Vorkurs: Diskrete Mathematik Teil I. 27. September 2010

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1 Vorkurs: Diskrete Mathematik Teil I 27. September 2010

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

3 Inhaltsverzeichnis Teil I Mengen Zahlenbereiche Bruchrechnung Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Rechengesetze Teil II Teil III Teil IV 3

4 4 Kapitel I Mengen

5 Kapitel I: Mengen Definition Eine Menge ist eine ungeordnete Ansammlung von Elementen, d.h., die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. Die Elemente kommen in der Mengen genau einmal vor. DÄurfen die Elemente mehrfach vor, so spricht man von einer Multimenge. EnthÄalt die Menge keine Elemente, leere Menge und bezeichnet sie mit ;. so nennt man sie die 5

6 Kapitel I: Mengen Endliche & unendliche Mengen I Mengen käonnen eine endliche als auch eine unendliche Anzahl an Elementenenthalten. Entsprechendsprichtmanvonendlichen bzw. unendlichen Mengen. 6

7 Kapitel I: Mengen Endliche & unendliche Mengen II Beispiele fäur endliche Mengen: n o ² A = 1; 2; 3; 4 ² B = ² C = n o a; b; c n o x 2 N :23 x 42 Beispiele fäur unendliche Mengen: n o ² D = 1; 2; 3;::: ² E = n o x 2 N : x ist gerade 7

8 Kapitel I: Mengen Mächtigkeit von Mengen Als MÄachtigkeit (oder auch KardinalitÄat) einer endlichen (!) Menge A wird die Anzahl der in A enthaltenen Elemente bezeichnet. Die MÄachtigkeit einer unendlichen Menge ist stets 1. Beispiel: 8

9 Kapitel I: Mengen Vergleichen von Mengen I Mengen sind vergleichbar. ² Inklusion A μ B Dies bedeutet, dass die Menge A vollstäandig in der Menge B enthalten ist. Es ist au¼erdem mäoglich, dass A und B identisch sind. Sprechweise: A ist eine Teilmenge von B. ² Gleichheit A = B Dies bedeutet, dass die Mengen A und B identisch sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl A μ B als auch B μ A gilt. Sprechweise: A ist gleich B. 9

10 Kapitel I: Mengen Vergleichen von Mengen II ² strenge Inklusion A ½ B Dies bedeutet, dass die Menge A eine echte Teilmenge von B ist. Jedes Element a 2 A ist in B enthalten, es gibt allerdings mindestens ein b 2 B, dass nicht in A enthalten ist. Sprechweise: A ist eine echte Teilmenge von B. 10

11 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen I ² Vereinigung: A [ B In der Menge A [ B sind alle Elemente, die entweder in der Menge A, der Menge B oder in beiden Mengen vorkommen. n o A [ B = x : x 2 A oder x 2 B ² Schnitt: A \ B In der Menge A \ B sind alle Elemente, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen. n o A \ B = x : x 2 A und x 2 B 11

12 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen II ² Exklusion: A n B In der Menge A n B sind alle Elemente enthalten, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B vorkommen. n o A n B = x : x 2 A und x=2 B ² Potenzmenge: P(A) Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen der Menge A. EnthÄalt die Menge A insgesamt jaj = n Elemente, so enthäalt die Potenzmenge P(A) insgesamt jp(a)j =2 n Elemente. 12

13 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen III Beispiel: Es seien A = 1; 2; 3 ª und B = 2; 3; 4 ª zwei Mengen. Dann gilt: n o A [ B = 1; 2; 3; 4 n o A \ B = 2; 3 A n B = n o 1 P(A) = n;; 1 ª ; 2 ª ; 3 ª ; 1; 2 ª ; 1; 3 ª ; 2; 3 ª ; 1; 2; 3 ªo 13

