MATHEMATIK GRUNDWISSEN 6. KLASSE LESSING GYMNASIUM NEU-ULM

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1 MATHEMATIK GRUNDWISSEN 6. KLASSE LESSING GYMNASIUM NEU-ULM

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3 I. RATIONALE ZAHLEN 1. Brüche, Bruchteile 1.1. Bruchteile von Größen Der Bruchteil z n eines Ganzen bedeutet: Teile das Ganze in n gleiche Teile und nimm z von diesen Teilen. z n nennt man einen Bruch. Der Nenner gibt an, z dass das Ganze in n Teile geteilt wird. n Der Zähler gibt an, dass z solcher Teile genommen werden. Veranschaulichung in Diagrammen: Der Streifen ist in 7 Teile unterteilt, 5 davon sind gefärbt, das sind also 5 7 des Streifens. 2 3 des Kreises sind gefärbt: 3 8 kg = (1 kg : 8). 3 = (1000g : 8). 3 = 125 g. 3 = 375 g 2 3 h = (1 h : 3). 2 = 20 min. 2 = 40 min 3 4 von 100 kg = (100 kg : 4). 3 = 25 kg. 3 = 75 kg 2 5 von 4 km = (4 km : 5). 2 = (4000 m : 5 ). 2 = 800 m. 2 = 1600 m = 1,6 km Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 3/21

4 1.2. Einteilung der Brüche Betrachtet werden Brüche von der Form z n mit z,n N 1.2.a) Echte Brüche Ist der Zähler kleiner als der Nenner, so liegt ein echter Bruch vor. 1 4 ; 2 5 ; 3 7 ;. Der Wert eines echten Bruches ist kleiner als 1. Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche. 1 2, 1 3, 1 4,, 1 42, 1.2.b) Unechte Brüche und gemischte Zahlen Ist der Zähler größer als der Nenner, so liegt ein unechter Bruch vor. 7 5 ; 9 4 ; 35 8 ;. Der Wert eines unechten Bruches ist größer als 1. Jeder unechte Bruch lässt sich als gemischte Zahl schreiben. 7 5 = 12 5 ; 9 4 = ; 35 8 = Umgekehrt kann jede gemischte Zahl als unechter Bruch dargestellt werden = = 23 8 Ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, so liegt ein Scheinbruch vor. Der Wert eines Scheinbruches ist eine natürliche Zahl = 3; 8 2 = 4 ; 7 7 = 1 ; Vertauscht man bei einem Bruch Zähler und Nenner, so erhält man den Kehrbruch. Der Kehrbruch von 3 4 ist 4 3. Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 4/21

5 1.3. Brüche als Werte von Quotienten In der Menge Z der ganzen Zahlen lässt sich z.b. die Division 5 : 8 nicht ausführen. In der Menge der Bruchzahlen wird dem Quotienten 5 : 8 als Wert die Bruchzahl 5 8 zugeordnet. Jeder Quotient a : b mit a, b N besitzt als Wert die Bruchzahl a b = a:b. 4 : 5 = : 7 = : 9 = 2 9 Da die Division durch Null nicht erlaubt ist, gibt es keinen Bruch mit dem Nenner 0! Für Brüche mit negativen Zahlen gilt: a b = a b = a b und a b = a b mit a N 0, b N 2 3 = = = Die Menge Q der rationalen Zahlen enthält alle positiven und negativen Bruchzahlen. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist in Q enthalten. Veranschaulichung im Mengendiagramm: N Z Q Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 5/21

6 1.4. Erweitern und Kürzen Erweitern = 1. 4 = 4. 4 Kürzen 4 16 Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert. Kürzen: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler dividiert. 2 3 = = Der Bruch = = = = 7 9 Der Bruch = = 8 15 wurde mit 5 erweitert. wurde mit 5 gekürzt. Beim Kürzen und Erweitern ändert sich der Wert des Bruches nicht. Ein Bruch wird als vollständig gekürzt bezeichnet, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, also wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Brüche gleichnamig machen Zwei Brüche werden als gleichnamig bezeichnet, wenn sie den gleichen Nenner haben. Ein gemeinsamer Nenner zweier Brüche ist immer ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner, z.b. ihr Produkt. 7 8 = = = = Um große Zahlen zu vermeiden, verwendet man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) der beiden Nenner als gemeinsamen Nenner = ; 7 12 = Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 6/21

