Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2019 und 2020 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien. Teilgebiet Analysis

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1 Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 019 und 00 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Buches, weder das gesamte Buch noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz

2 i Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich bei euch für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Buches für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Das Buch enthält den kompletten Stoff der Analysis, der für die Abiturprüfungen 019 und 00 von Baden-Württemberg für allgemein bildende Gymnasien relevant ist. Da die Analysis auch Themen umfasst, die bereits in den Klassen 8 bis 10 behandelt werden (z.b. Geraden und Parabeln), wird auch dieser Stoff in dem Buch vorgestellt. Ich habe mir zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf fachchinesisch zu verzichten (gemäß Albert Einstein: Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher ). In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich beschrieben. Die Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu erläutern. Wichtige Formeln oder Rechenverfahren sind in dem Buch mit einem fetten Rahmen dargestellt. Außerdem solltet ihr euch im Vorfeld der Abschlussprüfung bzw. einer Klausur mit der "Merkhilfe" (kurze Formelsammlung) vertraut machen, die ihr im Wahlteil verwenden dürft. Die Merkhilfe findet ihr auf Seite iii in diesem Buch. VORSICHT FALLE: Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird, sondern auch, welche Fehler auftreten können. Ich habe daher typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen. Um zu prüfen, ob ihr den Stoff auch verstanden habt, finden sich über alle Kapitel in dem Buch über 190 Übungsaufgaben. Speziell zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung habe ich zusätzlich eine Aufgabensammlung im Abiturstil im Angebot (durch die neue Prüfungsordnung ab 019 könnt ihr die Abitur-Prüfungsaufgaben bis 018 insbesondere im Wahlteil leider nicht zur Prüfungsvorbereitung nutzen). Die Musterlösungen aller Übungsaufgaben aus dem Buch werden als pdf-dateien über einen geschlossenen Download-Bereich auf meiner Homepage zur Verfügung gestellt. Ihr habt als Besteller des Buches die Zugangsdaten zu diesem Bereich von mir per Mail erhalten. Hinweis zu den Übungsaufgaben: Alle Aufgaben, bei denen ihr einen Taschenrechner und die Merkhilfe verwenden dürft, habe ich durch die Kennung (WTR, MH) ergänzt. Die restlichen Aufgaben sollten ohne Hilfsmittel gelöst werden. Anregungen und konstruktive Kritik zu diesem Buch werden von mir gerne entgegengenommen und bei der nächsten Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Buches und alles Gute für eure Abiturprüfung! Alexander Schwarz

3 ii

4 iii

5 Merkhilfe für Analysis (Stand 017) iv

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11 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge 1 1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge Beim Thema "Analysis" stehen Funktionen im Mittelpunkt. Bereits in der Mittelstufe habt ihr euch beim Thema Geraden und Parabeln bereits mit Funktionen beschäftigt. Aber keine Sorge: Ihr braucht nun nicht in alten Unterrichtsaufschrieben stöbern. Geraden und Parabeln werden wir in den Kapiteln und ausführlich wiederholen. Außerdem werdet ihr in diesem Buch noch andere Funktionen kennen lernen: Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) Exponentialfunktionen (e-funktionen) Trigonometrische Funktionen (Sinus- und Kosinusfunktionen) Gebrochenrationale Funktionen (Funktionen mit x im Nenner) Zunächst schauen wir uns aber mal an, was man unter einer "Funktion" überhaupt versteht. Eine Funktion können wir uns wie eine Maschine vorstellen, in die wir eine Zahl als x-wert oben reinstecken und die Maschine daraus genau eine Zahl als y-wert produziert (nicht mehrere!). Die Zahlenmenge der x-werte, die wir in die Maschine reinstecken wollen, nennen wir die Definitionsmenge der Funktion. Die Zahlenmenge der y-werte, die wir als "Ergebnisse der Maschine" erhalten, wenn wir alle möglichen x-werte der Definitionsmenge reinstecken, nennen wir die Wertemenge der Funktion. Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer Definitionsmenge D genau eine Zahl y = f(x) aus der Wertemenge W zuordnet. Die Mathematik hat eine spezielle Fachsprache, daher ist es wichtig, dass ihr euch bestimmte Begriffe merkt und diese auch insbesondere bei Prüfungen richtig benutzt. Einige Bezeichnungen, die im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind:

