3 Zahlenmengen (Deskriptor.)

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1 Zahlenmengen (Deskriptor.) 3 Zahlenmengen (Deskriptor.) 3.1 Die Menge der natürlichen Zahlen Die ersten Zahlen, die Kinder lernen, sind die natürlichen Zahlen. ',,,, Menge aller natürlichen Zahlen Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger W1. Jeder natürlichen Zahl kann man auf der Zahlengeraden einen Punkt zuordnen und sie somit darstellen: Ist eine Zahl Å kleiner als Æ (z Ž{), so liegt die Zahl z auf der Zahlengeraden links von Æ. Natürliche Zahlen, welche durch 2 teilbar sind, heißen gerade natürliche Zahlen. 5 ' 0,2,4,6, Ist eine natürliche Zahl nicht durch 2 teilbar, dann nennt man sie eine ungerade natürliche Zahl. ' 1,3,5,7, Ist eine natürliche Zahl nur durch genau zwei Zahlen (1 und sich selbst) teilbar, so spricht man von einer Primzahl. P' 2,3,5,7,11,13,. Menge aller Primzahlen Mit den natürlichen Zahlen lassen sich die vier Grundrechenarten ausführen: Addition: 1. Summand + 2. Summand = Summe Subtraktion: Minuend Subtrahend = Differenz Multiplikation: 1. Faktor 2. Faktor = Produkt Division: Dividend : Divisor = Quotient Beachten Sie: Subtraktion und Division sind in nicht immer möglich. Addition und Subtraktion werden als Strichrechnungen, Multiplikation und Division als Punktrechnungen bezeichnet. Strichrechnungen sind Rechnungen 1. Stufe, Punktrechnungen solche 2. Stufe. Beachten Sie: z 0 '0 z '0, z Wird eine Zahl mit Null multipliziert, so ergibt dies stets Null. Beachten Sie: Die Division durch Null ist nicht möglich. Begründung: Angenommen 5 0't, dann müsste t 0'5 sein. Das stimmt nicht, da t 0'0 ist. Auch 0 0 ist nicht möglich, denn die Gleichung t 0 '0 stimmt für jedes t und somit hat 0 0 kein eindeutiges Ergebnis. 29

2 Berufsreifeprüfung Mathematik Addiert, bzw. multipliziert man zwei natürlichen Zahlen, so erhält man wieder eine natürliche Zahl. Man sagt: Die Menge der natürlichen Zahlen ist in Bezug auf die Addition, bzw. die Multiplikation abgeschlossen. Rechengesetze für das Rechnen in z,{ zw{ '{Wz Kommutatives Gesetz der Addition (Vertauschungsgesetz) z,{, FzW{W 'zwf{w Assoziatives Gesetz der Addition 'zw{w (Verbindungsgesetz) z 0Wz 'zw0'z z,{ z { '{ z z,{, Fz { 'z F{ 'z { z 1 z 'z 1'z z,{, z F{É 'z {Éz 0 ist ein neutrales Element bezüglich der Addition. (0 ist auch das einzige neutrale Element.) Kommutatives Gesetz der Multiplikation Assoziatives Gesetz der Multiplikation 1 ist ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation. (1 ist auch das einzige neutrale Element.) Distributives Gesetz (Verteilungsgesetz) Beispiel : 5W6 '6W5'11 F4W11W1'4WF11W1'4W11W1'16 7W0'0W7'7 6 8'8 6 '48 F12 2 4'12 F2 4 '12 2 4' '13 1'13 Veranschaulichung des distributiven Gesetzes: Das gesamte Rechteck mit den Seitenlängen z und F{W hat den Flächeninhalt r 'z F{W. Diese Fläche setzt sich aus den beiden Teilrechtecken zusammen, daher kann der gesamte Flächeninhalt r auch folgendermaßen dargestellt werden: r 'z {Wz 30

