Arbeitsheft: Ganzrationale Funktionen Eigenschaften, Differenzierung, Integration mit integriertem Modellunternehmen

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1 Birkholz Arbeitsheft: Ganzrationale Funktionen Eigenschaften, Differenzierung, Integration mit integriertem Modellunternehmen Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Autorin: Marianne Birkholz Studienrätin an der BBS I in Göttingen Umschlagfoto: Teas Instruments Deutschland GmbH, Freising Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * 3. Auflage b Merkur Verlag Rinteln Gesamtherstellung: Merkur Verlag Rinteln Hutkap GmbH & Co. KG, Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 1 Grundlegende Begriffe 1.1 Mathematische Einführung Zuerst wollen wir wichtige mathematische Begriffe erinnern und aufarbeiten, fangen aber erst einmal poetisch an. Aufgabe 1 Lesen Sie den nachfolgenden Tet und markieren Sie Ihnen bekannte mathematische Vokabeln. Bruno s Traum Morgen war es soweit. Für Bruno stand wieder mal eine Klassenarbeit in Mathe an. Er lernte den ganzen Nachmittag. Am Abend tat er jedoch etwas, was er noch nie getan hatte. Er legte vorm Schlafengehen seine Mathe-Mappe unter sein Kopfkissen. Seine Lehrerin hatte gesagt: Das würde gegen Lampenfieber helfen. Jedenfalls kann es nicht schaden, dachte Bruno. Bruno schlief an diesem Abend schnell ein. Plötzlich hörte er jemanden sagen: Die Stimmung hier ist ja an nem Nullpunkt angekommen wollen wir woanders hingehen, Lisa Nein danke, ich treffe dich ja nicht mal. Wieso denn das Du steigst doch so wie ich Tja, mein Lieber, aber während du noch im Ursprung verweilst, bin ich schon drei über dir. Da kann man nichts machen, wir leben halt in parallelen Welten. Was ist mit dir Peter Negativ. Ich falle ganz schnell und überdies schneiden wir uns nicht im Positiven. Keine gute Voraussetzung für ein nettes Date. Und du Maja Kommst du mit Würde ich ja, ich treffe dich zwar an unserem gemeinsamen Platz, der Stelle 5, eine gute Stelle mit 10 positiven Punkten, aber ich wachse viel schneller als du und für heute bist du mir zu flach. Vielleicht versuchst du es mal bei den Konstanten. Bei den Worten Diese eingebildeten Graphen... klingelte um halb sieben Bruno s Wecker. Bruno hatte das Gefühl gut geschlafen zu haben. Dass er innerlich ein wenig zuversichtlicher als sonst auf die bevorstehende Mathe-Arbeit blickte, würde er wohl nicht zugeben wollen. Aufgabe 2 a) Über welches Thema schreibt Bruno seine Mathe-Arbeit b) Nennen Sie weitere mathematische Vokabeln, die Ihnen zum betreffenden Thema einfallen. Nun werden grundlegende Begriffe zum Thema Funktionen erläutert. Denn nicht jede Linie im Koordinatensstem stellt eine Funktion im mathematischen Sinn dar. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem -Wert wird genau ein -Wert zugeordnet, wobei verschiedene -Werte gleiche -Werte besitzen können. Demgegenüber ist eine Relation eine Zuordnung, bei dem mindestens einem - Wert gleichzeitig mehrere -Werte zugeordnet werden. Die Funktion ist ein Sonderfall der Relation. 7

4 Aufgabe 3 Prüfen Sie, ob unten stehende Graphen eine Funktion darstellen oder nicht. Kreuzen Sie das entsprechende Smbol an und begründen Sie Ihre Meinung. Führen Sie unten auch zwei eigene Beispiele auf. a. b. c. d. e. f. g. h. i. TIPP: Wenn Sie eine Parallele zur -Achse finden bzw. zeichnen können, welche die Linie im Koordinatensstem mindestens zweimal schneidet, stellt diese Linie keine Funktion dar. Aus der Unterstufe kennen Sie sicher folgende Schreibweise für eine Funktion: = 2. In der Oberstufe schreiben wir stattdessen f() = 2. Dies hat den Vorteil genau sagen zu können, welcher Buchstabe die Variable darstellt, hier. Wenn später mehrere Buchstaben auftauchen, müssen wir sie nach ihrer Bedeutung unterscheiden können. Neue Schreibweise für Funktionen: = f() 8

5 Aufgabe 4 Lesen Sie den folgenden Tet und tragen Sie die Begriffe bei den an der betreffenden Stelle der Zeichnung ein. Eine Gleichung der Form f() = 2 (gelesen: f von gleich 2) wird (lineare) Funktionsgleichung genannt. Hierbei bildet 2 den Funktionsterm. Eine bestimmte Zahl auf der -Achse wird Stelle genannt, der dazugehörige - Wert heißt Funktionswert. Er ergibt sich durch Einsetzen der Stelle in die Funktionsgleichung. Die -Achse wird auch als Abszisse und die -Achse als Ordinate bezeichnet. Alle Werte, die für in die Funktionsgleichung eingesetzt werden können, kennzeichnen den Definitionsbereich D der Funktion. Der Wertebereich W umfasst alle Funktionswerte. Die Notation für einen Bereich in Intervallschreibweise lautet: [a; b], d. h. der Bereich geht von einschließlich a bis einschließlich b. Das Schaubild einer Funktion im Koordinatensstem wird Graph der Funktion genannt. f() = 2 f(1) 1 9

