Aufgabenkomplex 3: Vektoren und Matrizen

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1 Technische Universität Chemnitz 2. November 29 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex : Vektoren und Matrizen Letzter Abgabetermin: 7. Dezember 29 (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 9/72) Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomplex kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll!. Handelt es sich bei folgenden Mengen um Unterräume des R : x x x x a), x R, b), x R, c), x,y R, d) 2x, x R, y x x x x e) x+2, x R, f) y, x,y,z R, g) 2y, x,y R? x+ z x+4y Geben Sie ggf. die Dimension und eine Basis an! c 7 2. a) Für welche Werte von c ist der Vektor 5 Linearkombination von 5 und, für welche nicht? 4 2 b) In welchen Fällen handelt es sich bei den Mengen 7 c +α +γ 5, α,β,γ R und c 6 +α +γ 5, α,β,γ R um Unterräume des R? Was stellen die Mengen geometrisch dar?. In einer Großbäckerei werden drei Sorten Kuchen mit Äpfeln hergestellt. Dafür werden drei Grundteige verwendet. Für ein Blech Quark-Apfel-Kuchen werden je 6 g der Grundteige A, B und C, 8 g Quark und 4 Äpfel benötigt; für ein Blech Apfel-Quark-Kuchen g Grundteig B, 8 g Grundteig C, 4 g Quark und 7 Äpfel; für ein Blech Apfelkuchen g Grundteig A, je 5 g Grundteig B und C und Äpfel. Die Grundteige werden in der Teigmischmaschine hergestellt. Für einen Backtrog mit 2 kg Teig werden neben anderen Zutaten benötigt beim Grundteig A kg Mehl, 2 kg Zucker und 6 kg Margarine; beim Grundteig B kg Mehl, 25 kg Zucker und 7 kg Margarine und beim Grundteig C 2 kg Mehl, 5 kg Zucker und 4 kg Magarine. a) Geben Sie die Aufwandsmatrizen für den Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine je Backtrog Grundteig, den Bedarf an Grundteig je Blech Kuchen sowie für den Bedarf an Quark und Äpfeln je Blech Kuchen an! b) Stellen Sie dar, wie sich aus diesen Matrizen die Aufwandsmatrix für den Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine je Blech Kuchen errechnet und führen Sie diese Berechnung aus! c) Es sind 2 Bleche Quark-Apfel-Kuchen, 8 Bleche Apfel-Quark-Kuchen und Bleche Apfelkuchen zu backen. Ermitteln Sie unter Verwendung der Matrizen aus a) und b) den hierfür entstehenden Bedarf an den genannten Ausgangsstoffen! b.w.

2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 2. November ( ) 2 ( 4. Sei A =, B =, c =, 2 d =. ) Berechnen Sie folgende Ausdrücke, sofern diese existieren: a) AB d, b) dba T, c) d c T + A T, d) A d + c, e) B c+ d, f) B d + c T, g) c T A d, h) (A d) T A! 5. Was bewirkt die Multiplikation einer dreizeiligen Matrix von links mit a) 2, b), c) bzw. d) ( )?

3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 2. November 29 Aufgabenkomplex : Vektoren und Matrizen Letzter Abgabetermin: 7. Dezember 29. Handelt es sich bei folgenden Mengen um Unterräume des R : x x x x a), x R, b), x R, c), x,y R, d) 2x, x R, y x x x x e) x+2, x R, f) y, x,y,z R, g) 2y, x,y R? x+ z x+4y Geben Sie ggf. die Dimension und eine Basis an! x a), x R = x, x R Es handelt sich um die lineare Hülle des Vektors, also handelt es sich um einen Unterraum. Die Dimension ist, Basis z.b. dieser Vektor. x x 2 x +x 2 x b) + =, x R 2 c) Da die Addition aus der Menge heraus führt, handelt es sich um keinen Unterraum. x, x,y R = x +y, x,y R y Es handelt sich um die lineare Hülle von zwei Vektoren, also handelt es sich um einen Unterraum. Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, ist die Dimension 2. Eine Basis wird z.b. von diesen beiden Vektoren gebildet:,. x d) 2x, x R = x 2, x R x Es handelt sich um die lineare Hülle des Vektors 2, also handelt es sich um einen Unterraum. Die Dimension ist, Basis z.b. dieser Vektor. x x x +x 2 x e) x +2 + x 2 +2 = (x +x 2 )+4 x+2, x R x + x 2 + (x +x 2 )+6 x+ Da die Addition aus der Menge heraus führt, handelt es sich um keinen Unterraum.

