Mathematik für Gymnasien

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1 Mathematik für Gymnasien Übungsaufgaben- LÖSUNGEN -Jahrgangsstufe I. Brüche. Allgemein: a) Zähler, Bruchstrich, Nenner b) Der Nenner gibt die Anzahl der gleichen Teile an, in die das Ganze zerlegt werden soll. c) Der Zähler gibt die Anzahl an, die man von diesen gleichen Teilen nehmen soll. d) z.b. in Kreisdiagrammen, Rechteckdiagrammen oder Streckendiagrammen e) f) individuelle Lösung, z.b.: = 8. Erweitern und Kürzen: a) Erweitere. Bruch erweitert mit 0 neuer Bruch b) Kürze. Bruch gekürzt mit neuer Bruch

2 c) Mit welcher Zahl wurde erweitert? Bruch 0 erweitert mit neuer Bruch d) Mit welcher Zahl wurde gekürzt? Bruch gekürzt mit 0 8 neuer Bruch 8. Dezimalbrüche: a) 0, l ; 0, m ; 0, kg ; 0, cm ; 0,0 km b) auf Zehntel:, ; 0, auf Tausendstel:, ; 0,0 c) -,0 < -, <,0 <, <,0 <, d) Trage auf einer Zahlengeraden (Einheit cm; Bereich von - bis ) so genau wie möglich ein: 0, ; -0, ;, ; -, ;, ; -, e) cm f) 8,08 ;,00 kg ; 08, m ;,0 t ; 0, cm

3 g) Stelle die Laufgeschwindigkeit folgender Tiere in einem Säulendiagramm dar. ( cm = 0 km/h Runde dazu die Geschwindigkeiten sinnvoll! Gepard:, km/h Pferd: 0,8 km/h Antilope: 0,0 km/h Windhund: 0, km/h Nilpferd: 8, km/h h) km 0, m m 0,0 km = 0, km - 0, m + 80, m 0,0 km = = 0 m 0, m + 80, m 0 m =, m. Addition und Subtraktion von Brüchen: ) Berechne im Kopf. + = + = = = = ) Berechne. (Tipp: erst kürzen) 8 + = + = + 8 = + 8 = + 8 = 0 = 0 = 0 8 = = = = 0 + = + = ) Welche Zahl fehlt? + = + = - 8 = 8 = ( = = ) ( = = ) ( + 8 = + = 0 = ) ( = = 8 )

4 ) Berechne. ( ) ( + ) = 8 ( ) ( ) = 8 = = ( ) ( 8 ) = 0 (8 ) ( 8 ) = = 0 = ) Subtrahiere von die Differenz aus 8 und und addiere anschließend die Summe der Zahlen und 0. [ ( )] + ( + ) = + = ) In einem Fischweiher steckt ein Stock als Markierung für die Angler. des Stockes steckt im Boden. der Länge befindet sich unter Wasser, aber nicht im Boden. Die übrigen cm ragen über die Wasseroberfläche. Veranschauliche dir die Situation (Skizze), stelle dir dazu Fragen und beantworte diese.. Multiplikation und Division von Brüchen: ) Multipliziere und ergänze die Tabelle:. Faktor 8. Faktor 0 Wert des Produkts 8 0

5 ) Dividiere und ergänze die Tabelle: Dividend Divisor Wert des Quotienten ) Ein Wassereimer fasst Liter Wasser, ein Plantschbecken 08 Liter. Damit beim Tragen kein Wasser aus dem Eimer schwappt, kann er nur zu gefüllt werden. Wie oft muss man laufen, wenn man das Becken mit dem 0 Eimer leerschöpfen will? 0, l = 0,, l =, l 08 l, l = Man muss mal laufen.. Rationale Zahlen: ) Welche Zahl liegt auf der Zahlengerade in der Mitte zwischen den Zahlen a), und 0 (, + ) : =, : =, 0 b) und, ( +, ) : = 8, : =, ) Berechne: a), + (,) =,, = 8, b),, =, c) ( ) + = 0 d) ( ) = 0 ( ) = + 8 = = = 8, ) Berechne: a) 0 (,) = 0 b) ( ) = ( ) = = c), (,) =, 0 d) (,) 0 (+8,8) = 0