6 1.2 Wirtschaftsbezogen mit der Bruno AG Nun lernen Sie die Modellfirma kennen, die Sie durch alle Themen begleiten wird. Die Bruno AG ist ein großes Unternehmen mit ca Mitarbeitern. Sie produziert verschiedenste Produkte rund um den Hund. Die Bruno AG hat ein Marktforschungsinstitut beauftragt einen Zusammenhang zwischen dem verkauften Preis der Produkte Bruno s Hundekuchen etra (auch Hunde mögen es equisit) und Bruno s Bürste (damit Hundchen immer frisch gebürstet aussieht) und der nachgefragten Produktmenge zu ermitteln. Das Marktforschungsinstitut hat für die Produkte folgende Zusammenhänge erkennen können und graphisch dargestellt. Aufgabe 1 Entscheiden Sie mit Begründung, ob es sich bei folgenden Zusammenhängen um eine Funktion im mathematischen Sinn handelt. Für das Produkt Bruno s Hundekuchen etra Für das Produkt Bruno s Bürste Aufgabe 2 Kennzeichnen Sie beim Produkt Bruno s Bürste den Definitionsbereich, den Wertebereich sowie den Graphen. Bei wirtschaftlichen Anwendungen können nur positive Werte für die Stellen und die Funktionswerte f() auftreten. 10

7 2 Lineare Funktionen 2.1 Mathematische Einführung Lineare Zusammenhänge spielen im Leben häufig eine Rolle. Beispielsweise bei Kostenvergleichen wie Wahl eines Hand-Vertrags oder eines Leihwagens. Lineare Funktionen sind Ihnen in den Klassen 8 10 sicher schon begegnet. Aufgabe 1 Füllen Sie die freien Felder aus. Allgemeine Funktionsgleichung f() = m + b m := b f() b:= Die Koordinaten von Punkten werden mit (/) bezeichnet. k Der Schnittpunkt mit der -Achse lautet: P( / ). Hier gilt: f(0) = b. Er heißt. Der Schnittpunkt mit der -Achse lautet: P( / ). Hier gilt: f(k) = 0. Er heißt. m, b und k stellen sogenannte Parameter dar. Das sind mathematische Platzhalter. So kann die Mathematik eine allgemeine Form kennzeichnen, denn sobald eine Zahl für einen Parameter eingesetzt wird, handelt es sich immer um ein Beispiel für eine bestimmte Form. Aufgabe 2 Skizzieren Sie folgende Sonderformen in das Koordinatensstem. a. Proportionale Funktion: f() = m b. Konstante Funktion: f() = b (Parallele zur -Achse) c. Parallele zur -Achse: = k => RELATION! Aufgabe 3 Geben Sie jeweils die Gleichungen an und entwickeln Sie eigene Beispiele. a. Die Funktion besitzt die Steigung +1 und den -Achsenabschnitt +4. b. Die Funktion geht durch (0/ 1) und hat eine Steigung von 2. c. Die Funktion ist parallel zur -Achse und geht durch (2/4). d. Die Gerade geht durch (2/4) und ist parallel zur -Achse. e. Die Funktion geht durch den Ursprung und hat eine Steigung von +2. f. eigenes Beispiel: g. eigenes Beispiel: 11

8 Lineare Funktionen hängen wie Sie wissen von zwei Größen ab: der Steigung m und dem -Achsenabschnitt b. Es stellt sich die Frage, was graphisch geschieht, wenn sich jeweils eine Größe verändert und die andere gleich bleibt. Aufgabe 4 Skizzieren Sie folgende Graphen: g() = h() = i() = 2 1 j() = 2 2 f() = 2 Wie verändert sich die Lage des Graphen der Funktion, wenn sich der -Achsenabschnitt verändert Aufgabe 5 Beschriften Sie die Skizze und ergänzen Sie die Formel zur Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion. f() Steigung: m = = tan α = = 2 f (1) = 1 b a Aufgabe 6 Ordnen Sie folgende Funktionsgleichungen den abgebildeten Graphen zu. f() = 2 g() = h() = 0,5 i() = j() = 4 Wie verändert sich der Graph der Funktion, wenn sich die Steigung verändert. 12

