Mathematik p sitiv! Lösungen. Wolfram Thorwartl Günther Wagner Helga Wagner LÖSUNGEN. 5. Klasse AHS

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1 Reifeprüfung durchgeführt. Diese neue Form der Matura, auf die bereits ab der. Klasse hingearbeitet wird, erfordert spezielle Grundkompetenzen und vernetztes mathematisches Denken. Im vorliegenden Lösungsband sind alle Übungsbeispiele des Bandes Mathematik positiv! (ISBN ) durchgerechnet. Zu den Wissensfragen W der Grundkompetenzen sind als Querverweis die Seitenzahlen aus Mathematik positiv! angegeben eine Wiederholung oder tiefere Einprägung ist so leicht und ohne lästiges Suchen möglich. Die Testfragen K zu den Grundkompetenzen, sei es in Form von Multiple-Choice-Verfahren, Interpretieren, Aussagen richtigstellen sind ebenfalls gelöst und chronologisch den Kapiteln entsprechend angeordnet. Ohne fremde Hilfe können die Rechnungen aus Mathematik positiv! LÖSUNGEN Ab 04 wird in Österreich die standardisierte, kompetenzorientierte Mathematik p sitiv! Wolfram Thorwartl Günther Wagner Helga Wagner Mathematik p sitiv! Z. S Klasse AH. Klasse AHS Zentralmatura 04 kontrolliert und etwaige Fehler gefunden und beseitigt werden Lösungen usgabe a u Ne für die ura at m l a r t n e 04

2 ISBN Auflage 0 Gesamtherstellung: Imprint, Ljubljana 0 G&G Verlagsgesellschaft mbh, Wien Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch die des auszugsweisen Nachdrucks, der fotomechanischen Wiedergabe sowie der Einspeicherung und Verarbeitung in elektronische Systeme, gesetzlich verboten. Aus Umweltschutzgründen wurde dieses Buch auf chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt.

3 A. Aussagenlogik Mengenalgebra A. AUSSAGENLOGIK MENGENALGEBRA (a) w. A. (b) f. A. (c) f. A. (d) f. A. (e) Aussageform, keine Aussage (f) keine Aussage (g) f. A. (h) w. A. (i) f. A. (a) L {Linz; Wien} (b) L {0; ; ; } (c) L {0; ; 4; ;..} (d) L {; ; } (e) L {; 4; } (f) L {4; ; ; ; 0; ; ; ; 4} (g) L {} (a) x N: x > 0 (b) x N: x (c)! x N: 0 < x < (d) x, y N u : x y N g (e) x Z: 7 < x < (f) Es gibt mindestens eine natürliche Zahl, deren Quadratwurzel zwischen 7 und 40 liegt. (g) Für alle ganzen Zahlen gilt, dass ihr Betrag eine natürliche Zahl ist. (h) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Kehrwert 0 ist. (i) Es gibt genau eine rationale Zahl, deren Kehrwert ist. 4 (a) Nicht jede natürliche Zahl ist durch teilbar. (w. A.) (b) x Z: x < x (f. A.) Es gibt mindestens eine ganze Zahl, für die gilt: x < x (f. A.) (c) x N: x (w. A.) Es gibt mindestens eine natürliche Zahl, die nicht durch teilbar ist (z. B. ) (d) x Q: x 0 (w. A.) Das Quadrat einer rationalen Zahl ist immer größer oder gleich 0. (e) x Q: (w. A.) Es gibt mindestens eine rationale Zahl, für die eine w. A. x x ist (z. B. ) x x (a) a: Der Mond ist ein Planet. f. A. b: Der Mond ist unbewohnt. w. A. a b: Der Mond ist ein Planet und ist unbewohnt. f. A. a b: Der Mond ist ein Planet oder der Mond ist unbewohnt. w. A. a b: Der Mond ist genau dann ein Planet, wenn der Mond unbewohnt ist. f. A. (b) a: Linz liegt an der Donau. w. A. b: Linz hat einen Donauhafen. w. A. a b: Linz liegt an der Donau und hat einen Donauhafen. w. A. a b: Linz liegt an der Donau oder Linz hat einen Donauhafen. w. A. a b: Linz liegt genau dann an der Donau, wenn Linz einen Donauhafen hat. w. A. (c) a: ABC ist ein gleichseitiges Dreieck. w. A. b: Die merkwürdigen Punkte fallen in einen Punkt zusammen. w. A. a b: ABC ist ein gleichseitiges Dreieck und die merkwürdigen Punkte fallen in einen Punkt zusammen. w.a. a b: ABC ist ein gleichseitiges Dreieck oder die merkwürdigen Punkte fallen in einem Punkt zusammen. w. A. a b: ABC ist ein gleichseitiges Dreieck genau dann, wenn die merkwürdigen Punkte in einem Punkt zusammenfallen. w. A. 6 (a) A {4; ; 6; 7; 8; 9; 0} A {x N < x < } bzw. A { x N 4 x 0} (b) B {8; 9; 0;..} B {x Z x 8} bzw. B {x Z x > 7} (c) C {..; ; ; 0; } C {x Z x } bzw. C {x Z x < } (d) D { 8; 4; 0; 6} D {x N (6 x) ( < x < 4)} 7 (a) E {x N (7 x) (7 x )} (b) F {x Z x } (c) G {x P x 7} (d) H {x N u x } 8 (a) Die Allaussage gilt nicht. Gegenbeispiel: A {; ; ; 4}, B = {; ; 4; } z(a) 4, z(b) 4, aber A B (b) Diese Allaussage gilt, gleiche Mengen haben gleich viele Elemente. 9 (a) A B, B A (b) A B, B A (c) A B, B A G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