7 1.5. Größenvergleich von Brüchen 1.5.a) Vergleichen von Brüchen mit gleichen Nennern (gleichnamige Brüche) Haben zwei Brüche gleiche Nenner, so ist derjenige der kleinere, der den kleineren Zähler hat b) Vergleichen von Brüchen mit gleichen Zählern Haben zwei Brüche gleiche Zähler, so ist derjenige der kleinere, der den größeren Nenner hat c) Vergleich von Brüchen mit verschiedenen Zählern und Nennern Um zwei Brüche vergleichen zu können, müssen sie zunächst so erweitert (oder gegebenenfalls auch gekürzt!) werden, dass sie gleichnamig sind oder gleiche Zähler haben. Bsp: Vergleiche 5 12 mit 7 16! 5 12 = ; 7 16 = Ordne die Brüche 7 24 = ; = 7 6 = ; = = , 21 18, der Größe nach! Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 7/21

8 1.6. Addition und Subtraktion Um Brüche addieren/subtrahieren zu können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler addiert/subtrahiert und der gemeinsame Nenner beibehalten: a c b c = a b c = = = = = = = = = = = = Multiplikation Regel zur Multiplikation von Brüchen: Multipliziere die Zähler und multipliziere die Nenner. a b c d = a c b d Dabei gilt: Erst kürzen, dann ausmultiplizieren! = = = = = 10 3 = = = = = = = = 1 Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche umgewandelt werden! = = = = = = = = 21 4 = 51 4 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 8/21

9 1.8. Division Regel zur Division von Brüchen: Multipliziere den Dividenden mit dem Kehrbruch des Divisors. a b :c d = a b d c =a d b c Wieder gilt: Erst kürzen, dann ausmultiplizieren! 5 12 :3 7 = = :3 = = : 1 42 = = 42 1 = : 4 15 = = 9 5 = : 3 7 = = = 24 5 = Gemischte Zahlen müssen vor dem Dividieren in unechte Brüche umgewandelt werden! : 21 2 = 15 4 :5 2 = = 3 2 = :31 6 = 38 5 :19 6 = = 12 5 = : = 7 2 : 7 4 = = 4 2 = 2 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 9/21

10 2. Dezimalbrüche 2.1. Dezimale Schreibweise Erweiterung der Stellenwerttafel nach rechts:... Tausender Hunderter Zehner Einer, Zehntel Hundertstel Tausendstel Zehntausendstel , ,5207 bedeutet 5 Tausender + 3 Hunderter + 1 Zehner + 9 Einer Zehntel + 2 Hundertstel + 0 Tausendstel + 7 Zehntausendstel = = 5319 Ganze Zehntausendstel Daraus ergibt sich das 2.2. Umwandeln von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche Regel zum Umwandeln in Brüche: 0,1= 1 10 ; 0,01= ; 0,001= ; Die Position der letzten Nachkommastelle ungleich Null verrät die Zehnerpotenz im Nenner: 0,36 = = 9 25 Kürzen nicht vergessen! 2. Nachkommastelle, also Hundertstel 0,7 = ,03 = ,005 = = ,32 = = ,2 = = ,45 = = Häufig auftretende Dezimalbrüche: 0,125 = 1 8 0,2 = 1 5 0,25 = 1 4 0,375 = 3 8 0,4 = 2 5 0,5 = 1 2 0,75 = 3 4 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 10/21

11 2.3. Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche 2.3.a) Erweitern Erweitere den Bruch so, dass im Nenner eine Zehnerpotenz steht = = = 0, = = = 6, = = = 0, b) Division Gewöhnliche Brüche a b können in Dezimalbrüche umgewandelt werden, indem der Wert des Quotienten a:b berechnet wird. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden wird auch im Ergebnis das Komma gesetzt = 25 : 4 = 25,00 : 4 = 6, = 7 : 8 = 7,000 : 8 = 0, = = 7 = 7 :2 = 3,5 2 Auch hier gilt: Zuerst kürzen kann die Rechnung deutlich vereinfachen! Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 11/21

12 2.4. Endliche und periodische Dezimalbrüche Beim Umwandeln eines gewöhnlichen Bruches in einen Dezimalbruch erhält man einen endlichen Dezimalbruch, wenn im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, in allen anderen Fällen entsteht ein unendlicher periodischer Dezimalbruch. Enthält der Nenner des gekürzten Bruches die Primfaktoren 2 und 5 nicht, so erhält man einen reinperiodischen Bruch. 1 3 = 1, : 3 = 0, = 0,3 sprich: Null komma Periode drei 2 3 = 0,6 1 9 = 0, 1; 2 9 = 0,2; 5 9 = 0, = 0, = 0, Enthält der Nenner neben 2 oder 5 noch weitere Primfaktoren, so erhält man einen gemischtperiodischen Dezimalbruch. 5 6 = 5 : 6 = 0, = 0,83 sprich: Null komma acht Periode drei Der Rest 2 wiederholt sich 2 15 = 0, = 0, = 0,583 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 12/21