12 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge x f(x) D K, K f Variable der Funktion; der x-wert wird häufig auch Stelle genannt, etwas seltener wird auch der Begriff "Argument" oder "Abszisse" benutzt Funktionswert von x (Funktionswert an der Stelle x); in der Mittelstufe habt ihr anstatt f(x) den Buchstaben "y" geschrieben; in der Oberstufe solltet ihr aber die Schreibweise "f(x)" benutzen; lediglich bei Geradengleichungen (siehe Kapitel ) schreibt man auch in der Oberstufe häufig "y" anstatt f(x). Definitionsmenge = Menge aller x-werte, die in f eingesetzt werden dürfen Schaubild von f, enthält alle Punkte P(x/y), deren Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen Um Zahlenmengen anzugeben (zum Beispiel zur Angabe der Definitionsmenge oder Wertemenge) werden entweder Intervallschreibweisen oder spezielle Großbuchstaben verwendet. Um zu unterscheiden, ob die Randzahl eines Intervalls noch zur Zahlenmenge dazugehört oder nicht, werden in der Mathematik zwei Sorten von eckigen Klammern verwendet. Zeigt eine eckige Klammer nach außen, gehört die Randzahl nicht mehr zum Intervall dazu; zeigt die eckige Klammer nach innen, gehört die Randzahl zum Intervall zu. Was immer gilt: Die "Zahl" (unendlich) wird stets aus dem Intervall ausgeschlossen. [1;4] : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich der Zahlen 1 und 4 [1;4[ : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 1 aber ohne 4 ]1;4] : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 4 aber ohne 1 ]1;4[ : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 ohne 1 und ohne 4 ] ;]: x alle Zahlen, die kleiner oder gleich sind ]; [ : x > alle Zahlen, die größer als sind Außerdem gibt es noch Abkürzungen für bestimmte Zahlenmengen R : Menge aller reellen Zahlen (alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl) R \ {1} : Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme der Zahl 1 Z : Menge aller ganzen Zahlen, also Z = {...-, -, -1, 0, 1,,,...} N : Menge aller natürlichen Zahlen, also N = {0,1,,,...} Damit ihr zu einer Funktion das zugehörige Schaubild zeichnen könnt, benötigt ihr ein Koordinatensystem mit einer x-achse (waagrecht) und einer y-achse (senkrecht). Die einzelnen Punkte im Koordinatensystem werden durch zwei Koordinaten angegeben. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung O(0/0). Beispiel 1.1: a) P(/) ist der Punkt mit dem x-wert und dem y-wert (also vom Ursprung aus zwei nach rechts und nach oben). b) Ein Punkt Q(x/0) liegt immer auf der x-achse, da der y-wert Null ist. c) Ein Punkt R(0/y) liegt immer auf der y-achse, da der x-wert Null ist.

13 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge Quadranten/Felder im Koordinatensystem Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in 4 Felder auf, die gemäß der Abbildung durchnummeriert sind: Eine Funktion kann man in unterschiedlicher Form darstellen: als Funktionsterm: f(x) x x als Wertetabelle: x y Die x-werte sind in der Wertetabelle beliebig vorgegeben. Die y-werte erhält man durch Einsetzen der x-werte in die Funktionsgleichung. Beispiel für x = -1: f( 1) ( 1) ( 1) 1 1 Beispiel für x = 1: f(1) Der in der Prüfung zugelassene Taschenrechner kann nach Eingabe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle anzeigen. Wie dies bei dem jeweiligen Taschenrechnermodell funktioniert, sollte aus dem Unterricht bekannt sein (oder in der Bedienungsanleitung nachgelesen werden). als Schaubild Bedeutung der Kurzschreibweise f(-1) = 1.) Für den x-wert x = -1 erhält man durch Einsetzen in f(x) den Funktionswert..) Der Punkt A(-1/) liegt auf dem Schaubild von f; A( 1/) Kf.) Die Funktion f nimmt an der Stelle x = -1 den y-wert an.