4 A. Aussagenlogik Mengenalgebra 0 P(M) ; r ; s ; r; s (a) z(a) z P A (b) z(b) 4 (c) z(c) 9 z PC 9 (d) z(d) 0 z P B 4 6 z P D 0 zu (d) Die leere Menge hat nur eine Teilmenge, nämlich die leere Menge selbst. (a) A B {6; 7; 8} A B {; 4; ; 6,..; 0; } (b) A B { } A B N (a) A B {; 0; ; ; ; 4; } (A B) C {4; } (b) B C {; 0; ; ; ; 4; ; 6} A (B C) {; ; ; 4; } A 4 (a) In 88 Haushalten gibt es mindestens ein Handy, aber kein Festnetz. (b) In Haushalten gibt es einen Festnetzanschluss, aber nicht mindestens ein Handy. (c) In 4 Haushalten gibt es weder einen Festnetzanschluss noch ein Handy. Schüler fahren nur Ski, gehen nur Eisstockschießen, 7 Schüler betreiben nur eine Sportart. 6 (a) A B {; ; 7} B A {; ; 7} A B B A w. A. A B {; ; ; 7; 9; } B A {; ; ; 7; 9; } A B B A w. A. (b) A B N u B A N u A B B A w. A. A B N B A N A B B A w. A. 7 (a) A B B A A B A B B A L. S. R. S. L. S. R. S. w. A. (b) (A B) C A (B C) A B C A B (A B) C B C A (B C) L. S. R. S. L. S. R. S. w. A. 4 Mathematik positiv!. Klasse Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 G & G Verlagsgesellschaft mbh

5 A. Aussagenlogik Mengenalgebra (c) (A B) C A (B C) A B C A B (A B) C B C A (B C) L. S. R. S. L. S. R. S. w. A. (d) A (B C) (A B) (A C) A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) L. S. R. S. L. S. R. S. w. A. 8 (A B) C A (B C) A B {; 4; 6} (A B) C {6} B C {; ; 9} A (B C) = {; 4; ; 6; 7} L. S. R. S. 9 (a) (A B) C (A B) (C B) A B C A B (A B) C A B C B (A B) (C B) L. S. R. S. L. S. R. S. w. A. G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

6 A. Aussagenlogik Mengenalgebra (b) (A B) C A (B C) A B C A B (A B) C B C A (B C ) L. S. R. S. Die linke Seite und die rechte Seite stimmen nicht überein, das Gesetz gilt nicht! 0 (a) B C = {; ; ; 4; ; 6; 7; 8; 9; ; } A (B C) = {0} A B { ; 4; 8; 0} (A B) C {0} L. S. R. S. w. A. (b) B C {9; ; } A C {0; } (B C) (A C) = {} A B {6; } (A B) C {} L. S. R. S. w. A. (a) A {0; ; ; ; 8; 9; 0} A B {0; ; ; ; 8; 9; 0} (A B) C {} (b) A B { } C {0; ; ; ; 7; 8; 9; 0} (A B) C C (c) B {0; ; ; 4; 6; 7; 0} A C {4; 6} (A C) {0; ; ; ; ; 7; 8; 9; 0} B (A C) {0; ; ; ; 4; ; 6; 7; 8; 9; 0} M A B (A B) A B A B A A B (A B) L. S. R. S. L. S. R. S. w. A. (a) A x B ;, ;, ;, ;, ;, ; 6 Mathematik positiv!. Klasse Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 G & G Verlagsgesellschaft mbh