6 II. Relative Häufigkeit ) Anna wirft einen Würfel 0-mal. Es ergaben sich folgende Ergebnisse:,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Gib in einer Tabelle die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Augenzahlen an. Augenzahl absolute Häufigkeit ) Beim Würfeln ist folgende Häufigkeitsverteilung aufgetreten: Augenzahl Anzahl als Bruch als Protzentsatz 8% % % % % % Berechne für die Augenzahlen die relative Häufigkeit als gekürzte Brüche und gib diese in Prozent an. 0 ) Ergänze die Vierfeldertafel. % % % 8% 0% 8% % = % 00% ) Am Bahnhof wurden 00 deutsche Italien-Reisende befragt, mit welcher Fremdsprache sie sich im Urlaubsland verständigen. Ein Viertel der Befragten sprach keine Fremdsprache, % sprachen Italienisch als einzige Fremdsprache und jeder zehnte Befragte gab an, Englisch und Italienisch zu sprechen. a) Erstelle eine Vierfeldertafel. Englisch kein Englisch Italienisch 0% = 0 % = % = kein Italienisch 0% = 80 % = 8% = 0% = 0 0% = 0 00% = 00 b) Gib an, wie viele Befragte keine Fremdsprache, nur Englisch, nur Italienisch oder Englisch und Italienisch sprechen. keine Fremdsprache: Personen nur Englisch: 80 Personen nur Italienisch: Personen Englisch und Italienisch: 0 Personen

7 ,0,0,0 III. Geometrie ) Bestimme den Flächeninhalt A eines a) Dreiecks mit c = 8cm und h c = cm A = 8cm cm 0, = cm b) Parallelogramms mit a = cm und h a =,cm A = cm, cm =, cm c) Trapezes mit a =, cm, c =,8 cm und h =,cm A = 0, (, cm +, 8cm), cm =, cm ) In einem Parallelogramm ABCD hat die Diagonale e = [AC] eine Länge von cm. Die Abstände der Ecken B und D von dieser Diagonale betragen jeweils cm. (Tipp: Die Strecken, die diese Abstände darstellen, stehen senkrecht auf e!) Veranschauliche dir die Situation in einer Skizze. Welchen Flächeninhalt A hat das Parallelogramm? Welchen Abstand haben die beiden 8 cm langen Gegenseiten [AB] und [DC]? A = A ACD + A ABC = cm cm 0, + cm cm 0, = cm + cm = 8 cm Abstand von [AB] und [DC] = h = A : 8 cm = 8cm : 8cm = =, cm (da gilt: A = h g und g hier 8 cm beträgt) ) Ein Dreieck ABC und ein Parallelogramm ADEB haben die Seite [AB] gemeinsam. Folgende Größen sind gegeben: h c =, cm, d = cm und A P =,8 cm (Fläche des Parallelogramms). a) Berechne die Länge der Seite [AB]. (wobei [AB] = c ) A P =, 8 cm = c d, 8 cm = cm Umkehraufgabe bilden:, 8 cm cm =, cm Antwort: [AB] hat die Länge, cm. b) Berechne den Flächeninhalt A D des Dreiecks ABC. A D = c h c =, cm, cm =, cm ) Übertrage die Figuren und ergänze sie zu einem Körpernetz (Maße in cm). Berechne anschließend die Oberflächeninhalte der Körper. Würfel Quader,0,

8 O W = s = (, 0 cm) = cm = cm O Q = a b + b c + a c =, cm, 0 cm +, 0 cm, 0 cm +, cm, 0 cm = = cm + 8 cm + 8 cm = cm ) Wandle in die angegebenen Einheiten um. a) cm (in mm ) = 000 mm b) l (in cm ) = 000 cm c) m 8 dm (in l ) = 08 l d) 0, dm cm 00mm (in cm ) =, cm ) cm eines bestimmten Materials wiegt 0,0 g. Berechne, wieviel ein Quader aus diesem Material wiegt, der 0,8 m lang, 0, m breit und, m hoch ist. V Q = a b c = 0, 8 m 0, m, m = 0, m, m = 0, m = cm m = cm 0, 0 g = 00 g =, kg ) Es sind drei verschieden geformte Quader mit demselben Volumen V = 0 cm und demselben Grundflächeninhalt G = cm. a) Nenne die Maße von drei verschiedenen Quadern, auf die diese Beschreibung zutrifft, und zeichne einen von ihnen im Schrägbild. Es muss zum einen gelten: l b = cm, da G immer cm sein soll. Zum anderen muss h immer cm sein, da bei einem Quader gilt: V = l b h = G h hier dann also: 0 cm = cm h daraus folgt: h = 0cm : cm = cm ) l = cm ; b = cm ; h = cm ) l = 8 cm ; b = cm ; h = cm ) l = cm ; b = cm ; h = cm 8