14 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge 4 Kommen wir nochmals auf die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge zurück, die weiter oben bereits schon erwähnt wurden. Die Definitionsmenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die man für die Variable x einsetzen darf. Beispiel 1.: a) Wir betrachten die Funktion f(x) 5x 0 Wir dürfen in die Funktion alle reellen Zahlen für die Variable x einsetzen, z.b. f(0) oder f( 0,5) 5 ( 0,5) 0 18,75 oder f() Die Funktion f(x) besitzt die Definitionsmenge D = R. Natürlich könnten wir diese Definitionsmenge auch "künstlich" einschränken. Betrachten wir hierzu folgenden Anwendungsfall: Wir werfen einen Stein von einem 0m hohen Turm herunter. Die Variable x sei die Fallzeit (in Sekunden) bis zum Boden und f(x) sei die Höhe des Steines nach x Sekunden. Der Zusammenhang zwischen x und f(x) wird durch die gestrichelte Parabel dargestellt. Die Definitionsmenge wäre hier also D = [0;], da es nicht sinnvoll ist, für die Zeit x negative Zahlen einzusetzen oder Zahlen größer einzusetzen, da der Stein nach Sekunden bereits auf dem Boden angekommen ist. b) Wir betrachten die Funktion g(x) x. Wir dürfen in die Funktion g(x) keine negativen Zahlen für die Variable x einsetzen, da z.b. g( 1) 1 nicht berechenbar ist. Die Funktion g(x) besitzt die Definitionsmenge D [0; [. Die Wertemenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die als Funktionswerte (y-werte) angenommen werden können. Um die Wertemenge einer konkreten Funktion zu bestimmen, benötigt man das Schaubild der Funktion.

15 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge 5 Linkes Schaubild: Die Parabel f(x) x 1 besitzt als tiefsten Punkt den Scheitelpunkt S(0/1). Die y-werte aller Parabelpunkte sind größer oder gleich 1. Wertemenge W [1; [ Mittleres Schaubild: Die Gerade g(x) x ist unendlich lang (das heißt Definitionsmenge D = R) und kann alle y-werte annehmen. Wertemenge W = R Rechtes Schaubild: Die Gerade g(x) x beginnt bei x = -1 und endet bei x = (das heißt Definitionsmenge D = [-1;]. Der kleinste y-wert ist 1 und der größte y-wert ist 4. Wertemenge W = [1;4]. Am mittleren und rechten Schaubild erkennen wir, dass die Wertemenge einer Funktion davon abhängig ist, welche Definitionsmenge für die Funktion gewählt wird. Beispiel 1.: unendlich lange Gerade Parabel begrenzt von x = 0 bis x = 4 D = R und W = R D = [0 ; 4] und W = [1 ; 5] Nicht jede Kurve in einem Koordinatensystem stellt das Schaubild einer Funktion dar. Eine Funktion liegt nur vor, wenn jedem x-wert genau ein y-wert zugeordnet werden kann. Falls bei einer Kurve mehrere Punkte "übereinander liegen", liegt keine Funktion vor. Ihr könnt dies so kontrollieren: Eine Kurve ist nur dann das Schaubild einer Funktion, wenn jede senkrechte Gerade maximal einmal die Kurve schneidet. Beispiel 1.4: Das folgende Schaubild stellt keine Funktion dar. Bei der liegenden Parabel ) werden dem x-wert x = 4 die beiden y-werte y = und y = - zugeordnet.

16 Eine Funktion kann natürlich nicht nur abstrakt, sondern auch in konkreten Anwendungen vorkommen. Das heißt, dass sowohl der x-wert als auch der Funktionswert f(x) eine Bedeutung erhalten. Einige Beispiele: 6 Größe, die die Variable x beschreibt Zeit in Stunden Höhe in Meter über Meereshöhe Geschwindigkeit in m/s Zeit in Jahren Größe, die die Funktion f(x) beschreibt Temperatur an einem bestimmten Ort in C zum Zeitpunkt x Luftdruck in Hektopascal x Meter über Meereshöhe Bremsweg in m bei einer Geschwindigkeit von x m/s Anzahl Bevölkerung eines bestimmten Landes Übungsaufgaben Aufgabe 1-1: Formuliere mithilfe der mathematischen Kurzschreibweise: a) An der Stelle 4 hat die Funktion f den Funktionswert 6. b) Durch die Funktion f wird dem x-wert die Zahl -4 zugeordnet. c) Der Punkt P(1/) liegt auf dem Schaubild von f. d) K f schneidet die x-achse in x =. Aufgabe 1-: Begründe, weshalb die Wertetabelle nicht zu einer Funktion gehören kann. x y Aufgabe 1-: Prüfe, welche der Abbildungen das Schaubild einer Funktion f(x) darstellen. Gib von der Abbildung, die eine Funktion darstellt, die Wertemenge an. Aufgabe 1-4: Gib den Funktionswert für x = für die folgenden Funktionen an. Bestimme außerdem die maximale Definitionsmenge der Funktionen. a) f(x) x 1 b) g(x) x 1 c) 1 h(x) 1 x

