Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Analysis

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1 Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 18 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Buches, weder das gesamte Buch noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz

2 i Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich bei euch für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Buches für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf die Abiturprüfungen 18 von Baden-Württemberg abgestimmt. Dieses Buch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung als auch auf die Klausuren in der Oberstufe. Ich habe mir zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf fachchinesisch zu verzichten (gemäß Albert Einstein: Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher ). In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich beschrieben. Die vielen Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu erläutern. Wichtige Formeln, die ihr häufig in der Prüfung benötigt oder Rechenverfahren, die ihr auswendig lernen solltet sind in dem Buch grau hinterlegt. Außerdem solltet ihr euch im Vorfeld der Abiturprüfung bzw. einer Klausur mit der "Merkhilfe" (kurze Formelsammlung) vertraut machen, die ihr im Wahlteil verwenden dürft. Die Merkhilfe für den Analysisteil findet ihr ab Seite iv in diesem Buch. VORSICHT FALLE: Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird, sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf. Ich habe daher in dem Buch auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Sie sind durch das entsprechende Symbol am Rand gekennzeichnet. Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen. Um zu prüfen, ob ihr den Stoff auch verstanden habt, sind in diesem Buch fast 15 Übungsaufgaben enthalten. Übungsaufgaben, die mit GTR, MH bezeichnet sind, sollen mit der Merkhilfe und dem GTR gelöst werden. Alle anderen Aufgaben sollen ohne Hilfsmittel gelöst werden. Die Musterlösungen aller Übungsaufgaben aus dem Buch werden als pdf-dateien über einen geschlossenen Download-Bereich auf meiner Homepage zur Verfügung gestellt. Ihr habt als Besteller des Buches die Zugangsdaten zu diesem Bereich von mir per Mail erhalten. Ich habe darauf verzichtet, in dem Buch die Originalaufgaben alter Abiturprüfungen abzudrucken. Alle Abituraufgaben könnt ihr kostenfrei von meiner Homepage inklusive ausführlicher Musterlösungen als pdf-dateien herunterladen. Hinweis zum GTR: Damit ihr wisst, wie bestimmte Aufgaben mit dem GTR gelöst werden, findet ihr in dem geschlossenen Download-Bereich neben den Musterlösungen auch zwei GTR-Bedienungsanleitungen als pdf-datei für den GTR von Texas Instruments (TI - 84 Plus) sowie für den GTR von Casio (fx 986 GII). Anregungen und konstruktive Kritik zu diesem Buch werden von mir gerne entgegengenommen und bei der nächsten Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Buches und alles Gute für eure Abiturprüfung! Alexander Schwarz

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5 Auszug aus der Merkhilfe iv

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11 Lösen von Gleichungen 1 1 Lösen von Gleichungen Das Lösen von Gleichungen gehört zum wichtigsten Grundhandwerkszeug in Klausuren und der Abiturprüfung. Gleichungen im Pflichtteil muss man ohne GTR lösen können. Bei schwierigeren Gleichungen im Wahlteil hilft uns der GTR. In Kapitel 1 lernen wir, wie man Gleichungen unterschiedlichen Typs ohne GTR löst. Hinweis GTR: Wie wir mit dem GTR Gleichungen lösen, findet man in der GTR- Bedienungsanleitung in Kapitel 4. Satz vom Nullprodukt Wichtigste Regel für das Lösen von Gleichungen: MERKE: Satz vom Nullprodukt: (Abkürzung "SvNp") Die Gleichung a b= ist dann erfüllt, wenn a = oder b = ist. Diese Regel müssen wir immer dann anwenden, wenn in einer Gleichung auf einer Seite eine Multiplikation mindestens zweier Terme steht, die auf der anderen Seite = gesetzt sind. Beispiel 1.1: Die Gleichung ( x+ ) (x 4) (x+ 5) = müssen wir mit dem "SvNp" lösen. Es werden hierzu die einzelnen Multiplikatoren gleich Null gesetzt und x berechnet. Gleichung I): x+ = x1= Gleichung II): x 4= x = 4 Gleichung III): x+ 5= x = 5 VORSICHT FALLE: Bei Gleichungen wie in Beispiel 1.1 versuchen manche, zunächst die Klammern in der Gleichung aufzulösen - da man dies bei Gleichungen in der Mittelstufe häufig auch gemacht hat. Es ist auch nicht immer falsch, in einer Gleichung vorhandene Klammern aufzulösen. Aber in dem Fall, wo auf einer Seite der Gleichung ein Produkt steht, so dass der "SvNp" angewandt werden kann, darf man die Klammern eben nicht auflösen. Da die Regel des Satzes vom Nullprodukt bei allen Gleichungstypen vorkommt, müssen wir diese Regel immer im Gedächtnis haben.

