Skript für die Oberstufe und das Abitur 2016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Analysis Aufgabensammlung

Transkript

1 Skript für die Oberstufe und das Abitur 016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Analysis Aufgabensammlung Dipl.-Math. Aleander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Aleander Schwarz

2 Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Skriptes für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf die Abiturprüfung 016 von Baden-Württemberg abgestimmt. Dieses Skript enthält über 00 Aufgaben auf Abiturniveau zum Pflicht- und Wahlteil. Es ist in einzelne Kapitel unterteilt, das jeweils einen Themenbereich der Analysis abdeckt. Jedes der Kapitel enthält sowohl Aufgaben zum Pflichtteil als auch zum Wahlteil. Die Pflichtteilaufgaben sind ohne GTR und ohne Formelsammlung zu lösen. Bei den Wahlteilaufgaben darf und soll der GTR so weit es die Aufgabenstellung erlaubt (siehe Kapitel 0) eingesetzt werden. Die Aufgaben zum Wahlteil in den Kapiteln 1-11 sind meist als Auszüge von Aufgabenstellungen zu verstehen, die in einer Wahlteilprüfung vorkommen können. Eine Wahlteilaufgabe umfasst also nicht einen kompletten Wahlteil einer Abiturprüfung. In Kapitel 1 habe ich Wahlteilaufgaben zusammengestellt, die alle Themenbereiche betreffen und sowohl vom Umfang als auch von der Schwierigkeit her auch in der Abiturprüfung erwartet werden können. Da nicht jeder Schüler die gleiche Note in der Abiturprüfung anstrebt, habe ich die jeweiligen Aufgaben gekennzeichnet. Aufgaben mit *) sind schwierigere Aufgaben bzw. keine Standardaufgaben, die von Schülern, die bis zu 6 Notenpunkte erreichen wollen übersprungen werden können. Die Vergabe der Sterne sind eine individuelle Einschätzung von mir. Eure Ergebnisse könnt ihr danach mit den Musterlösungen vergleichen. Der Hinweisteil steht jeweils am Ende eines Kapitels und soll helfen, wenn ihr einen Lösungshinweis zu einer Aufgabe benötigt, ohne gleich die komplette Lösung der Aufgabe durchzulesen. Im Lösungsteil im hinteren Teil des Skriptes sind alle Aufgaben komplett durchgerechnet. Natürlich sind meine Musterlösungen nicht immer der einzige Weg zum Ziel. Solltet ihr also einen anderen Lösungsweg mit demselben Ergebnis haben, kann dieser genauso richtig sein. Weitere Hinweise: Für diejenigen, die neben den Übungsaufgaben eine ausführliche Zusammenfassung des abirelevanten Stoffes benötigen, habe ich zu diesem Aufgabenskript ein zugehöriges Lehrbuch verfasst, in dem zu jedem der Kapitel die Theorie mit vielen Beispiele sowie die Einsatzmöglichkeiten des GTR enthalten sind. Für die Eigentümer des Lehrbuches empfehle ich, zunächst anhand des Lehrbuches den Stoff durchzuarbeiten und anschließend die zugehörigen Übungsaufgaben zu lösen. Die Aufgaben in den einzelnen Kapiteln sind so aufgebaut, dass man diese von vorne nach hinten durcharbeiten kann. Es werden z.b. in Kapitel keine Aufgaben gestellt, deren Stoffgebiet erst in Kapitel 5 erklärt wird. Ich habe in diesem Skript darauf verzichtet, Originalaufgaben alter Abiturprüfungen (Haupttermine) zu stellen. Die Abituraufgaben seit 00 könnt ihr kostenfrei von meiner Homepage inklusive ausführlicher Musterlösungen als pdf-dateien herunterladen. Auch wenn ich mir viel Mühe gebe, Tipp und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, kann ich diese natürlich nicht komplett ausschließen. Solltet ihr Fehler entdecken, bin ich für eine Mitteilung dankbar. Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei der Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Arbeit mit diesem Skript und alles Gute für eure Abiturprüfung! Aleander Schwarz