3 Zahlenmengen (Deskriptor.) Beachten Sie: Das kommutative Gesetz gilt nicht für die Subtraktion und die Division. Beispiel : 5X3 3X5 12:3 3:12 Wird eine natürliche Zahl ] wiederholt mit sich selbst multipliziert, schreibt man die Multiplikation verkürzt als Potenz an. Beispiel : '7` '343 Zu beachtende Vorrangregeln: Rechenoperationen höherer Stufe haben Vorrang: Die Klammern haben Vorrang vor dem Potenzieren (Rechenoperation 3. Stufe), der Punktrechnung (Rechenoperation 2. Stufe) und der Strichrechnung (Rechenoperation 1. Stufe). Beispiel : a) F7W5 4 a '12 16'192 b) 7W5 6'7W30'37 c) F16X4:3'12 3'4 d) 7W5 6 a '7W5 36'7W180'187 e) 24² 13 5' '563 5'2 815 Übung Führen Sie diese Berechnungen ohne Taschenrechner (TR) aus. (B) 2 Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mithilfe des Taschenrechners. (B) a) ' b) W W 6 ' c) 3³ W F12X7 5² ' d) 4 5 F ' e) 100 F3 W 11 2 ' f) 93 F88 11 W ' Übung Übersetzen Sie die folgenden Texte in einen Ausdruck. (A) 2 Führen Sie die Rechnung aus. (B) a) Die Summe der Zahlen 435 und 26 wird mit 3 multipliziert. b) Der Quotient der Zahlen 476 und 17 wird verdreifacht. c) Addieren Sie zur Differenz der Zahlen und das Produkt der Zahlen 123 und

4 Berufsreifeprüfung Mathematik Übung a) Eine natürliche Zahl sei gegeben: ' Begründen Sie mathematisch, dass die Zahl W2 keine Primzahl ist. (D) b) Sie denken sich eine beliebige natürliche Zahl 0 aus und bilden die Summe aus dieser Zahl, ihrem Vorgänger und ihrem Nachfolger. 1 Begründen Sie, dass diese Summe stets das Dreifache der gedachten Zahl ergibt. (D) Übung a) Maximilian behauptet, dass die Summe von vier aufeinander folgenden natürlichen Zahlen immer eine gerade natürliche Zahl ist. 1 Argumentieren Sie, ob diese Behauptung stimmt. (D) b) In einer Zeitschrift steht, dass es keine größte natürliche Zahl gibt. 1 Überprüfen Sie die Richtigkeit der Aussage. (D) Übung Es sei die Anzahl der Arbeiter und À die Anzahl der Angestellten in einer Abteilung. Zwei Behauptungen werden aufgestellt: (1) Es sind 11 Arbeiter mehr in der Abteilung als Angestellte. (2) À '2 1 Begründen Sie, ob es möglich ist, dass die in (1) und (2) genannten Behauptungen beide zugleich wahr sind. (D) Übung Die Querschnittsfläche eines Containers für Bauschutt hat die Form eines rechtwinkligen Trapezes mit den Innenmaßen ] '3,5 m, u '4,5 m und '2,5 m. Der Container hat ein Fassungsvermögen von etwa 10 Kubikmetern Fm³. Hinweis: Prisma mit einem Trapez als Grundfläche. 1 Dokumentieren Sie, wie man aus den Angaben die Länge der Seite b des Containers berechnen kann. (C) 2 Berechnen Sie diese Länge. (B) Für einen (quaderförmigen) Container hat man folgende Abmessungen ermittelt: Länge 5,5 m, Breite 2,5 m, Höhe 2,25 m. 3 Berechnen Sie, wie viele Liter der Container fasst. (B) 32