4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 2. November 29 4 f) x y, x,y,z R = R z Es handelt sich um den R selbst. Dieser ist defintionsgemäß Unterraum von sich selbst. Die Dimension ist, Basis z.b. die kanonische Basis,,. x g) 2y, x,y R = x +y 2, x,y R x+4y 4 Es handelt sich um die lineare Hülle von zwei Vektoren, also handelt es sich um einen Unterraum. Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, ist die Dimension 2. Eine Basis wird z.b. von diesen beiden Vektoren gebildet:, a) Für welche Werte von c ist der Vektor für welche nicht? c 7 Linearkombination von 5 und, b) In welchen Fällen handelt es sich bei den Mengen 7 c +α +γ 5, α,β,γ R und c 6 +α +γ 5, α,β,γ R um Unterräume des R? Was stellen die Mengen geometrisch dar? a) Damit der Vektor Linearkombination der beiden anderen ist, muss es Parameter λ und µ c 7 c= 7λ µ geben, für die gilt 5 =λ 5 +µ, d.h., es muss gelten 5=5λ + µ = λ +2µ Aus der zweiten Gleichung folgt µ = 5 5λ, durch Einsetzen in die dritte Gleichung erhält man 4=λ λ, d.h. 4= 7λ, λ = 2 und damit µ = 5. Aus der ersten Gleichung folgt schließlich c= 29. Also ist der erste Vektor genau dann Linearkombination der beiden anderen, wenn c = 29 ist. 7 c b) Da die 5 und offensichtlich linear unabhängig sind und der Vektor 5 genau 2 4 dann Linearkombination der beiden Vektoren ist, wenn c= 29 ist, sind die drei Vektoren für c 29 linear unabhängig. Sie spannen damit den R auf, d.h., jeder Vektor des R ist als Linearkombination der drei Vektoren darstellbar. x x Sei y ein beliebiger Vektor des R. Dann sind auch z y z x 4 und y 6 Vektoren z 5

5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 2. November 29 5 aus dem R und damit als Linearkombination der drei Vektoren darstellbar. Folglich gibt es x 7 c Parameter α, β und γ, so dass gilt y = +α +γ 5 bzw. z 2 4 x 4 7 c y = 6 +α +γ 5. z Folglich handelt es sich im Falle c 29 in beiden Fällen um einen Unterraum, nämlich den kompletten Raum R selbst. (Wenn man den von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannten kompletten Raum um einen gewissen Vektor verschiebt, bleibt es der komplette Raum.) c 7 Im Falle c= 29 gilt wegen a) 5 = , so dass es sich bei den beiden 4 2 x 7 zu betrachtenden Mengen um die Mengen der Vektoren y = + α 5 + β z 2 x 4 7 bzw. y = 6 + α 5 + β mit α =α 2 und β =β+5 handelt. z 5 2 Eine Ebene ist genau dann Unterraum des R, wenn sie den Koordinatenursprung enthält. Deshalb wird geprüft, ob der Koordinatenursprung den Ebenen angehört: = 7 α β =7 α+5 α, α =, β = = 5 α + β β = 5 α =+ α + 2 β =, Widerspruch =4+7 α β =4+7 α+8+5 α, α =, β = =6+5 α + β β = 6 5 α =5+ α + 2 β für α = β = erfüllt Also enthält im Falle c= 29 die erste Ebene nicht den Koordinatenursprung, bei ihr handelt 4 7 sich um keinen Unterraum. Die zweite Ebene wird wegen 6 = 5 + durch x y = α 5 + β mit α = α+, β = β + beschrieben. Als lineare Hülle von z 2 zwei Vektoren ist sie ein Unterraum. Es handelt sich um eine Ebene durch den Koordinatenursprung.. In einer Großbäckerei werden drei Sorten Kuchen mit Äpfeln hergestellt. Dafür werden drei Grundteige verwendet. Für ein Blech Quark-Apfel-Kuchen werden je 6 g der Grundteige A, B und C, 8 g Quark und 4 Äpfel benötigt; für ein Blech Apfel-Quark-Kuchen g Grundteig B, 8 g Grundteig C, 4 g Quark und 7 Äpfel; für ein Blech Apfelkuchen g Grundteig A, je 5 g Grundteig B und C und Äpfel. Die Grundteige werden in der Teigmischmaschine hergestellt. Für einen Backtrog mit 2 kg Teig werden neben anderen Zutaten benötigt beim Grundteig A kg Mehl, 2 kg Zucker und 6 kg Margarine; beim Grundteig B kg Mehl, 25 kg Zucker und 7 kg Margarine und beim Grundteig C 2 kg Mehl, 5 kg Zucker und 4 kg Magarine.