13 2.5. Größenvergleich von Dezimalbrüchen Um zwei Dezimalbrüche zu vergleichen, vergleicht man die Dezimalstellen von links beginnend. Bei zwei Dezimalbrüchen ist derjenige der kleinere, bei dem die erste unterschiedliche Dezimalstelle von links beginnend kleiner ist. 0, < 0, ,4356 < 0,5 0,2 0, 2 ; 1, 37 1,37 Von zwei negativen Zahlen ist diejenige kleiner, deren Betrag größer ist, d.h. die auf der Zahlengeraden weiter links liegt. 2,57 2,5 0, 3 0, Runden von Dezimalbrüchen Soll ein Dezimalbruch auf n Dezimalen gerundet werden, so gilt: Ist die n+1-te Dezimale 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet. Ist die n+1-te Dezimale 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet. 3,748 3,75 (auf zwei Dezimalen gerundet) 3,748 3,7 (auf eine Dezimale gerundet) Bei gerundeten Dezimalbrüchen dürfen Endnullen nicht weggelassen werden! Wird eine Streckenlänge auf 2,0 m gerundet, so beträgt der maximale Fehler 0,05 m, d.h. der wahre Wert kann im Bereich [1,95m; 2,05m[ liegen. Wird die Streckenlänge auf 2,00 m gerundet, so beträgt der maximale Fehler 0,005 m, d.h. der wahre Wert liegt im Bereich [1,995m; 2,005m[ Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Endliche Dezimalbrüche werden stellengerecht addiert/subtrahiert: Gegebenenfalls müssen Nullen am Ende eines Dezimalbruchs ergänzt werden. 0, ,123 = 0, ,1230 = 45,1687 5,4 1,67 = 5,40 1,67 = 3,73 7,2 9,68 = (9,68 7,20) = 2,48 3,87 4,341 = ( 3, ,341) = 8,211 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 13/21

14 2.8. Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen 2.8.a) Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen Wird eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz 10 n multipliziert, so wird das Komma um n Stellen nach rechts verschoben. Wird eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz 10 n dividiert, so wird das Komma um n Stellen nach links verschoben. 0, = 89,7 7642,98 : 1000 = 7, ,344 : = 00042,3444 : = 0, b) Multiplikation von Dezimalbrüchen Dezimalzahlen werden multipliziert, indem zuerst die Zahlen ohne Berücksichtigung der Kommas multipliziert werden und anschließend im Ergebnis das Komma so gesetzt wird, dass es soviele Nachkommastellen hat wie alle Faktoren zusammen. 0,2 0,3 = 0,06 } 1. Faktor: 1 Nachkommastelle => im Ergebnis = 2 Nachkommastellen 2. Faktor: 1 Nachkommastelle 0,06 0,234 = 0,01404 } 1. Faktor: 2 Nachkommastellen => im Ergebnis = 5 Nachkommastellen 2. Faktor: 3 Nachkommastellen 0,2 0,04 0,7 = 0,0056 0,03 3 = 0,03 0,03 0,03 = 0, ,2 2 = 1,44 Der Wert eines Produktes ändert sich nicht, wenn ein Faktor mit einer Stufenzahl multipliziert und ein anderer Faktor durch die selbe Stufenzahl dividiert wird. (gegensinnige Kommaverschiebung) 0, = 8 2,5 = 20 4,2 20 = 42 2 = c) Division von Dezimalbrüchen Sollen zwei Dezimalzahlen dividiert werden, so werden zunächst bei Dividend und Divisor die Kommas gleich weit (nach rechts) um so viele Stellen verschoben, bis der Divisor ganzzahlig ist. Anschließend wird die Division wie üblich ausgeführt, beim Überschreiten des Kommas im Dividenden muss im Ergebnis ebenfalls das Komma gesetzt werden. 34,478 : 0,02 = 3447,8 : 2 = 1723,9 15:0,3 = 150: 3 = 50 0,0128:0,008 = 12,8: 8 = 1,6 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 14/21