9 Aufgabe 7 a. Prüfen Sie, welche der Funktionen aus Aufgabe 6 zueinander im 90 Winkel stehen, d. h. orthogonal zueinander sind. Erarbeiten Sie eine Regel für die Steigung orthogonaler, linearer Funktionen und tragen Sie diese in das freie Kästchen ein. Steigungen orthogonaler, linearer Funktionen Steigung Ausgangsfunktion: m Steigung orthogonale Funktion: b. Geben Sie für folgende Funktionen jeweils eine orthogonale Funktion an. f() = 2,5 g() = 4 h() = i() = 0,1 1 Sicher haben Sie schon erkannt, dass eine lineare Funktion je nach -Achsenabschnitt unendlich viele orthogonale Funktionen besitzen kann, denn nur die Steigung muss in einem bestimmten Verhältnis zur Ausgangsfunktion stehen. Wenn bei einer linearen Funktion die Funktionsgleichung nicht bekannt ist, dafür aber die Steigung m und ein Punkt P oder zwei Punkte P und Q, lässt sich die Funktionsgleichung konstruieren. Ablaufschema: Konstruktion mit m und P 1. in linearer Funktionsgleichung die bekannten Werte für m, und = f() einsetzen 2. Gleichung nach dem -Achsenabschnitt b auflösen 3. m und b in Funktionsgleichung einsetzen Beispiel: m = 2 P(3/10) f() = m + b f(3) = 23 + b = 10 b = 10 6 = 4 f() =

10 Ablaufschema: Konstruktion mit P und Q 1. in linearer Funktionsgleichung bekannte Werte für und f() der gegebenen Punkte einsetzen 2. Gleichungssstem aufstellen und Gleichungen voneinander abziehen (b fällt weg) Beispiel: P(3/10) Q(5/14) f() = m + b f(3) = m3 + b = 10 f(5) = m5 + b = 14 3m + b = 10 (5m + b = 14) 2m = 4 3. m durch Auflösen bestimmen m = 2 4. b durch Einsetzen in eine der Gleichungen bestimmen 23 + b = 10 => b = 4 5. m und b in f() einsetzen f() = Anschließend lässt sich mit dem Einsetzen von m in die andere Gleichung das Ergebnis überprüfen (Probe). Alternativ können Sie auch mit der Formel für die Steigung erst m bestimmen und dann das erste Schema (m und P gegeben) nutzen. Die Variante mit dem Subtrahieren der Gleichungen hat jedoch den großen Vorteil, dass Sie sich nur die allgemeine lineare Funktionsgleichung merken müssen und nicht eine komplizierte Formel. Aufgabe 8: Konstruieren Sie jeweils die lineare Funktionsgleichung aus gegebenen Größen. a. m = 3 P(2/ 6) b. m = 2 P( 4/2) c. m = 0,1 P(10/ 5) d. P(1/12) Q( 2/0) e. P( 3/12) Q(0/ 3) f. P( 2/ 3,5) Q(2/ 1,5) Funktionen besitzen sogenannte ausgezeichnete Punkte. Ein solcher besonderer Punkt ist die Nullstelle, die Sie bereits kennengelernt haben. Der Funktionswert an dieser Stelle ist Null. Die Stelle lässt sich wie folgt berechnen: Ablaufschema: Nullstelle 1. Funktionsgleichung Null setzen: f() = 0 2. Nullstelle bestimmen: Gleichung nach auflösen Beispiel: f() = = 0 2 = 4 => = 2 Aufgabe 9 Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen: f() = 0,1 4 g() = 5 + 2,5 h() = i() = 3 14

11 Bislang haben wir immer nur eine Funktion betrachtet. Zwei nicht parallele, lineare Funktionen besitzen einen gemeinsamen Punkt, der zu beiden Funktionen gehört, den sogenannten Schnittpunkt. Dieser lässt sich wie folgt ermitteln: Berechnung des Schnittpunkts zweier linearer Funktionen f() Im Schnittpunkt S( s / s ) gilt: f( s ) = g( s ) d. h. die - und -Werte sind identisch. s g() s Ablaufschema: Schnittpunkt Beispiel: f() = g() = 0, Funktionen gleichsetzen: f() = g() = 0, Schnittstelle bestimmen: Gleichung nach auflösen => 2,5 + 4 = 8 => 2,5 = 4 => = 1,6 3. -Wert ermitteln: in f() oder g() einsetzen f(1,6) = 21,6 + 4 = 7,2 (Probe: g(1,6) = 0,51,6 + 8 = 7,2) 4. Schnittpunkt S(/) angeben S (1,6/7,2) Aufgabe 10 Gegeben sind folgende Funktionen: f() = 0,1 4 g() = 5 + 2,5 h() = i() = 3 Berechnen Sie alle Schnittpunkte zwischen den einzelnen Funktionen also den Schnittpunkt von f() und g(), f() und h(), f() und i(), g() und h(), g() und i() sowie h() und i(). Wenn Sie die -Werte der Schnittpunkte auf 2 Nachkommastellen runden, können durch diese Rundungen leichte Unterschiede in der 2. Nachkommastelle der -Werte bei den sich schneidenden Funktionen entstehen. Sie können sich dann für den mittleren Wert entscheiden. Zur Übung mit Lösungen Ermitteln Sie zu den Funktionen f() = 0,5 2 und g() = jeweils die Nullstelle, den -Achsenabschnitt, eine orthogonale Funktion und den gemeinsamen Schnittpunkt. Nullstellen: f(): = 4 g(): = 0,75 -Achsenabschnitt: f(): (0/ 2) g(): (0/3) Orthogonale Funktion: f(): f*() = g(): g*() = 0, Schnittpunkt: S(1,11/ 1,44) 15