupel a 2 a 3 a 4 über dem Alphabet {, 1} (, in denen die Information gespeichert sein soll,) und sichern sie durch Kontrollsymbole ab Wir ordnen sie im Quadrat an und hängen an jede Zeile und jede Spalte ein Paritätskontroll-Bit (vgl Bild 23) an a 2 a 5 a 3 a 4 a 6 a 8 Bild 23: Beispiel einer Codierung durch zeilen- und spaltenweise Paritätskontrollen ZB ergibt 1 das Codewort

5 Fehlerhafte Übertragung der Tetrade verursacht ungerade Parität (Anzahl der Eisen) genau in der Zeile und Spalte, in der sich der Fehler befindet Auch Fehler in einem Kontrollbit kann man lokalisieren (Wie?) Damit kann man Einzelfehler erkennen und sogar korrigieren Beispiel: Bei Erhalt von ergibt die Paritätskontrolle einen Fehler in Zeile zwei und Spalte eins, sodass zu 111 korrigiert werden kann Zur Fehlerkennung und -korrektur sind dabei 4 Paritätskontrollen nach dem folgenden Schema nötig: a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 8 1 Kontrolle X X X 2 Kontrolle X X X 3 Kontrolle X X X 4 Kontrolle X X X Bild 24: Die Paritätskontrollen beim behandelten Beispiel Um das angegebene Verfahren verallgemeinern zu können, führen wir auf dem Alphabet {, 1} gemäß den Vorgaben bei den Paritätskontrollen eine Addition ein, die der für R 2 (x) entspricht: + = + 1 = = = Nun fassen wir zusammen: Die Codierung der Tetrade a 2 a 3 a 4 zu a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 8 lässt sich durch folgende Gleichungen beschreiben: a 5 = + a 2 a 6 = a 3 + a 4 = + a 3 a 8 = a 2 + a 4 Durch Umformungen sieht man: Der Code besteht aus allen Wörtern a 2 a 8, die folgenden Gleichungen (Kontrollgleichungen) genügen: + a 2 + a 5 = a 3 + a 4 + a 6 = + a 3 + = a 2 + a 4 + a 8 = Überprüft man bei einem empfangenen Wort die Gültigkeit dieser Gleichungen, so bedeutet dies eine Paritätskontrolle gemäß Bild 24 (Vergleichen Sie das Erscheinungsbild der linken Seite dieser Kontroll Gleichungen mit Bild 24!) 5

6 Das eben geschilderte Beispiel mit Wortlänge 8 ist aber noch nicht optimal: Wir können die Wortlänge noch weiter drücken, wie folgendes Beispiel eines Codes, des sogenannten (7,4)- HAMMING-Codes, zeigt Bei der Codierung einer Tetrade a 2 a 3 a 4 werden als Kontrollsymbole hinzugefügt: a 5 = + a 2 + a 3 a 6 = a 2 + a 3 + a 4 = + a 2 + a 4 Beispiel: Aus den Wörtern der Länge 4 entstehen Codewörter der Länge 7 Die Kontrollgleichungen lauten nun +a 2 +a 3 +a 5 = a 2 +a 3 +a 4 +a 6 = +a 2 +a 4 + = Genau die Codewörter erfüllen diese Gleichungen, wie aus dem Beispiel; szb Bild 25 Einsetzen von: in: O O O 1 O 1 1 Ergebnis + + a 2 + a 3 a 2 + a + a 3 4 a 2 + a 4 + a 5 + a 6 + O O O Bild 25: Kontrolle eines Codewortes des (7,4) Hamming-Codes Lässt sich nun ein Fehler in einem Codewort korrigieren? Und wenn ja, wie? Zur Beantwortung dieser Frage sind noch weitere Überlegungen erforderlich: Ist der Fehler in der i-ten Komponente unterlaufen, und sind alle anderen Komponenten richtig übertragen worden, so erhalten wir statt ein Wort a 1 a 7 mit a i = a i +1 und a j = a j sonst Wir setzen nun ein empfangenes fehlerhaftes Wort in die linke Seite der Kontroll Gleichungen ein und erhalten: a 1 +a 2 +a 3 +a 5 = s 1 a 2 +a 3 +a 4 +a 6 = s 2 a 1 +a 2 +a 4 +a 7 = s 3 s 1 s 2 s 3 heißt dabei das Syndrom von a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 6