15 3. Prozentrechnung 3.1. Der Begriff Prozent 1 Prozent = 1% = Damit folgt z.b.: 20% = = 0,20 = % = = 1 2 = 0,5 25% = = 1 4 = 0,25 42% = = = 0,42 0,783 = 78,2% 3,109 = 310,9% 3.2. Prozentsatz, Grundwert und Prozentwert 15% von 200 = 30 Prozentsatz p Grundwert GW = Prozentwert PW Bsp: Berechnung des Prozentwerts: 19% von 80 = 0,19 80 = 15,20 Berechnung des Prozentsatzes: Wieviel Prozent sind 16 kg von 80 kg? p = 16kg: 80kg = = 2 = 0,2 = 20% 10 Berechnung des Grundwerts: 40% von G = 120 m => 0,4 G = 120m => G = 120m: 0,4 = 300m Der Preis inkl MWSt (19%) beträgt 238. Wieviel beträgt der Nettopreis? 119% von G = 238 1,19 G = 238 G = 238 :1,19 = 200 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 15/21

16 II. Geometrie 1. Flächeninhalt 1.1. Flächeninhalt des Parallelogramms D c C Jedes Parallelogramm kann in ein Rechteck verwandelt werden: Der Abstand zweier paralleler Seiten des Parallelogramms wird als die Höhe des Parallelogramms bezeichnet. d h a h b b A a B Somit ergibt sich für den Flächeninhalt jedes Parallelogramms: A = a h a = b h b Bsp: In einem Parallelogramm sind zwei parallele Seiten a und c 6 cm lang, ihr Abstand beträgt 1,5 cm. a) Welchen Flächeninhalt besitzt das Parallelogramm? A P = 6cm 1,5cm = 9 cm 2 b) Wie lang sind die beiden anderen Seiten des Parallelogramms, wenn sie einen Abstand von 3,6 cm besitzen? A P = b h b ; b = A :h b b = 9 cm 2 :3,6 cm b = 2,5cm 1.2. Flächeninhalt des Dreiecks Jedes Dreieck kann als halbes Parallelogramm aufgefasst werden. C Damit gilt für jedes Dreieck mit den Seiten a, b und c: b h b a A = 1 2 a h a = 1 2 b h b = 1 2 c h c h a h c A c B Ein Dreieck ABC mit den Seiten a = 4 cm und c = 6cm besitzt die Höhe h a = 4,2cm. Wie groß ist die Höhe h c? A = 1 2 a h a A = 1 4 cm 4,2cm = 8,4 cm2 2 A = 1 2 c h c h c = 2 A :c h c = 16,8 cm 2 :6 cm h c = 2,8cm Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 16/21

17 1.3. Flächeninhalt des Trapezes Jedes Trapez mit den parallelen Seiten a und c kann als halbes Parallelogramm mit der Grundseite a+c aufgefasst werden. Damit ergibt sich: a d D c h C b A Tr = 1 2 a c h c A a B Bsp: Ein Trapez mit den parallelen Seiten a = 4 cm und c = 6 cm besitzt einen Flächeninhalt von 12 cm². Welchen Abstand besitzen die parallelen Seiten? A = 1 2 a c h 12cm 2 = 1 4 cm 6 cm h 2 12cm 2 = 5 cm h h = 12cm 2 :5 cm h = 2,4cm Zwischen zwei parallel verlaufenden Straßen, die einen Abstand von 1,2 km besitzen, liegt ein trapezförmiges Grundstück mit einem Flächeninhalt von 18 ha. An eine Straße grenzt das Grundstück mit einer Länge von 200 m an. Wie lang ist die Seite des Grundstücks an der anderen Straße? A = 1 2 a c h 18ha = m c 1,2km 18ha = 200 m c 600m m 2 :600 m = 200 m c 300m 200m = c c = 100 m Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 17/21

18 1.4. Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren Δ 1 Δ 2 1cm 1cm A = A 1 A P A 2 = 1 2 4cm 3 cm 4 cm 5cm cm 2,5 cm = 6cm2 20cm 2 5 cm 2 = 31cm Oberflächeninhalt von Körpern Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist der Flächeninhalt seines Netzes. Ein gerades dreiseitiges Prisma ist 6cm hoch und besitzt als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck. Die den rechten Winkel einschließenden Seiten sind 3 cm und 4 cm lang. Zeichne ein Netz und berechne die Oberfläche des Prismas. Netz: 5cm 3cm 4cm 3cm 5cm 6cm Berechnung der Oberfläche: O Pr = cm 3cm 4 cm 3cm 5cm 6 cm = 12 cm2 72cm 2 = 84 cm 2 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 18/21