12 Lösen von Gleichungen 1.1 Polynomgleichungen In Polynomgleichungen kommen nur Variablen vor, deren Hochzahl ganzzahlig und nicht negativ sind, also,1,,,4... Grad der Gleichung = höchste Variablenhochzahl in der Gleichung Beispiele für Polynomgleichungen: a) x x + 4= : Gleichung.Grades b),5x+ x = 7 : Gleichung 5.Grades c) x 1 x+ x 7 = : Gleichung.Grades (erkennbar nach Auflösung der Klammern) Je nach dem Grad der Gleichung gibt es unterschiedliche Lösungsstrategien, die nun einzeln vorgestellt werden: Gleichungen 1. Grades 5 ( ) ( ) ( ) Diese Gleichungen können wir einfach nach Sortierung der Terme nach x auflösen: Beispiel 1.: ( x+ ) = x 6 Klammer aufl. 6; x x+ 6= x 6 x = 1 : x 6 = Gleichungen.Grades (quadratische Gleichungen) 1.Fall: Typ x = a Falls a > ist, ergeben sich zwei Lösungen: x vergessen) Falls a = ist, existiert nur eine Lösung x = Falls a < ist, ist die Gleichung nicht lösbar. Beispiel 1.: a) x 9= b) x = 9 x1, =± 9=± x = 9 besitzt keine Lösung = ± a (die Lösung a wird gerne.fall: Typ ax + bx= Ausklammern von x und dann Anwendung des Satzes vom Nullprodukt Beispiel 1.4: x x= Ausklammern von x: x ( x ) = mit SvNp folgt x1= und x =.

13 Lösen von Gleichungen.Fall: Typ ax + bx+ c= Hier steht uns eine Lösungsformel ( Mitternachtsformel ) zur Verfügung: MERKE: Mitternachtsformel Die Gleichung ax ² + bx+ c = besitzt die Lösungsformel b± b² 4ac 1 = a x, Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung hängt vom Ausdruck der Wurzel ab. Diesen Term nennt man auch Diskriminante. b² 4ac unter b 4ac > : Die quadratische Gleichung besitzt zwei verschiedene Lösungen. b 4ac = : Die quadratische Gleichung besitzt genau eine Lösung. b 4ac< : Die quadratische Gleichung besitzt keine Lösung. Beispiel 1.5: ± 4 ( ) ( 1) ± 1 a) x + x 1= ergibt x1, = = mit x1 = 1und x =,5. ( ) 4 b) Die Gleichung x + x+ 5= besitzt keine Lösung, da b 4ac= = 19< Hinweis: Alternativ zu der "abc-formel" gibt es auch die "pq-formel", die man ebenfalls verwenden könnte. In diesem Buch arbeiten wir aber nur mit der abc-formel. Gleichungen höheren Grades 1.Fall: Typ n x = a Wir können die Gleichung direkt nach x auflösen. MERKE: Bei der Gleichung a > : x1, n x = a muss man auf die Werte von n und a achten: n n =± a falls n gerade ist a < : Gleichung unlösbar, falls n gerade ist x= a falls n ungerade ist x n = a falls n ungerade ist Beispiel 1.6: a) n ungerade: b) n ungerade: c) n gerade: d) n gerade: x = 54 x = x = 8 4 x = x = 7 x= 7 = x = 8 x= 8 = 4 x = 4 x=± ( Lösungen!) 4 x = 1 diese Gleichung ist nicht lösbar VORSICHT FALLE: Die Lösung in Beispiel 1.6 b) sollte nicht in der Form x= 8 aufgeschrieben werden (auch wenn die meisten Taschenrechner bei dieser Eingabe die Zahl - als Ergebnis ausgeben).