3 Inhaltsverzeichnis (L = Lösungen) 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten. Ableitungsregeln und Bedeutung von Ableitungsfunktionen. Ausgewählte Elemente einer Funktionsuntersuchung 5. Funktionenscharen 6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung 7. Aufstellen von Funktionsgleichungen 8. Integralrechnung 9. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen 10. Optimierungsaufgaben / Etremwertaufgaben 11. Wachstum 1. Wahlteilaufgaben im Abiturumfang 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen (L). Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten (L). Ableitungen und ihre Bedeutung (L). Ausgewählte Elemente einer Funktionsuntersuchung (L) 5. Funktionenscharen (L) 6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung (L) 7. Aufstellen von Funktionsgleichungen (L) 8. Integralrechnung (L) 9. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen (L) 10. Optimierungsaufgaben / Etremwertaufgaben (L) 11. Wachstum (L) 1. Vermischte Übungsaufgaben für den Wahlteil (L)

4 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung Bei den Wahlteilaufgaben in der Abiturprüfung ist nicht immer klar, wann der GTR zur Lösung der Aufgabe tatsächlich verwendet werden darf und wie die Verwendung zu dokumentieren ist. In der folgenden Übersicht werden die häufigsten Aufgabenformulierungen sowie die hierzu resultierenden Erwartungshaltungen an die Darstellung der Lösung beschrieben. Diese Übersicht ist ohne Gewähr und sollte auch immer mit dem Fachlehrer abgestimmt werden. Aufgabenstellung Berechnen Sie eakt Bestimmen Sie von Hand Interpretieren Sie das Ergebnis Interpretieren Sie die Zeichnung Hinweis Man kann den GTR für die Lösung von Teilschritten von Aufgaben nutzen (z.b. zur Lösung von Gleichungen), muss aber die wesentlichen Rechenschritte hinschreiben. Beispielsweise sollten bei der Berechnung von Etrempunkten die Ableitungen hingeschrieben und die jeweiligen Bedingungen notiert werden. Bei der Berechnung eines Integrals muss die Stammfunktion dann berechnet werden, wenn dies in der Aufgabenstellung verlangt wird. Die (gerundeten) Ergebnisse des GTR dürfen nicht benutzt werden. Alle wesentlichen Rechenschritte müssen hingeschrieben werden und die Ergebnisse ohne Rundung (ggf. abhängig von einem Wurzelausdruck oder π ) dargestellt werden. Der GTR kann lediglich zur Ergebniskontrolle genutzt werden. Die Ergebnisse können sowohl mit GTR als auch ohne GTR direkt ermittelt werden. Falls der GTR genutzt wird, sollte dies bei der Beantwortung hingeschrieben werden. Wenn die Berechnung komplett mit dem GTR erfolgt, kann ein Leichtsinnsfehler (z.b. falsches Abschreiben des GTR-Ergebnisses) dazu führen, dass keine Punkte dafür vergeben werden. Deshalb ist es ratsam zur Reduzierung dieses Risikos zumindest Zwischenergebnisse hinzuschreiben. Alle Rechenschritte müssen aufgeschrieben werden, der GTR darf nur zur Berechnung von Rechenausdrücken herangezogen werden. Der GTR kann lediglich zur Ergebniskontrolle genutzt werden. Aus dem Ergebnis sollen Schlussfolgerungen gezogen werden. Die Eigenschaften einer Funktion soll anhand einer Zeichnung mit eigenen Worten beschrieben werden.