17 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 7 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) Bei Aufgaben rund um lineare Funktionen benötigt ihr als wichtiges Werkzeug Methoden zum Lösen von Gleichungen. Wir werden uns daher zunächst in Kapitel.1 mit dem Lösen von linearen Gleichungen (und Ungleichungen) beschäftigen, bevor wir uns dann im Kapitel. um die linearen Funktionen selbst kümmern..1 Lösen von linearen Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungen Das Lösen von linearen Gleichungen habt ihr bereits in der Mittelstufe gelernt. Daher sollte euch die folgende Lösungsmethode bekannt vorkommen: Zunächst lösen wir alle Klammern auf, die in der Gleichung auftreten. Danach sortieren wir mit +/- Rechnungen alle Ausdrücke mit der Variablen x auf die linke Seite der Gleichung und alle Zahlen ohne x auf die rechte Seite der Gleichung. Zum Schluss dividieren wir die Gleichung durch die Zahl, die an x anmultipliziert ist. Beispiel.1: a) (x ) x 6 Klammer aufl. 6; x x 6 x 6 x 1 : x 6 b) (x 1) (x ) (x 4) (x 7) x x x x 4x 7x 8 x ; ; 11x 10x 0 x In einer Gleichung kann neben der Variable x noch zusätzlich ein Parameter enthalten sein. Ein Parameter ist ein Buchstabe, der für eine feste, nicht vorgegebene Zahl steht. Beispiel.: a) a : x a 5 x 5 a x,5 0,5a Egal, welche Zahl für a eingesetzt wird, es existiert immer genau eine Lösung für x. b) ax x Um diese Gleichung zu Lösen bringt man die Terme mit x auf die linke Seite. Danach muss man die Variable x ausklammern, damit man nach x auflösen kann. ax x x (a 1) x wobei a 1 sein muss a 1 Für a = 1 würde man durch Null dividieren, was nicht erlaubt ist. Ist a 1, so existiert immer genau eine Lösung für x. Für a = 1 lautet die ursprüngliche Gleichung: x x 0 dies ist ein Widerspruch Für a = 1 besitzt die Gleichung keine Lösung. x

18 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 8 Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungen werden genau wie lineare Gleichungen direkt nach x aufgelöst. Es gibt aber eine Regel, die wir dabei beachten müssen: Multipliziert oder dividiert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um! Beispiel.: Löse die Ungleichung (x ) 5x 7 Klammer aufl. +1; -5x x 1 5x 7 8x 8 :(-8) x > -1 Im letzten Schritt dreht sich das Ungleichheitszeichen wegen der Division durch -8 um. Übungsaufgaben Aufgabe -1: Löse die folgenden Gleichungen: a) 0x (5x 7) ( x) b) 5x (8 9x) 1 Aufgabe -: Bestimme die Anzahl der Lösungen der folgenden Gleichung in Abhängigkeit von a. a) x ax b) a x 4 c) a x x 5 Aufgabe -: Löse die folgenden Ungleichungen: a) x 0 b) (x 1) 0 c) x x 1. Geraden zeichnen Eine Funktion, deren Schaubild eine Gerade darstellt, bezeichnen wir als lineare Funktion. Die Funktionsgleichung f(x) x stellt zum Beispiel eine Gerade in einem Koordinatensystem dar und ist daher eine lineare Funktion. Hinweis: Bei linearen Funktionen verzichtet man häufig auf die Schreibweise f(x) =... sondern schreibt stattdessen y =... Die obige Funktion (Geradengleichung) wird daher meist als y = x- dargestellt, ist aber genau dasselbe wie f(x) = x-. In diesem Buch werde ich bei den Übungsaufgaben beide Schreibweisen verwenden, damit man sich daran gewöhnt. Um mit Geradengleichungen arbeiten zu können, müssen wir wissen, welche Bedeutung die Zahlen besitzen, die in einer Geradengleichung vorkommen. Jede lineare Funktion (Geradengleichung) besitzt die Bauart f(x) m x c c = Schnitthöhe der Gerade auf der y-achse = y-achsenabschnitt m = Steigung der Gerade

