Aufgabenkomplex 2: Umrechnung von Einheiten, Mengenlehre, Ungleichungen, Komplexe Zahlen

Transkript

1 Technische Universität Chemnitz. Oktober 0 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple : Umrechnung von Einheiten, Mengenlehre, Ungleichungen, Komplee Zahlen Letzter Abgabetermin: 7. November 0 (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 39/7) Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomple kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll! Elektronische Hilfsmittel dürfen nur bei Aufgabe sowie zur zahlenmäßigen Berechnung des Winkels bei Aufgabe 7a) eingesetzt werden!. Rechnen Sie eine Energie von 0,4 Kilokalorien in Pferdestärkenstunden und in Tonnenhektar pro Tagequadrat um!. Die Mengen A = {(,), R, }, B = {(,), R, +( ) } und C={(,), R, 0, 0} seien gegeben. a) Stellen Sie A, B, A B, A B, A\B, B\A grafisch dar! b) Stellen Sie(A B) C und(a B) C grafisch dar! 3. Für welche reellen sind folgende Ungleichungen erfüllt: a) 3 + 3, b) 3 + 3? 4. Welche kompleen Zahlen z erfüllen die Bedingung z = Re z + Im z? 5. a) Für welche reellen Zahlen t gilt t 5 t? b) Skizzieren Sie in der kompleen Zahlenebene die Menge aller kompleen Zahlen z, für die z 5 z gilt!. Ermitteln Sie die komplee Zahl z, die die Gleichung +3i z+ 5+i = 8+i löst! +i 7. Geben Sie die Zahlen (5 i), b) (i 3) 400 ( i) 8 57 jeweils in algebraischer und in Polardarstellung an! Hinweis: Führen Sie die Rechnung zunächst in der für die jeweilige Aufgabe zweckmäßigeren Darstellung aus und rechnen Sie das Ergebnis in die andere Darstellung um!

2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Oktober 0 Aufgabenkomple : Umrechnung von Einheiten, Mengenlehre, Ungleichungen, Komplee Zahlen Letzter Abgabetermin: 7. November 0. Rechnen Sie eine Energie von 0,4 Kilokalorien in Pferdestärkenstunden und in Tonnenhektar pro Tagequadrat um! Für die Kalorie gibt es mehrere leicht unterschiedliche Definitionen, s. z.b. Wikipedia. Im Folgenden wird mit dem von der Internationalen Union für Ernährungswissenschaften (IUNS) beschlossenen Wert von 4,8 Nm gerechnet. 0,4kcal=0,4 0 3 kg m 4,8Nm=40 4,8 kg m = 40 4,8 s PS s 75kg 9,805 m s m s 0,4kcal=0,4 0 3 kg m 4,8Nm=40 4,8 s = 40 4,8 = 40 4, t ha t ha , d d h 300s, PSh 0,00PSh t ha 0 d ( t 00m ) ( ) d Die Mengen A = {(,), R, }, B = {(,), R, +( ) } und C={(,), R, 0, 0} seien gegeben. a) Stellen Sie A, B, A B, A B, A\B, B\A grafisch dar! b) Stellen Sie(A B) C und(a B) C grafisch dar! A: alle Punkte oberhalb und auf der Normalparabel =, B: alle Punkte innerhalb und auf dem Kreis mit Radius um den Punkt(0,), C: alle Punkte im I. Quadranten einschließlich der nichtnegativen Halbachsen a) A B A B A B b) A\B B\A (A B) C (A B) C