5 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung Begründen Sie den Ansatz. Beweisen Sie / Zeigen Sie Visualisieren Sie mit einer Zeichnung Zeichnen Sie... Visualisieren Sie mit einer Skizze Skizzieren Sie... Es soll begründet werden, weshalb genau der Ansatz gewählt wurde. Die mathematische Behauptung soll auf Basis der gegebenen Voraussetzungen lückenlos bewiesen werden. Ein Beweis mittels Anschaulichkeit (z.b. anhand eines Schaubildes) reicht nicht aus. Der Beweis muss allgemeingültig sein; es reicht nicht aus, an einem konkreten Beispiel nachzuweisen, dass die Behauptung stimmt. Es wird eine saubere, eakte Zeichnung verlangt, an der sich die erforderlichen Sachverhalte ablesen lassen. Es wird eine saubere Skizze erwartet, bei welcher der Schwerpunkt nicht auf der Detailtreue liegt, aber die wesentlichen Besonderheiten der Funktion (z.b. Asymptoten, Etrempunkte, ) ablesbar sind. 5

6 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen 1.1 Polynomgleichungen Aufgabe 1-1: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) ( ) ( 9) = 0 b) ( ) ( ) d) g) 8 = 0 e) = 0 h) + 1 = 0 c) + = 0 f) 6 = 0 i) = 0 + = = 0 Aufgabe 1-: a) Bestimme eine Polynomgleichung.Grades, die die Lösungsmenge L = {; ; -1} besitzt. b) Bestimme eine Polynomgleichung.Grades, die die Lösungsmenge L = {-; } besitzt. c) Bestimme eine Polynomgleichung.Grades, die die Lösungsmenge L = { } besitzt. d) Bestimme eine Polynomgleichung.Grades, die keine Lösung besitzt. 1. Lineare und quadratische Ungleichungen Aufgabe 1-*: a) Für welche Werte von ist ( ) negativ? b) Für welche Werte von ist ( ) ( + ) positiv? 1. Bruchgleichungen Aufgabe 1-: Bestimme jeweils die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) + = 6 b) 5 1 = c) = 1 d) 1 = ( )( ) 6 e) = + f) = 6 6 ( 6) 1. Eponentialgleichungen Aufgabe 1-5: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) d) = b) ( ) ( ) ( 5) e 0 e = e + e) 8 e 6 = 0 c) e e = 0 f) e e = 0 e + e = 7 g) Aufgabe 1-6: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) e) e 6e + 5 = 0 b) 0,5 e + e = 0 f) e + = 7e c) e 5e + 6 = 0 d) e 10e + 5e = 0 g) 6 e = 0 e + 1 e + = e e e + e = 0 6

7 1.5 Logarithmengleichungen 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen Aufgabe 1-7*: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) (1 ln ) = 1 b) ln( ) = 0 c) 1.6 Trigonometrische Gleichungen ( 1) ln( ) = 0 d) ( ln ) ln() = 0 Aufgabe 1-8 : Bestimme für das angegebene Intervall jeweils die Lösungsmenge: a) sin() = 1 für [0; π ] b) sin( ) = 0 für [0; π ] c) cos( ) = 1 für [0;π ] d) e cos() + e = 0 für [0;π ] e) cos() (sin() 1) = 0 für [0;π ] f) ( ) cos() = 0 für [ π;0] g) cos () + cos() = 0 für [0; π ] h) sin () + 5sin() + = 0 für [ π ;π ] i) cos () + cos() = 0 für [0;π ] j) sin () + sin() = 0 für Aufgaben zum Wahlteil Aufgabe 1-9*: Bestimme die eakten Lösungen der folgenden Gleichung. a) 1 cos() = für [ π ;π ] b) 1 sin( ) = für c) 1 cos( π ) = für Lösungshinweise Kapitel 1: Aufgabe 1-1: a) und b): Satz vom Nullprodukt c) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt d) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt e) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt f) und g) Substitution u = h) Substitution u = i) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt Aufgabe 1-: Die Gleichung ( ) ( + ) = 0 besitzt die Lösungen = und = -. Das ganze muss in der Aufgabe nun rückwärts angewandt werden. Aufgabe 1-: Es ist a b > 0 wenn a > 0 und b > 0 ist oder wenn a < 0 und b < 0 ist. Es ist a b < 0 wenn a > 0 und b < 0 ist oder wenn a < 0 und b > 0 ist. Aufgabe 1-: Zunächst muss der Hauptnenner bestimmt werden und die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert werden. Die entstehende bruchfreie Gleichung muss mit der Mitternachtsformel bzw. durch Ausklammern oder Substitution gelöst werden. Aus der Definitionsmenge müssen alle Zahlen ausgeschlossen werden, bei denen einer der Nenner Null wird. a) Hauptnenner ist ². b) Hauptnenner ist c) Hauptnenner ist d) Hauptnenner ist ² + e) Hauptnenner ist ( 6) f) Hauptnenner ist Aufgabe 1-5: a) und b) Satz vom Nullprodukt c) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt d) e-funktionen und Zahlen jeweils auf eine Seite dividieren e) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt 7