19 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 9 Beispiel.4: a) Die Gerade y x 4 besitzt die Steigung m = - und den y-achsenabschnitt c = 4. b) Die Gerade y 5 0,5x besitzt die Steigung m = -0,5 und den y-achsenabschnitt c = 5. (Vorsicht: Hier sind die beiden Terme in der Reihenfolge vertauscht) c) Die Gerade y x besitzt die Steigung m = 1 und den y-achsenabschnitt c = 0. (wegen y x 1 x 0) d) Die Gerade y 6 besitzt die Steigung m = 0 und den y-achsenabschnitt c = 6. (wegen y 6 0 x 6) Ist eine Gerade in ein Koordinatensystem bereits eingezeichnet, können wir die Steigung dieser Gerade anschaulich anhand des Steigungsdreiecks bestimmen. Hierzu wählen wir zwei beliebige Punkte auf der Geraden und verbinden sie gemäß der folgenden Abbildung durch eine waagrechte und senkrechte Strecke. senkrechte Strecke Steigung der Gerade = waagrechte Strecke Läuft die Gerade "aufwärts" wie die Gerade h, ist die Steigung positiv: m 4 Läuft die Gerade "abwärts" wie die Gerade g, 1 ist die Steigung negativ: m 1 1 Verläuft eine Gerade waagrecht (parallel zur x-achse), so besitzt diese die Steigung m = 0. Der y-achsenabschnitt der Gerade g ist c = -1, da die Gerade g die y-achse im Punkt P(0/-1) schneidet. Gleichung von g: y x 1 Der y-achsenabschnitt der Gerade h ist c = 1, da die Gerade h die y-achse im Punkt R(0/1) schneidet. Gleichung von h: y x 1 4 Steigungen werden im Straßenverkehr häufig auch in % angegeben. Eine Steigung von 10% bedeutet, dass eine Straße auf 100m horizontaler Strecke um m ansteigt. Die Steigung beträgt m 0, Eine Steigung von % bedeutet, dass eine Straße auf 100m horizontaler Strecke um m ansteigt. Die Steigung beträgt m 0,. 100 Man muss also einfach die Prozentzahl durch 100 dividieren, um die Geradensteigung zu erhalten.

20 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 10 Zeichnen einer Geraden anhand einer gegebenen Geradengleichung y mx c 1.Schritt: Markiere im Koordinatensystem den Punkt (0/c) auf der y-achse..schritt: Falls die Steigung m keine Bruchzahl ist, schreibe sie als Bruchzahl um.,5 5 (z.b. aus m = wird m oder aus m =,5 wird m ) 1 1.Schritt Gehe vom Punkt (0/c) auf der y-achse mit dem Nenner der Steigungszahl nach rechts und mit dem Zähler nach oben (bei positiver Steigung) oder nach unten (bei negativer Steigung) und markiere den Zielpunkt. 4.Schritt: Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden Beispiel.5: Zeichne die Geraden g: y x 1 und h: 1 y x in ein Koordinatensystem ein. Gerade g: Es ist c = -1, also ist Schnittpunkt mit der y-achse B(0/-1) Da m ist, vom Punkt B aus ein Steigungsdreieck einzeichnen ( nach rechts und nach unten) und den Endpunkt D markieren. Anschließend B und D verbinden. Gerade h: Es ist c = 0,5, also ist Schnittpunkt mit der y-achse A(0/0,5) Da m ist, vom Punkt A aus ein Steigungsdreieck einzeichnen (1 nach rechts und 1 nach oben) und den Endpunkt C markieren. Anschließend A und C verbinden. Übungsaufgaben Aufgabe -4: Zeichne die Geraden g und h in ein Koordinatensystem ein: a) g: y x ; h: y (x 1) b) g: y x ; h: y x 5 c) g: Steigung der Geraden ist 0%, der y-achsenabschnitt ist c = - h: Steigung der Geraden ist 100%, der y-achsenabschnitt ist c = 0