9 b) Berechne den Oberflächeninhalt der drei Quader. ) O = cm cm + cm cm + cm cm = 8 cm + 0 cm + 0 cm = 8 cm ) O = 8 cm cm + 8 cm cm + cm cm = 8 cm + 80 cm + 0 cm = 8 cm ) O = cm cm + cm cm + cm cm = 8 cm + 0 cm + 0 cm = = 88cm c) Überlege, ob es auch einen Würfel gibt, auf den diese Beschreibung passt. Begründe deine Antwort. Nein, da h immer cm sein muss, aber cm mal cm nie cm werden kann. 8) Ein quaderförmiger Wassertrog wiegt leer 0 kg. Er hat die Innenmaße l =,0 m, b = dm und h = 0 cm. a) Wie viel wiegt der Trog, wenn er voll mit Wasser gefüllt ist? (Erinnerung: l Wasser wiegt kg) V Innenmaß = l b h =, 0 m 0, m 0, m = 0, m = dm = l Masse des Wassers: l = kg Masse gesamt: 0 kg + kg = 0 kg b) Der Trog ist jetzt nur zum Teil mit Wasser gefüllt, sodass sein Gesamtgewicht nur 8 kg beträgt. Wie hoch steht das Wasser im Trog? Masse des Wassers: 8 kg 0 kg = kg = l V = l = l b h =, 0 m 0, m h (da die Länge und die Breite gleich bleiben muss) dm = 8 dm h Umkehraufgabe: dm 8 dm = 0, dm = cm Das Wasser steht cm hoch. IV. Prozentrechnung und Diagramme ) Gib in Prozent bzw. als Bruchteil an. a) b) c) 00 = = 00 = 0, 00 = = 0, % (Verständnishilfe: 000 = % 00 = 8 = 0, 08 =, 8% 000 d), % = 0, 0 = = = e) % = % = = = = 0, = 0, %) ) Berechne den Prozentwert. 0 a) % von 88 t = 0, % 88 t = 88 t = t = 0, t b) % von 80 = 0, 80 =, = 0 Cent c) % von h = 0, h =, 8 h d) 0 % von km =, km =, km ) Wie viel Prozent vom ursprünglichen Grundwert sind: a) 0% von % = 0, 0, 0 = 0, 0 =, % b) 0% von 0% = 0, 0, = 0, 0 = % c) 0% von 0% = 0,, = 0, = %

10 ) Bastian will eine Rechnung über 80 bezahlen. Er erhält bei Barzahlung einen Preisnachlass von, %. Welchen Betrag erspart sich Bastian durch Barzahlung?, % von 80 = 0, 0 80 =, 80 Bastian spart,80. ) Berechne den Prozentsatz. a), kg von 0, t =, kg von 00 kg =, kg 00 kg = = = = 0, =, % b) 00 Cent von = 00 Cent von 00 Cent = = 00 % c) 0 s von min = 0 s von 00 s = 0 s 00 s 0 cm = 0, = 0% d) 0 cm von 0, m = 0cm von 0 cm = = = 0 cm ( 00) % = 00 % = % ) Ein Händler setzt den Preis für ein Kilogramm Kartoffeln um % herunter. Es kostet nun,0. Wie viel hat es vor der Preissenkung gekostet? 00% - % = % % entsprechen,0 : % entsprechen 0,0 00% entsprechen,00 0 : 0 Der ursprüngliche Preis war. ) Das Ehepaar Bauer musste beim Kauf eines Grundstücks % Grunderwerbssteuer an das Finanzamt zahlen. Das waren. Welchen Wert hat das Grundstück? % von = % = Umkehraufgabe: % = 0, 0 = 00 = 00 Das Grundstück hat den Wert 00. 8) In einem Liter Apfelsaftkonzentrat befindet sich 80% Fruchtanteil. Laut Anweisung auf der Packung sollen noch vier Liter reines Wasser hinzugegeben werden, um einen leckeren Apfelsaft zu erhalten. Wie viel Prozent Fruchtanteil enthält das Getränk jetzt? l entsprechen 80% durch Zugabe von l Wasser: neue Menge ist l : l entsprechen % (Anmerkung: Durch die Zugabe von Wasser wird die Menge größer, deshalb wird auf der linken Seite multipliziert. Da aber durch das Mischen des Konzentrats mit Wasser der Fruchtanteil logischerweise abnimmt, muss rechts dividiert werden.) Das Getränk enthält nun einen Fruchtanteil von %. 0