8 f) e ausklammern und durch die Klammer (in der kein mehr steht) dividieren g) Gleichung mit e durchmultiplizieren (da e im Nenner steht) Aufgabe 1-6: a) Substitution u = e 1 b) Schreibe Gleichung um mit Hilfe von e =. Anschließend Gleichung mit e Substitution u = e c) Substitution u = e d) Gleichung mit 0,5 e) Substitution u = e f) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt 1 1 g) e + = e e (Potenzgesetz) und dann Substitution u = e e multiplizieren und e durchmultiplizieren und Substitution u = e Aufgabe 1-7: ln() Zum Auflösen von Logarithmengleichungen benötigt man die Formel e =. Außerdem muss man am Schluss eine Probe machen, ob die erhaltene Lösung auf tatsächlich eine Lösung ist. ln() a) Gleichung nach ln() auflösen und dann e = ausnutzen ln() b) e = ausnutzen c) Satz vom Nullprodukt d) Substitution u = ln() ; anschließend quadratische Gleichung lösen und rücksubstituieren. Aufgabe 1-8: Zur Lösung der Gleichungen muss man die Schaubilder der Kosinus- und Sinusfunktion auswendig aufzeichnen können! a) Substitution u = und löse sin(u) = 1 b) Substitution u = und löse sin(u) = 0 c) Substitution u = und löse cos(u) = -1 d) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt e) und f) Satz vom Nullprodukt g) cos() ausklammern und Satz vom Nullprodukt h) Substitution u = sin() ; anschließend quadratische Gleichung lösen und rücksubstituieren i) Substitution u = cos(); anschließend quadratische Gleichung lösen und rücksubstituieren j) sin() ausklammern und Satz vom Nullprodukt ; Lösungen abhängig vom Parameter angeben! Aufgabe 1-9: Da man die eakten Lösungen nicht mehr aus dem Schaubild der Sinus-/Kosinusfunktion ablesen kann, verwendet man für die erste eakte Lösung 1 den GTR; da das Ergebnis ein Vielfaches von π ist, dividiert man das GTR-Ergebnis einfach durch π. Weitere Lösungen erhält man bei Sinusgleichungen mit = π 1 und bei Kosinusgleichungen mit = π 1 Bei c) muss man zunächst u = π substituieren. (...) 8