7 A. Aussagenlogik Mengenalgebra (b) A x B ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ; 4 0 x l x k kz 0..; 0; ; 0; ;0;.. x l x k kz..; 9; 4;; 6;;.. x l x k kz..; 8; ; ; 7;;.. x l x k kz..; 7; ; ; 8;;.. 4 x l x k 4 kz 4..; 6; ; 4; 9;4;.. (a) w. A., da und 9 4 (b) f. A., da 6 () 48 und 48 (c) w. A., da 4 (6) 76 und 6 76 (d) f. A., da (44) 86 und 86 6 (a) () 97 : 8 97 liegt in der Restklasse bezüglich des Moduls 8, deshalb ist Rest kleinste natürliche Zahl dieser Restklasse. () Um die größte negative Zahl, die in dieser Restklasse liegt, zu erhalten, muss man von den Modul 8 subtrahieren: 7 ist also die größte ganze negative Zahl, die in dieser Restklasse liegt. (b) () () liegt in der Restklasse bezüglich des Moduls, ist die kleinste natürliche Zahl. () 8 8 ist die größte ganze negative Zahl (c) () : 7 7 () liegt in der Restklasse 7 bezüglich des Moduls 7. 7 ist also die kleinste natürliche Zahl. () 0 ist die größte ganze negative Zahl in dieser Restklasse. 7 (a) a 990 mod 9 a 4 (b) a 00 mod 9 a b 990 mod 4 b b 00 mod 4 b c 990 mod 7 c c 00 mod 7 c d (9a 4) mod 0 d 0 d (9a 4) mod 0 d 9 e (b 4c 6d ) mod 7 e 4 e (b 4c 6d ) mod 7 e 4 d e > 9 d e 9 4 > 9 d e d e Ostersonntag:. April 990 Ostersonntag: 4. April 00 (c) a 00 mod 9 a 6 b 00 mod 4 b 0 c 00 mod 7 c 4 d (9a 4) mod 0 d 8 e (b 4c 6d ) mod 7 e d e 8 > 9 d e Ostersonntag:. April 00 GRUNDKOMPETENZEN: Teste dein Wissen! W S. 6 W S. 7 W S. 7 W4 S. 7 W S. 7/8 W6 S. 8/9 W7 S. 8/9 W8 S. 0 W9 S. W0 S. W S. W S. W S. W4 (a) 4 (b) 8 Elemente G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse 7

8 A. Aussagenlogik Mengenalgebra W Komplementärmenge Durchschnittsmenge Differenzmenge Produktmenge Vereinigungsmenge A B A \ B A B A A x B x x x x x W6 S. /6/7 W8 S. 9 W9 S. 9 W0 S. 0 GRUNDKOMPETENZEN: Wende dein Wissen an! K w. A. f. A. f. A. f. A. (x 0 wäre eine w. A.) K falsche Aussage falsche Aussage K a b a b a b w. A. w. A. w.a. w.a. w. A. f. A. f.a. w.a. f. A. w. A. f.a. w.a. f. A. f. A. f.a. f.a. K4 (a) Äquivalenz (b) Äquivalenz (c) Implikation (d) Äquivalenz K () c () c () f K6 Wenn sie beides macht! K7 Wenn sie ein Referat hält, entweder in Geschichte oder in Geografie. K8 (a) K S Menge der Knaben, die nicht Ski fahren K Menge der Mädchen B L Menge der Schülerinnen und Schüler, die Snowboarden oder Langlaufen S B Menge der Schülerinnen und Schüler, die Ski fahren, aber nicht Snowboarden S L Menge der Schülerinnen und Schüler, die Ski fahren und Langlaufen A L Menge der Schülerinnen und Schüler, die nicht Langlaufen L S Menge der Schülerinnen und Schüler, die Langlaufen, aber nicht Ski fahren M (S B) Menge der Mädchen, die weder Ski fahren noch Snowboarden (S B) M Menge der Knaben, die Ski fahren oder Snowboarden (b) M B L S M K A A L K9 A {; 4; ; 6; 7; 8; 9; 0; ; ; ; 4} B {7; 8; 9; 0; ; ;..} x A B A B A B 6 0 B \ A A \ B A B 8 Mathematik positiv!. Klasse Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 G & G Verlagsgesellschaft mbh