19 2. Volumen 2.1. Volumeneinheiten Kubikmillimeter 1 mm³ Kubikzentimeter 1 cm³ = 1000 mm³ Kubikdezimeter 1 dm³ = 1000 cm³ Umrechnungsfaktor 1000 Kubikmeter 1 m³ = 1000 dm³ Kubikkilometer 1 km³ = 1000 m 1000 m 1000 m = m³ Milliliter 1ml = 1 cm³ Liter 1 l = 1000 ml = 1 dm³ = 1000 cm³ Hektoliter 1hl = 100l = 0,1m³ Umrechnung von Volumeneinheiten: cm 3 = 7 m³ 530 dm³= 7,53 m³ mm³ = 80 cm³ 4 mm³ 2030,075 l = 2 m³ 30 l 75 ml 10709,32 dm³ = 10 m³ 709 dm³ 320 cm³ Rechnen mit Volumeneneinheiten 18 m³ 25 cm³ 3 dm³ 65 cm³ = 18000,025 dm³ 3,065 dm³= 17996,96 dm³ 12m³ : 40dm³ = dm³ : 40 dm³ = m³ : 80 cm = 2000 dm³ : 8 dm = 250 dm² 56 l : 70 cm² = cm³ : 70 cm² = 800 cm = 8 m 2.2. Volumen von Würfel und Quader c s a b s s V Q = a b c V W = s s s = s 3 In einem quaderförmigen Becken, das 2,4 m lang und 75 cm breit ist, steht das Wasser 60 cm hoch. Wieviel Liter Wasser befinden sich in dem Becken? V wasser = 240 cm 75cm 60cm = cm 3 = 1080 dm 3 = 1080 l Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 19/21

20 Ein Würfel aus Blei mit einer Kantenlänge von 12 cm wird eingeschmolzen und zu einer quaderförmigen Platte gegossen, die 80 cm lang und 30 cm breit ist. Wie hoch ist die Platte? V W = 12cm 12 cm 12 cm = 1728 cm 3 V Qu = l b h 1728 cm 3 = 80cm 30cm h 1728 cm 3 = 2400 cm 2 h h = 1728 cm 3 :2400cm 2 h = 0,72 cm = 7,2mm Ein Würfel besitzt ein Volumen von 64cm³. Welche Oberfläche hat der Würfel? V W = s s s = 64 cm 3 = 4cm 3 s = 4cm O W = 6 s 2 = 6 4 cm 4 cm = 6 16cm 2 = 96cm Volumen des Prismas V Pr = G h G ist dabei der Flächeninhalt der Grundfläche. Ein Goldbarren besitzt folgende Form: G h 2cm 8cm 1,5cm a) Welches Volumen besitzt der Goldbarren? V Pr = G h Pr 4cm V Pr = 1 2 4cm 2cm 1,5 cm 8cm = 4,5cm2 8cm = 36cm 3 b) Welche Masse besitzt der Goldbarren, wenn 1cm³ Gold 19,3g wiegt? m = 36cm 3 19,3 g cm 3 = 694,8 g Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 20/21

21 III. Stochastik 1. Zufallsexperimente Erkennungsmerkmale eines Zufallsexperimentes: Bei der Durchführung des Experimentes gilt: 1. Es wird genau ein Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen eintreten. 2. Welches Ergebnis eintreten wird, lässt sich nicht vorhersagen. Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsexperiment: Eine der Augenzahlen 1,2,3,4,5 oder 6 wird erscheinen, welche, lässt sich nicht voraussagen. Das Messen der Höhe eines bestimmten Tisches ist kein Zufallsexperiment das Ergebnis wird jedesmal die Höhe des Tisches sein. Das Befragen der Schüler in einer beliebigen Klasse nach ihrer Lieblingssportart ist ein Zufallsexperiment bei einer unbekannten Klasse kann das Ergebnis nicht vorhergesagt werden. 2. Relative Häufigkeit Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt. Die absolute Häufigkeit z gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt. Die relative Häufikeit der Treffer gibt an, wie groß der Anteil der Treffer an der Gesamtzahl der Versuche ist. absolute Häufigkeit z Relative Häufigkeit h = Gesamtzahl n Bsp: Ein Würfel wird 100 mal geworfen, die 1 erscheint 19 mal. Die relative Häufigkeit h(1) ist somit 19 = 0,19 = 19% 100 Eine Münze wird 30 mal geworfen, Zahl erscheint 12 mal. Die relative Häufigkeit h( Zahl ) ist somit 12 = 0,4 = 40% Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallsexperiment weist man einzelnen Ergebnissen bestimmte Chancen des Auftretens zu. Statt von Chancen spricht man in der Mathematik von Wahrscheinlichkeiten. So nimmt man bei einem symmetrischen Würfel an, dass jede Augenzahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 6 gewürfelt wird, und beim Werfen einer Münze treten Kopf und Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% auf. Dabei gilt das Empirische Gesetz der großen Zahlen Wird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann stabilisieren sich für jedes Ergebnis die relativen Häufigkeiten um einen bestimmten Wert. Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 21/21