14 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen IV Es seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt de niert: n o A B = (a; b) :a 2 A und b 2 B Es seien A, B und C drei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt de niert: n o A B C = (a; b; c) :a 2 A; b 2 B und c 2 C Analog de niert man das kartesische Produkt fäur eine beliebige Anzahl von Mengen M 1 :::M n : o M 1 ::: M n = n(m 1 ;:::;m n ):m 1 2 M 1 ; :::; m n 2 M n 14

15 Kapitel I: Mengen Aufgaben Aufgabe I-1 Es seien A = f5; 6; 7g, B = f6; 7; 8g und C = f3; 5; 7; 9g gegeben. Bestimme die folgenden Mengen: a) A [ B, A \ C sowie C n A b) A \ B \ C c) P(B) d) A B Aufgabe I-2 Bestimme P(;) sowiep(p(;))! 15

16 16 Kapitel II Zahlenbereiche

17 Kapitel II: Zahlenbereiche Natürliche Zahlen Man de niert die Menge 1; 2; 3;::: ª als die Menge N der natäurlichen Zahlen. Achtung: Je nach Lehrbuch/Dozent wird die 0 zu den natäurlichen Zahlen gezäahlt oder nicht zu den natäurlichen Zahlen gezäahlt. Fragt deshalb am besten nochmal nach. 17

18 Kapitel II: Zahlenbereiche Ganze Zahlen Ausgehend von den bereits de nierten natäurlichen Zahlen N de niert man die Menge der ganzen Zahlen Z wie folgt: ² FÄur jede natäurliche Zahl n 2 N fäugt man der Menge Z sowohl n als auch n hinzu. ² Au¼erdem fäugt man der Menge Z die 0 hinzu. Es ergibt sich die folgende Menge Z: n o Z = :::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;::: 18

19 Kapitel II: Zahlenbereiche Rationale Zahlen Den näachstgräo¼eren Zahlenbereich bilden die rationalen Zahlen Q. Diese sind wie folgt de niert: n m o Q = n : m; n 2 Z mit n 6= 0 Diese rationalen Zahlen stellen also die Menge aller BrÄuche dar. Das Rechnen mit BrÄuchen wird in einem späateren Kapitel besprochen werden. 19

20 Kapitel II: Zahlenbereiche Reelle Zahlen Es gibt viele Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Um diese beschreiben zu käonnen, werden die reellen Zahlen R eingefäuhrt. Wie diese genau de niert sind, wollen wir an dieser Stelle nicht besprechen. Beispiele: ² alle natäurlichen, ganzen und rationalen Zahlen ² die Kreiszahl ¼ ² einige Wurzeln wie p 2, p 3, p 5oder 3p 4 20

21 Kapitel II: Zahlenbereiche Irrationale Zahlen Als irrationale Zahlen bezeichnet man alle Zahlen, die in R, aber nicht in Q liegen. 21

22 Kapitel II: Zahlenbereiche Komplexe Zahlen In vielen technischen (oder physikalischen) VorgÄangen ist es notwendig, unter anderem die Wurzeln von negativen Zahlen zu berechnen, was bekanntlich im Bereich der reellen Zahlen R nicht mäoglich ist. Um dies dennoch tun zu käonnen, wurden die komplexen Zahlen C eingefäuhrt. Es wurde die Konstante i de niert, die der folgenden Eigenschaft genäugt: i 2 = 1 Damit ist es mäoglich, physikalische/technische Systeme mit mathematischen Mitteln zu beschreiben. Komplexe Zahlen werden im Laufe des Studiums behandelt. 22

23 Kapitel III Bruchrechnung 23

24 Kapitel III: Bruchrechnung Kürzen I Im Folgenden seien a; b; c 2 Z und es gelte c 6= 0. Es ist mäoglich, Faktoren, die sowohl im ZÄahler als auch im Nenner des Bruchs vorkommen, zu käurzen. Allgemein: Beispiele: c a c b = a b 2 = = a 2 b ab 2 = ab a ab b = 1 2 = 2 3 = a b 24