9 A. Aussagenlogik Mengenalgebra K0 A [ ; 7[ B ]0 ; [ (a) A B [ ; [ (b) A B [ ; 0] (c) A B ]0 ; 7[ (d) B A ]7 ; [ (e) A [7 ; [ K A N {0; ; ; ; 4;..} B N g {0; ; 4; 6;..} x A B A B A \ B B \ A K a b c d e 6 f 8 g 7 und g 4 K (a) mod 7 Der CD-Key-Code ist gültig! (b) mod 9 Der CD-Key-Code ist nicht gültig! (c) mod 7 Der CD-Key-Code ist gültig! K4 (a) x (9 8 9 ) ( ) mod 0 w. A. ISBN ist richtig. (b) x ( ) ( ) 0 mod 0 ISBN ist falsch. (c) x ( ) ( ) mod 0 ISBN ist falsch. K (a) w. A. (b) f. A. Äquivalenz (c) w. A. (d) f. A. Die Vereinigungsmenge A B enthält alle Elemente, die in A oder in B vorkommen. (e) f. A. Die Durchschnittsmenge einer Menge A und der Komplementärmenge A ist die leere Menge. (f) w. A. (g) w. A. G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse 9

10 B. Zahlenmengen und Rechengesetze B. ZAHLENMENGEN UND RECHENGESETZE (a) Um einen Teiler (außer und 7) zu finden, muss man zunächst die Wurzel ziehen: 7 9,.. Wenn 7 Teiler hat, dann muss einer der Teiler eine Primzahl 9 sein! 7, 7, 7, ist keine Primzahl (b) 49,.. 49, 49, 49, 7 49, ist Primzahl (c) 467, , 467, 467, 7 467, 467, 467, 7 467, ist Primzahl (d) 7,.. 7, 7 7 ist keine Primzahl n n : keine Primzahl n : Primzahl n : 7 Primzahl n 4: 4 keine Primzahl n : Primzahl n 6: 6 6 keine Primzahl n 7: 7 7 Primzahl n 8: 8 keine Primzahl 4 n : n : Primzahl n : 8 7 Primzahl 4 7 Primzahl () () w. A. () w. A w. A (a) 0 mod mod 9 0 mod 9 0 mod mod 9 w. A. (b) () und ( ) () und ( ) (a) ggt ( 80, 0) = G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

11 B. Zahlenmengen und Rechengesetze (b) ggt ( 796, 6 60) = (c) ggt (9, 9, 49) (d) ggt (88, 00, 4) (a) kgv (80, 768) (b) kgv (60, 87) G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

12 B. Zahlenmengen und Rechengesetze (c) kgv (48, 6, 06) = (d) kgv (80, 08, 0) 7 7 = 7 = = (a) (b) (a) 0,0 (b) 0,004 (c) 7, (d), , 0,0 es gibt keinen Bruch 0, (a) (b) : 0 (c) 4 4 : : (b) (a),7 4 0,6 : (a) 4 : (b) 4 : : (c) : 6 0 : : : (d) I trifft nicht zu G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

13 B. Zahlenmengen und Rechengesetze 7 w. A. f. A. \ I = \ 8 (a) 0, 0, (b) (4) (c) 9 9 (d) 9 (a) x,, x, [, ;, ] (b) x > 0 x 0 ( x < 0 ) ( x > 0 ) ] ; 0 [ ] 0 ; [ (c) x >, ( x <, ) ( x >, ) ] ;, [ ], ; [ (d) x < < x < < x < 7 ] ; 7 [ (e) x < 6 6 < x < 6 9 < x < ] 9 ; [ (f) x 7 7 x 7 4 x 0 : x [ ; ] GRUNDKOMPETENZEN: Teste dein Wissen! W S. 8 W S. 8 W S.8, 9 W4 S. 9 W S. 9 W6 S. 9 W7 S. 0 W8 S. 0 W9 S. 0 W0 S. 0 W S. W S. W S. W4 S. W S. W6 S. W7 S. /4 W8 S. /4 W9 S. 7 Addition, Subtraktion W0 S. 7 W S. 7 W S. 7 W S. 7 Unter den natürliche Zahlen gibt es eine kleinste Zahl. Deshalb werden sie auf einem Zahlenstrahl, der bei 0 beginnt, dargestellt. Es gibt keine kleinste und auch keine größte ganze Zahl. Deshalb werden die ganzen Zahlen auf einer Zahlengerade (= gerade Linie, die weder einen Anfangspunkt noch einen Endpunkt hat) dargestellt. W4 S. 7 W S. 8 W6 S. 8 W7 S. 9/40 W8 S. 40 G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