7 Es ist allein aus dem empfangenen Wort ohne Kenntnis der gesendeten Nachricht berechenbar Für ein Codewort wäre das Syndrom ; bei diesem geht man von unverfälschter Übertragung aus Setzen wir nun sukzessive für die (gemäß Voraussetzung einzige) Fehlerstelle i die Werte 1, 2,, 7 ein und beachten, dass die Kontrollgleichungen für gelten, so erhalten wir folgende Syndrome: Für i = 1: s 1 = a 1 + a 2 + a 3 + a 5 = a 2 + a 3 + a 5 = 1 s 2 = a 2 + a 3 + a 4 + a 6 = a 2 + a 3 + a 4 + a 6 = s 3 = a 1 + a 2 + a 4 + a 7 = a 2 + a 4 + = 1, für i = 2 : für i = 3 : für i = 4 : für i = 5 : für i = 6 : für i = 7 : s 1 = 1 s 2 = 1 s 3 = 1 s 1 = 1 s 2 = 1 s 3 = s 1 = s 2 = 1 s 3 = 1 s 1 = 1 s 2 = s 3 = s 1 = s 2 = 1 s 3 = s 1 = s 2 = s 3 = 1 Dabei entspricht das Syndrom für ein Wort mit Fehler in der i-ten Komponente gerade den Koeffizienten von a i in den Kontrollgleichungen! Man stellt fest: Für i = 1,,7 sind alle Syndrome s 1 s 2 s 3 verschieden und ungleich ; daher gilt immer vorausgesetzt, dass lediglich in der i-ten Komponente eine fehlerhafte Übertragung vorliegt: Diese Fehler-Stellen-Nummer i ist eindeutig aus dem Syndrom des empfangenen Wortes ablesbar und damit korrigierbar Wird am Kanal-Ende zum Beispiel empfangen, so ermittelt der Decodierer - meist eine automatische Schaltung - das Syndrom 11, daraus die Fehlerstelle i = 1, korrigiert nun zu 111 und meldet als empfangenes Quellen(code)- Signal 1 (Fehlerkorrektur) Der behandelte Hamming-Code hat weitere interessante Eigenschaften: Die (komponentenweise gebildete) Summe zweier Codewörter ist wieder ein Codewort Damit ist der Code auffassbar als ein Vektorraum über einem Körper mit 2 Elementen; für diesen besteht eine mathematische Theorie (cf Lineare Codes) Dazu beachte man die folgenden Anmerkungen (unter Anwendung von Linearer Algebra): 1 Ein Codewort des (7, 4)-Hamming-Codes erfüllt das lineare Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix A = : A = a 2 = 7

8 Ein Fehler in der 2-ten Komponente führt auf der linken Seite mittels s 1 s 2 s 3 = A + 1 = A + A 1 = + A zu der i-ten Spalte von A als Syndrom Ein Einzelfehler lässt sich also erkennen, da alle Spalten von A verschieden voneinander und von sind 2 Durch Definition der Multiplikation = 1 = 1 = 1 1 = 1 wird ({, 1}, +, ) zu einem Körper und jedes zu einem Vektor aus {, 1} 7 Die Menge der Codewörter, also der Lösungsraum des Linearen homogenen Gleichungssystems A x 1 x 7 = bildet dann einen Unterraum des Vektorraums {, 1} 7 Solche Codes nennen wir linear Das System der CD bzw DVD benutzt Kombinationen von linearen Codes und weitere Codierungen, um möglichst viele Fehler korrigieren zu können, s Bild 26! Auch die Signal Übertragung von und zu Raumsonden verwendet meist lineare Codes Weiterführende Literatur: [ 1 ] Beutelspacher, A: Luftschlösser und Hirngespinste, 8 Vieweg Verlag, Braunschweig, 1986 [ 2 ] Herget, W: Prüfziffern und Strichcode Computer-Mathematik auch ohne Computer Mathlehren 33, & 34, 1989 [ 3 ] van Lint, JH: Die Mathematik der Compact Disc In: MAigner und EBehrends: Alles Mathematik Von Pythagoras zum CD-Player Vieweg V, Braunschweig/ Wiesbaden, 2 [ 4 ] Schmidt, W: Mathematikaufgaben Anwendungen aus der modernen Technik und Arbeitswelt Klett Verlag, Stuttgart 1984, 1 8

9 Bild 26: Codierungs-Schema der CD Abb aus: Heemskerk u Schouhamer Immink: Compact Disc: system aspects and modulation Philips techrev 4, , 1982, No6 [ 5 ] Schulz, R-H: Informations- und Codierungstheorie eine Einführung In: R- HSchulz (Hrsg): Mathematische Aspekte der angewandten Informatik Eine elementare Einführung (BI, Mannheim 1994 ; vergriffen, wiederveröffentlicht in) The Electronic Library of Mathematics in The European Mathematical Information Service (EMIS) der Europäischen Mathematischen Gesellschaft (EMS): URL: [ 6 ] Schulz, R-H: Codierungstheorie Eine Einführung Vieweg V, Wiesbaden, 23 2 Adresse des Autors: ProfDrR-HSchulz, 2MathInstder FU, Arnimallee 3, Berlin schulz@mathfu-berlinde 9