5 Zahlenmengen (Deskriptor.) Übung Paul behauptet: Jedes Vielfache der Zahl 10 ist auch ein Vielfaches von 5. 1 Überprüfen Sie die Behauptung auf Richtigkeit. (D) Übung Berechnen Sie die Summe der Quadrate von 11 und 15. (B) 2 Schreiben Sie die dazugehörige Rechnung an. (A) 3.2 Die Menge der ganzen Zahlen Der Grund für die Erweiterung der natürlichen Zahlen auf die Menge der ganzen Zahlen liegt darin, dass die Subtraktion in der Menge der natürlichen Zahlen nicht abgeschlossen ist. So ergibt z. B. 4X9 keine natürliche Zahl. ',X,X,X,,,,, ' ÅXÆ Å Æ Teilmengen der ganzen Zahlen: h ',,, i ',X,X,X,X Jeder ganzen Zahl lässt sich auf der Zahlengeraden ein Punkt zuordnen. Ist eine Zahl Å kleiner als Æ (z Ž{), so liegt die Zahl z auf dem Zahlengeraden links von {. Bezüglich der Anordnung der ganzen Zahlen auf dem Zahlengeraden gilt also: z,{ Xz ŽX{ z { Beispiel : X5ŽX2 5 2 Vorzeichenregeln: WFWz'z WFXz'Xz XFWz'Xz XFXz 'Wz FWz FW{ FWz FX{ FXz FW{ FXz FX{ 'z { 'Xz { 'Xz { 'z { Wz W{ 'z {, { 0 Wz X{ 'Xz {, { 0 Xz W{ 'Xz {, { 0 Xz X{ 'z {, { 0 Hinweis: Sie können den Multiplikationspunkt auch weglassen. z.b.: FWz FW{'FWzFW{'z{ 33

6 Berufsreifeprüfung Mathematik Betrag einer Zahl (Deskriptor. ) Unter dem Betrag einer Zahl Å mathematische Schreibweise Å versteht man den Abstand dieser Zahl von Null. Mittels des Betrages lässt sich auch der Abstand v beliebiger Zahlen z,{ auf der Zahlengeraden angeben: v ' zx{ Beispiel : X5 '5 W3 '3 Allgemein gilt: z 'x z z ' X1 z z i 0 '0 Beachten Sie: Auf dem Taschenrechner finden Sie für das Vorzeichen folgendes Zeichen: Ì. Es unterscheidet sich vom Operationszeichen Minus: ¹. Es ist ratsam, den Betrag einer Zahl im Kopf zu berechnen, da die Berechnung des Betrages mit dem Taschenrechner umständlich ist (Befehlsbaum:»NUM»1:abs( ). Übung Berechnen Sie im Kopf und beachten Sie dabei vor allem die Vorrangregeln. (B) a) 3W4 3 b) 2 1W3 c) 2 F1W3 d) F3X1 4 e) 7W2 F2W3 f) 5X2W3 4 g) 3 2X2 2 h) 3 a X2 2 i) 3 2`W4 j) 4WF2W1 a k) 27XF2 a W1 a l) 3 a XF4X2 a m) F2W3 F3X2 n) 15XF3W9 a o) 2³XF23XF5X1 a Übung Berechnen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners. (B) a) 5X3 ' b) X3W6' c) 15X2' d) 2X5' e) 4XFW3' f) FX8XFX4' g) 3WFX5' h) FX9XFX3' Übung Berechnen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners. (B) a) X5WFX5W3 ' b) X4XFW4W5' c) 2XFX4W7' d) FX3X3X3' e) 6XFW4WFX2= f) X 5WFX4XFW4' g) X 3WFX8W5' h) X 9XFX9WFX2' Übung Berechnen Sie die Aufgaben mithilfe des Taschenrechners. (B) a) FX1 FW2X[ X48 FW12X FW5 FX4 FX1 XFX63 FX9\' b) X 3 2 X FX8 FX9 XFX12' c) FW3 FX6 FW7WFX39 FX3 X X121 ' d) [FX13 FW15XFX9 FX6 FX1\ FX 7XFW4 FX8XFX26' e) FX1 FW2X[FX48 FW12XFW5 FX4 FX1XFX63 FX9\' f) FW2 FW7X 7 FX8XFX12 FX3WFX16 FW8XFX27 FW9 ' 34