25 Kapitel III: Bruchrechnung Kürzen II Es däurfen ausschlie¼lich gemeinsame Faktoren gekäurzt werden, nicht jedoch Di erenzen oder Summen. Diese mäussen, sofern mäoglich, vor dem KÄurzen in eine Darstellung als Produkt ÄuberfÄuhrt werden. Beispiel: a 2 +2ab + b 2 a 2 b 2 = (a + b)(a + b) (a + b)(a b) = (a + b) (a b) Merke: ² Di erenzen und Summen käurzen nur die Dummen. ² Faktoren käurzen, das ist brav; wer Summen käurzt, der ist ein Schaf. 25

26 Kapitel III: Bruchrechnung Erweitern Im Folgenden seien a; b; c 2 Z und es gelte c 6= 0. Es ist mäoglich, den ZÄahler und den Nenner mit demselben Faktor zu multiplizieren, ohne den Wert des Bruchs zu veräandern. Allgemein: a b = c a c b Beispiele: = = a 2 b = = ab2 a 2 ab 2 b = = a3 b 2 ab 3 26

27 Kapitel III: Bruchrechnung Addition & Subtraktion Im Folgenden seien a; b; c; d 2 Z und es gelte b 6= 0sowied 6= 0. Es käonnen 2 mäogliche FÄalle auftreten: ² Fall 1: b = d Die beiden BrÄuche haben denselben Nenner, es folgt: a b + c d a b c d = a + c b = a c b = a + c d = a c d 27

28 Kapitel III: Bruchrechnung Addition & Subtraktion ² Fall 2: b 6= d Die beiden BrÄuche haben nicht denselben Nenner, sie mäussen vor der Addition/Subtraktion gleichnamig gemacht werden. Es folgt: a b + c d a b c d = = ad + bc bd ad bc bd Oft wird beim gleichnamig machen das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) verwendet, selbstverstäandlich kann auch jedes andere gemeinsame Vielfache verwendet werden. 28

29 Kapitel III: Bruchrechnung Multiplikation Im Folgenden seien a; b; c; d 2 Z und es gelte b 6= 0sowied 6= 0. Beim Multiplizieren zweier BrÄuche werden die ZÄahler und die Nenner der beiden BrÄuche miteinander multipliziert. Es folgt: a b c d = a c b d 29

30 Kapitel III: Bruchrechnung Division Im Folgenden seien a; b; c; d 2 Z und es gelte b 6= 0,c 6= 0und d 6= 0. Die Division von BrÄuchen wird auf die Multiplikation zuräuckgefäuhrt. Hierzu wird der erste Bruch (der Divident) mit dem Umkehrwert (dem Reziproken) des zweiten Bruchs (dem Divisor) multipliziert. Es folgt a b : c d = a b d c = a d b c 30

31 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgaben Aufgabe III-1 Berechne die folgenden Werte. Gib die Ergebnisse in gekäurzter Form an! a) b) c) d) 3 7 :

32 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgaben Aufgabe III-2 Vereinfache die folgenden BrÄuche. a) 5x3 2x 2 b) a6 4a 3 c) (ab)2 ( 5ab) 2 d) 100x3 y 2 ( 2xy) 2 e) ( ab)3 ab 3 f) a2 b 5 (ab) 5 g) x3 (ty) 2 xt 2 y 3 h) a3 (b 2 c) 4 (a 2 c) 3 32

33 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgaben Aufgabe III-3 Berechne die folgenden Werte. Gib die Ergebnisse in gekäurzter Form an! a) b) 3 2a 2 4ab 1 2ab x x 2 xy +2 y x 2 + xy c) a 2b 4a +1 16a 2 1 a 2 4ab +4b 2 x x 2 y 2 d) 2x 3 5x : 4x2 9 10x 2 33

34 Kapitel IV Wurzeln, Potenzen & Logarithmen 34

35 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Potenzen I Ist a 2 R (einereellezahl)undn 2 N (eine natäurliche Zahl), so de niert man: a n = a a {z ::: a } n Faktoren a n = 1 a n Ferner de niert man: a 0 =1 Es ist leicht einzusehen, dass hierdurch auch der Fall abgedeckt ist, dass n 2 Z (eine ganze Zahl) gilt. 35