6 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 2. November 29 6 a) Geben Sie die Aufwandsmatrizen für den Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine je Backtrog Grundteig, den Bedarf an Grundteig je Blech Kuchen sowie für den Bedarf an Quark und Äpfeln je Blech Kuchen an! b) Stellen Sie dar, wie sich aus diesen Matrizen die Aufwandsmatrix für den Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine je Blech Kuchen errechnet und führen Sie diese Berechnung aus! c) Es sind 2 Bleche Quark-Apfel-Kuchen, 8 Bleche Apfel-Quark-Kuchen und Bleche Apfelkuchen zu backen. Ermitteln Sie unter Verwendung der Matrizen aus a) und b) den hierfür entstehenden Bedarf an den genannten Ausgangsstoffen! a) Bedarf je Blech Quark-Apfel-Kuchen Apfel-Quark-Kuchen Apfelkuchen g Grundteig A 6 g Grundteig B 6 5 g Grundteig C g Quark 8 4 Stück Äpfel 4 7 Bedarf je Backtrog Grundteig A Grundteig B Grundteig C kg Mehl 2 kg Zucker kg Margarine Aufwandsmatrizen: 2 Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine je Backtrog Grundteig: A = Bedarf an Grundteig je Blech Kuchen: A 2 = ( ) 8 4 Bedarf an Quark und Äpfeln je Blech Kuchen: A = 4 7 b) Ist a der Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine in g, t der Bedarf an Grundteig in Backtrögen á 2 kg und b die zu backende Kuchenblechzahl, so gilt a=a t und 2 t=a 2 b. Somit ist a=a t = A 2 A 2 b = 2 A A 2 b, damit ist die Aufwandsmatrix für den Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine je Blech Kuchen in g A 4 = 2 A A 2 = = = c) Der Bedarf an Mehl, Zucker und Margarine in g beträgt a=a 4 b= = Der Bedarf an Quark in g und Äpfeln beträgt A b= ( ) 2 8 = ( )

7 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 2. November 29 7 Somit werden 7,2 kg Mehl, 75 kg Zucker, 59,5 kg Margarine, 28 kg Quark und 24 Äpfel benötigt. 2 ( ) 2 ( ) 4. Sei A =, B =, c =, d =. 2 Berechnen Sie folgende Ausdrücke, sofern diese existieren: a) AB d, b) dba T, c) d c T + A T, d) A d + c, e) B c+ d, f) B d + c T, g) c T A d, h) (A d) T A! 2 a) AB d = ( 2 )( ) = 2 ( ) = b) Produkt von Matrizen vom Typ 2, 2 2 und 2 existiert nicht wegen 2. ( ) ( ) ( ) ( ) c) d c T + A T = (2 ) + = + 6 ( ) 2 = 7 2 d) Ad 2 ( ) c = + = 6 + = 5 2 e) Erster Summand Produkt von Matrizen vom Typ 2 2 und : existiert nicht wegen 2. f) Erster Summand Produkt von Matrizen vom Typ 2 2 und 2, d.h. vom Typ 2, zweiter Summand vom Typ, Summe existiert nicht. g) c T Ad 2 ( ) = (2 ) = (2 ) 6 = 2 2 h) (Ad) 2 ( ) T 2 2 T A = = ( 6 2) = ( 2 7) 5. Was bewirkt die Multiplikation einer dreizeiligen Matrix von links mit a) 2, b), c) bzw. d) ( )? a a 2... a a 2... a) 2 a 2 a = d.h., die 2. Zeile wird mit 2 und 2a 2 2a 22..., die. Zeile mit multipliziert. a a 2... a a 2... a a 2... a a 2... b) a 2 a = a 2 a 22..., d.h.,. und. Zeile werden vertauscht. a a 2... a a

8 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 2. November 29 8 a c) a a a 2 a 2 +a a 2 a = a 2 a a a a 2... a 2..., a a 2... d.h., zur. Zeile wird das Dreifache der 2. Zeile addiert, außerdem wird die letzte Zeile dupliziert, d.h. als 4. Zeile nochmals angefügt. d) ( ) a a 2... a 2 a = ( a a 2 a a 2 a 22 a 2... ), a a 2... d.h., es entsteht eine einzeilige Matrix, deren Elemente durch Subtraktion des 2. und. Elements jeder Spalte von deren. Element entstehen.