7 Zahlenmengen (Deskriptor.) Übung Sie finden anschließend Aussagen über Zahlenmengen und ihre Elemente. 1 Begründen Sie ausführlich, ob diese Aussagen richtig, bzw. falsch sind. (D) a) Es gibt eine kleinste natürliche Zahl, aber keine größte natürliche Zahl. b) Jeder ganzen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden, jeder beliebige Punkt der Zahlengeraden repräsentiert eine ganze Zahl. Übung Sie müssen folgende Aufgabe ohne Taschenrechner lösen: 986X58 14X264 21' Es sind vier unterschiedliche Wege zur Berechnung des Ergebnisses angegeben. 1 Entscheiden Sie für jeden der vier beschriebenen Lösungswege, ob er zum richtigen Ergebnis führt oder nicht. (D) 2 Begründen Sie Ihre Entscheidung. (D) A: Man berechnet zuerst und dann Schließlich addiert man diese beiden Ergebnisse. Diese Summe zieht man von 986 ab. B: Man zieht von 986 zuerst 58 ab und multipliziert dieses Ergebnis mit 14. Davon zieht man dann 264 ab. Dieses Ergebnis dividiert man durch 21. C: Man multipliziert zuerst 58 mit 14. Von diesem Ergebnis zieht man den Quotienten von 264 und 21 ab. Dieses Ergebnis zieht man von 986 ab. D: Man berechnet zuerst und zieht das Ergebnis dieser Multiplikation von 986 ab. Von diesem Ergebnis zieht man das Ergebnis der Division von 264 und 21 ab. 3.3 Die Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der Division nicht abgeschlossen, z.b. ergibt die Division 5 3'^ keine ganze Zahl. ` Q ' w z { \ 0 Menge aller rationalen Zahlen x Die Zahl oberhalb des Bruchstriches heißt Zähler, diejenige unterhalb des Bruchstriches Nenner. Die rationalen Zahlen sind entweder eine abbrechende Dezimalzahl wie z.b. d^'1,6 oder eine periodische Dezimalzahl wie z. B. d `'2, ' 2,6 Î. bb gc '0, '0,12 Î if bb 'X0, 'X0,63 ÏÏÏÏ 1 nennt man die Vorperiode 63 nennt man eine zweistellige Periode 0, '0,9Î ' g g '1 Beachten Sie: Auf dem Taschenrechner werden periodische Dezimalzahlen am Ende gerundet. 35

8 Berufsreifeprüfung Mathematik Rechenregeln für das Rechnen mit Brüchen: Summe: Å W 1 ' Å ÐhÆ 1 Æ Ð Æ Ð mit {,t 0 Spezialfall: Å Æ W 1 Æ ' Åh1 Æ Differenz: Å X 1 ' Å ÐiÆ 1 Æ Ð Æ Ð mit {,t 0 Spezialfall: Å Æ X 1 Æ ' Åi1 Æ Produkt: Å 1 ' Å 1 Æ Ð Æ Ð mit {,t 0 Quotient: Å : 1 ' Å Ð ' Å Ð Æ Ð Æ 1 Æ 1 mit {,t, 0 Haben zwei Brüche denselben Nenner, so nennt man sie gleichnamige Brüche. Ist das nicht der Fall, so nennt man sie ungleichnamige Brüche. Addiert oder subtrahiert man zwei ungleichnamige Brüche, so sollte man das kleinste gemeinsame Vielfache als gemeinsamen Nenner verwenden. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen z und { ist jene kleinste Zahl, in welcher sowohl z als auch { enthalten ist. Mathematische Schreibweise: kgvfå,æ. Will man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann muss man die Brüche erweitern, d.h. den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Erweitern: w x ' w Ñ x Ñ mit {, 0 Beispiel : ^ ba X f bd ' gem. Nenner = kgvf12,18'36, da sowohl als auch ^ X f ' ^ ` X f a ' b^ib_ ' b`e ba bd `e `e `e Beachten Sie: Mit den Befehl 8:lcm (Befehlsbaum:»NUM»8:lcm(12,18)) kann mithilfe des Taschenrechners das kgv berechnet werden. Beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen kann man den Wert des Bruches durch das Kürzen oft vereinfachen. Unter dem Kürzen eines Bruches versteht man, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner durch dieselbe Zahl dividiert wird. Kürzen: w Ñ x Ñ ' w x mit {, 0 Beispiel : a_ `e ' a ba ` ba ' à 12 ist hier der größte gemeinsame Teiler ggt Beachten Sie: Mit den Befehl 9:gcd (Befehlsbaum:»NUM»9:gcd(24,36)) kann mithilfe des Taschenrechners der ggt berechnet werden. 36