14 B. Zahlenmengen und Rechengesetze W9 S. 40, nein zwischen Bruchzahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen. W0 S. 44 W S. 4 W S. 44 W S. 47 W4 S. 47/48 W S. 48 W6 S. 48 GRUNDKOMPETENZEN: Wende dein Wissen an! K Produkt Summand 6 Wurzelexponent 4 Divisor Minuend Faktor Exponent 4 Quotient Subtrahend Summe 4 Dividend Potenz Differenz Hochzahl 6 Radikand Basis K () richtig () richtig () falsch ( ist keine Primzahl) (4) richtig () falsch, z.b. 4 6 (6) richtig K (a) Produktregel (b) Summenregel (c) Differenzregel K4 a ist Teiler von kgv (a, b) b ist Vielfaches von ggt (a, b) K K6 x =, x 6,66.. 0x, x x 0,6, , , 0, K K8 I K9 rational, 8 K0 w. A. f. A. w. A. f. A. (a) (d) (b) = (e) ={ } (c) \ 4 G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

15 B. Zahlenmengen und Rechengesetze K (a) vergrößert (b) vergrößert K (a) Der Wert des Bruchs wird halbiert. (b) Der Wert des Bruchs wird verdreifacht. K a b 4 c d und K4 a) Inv + b) Dist c) Komm + d) Neut e) Inv K periodische Dezimalzahlen: (TR: 0,..) (TR:,0..) 90 6 (TR: 0,8..) K6 0,, I K7 w. A. f. A. Jede rationale Zahl kann man als Bruch darstellen. Eine periodische Dezimalzahl ist eine reelle Zahl. Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Die Wurzel aus einer rationalen Zahl ist immer eine irrationale Zahl. Jede Zahl, die endlich viele Dezimalstellen hat, ist eine rationale Zahl. Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. Jede reelle Zahl ist eine irrationale Zahl. Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist eine irrationale Zahl. Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl. Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Eine reelle Zahl kann rational oder irrational sein. K8 a b 4 c 8 d 6 und K9 x x < x > x x 4 > ja nein nein nein 0 ja nein ja ja ja nein nein ja nein ja nein ja 4 ja ja nein nein K0 (a) n (n ) (n ) (b) (n ) (n ) (c) { x x n mit nn } (d) { x x k mit kn * } a c (e) (f) b d a G & G Verlagsgesellschaft mbh Neuausgabe für die Zentralmatura ab 04 Mathematik positiv!. Klasse

16 Reifeprüfung durchgeführt. Diese neue Form der Matura, auf die bereits ab der. Klasse hingearbeitet wird, erfordert spezielle Grundkompetenzen und vernetztes mathematisches Denken. Im vorliegenden Lösungsband sind alle Übungsbeispiele des Bandes Mathematik positiv! (ISBN ) durchgerechnet. Zu den Wissensfragen W der Grundkompetenzen sind als Querverweis die Seitenzahlen aus Mathematik positiv! angegeben eine Wiederholung oder tiefere Einprägung ist so leicht und ohne lästiges Suchen möglich. Die Testfragen K zu den Grundkompetenzen, sei es in Form von Multiple-Choice-Verfahren, Interpretieren, Aussagen richtigstellen sind ebenfalls gelöst und chronologisch den Kapiteln entsprechend angeordnet. Ohne fremde Hilfe können die Rechnungen aus Mathematik positiv! LÖSUNGEN Ab 04 wird in Österreich die standardisierte, kompetenzorientierte Mathematik p sitiv! Wolfram Thorwartl Günther Wagner Helga Wagner Mathematik p sitiv! Z. S Klasse AH. Klasse AHS Zentralmatura 04 kontrolliert und etwaige Fehler gefunden und beseitigt werden Lösungen usgabe a u Ne für die ura at m l a r t n e 04