14 Lösen von Gleichungen 4.Fall: Typ a ( ) ( ) = Hier können wir sofort den Satz vom Nullprodukt anwenden (ohne die Klammern aufzulösen!) Beispiel 1.7: ( ) ( ), x x+ 5 = Lösung mit dem SvNp Gleichung I) Gleichung II) x = x + 5= x = x1, =± x = 5 x = 5.Fall: Typ ax + bx + cx= bzw. 4 ax + bx + cx = Hier müssen wir x oder x² oder x³ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beispiel 1.8: a) und b) x + x x= Gleichung I): x1= Gleichung II): 4 x = 9x Gleichung Null setzen: Gleichung I): Gleichung II): x ausklammern ( ) x x + x = Lösung mit dem SvNp MNF 1± 1 4 ( ) 1± 5 x x = x, = = x = 1, x = 1,5 4 4 x = x = x 9= x ausklammern 4 x 9x = x (x 9) = Lösung mit dem SvNp 1, x = 9 x,4 =± VORSICHT FALLE: Bei Gleichungen wie in Beispiel 1.8 b) passiert ab und zu folgender Umformungsfehler: 4 x = 9x : x x = 9 x =± 1, Vergleicht man diese Lösung mit der Lösung aus dem Beispiel 1.8 b) fällt auf, dass die Lösung x = verloren gegangen ist. Dies liegt daran, dass die Gleichung durch x dividiert wurde und diese Umformung für x = nicht zulässig ist. Merke: Wenn wir eine Gleichung durch einen Term dividieren, der die Variable x enthält, können Lösungen verloren gehen. Deshalb darf man dies nicht machen! 4.Fall: Typ 4 ax + bx + c = MERKE: Substitution 4 Eine Gleichung der Bauart ax + bx + c = wird der Substitution x = u gelöst. Daraus ergibt sich die Gleichung au + bu+ c =, die mit der Mitternachtsformel gelöst wird. Danach müssen die erhaltenen Lösungen wieder rücksubstituiert werden.

15 Lösen von Gleichungen 5 Beispiel 1.9: 4 x x + = 1.) Substitution x = u: Substituierte Gleichung: ± 9 8 ± 1.) Lösung der substituierten Gleichung: u1, = = u1 =, u = 1.) Rücksubstitution: Setze die Lösungen aus.) in die Substitutionsgleichung ein: Rücksubstitution u = x = x =± 1 1,,4 Rücksubstitution u = 1 x = 1 x =± 1 u u+ = Wäre in Beispiel 1.9 die Lösung u1 = negativ gewesen, so hätte sich bei der Rücksubstitution keine Lösung für x ergeben: u1 = x = ist nicht lösbar. Damit wären zwei der maximal vier möglichen Lösungen weggefallen. Übungsaufgaben Aufgabe 1-1: Löse die folgenden Gleichungen: a) ( ) ( ) 4 x 4 x 9 = b) x x = c) 4 d) x x + = e) 4 1 (x 16) (x + x + ) = f) 4 x x 8x= 4 x 5x = 6 MERKE: Bruchgleichungen Es kann vorkommen, dass zu Beginn eine Gleichung vorliegt, bei der die Variable x im 6 1 Nenner steht, wie zum Beispiel 1 x + x =. In diesem Fall muss zuerst die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert werden (hier x ). Danach können die Brüche gekürzt werden und es entsteht eine bruchfreie Gleichung, die wir gemäß den bisher gelernten Verfahren lösen können. Beispiel 1.1: 6 1 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 1 x + x = für x Durchmultiplizieren der Bruchgleichung mit dem Hauptnenner x + x = 6 x 1 x x + = 1 x x x Nach dem Kürzen entsteht die Gleichung: 6+ x= x x x 6= 1± ± 5 Lösung der quadratischen Gleichung: x1, = = x1=, x =

16 Auszug aus den Musterlösungen (pdf-datei) 6 Auszug aus den Musterlösungen (pdf-datei) Aufgabe 1-1: a) ( ) ( ) x 4 x 9 = Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): x 4= x=± Gleichung II) x 9= x= ; L = {-,, } x auskl. 4 b) x x = x (x ) = Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt + ; : Gleichung I) x = x= Gleichung II) x = x= 1,5 ; L = {; 1,5} x auskl. c) x x 8x= x (x x 8) = Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): x= MNF Gleichung II): ± 4+ ± 6 x x 8= x und ; L = {; 4; -} 1, = = x= 4 x= 4 d) x x + = Substitution u= x MNF ± 9 8 ± 1 u u+ = u1, = = u = und u = 1 Rücksubstitution: x = x=± x = 1 x = ± 1 ; L = { ; 1;1; }