9 Zahlenmengen (Deskriptor.) Anmerkung: Es ist üblich, Zähler und Nenner ohne Vorzeichen darzustellen. Das "gesamte Vorzeichen" des Bruches wird neben dem Bruchstrich geschrieben. Beispiel : ib _ ' b i_ 'Xb _ Brüche, deren Betrag größer als 1 ist, können auch als gemischte Zahl dargestellt werden. Beispiel : X b` ` 'Xj4Wb`k'X4 b` Beachten Sie, dass man einen gemischten Bruch im Taschenrechner als Summe der ganzen Zahl und des Bruches eingeben muss. Beispiel : 'W Unter dem Reziprokwert = Kehrwert eines Bruches versteht man jenen Bruch, in welchem Zähler und Nenner vertauscht werden. Beispiel : ^ g, reziproker Bruch: g^'1w_^'1,8 Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist. Diese Brüche kann man besonders leicht in die Dezimalschreibweise umwandeln, da dazu nur das Versetzen des Kommas notwendig ist: Beispiel : X ` bc 'X0,3 b`` bccc '0,133 f bcc '0,07 Der Quotient zweier Brüche kann auch als Doppelbruch angeschrieben werden. Beachten Sie: Auf dem Taschenrechner muss jeder der beiden Brüche mit einer Klammer eingegeben werden. Beispiel : w Ò Ô ' Õ x Ó Ö ' w Ó x Ò mit {,t,} 0 Es lässt sich leicht nachweisen, dass zwischen zwei rationalen Zahlen immer unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen. Auf der Zahlengeraden liegen deshalb unendlich viele rationale Zahlen, aber nicht jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht einer rationalen Zahl. Beispiel : 0,1Ž0,2 0,1Ž0,15Ž0,2 0,1Ž0,125Ž0,15Ž0,175Ž0,2 usw. Beachten Sie: Mit den Befehl 1:Frac (Eingabe: À) wird eine Dezimalzahl in eine Bruchzahl umgewandelt. 37

10 Berufsreifeprüfung Mathematik Die Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl erfolgt durch die Eingabe: Á Beispiel : 0, ' à Beachten Sie: ^ bcc '0,05'5 % Ø bcc 'l % Übung Führen Sie die Rechnungen ohne TR aus. (B) 2 Kontrollieren Sie das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners. (B) a) b a W ` _ ' b) ` ^Wb _ ' e) b^wb _ ' f) b `Xb d W b _ ' c) à X ` ^' g) ` d W ` _ X b e ' d) b a X b d W b _ ' Übung Führen Sie die Multiplikationen aus und kürzen Sie das Ergebnis, soweit dies möglich ist. (B) a) 4 b a e) ` b ' a e ' b) ` ` g = c) b` 9' d) b a b e ' f) _ ^ a e ' g) b^ b a ^ `' b` ` h) a^ 5' _ Übung Vereinfachen Sie so weit wie möglich, indem Sie die Doppelbrüche auflösen. (B) a) y 7 7 ' b) Ù Ù Ú a ' Û c) Ü Ý ' y d) g Ý ' 7 Übung Vereinfachen Sie so weit wie möglich. (B) a) b` b a W ^ e ' b) ` ^W` _ à ' c) f d X ^ _ a _ ' d) j` _ X b a k ` ^' e) a^xj_`we^k' f) j_ e X ` g kxj` _ W b a k b a ' g) ` ^Wb` _^Xa e ' h) _^Xa^:à ' i) b _ :b a W b e :b^' Übung j1 b d 4d g W2 a b^ 2bb ba kxj14à 3 b f W5b f be f k' 1 Dokumentieren Sie, wie man diese Rechnung in den Taschenrechner eingibt. (C) 2 Berechnen Sie die gegebene Differenz. (B) 38