9 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen (L) 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen (L) Aufgabe 1-1: a) ( ) ( ) 9 = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): b) ( ) ( ) c) d) = 0 = ± Gleichung II) 9 = 0 = ; L = {-,, } + 1 = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): Gleichung II): = 0 = 1 ist nicht lösbar 1± ± = 0 1, = = = und = -1; L = {-1; } auskl. = Gleichung I) ( ) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt = 0 = 0 Gleichung II) auskl. + ; : = 0 = 1,5 ; L = {0 ; 1,5} 8 = 0 ( 8) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): = 0 Gleichung II): ± + ± 6 8 = 0 1,= = = und = ; L = {0; ; -} auskl. e) ( ) + = 0 + = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): = 0 = 0 ± 9 8 ± 1 Gleichung II): + = 0 1, = = = oder = 1 Lösungsmenge L = {0 ; 1 ; } f) g) + = 0 Substitution u = ± 9 8 ± 1 u u + = 0 u1, = = u = und u = 1 Rücksubstitution: = = ± = 1 = ± 1 ; L = { ; 1;1; } = 0 Substitution u = 6 ± 6 6 ± u 6u + 8 = 0 u1, = = u = und u = Rücksubstitution: = = ± = = ± ; L = { ; ; ; } h) i) 6 = 0 Substitution: u = 1± ± 7 u u = 0 u1, = = u = 1 und u = 8 8 Rücksubstitution: 5 + = 0 = 1 = 1 auskl. = = ; L = {1, } ( + ² 1) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt: Gleichung I): 1 = 0 Gleichung II): + ² 1 = 0 Substitution: ± ± 5 u + u 1= 0 u1, = = Rücksubstitution: = = ± 1 u = und u = 1 = 1 ist nicht lösbar ; L = {0; u = 1 1 ; } 9

10 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen (L) Aufgabe 1-: Die dargestellten Gleichungen stellen Beispiele dar, es gibt hier auch andere Lösungen. a) ( ) ( ) ( + 1) = 0 b) ( + ) ( ) = 0 oder ( + ) ( ) = 0 c) d) ( ) 0 = oder ( ) + 1= 0 ( ) + 1 = 0 (der Term + 1 kann nicht Null werden) Aufgabe 1-: a) Zu lösen ist die Ungleichung ( ) < 0 1.Fall: < 0 und > 0: dies ist der Fall für < 0 und > was nicht gleichzeitig erfüllbar ist.fall: > 0 und < 0: dies ist der Fall für > 0 und <, also für 0 < <. Die Ungleichung ist erfüllt für alle Werte von mit 0 < <. b) Zu lösen ist die Ungleichung ( ) ( + ) > 0 1.Fall: - > 0 und + > 0: dies ist der Fall für > und > -, also für >.Fall: - < 0 und + < 0: dies ist der Fall für < und < -, also für < -. Die Ungleichung ist erfüllt für alle Werte von mit > oder < -. Aufgabe 1-: a) + = Hauptnenner: ; Definitionsmenge: D = \ {0} = = 0 1 ± ± 8 1, = = = und = 10 ; Lösungsmenge L = {- ; -10 } b) 6 5 = Hauptnenner: ; Definitionsmenge: D = \ {0} 6 5 = Gleichung I): Gleichung II): = 0 ( 5 + ) = 0 = 0 = 0 1, 5 + = 0 Substitution: u = 5 ± ± u 5u + = 0 u1, = = u = und u = 1 Rücksubstitution: = = ± = 1 = ± 1; L = {-1; 1; -; } c) 1 = 1 Hauptnenner: ; Definitionsmenge: D = \ {0} = + = 0 Substitution u = u + u = 0 1± ± u1, = = u = 1 und u = - Rücksubstitution: = 1 = ± 1 = ist nicht lösbar ; Lösungsmenge L = {-1; 1} d) 1 = 0 Hauptnenner: + ; Definitionsmenge: D = (Der Nenner wird nie Null) + ± 9 8 ± 1 + = 0 1, = = = 1 und = ; L = {1 ; }. 10

11 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen (L) e) = + 6 Hauptnenner: ( 6) ; D = \ {0; 1,5} 6 ( 6) f) ( ) = ( 6) + 6 = = 0 10 ± ± 1, = = = 1 und = 1,5 8 8 Da = 1,5 aus der Definitionsmenge ausgeschlossen wurde, gilt L = {1}. ( )( ) 6 = 6 Hauptnenner: ; D = \ {0} ( ) ( ) = ± ± 11 1, = = = = 0 = 9 und = - L = {- ; 9} 11