36 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Potenzen II Wie zuvor sei a eine reelle Zahl und x = p q sei eine rationale Zahl. q Ohne Beweis setzen wir voraus, dass es die q-te Wurzel p a von a gibt. Dann de niert man: a x = a p q = q p a p 36

37 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Potenzen I Potenzen nden immer dann Anwendung, wenn ein exponentielles Wachstum beschrieben werden soll, bekannte Beispiele aus der Schule sind der Zinseszins sowie Zerfallsprozesse. Aufgabe Bei der Geburt ihres Kindes legen die Eltern einen Betrag von Euro auf einem Konto an. Der jäahrliche Zinssatz beträagt 3,5%. Wieviel Geld be ndet sich nach einem, nach zwei bzw. nach 18 Jahren auf dem Konto? 37

38 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Potenzen II LÄosung Es gilt, dass das Guthaben auf dem Konto jedes Jahr um 3,5% wäachst. Der Betrag auf dem Konto wäachst also jedes Jahr um den Faktor 1,035. Nach n Jahren hat sich der Betrag wie folgt veräandert: Betrag = 2:500 Euro 1; 035 n Es folgt: n Betrag in Euro ; ; ; ; 72 38

39 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-1 Berechne die folgenden Potenzen ohne Taschenrechner. a) 3 3 b)( 3) 2 c)( 5) 3 d) 2 4 e)( 2 3) 2 f) (5 3) 2 39

40 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Wurzeln Es sei a eine positive reelle Zahl oder 0. Unter der n-ten Wurzel von a verstehen wir den (positiven) Wert np a,fäur den die folgende Eigenschaft gilt: n p a n = a Gibt es mehrere MÄoglichkeiten, so wollen wir unter der Wurzel stets die positive LÄosung verstehen. HÄau g wird die Quadratwurzel verwendet. Statt 2 p a schreibt man hier typischerweise nur p a. Beispiele: p 2; p 4; 3 p 8; 5p ¼ 40

41 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-2 Vereinfache soweit wie mäoglich: a) 7 p x 6 p y +3 p x 4 p y q q 11 b) c) p 0; 1 p 0; 121 d) (a + p b)(a p b) 41

42 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen I Formal gesehen sind Logarithmen säamliche LÄosungen der Gleichung a = b x zu vorgegebenen GrÄo¼en a und b, das Logarithmieren ist also eine Umkehrung des Potenzierens. Es gilt: x =log b a x gibt also an, mit welchem Wert man b potenzieren muss, um a zu erhalten. 42

43 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen II Beispiele fäur Logarithmen: ² log 2 8=3 ² log = 5 ² log a a 2 = 2 TypischeVertretersinddieLogarithmensindlog 2,log 10 oder ln zu den Basen 2, 10 bzw. e. 43

44 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen II Frage: Sind Logarithmen lediglich eine "mathematische Spielerei" oder haben sie in der Natur eine praktische Relevanz? Antwort: Nein! Logarithmen sind keine mathematische Spielerei. Sie kommen in der Natur häau g vor. 44

45 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiele für logarithmisches Wachstum I Schnitt einer Nautilus-Schale Quelle: Wikipedia 45

46 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiele für logarithmisches Wachstum II Tiefdruckwirbel über Island Quelle: Wikipedia 46

47 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiele für logarithmisches Wachstum III Die Whirlpool-Galaxie (NGC 5194/5195) Quelle: Wikipedia 47

48 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen I Aufgabe Ernst gewinnt in einem Preisausschreiben Euro. Er entscheidet sich, das Geld anzulegen und bekommt jäahrlich 4% Zinsen. Nach wie vielen Jahren hat sich sein Geld verdoppelt? 48

49 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen II LÄosung Es gilt, die folgende Gleichung zu läosen: 5:000 1; 04 n =10:000 Hieraus ergibt sich direkt: 1; 04 n = 2 n = log 1;