11 Zahlenmengen (Deskriptor.) Übung August behauptet, dass zwischen zwei rationalen Zahlen immer eine weitere rationale Zahl liegt. 1 Geben Sie jeweils eine rationale Zahl zwischen den gegebenen Zahlen an. (A) a) 6 8 b) X12,01 X12 c) X12,41 X12,409 2 Begründen Sie, dass diese Behauptung für jedes Intervall Gültigkeit hat. (D) Übung Das Ehepaar Berner unternimmt mit den vier Kindern einen Sonntagsausflug. Mit der Eisenbahn fahren sie ins Erlebnisbad nach Golling. Die Zugkarten kosten für Erwachsene 10,00, für Kinder 6,50. Für den Eintritt ins Bad zahlen Erwachsene 7,00, Kinder zahlen die Hälfte. Ein Kind hat zum Geburtstag eine Freikarte fürs Bad erhalten und setzt diese jetzt ein. A: 4 F6,50W3,50W2 F10,00W7,00 B: 6 10,00X4 F10,00X6,50W3 F7,00:2W2 7,00 C: 6 7,00X7,00W4 6,50W10,00W10,00 D: 4 F6,50W3,50W2 F10,00W7,00 X3,50 E: 3 F6,50W3,50W2 F10,00W7,00W6,50 1 Überprüfen Sie, welche Terme zur Berechnung der Gesamtkosten passen. (D) 2 Begründen Sie Ihre Antwort. (D) Übung Herr Martin hat mit seinen Freunden Lotto gespielt. Er bekam ` ` bc des gewonnenen Geldes gibt er für ein neues Fahrrad aus. 1 Übersetzen Sie den Text in einen mathematischen Term. (A) 2 Berechnen Sie die Höhe des Gewinnes. (B) 3 Berechnen Sie den Preis des Fahrrades. (B) d des Gewinnes, das waren Übung Auf einem Fest bleiben zwei Drittel einer Torte übrig. Fünf Freunde teilen sich diesen Rest der Torte gerecht auf. 1 Erstellen Sie eine Grafik, aus welcher man ablesen kann, welchen Bruchteil der ganzen Torte jeder bekommt. (A) (C) Übung In einer Tageszeitung findet man folgende Schlagzeile: 3/4 aller Österreicher(innen) haben keine Matura 1 Begründen Sie, welche der folgenden Aussagen die Bedeutung der Aussage der Schlagzeile sinngemäß richtig wiedergibt, welche nicht. (D) A: Jede(r) dritte Österreicher(in) hat keine Matura. B: 25 % aller Österreicher(innen) haben Matura. C: Das Verhältnis der Österreicher(innen) mit Matura zu jenen ohne Matura ist 3 4. D: Im Durchschnitt hat eine(r) von vier Österreicher(inne)n Matura. 39

12 Berufsreifeprüfung Mathematik Übung Für die Zubereitung eines Backteiges werden ¾ L Wasser benötigt. Die benötigte Wassermenge wird in einen Messbecher gefüllt. 1 Markieren Sie, wie hoch das Wasser im Messbecher steht! (C) Übung In zwei Gefäßen A und B befindet sich jeweils eine Flüssigkeit siehe Abbildung. Gefäß A Gefäß B 1 Lesen Sie ab, wie viel Flüssigkeit sich in jedem der beiden Gefäßen befindet. (C) 2 Begründen Sie, warum sich in Gefäß B mehr Flüssigkeit befindet als in Gefäß A. (D) Übung Hans bereitet für die Geburtstagsparty Muffins vor und zwar von jeder Sorte gleich viele. Die Mengenangaben für den Teig reichen entweder für 12 Schokolademuffins, für 20 Haselnussmuffins oder für 24 M&M-Muffins. Er will immer nur ein Vielfaches der Mengenangaben verwenden. 1 Berechnen Sie, wie viele Muffins von jeder Sorte er mindestens backen muss. (B) Eine Konditorin hat zwei Apfelstrudel gebacken. Einer ist 100 cm lang und der zweite ist 120 cm lang. 2 Berechnen Sie, in mindestens wie viele Teile sie die Apfelstrudel für den Verkauf zerschneiden soll, damit möglichst große gleichlange Stücke entstehen. (B) 40