3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Oktober Für welche reellen sind folgende Ungleichungen erfüllt: a) 3 + 3, b) 3 + 3? a) 3 = { { 3, /3 3, 3/ 3, </3, 3 = 3, >3/ Also sind 3 Fälle zu unterscheiden: Beitrag zur Lösung < 3 : 3+3, 3 5, 3 5, : 3 +3,,, 3 3 < : 3 + 3, 5 7, 7 5, 3 < Zusammenfassung der Beiträge der 3 Fälle zur 3 5 und b) = 3 +3 (3 )( 3) = Für = 3 und = 3 ist die linke Seite nicht definiert. Ansonsten ist bei der Multiplikation der Ungleichung mit dem Nenner dessen Vorzeichen zu beachten. Er ist positiv, wenn beide Faktoren positiv sind (d.h. für 3 < < 3 ) oder wenn beide Faktoren negativ sind (nicht möglich, da dann gleichzeitig < 3 und > 3 sein müsste). Er ist negativ, wenn die Faktoren unterschiedliches Vorzeichen haben, also für < 3 und für > 3. Fall A: 3 < < 3 : + +, 5 Fall B: < 3 oder > 3 : + +, hat die Nullstellen 4 ± 57 4 = ; 57 4 Die Parabel offen, also gilt 5 komplett im Intervall 3 < 3 Lösung also: genau dann, wenn und ist nach oben ist. Da dieses Intervall 3 < < 3 liegt, ist die Ungleichung im Fall A für < und für 3 erfüllt, während sie im Fall B für kein erfüllt ist. 3 < und 3 < 3

4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Oktober Welche kompleen Zahlen z erfüllen die Bedingung z = Re z + Im z? Sei z=+i mit, R. Dann gilt z = + z =( + ) + = + + =0 =0 =0 Die Gleichung ist also genau dann erfüllt, wenn z auf der reellen Achse (=0) oder auf der imaginären Achse (=0) liegt. Man kann auch geometrisch damit argumentieren, dass die Dreiecksungleichung c a+b für die Seitenlängen a, b und c eines Dreiecks nur dann mit dem Gleichheitszeichen erfüllt sein kann, wenn die drei Punkte des Dreiecks auf einer Geraden liegen. Somit kann die gegebene Gleichung nur richtig sein, wenn z auf einer der Koordinatenachsen liegt. Ist Letzteres der Fall, so ist die Gleichung aber offensichtlich auch erfüllt. 5. a) Für welche reellen Zahlen t gilt t 5 t? b) Skizzieren Sie in der kompleen Zahlenebene die Menge aller kompleen Zahlen z, für die z 5 z gilt! a) t t 5=0 für t / =± { 3 +5= 5, also t t 5=(t+ 3)(t 5) t< : t(t ) 5=t t 5=(t+ 3)(t 5) 0, d.h. für 3 t< t= : nicht definiert t> : t(t ) 5=t [ 3,) [5, ) t 5=(t+ 3)(t 5) 0, d.h. für t 5 b) Es gilt immer z 0, so dass die Ungleichung nach a) für 0 z < und für z 5 erfüllt ist:

5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Oktober 0 5. Ermitteln Sie die komplee Zahl z, die die Gleichung +3i z+ 5+i = 8+i löst! +i +3i z=8+i (5+i)( i) (+i)( i) =8+i 7 3i (+3i)z=9+7i, z= (9+7i)( 3i) (+3i)( 3i) = 39 3i =3 i 3 7. Geben Sie die Zahlen = +4i 7+3i = 9+7i, (5 i), b) (i 3) 400 ( i) 8 57 jeweils in algebraischer und in Polardarstellung an! Hinweis: Führen Sie die Rechnung zunächst in der für die jeweilige Aufgabe zweckmäßigeren Darstellung aus und rechnen Sie das Ergebnis in die andere Darstellung um! (5 i) ( i) = +87i = 4+3i, r= = 4 44i i 5 0i 4 +i = 04+8i = (+7i)(5+i) 0 8i (5 i)(5+i) =5, ϕ=arctan 3 4 3,87 (da I.Quadr.), 4+3i 5(cos3,87 +i sin3,87 ) b) i 3 = 3+=, ϕ=arctan( )+π = π 3 + π = 5π (da II. Quadrant), i 3=(cos 5π + i sin 5π ), (i 3) 400 ( (cos 5π 8 57 = + i sin 5π )) 400 ( 7 ) 57 = 400 (cos 000π + i sin 000π ) 399 = (cos 4π 3 + i sin 4π 3 )=( 3i)= 3i (da 000π = 000π = 33π+ 4π 3 3 )