50 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen III Hier stäo¼t man sofort auf das näachste Problem: Wie berechnet man den Logarithmus zur Basis 1,04? Die LÄosung ist einfach, denn jeder Logarithmus läasst sich durch jeden beliebigen anderen Logarithmus darstellen. Es gilt die folgende allgemeine Formel: log b a = log c a log c b 50

51 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen IV FÄur unser Beispiel bedeutet dies: log 1;04 2 = ln 2 ln 1; 04 = 17; ::: Ernsts VermÄogen wird sich also in etwa 17,67 Jahren verdoppeln. 51

52 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-3 Bestimme ohne Taschenrechner: a) r =log 8 64 b) log r 125 = 3 c) log 10 r =3 d) log 2 r = 4 Aufgabe IV-4 Bestimme ohne Taschenrechner: a) r =log b) r =log c) lne 1 = r d) r =log 2 32 log log 2 8 p e) r =log

53 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-5 TÄaglich häort man in der Presse von der Teuerungsrate. Sie besagt, um wie viel das Leben innerhalb eines Jahres teurer geworden ist, d.h. das Geld weniger wert wurde. Man spricht auch von der In ationsrate. Angenommen, die In ationsrate beträagt 2%. a) Wie lange dauert es, bis 2000 Euro nur noch die Kaufkraft von 1000 Euro haben? b) BenÄotigt man zur Berechnung der "Halbwertszeit" des Geldes eine konkrete Summe wie in Aufgabe a)? c) Unter welcher Annahme ist die Rechnung sinnvoll? 53

54 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-6 Die Halbwertszeit von Radium 88 beträagt 1600 Jahre. Wie lange dauert es, bis 10g zu 1,25g zerfallen sind? Erstelle zunäachst eine entsprechende Funktionsgleichung. 54

55 55 Kapitel V Rechenregeln

56 Kapitel V: Rechenregeln Rechenregeln für Brüche a b + c d = ad + bc bd a b c d a b c d a b : c d a b ad bc = bd = a c b d = a b d c = a d b c = c a (c 6= 0) c b 56

57 Kapitel V: Rechenregeln Rechenregeln für Potenzen a n a m = a m+n a n a m = an m a n b n =(a b) n a n ³ a n b n = b (a m ) n = a m n 57

58 Kapitel V: Rechenregeln Rechenregeln für Wurzeln I p p p a b = a b p r a a p = b b p a m = p a m a m 2 = p a m a m 2 = 1 p a m 58

59 Kapitel V: Rechenregeln Rechenregeln für Wurzeln II np a n p b = np a b np a np b = n r a b n p a m = n p a m q m np a = m n p a a m n = n p a m a m n = 1 np a m 59

60 Kapitel V: Rechenregeln Rechenregeln für Logarithmen log a n m =log a n +log a m log a n m =log a n log a m log a n m = m log a n log a m p n = 1 m log a n log a n = log b n log b a log a n =log a b log b n 60

61 Kapitel V: Rechenregeln Aufgaben 61 Aufgabe V-1 Vereinfache die folgenden Terme! a) a 7 a 3 b)(3x)(5x 6 ) c)( 2z 4 )( 3z 2 ) d)(20x 5 )( x 3 )(x 2 ) Aufgabe V-2 Vereinfache die folgenden Terme! a) a 3x a 2x b) x2 b x b c)3x 0 y 2 d) a3 x b 6+y a 5 x b Aufgabe V-3 Vereinfache die folgenden Terme! a) 3p x 3 6p x 15 b) 5 q 3p x 9 c) 10p a 7 : 5p a 4

62 Kapitel V: Rechenregeln Aufgaben Aufgabe V-4 Vereinfache die folgenden AudrÄucke soweit wie mäoglich! a) log a 2b b) log a 3 +log p b log ab 2 c) log 3p a 2 log a +2log 1 7 a d) log a2 b 1 c ac 3 b μ a 2 c + ac e) log ab c b 62