Analysis leicht gemacht!

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1 Scholtyssek Analysis leicht gemacht! Teil : Differenzialrechnung der ganzrationalen Funktion Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Verfasser: Hanspeter Scholtyssek Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Coverbild: Andres Rodriguez Fotolia.com * * * * *. Auflage by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 . Was man zuvor wissen sollte. Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) Für den Erwerb der Fachhochschulreife (FHR) ist es unabdingbar, den GTR nach Höhe, Tiefe und Breite zu beherrschen. Im Merkur Verlag Rinteln sind hierzu folgende Hilfestellungen erschienen: Bohner/Ott: CASIO f-986gii und CASIO f-cg Begleitheft ISBN Ott/Schmauder: TI 8 Plus Begleitheft ISBN Der in der Analysis leicht gemacht zugrunde liegende Rechner ist der GTR Sharp99. Angegebene Tastenkombinationen in diesem Buch beziehen sich immer auf ihn.. Eakte Zahlen Da der GTR praktisch fast(!) alle mathematischen Fragestellungen durch einen Knopfdruck beantworten kann, hat die Prüfungskommission hier einen Riegel vorgeschoben. Vom FHR-Prüfling wird verlangt, dass er Aufgaben von Hand durchrechnet. Als Ergebnis auf dem Prüfungsbogen erscheint dann keine vom Rechner ausgegebene Kommazahl wie,, sondern die eakte Zahl. Eakte Zahlen sind also Brüche z.b., 8, 7,, e ln Wurzeln z.b. 6, 8,, e Logarithmen z.b. ln, ln, 5ln5, ln( e + + e ) e trigonometrische Werte z.b. sin, cos, tan usw. 6 Achtung! Steht in der Aufgabenstellung Berechnen Sie, dann muss mit dem GTR gerechnet werden (Rechnungen von Hand sind oftmals unmöglich oder schlimmstenfalls höchst zeitintensiv!). Steht hingegen Berechnen Sie in eakten Zahlen Leiten Sie her Zeigen Sie auf, 7

4 dann muss die gesamte Rechnung von Hand erfolgen und das Ergebnis als eakte Zahl vorliegen (keine Kommazahl!).. Gleichungen Aufgaben, die eakte Zahlen als Lösung verlangen, sind sehr oft Gleichungen. Daher sollen sie hier wiederholt und eingeübt werden... Gleichungen. Grades (lineare Gleichungen) Diese sind weitgehend bekannt und werden nur kurz angeschnitten : L {}.. Gleichungen. Grades (quadratische Gleichungen) Auch diese sind weitestgehend bekannt, weisen aber einige Besonderheiten auf. Beginnen wir mit 9 Diese Gleichung wird nicht durch Wurzelziehen gelöst 9 ( 9 (undnicht auchnoch! ) ), sondern durch ein Binom: ( + ) ( ) Hier greift der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Folglich gilt: + ( ist das Kürzel des lateinischen vel und bedeutet die L { ; } Kurzschreibweise von oder ) List daskürzel für Lösungsmenge Dieser lange, aber logisch richtige Lösungsweg wird im allgemeinen abgekürzt: ±9 8

5 Aufgabe Löse folgende quadratische Gleichungen (a) und b) in logischer Langform, c) und d) in erlaubter Kurzform: a) 6 b) 6 c) d) 7 Die allgemeine Gleichung. Grades wird über die Mitternachtsformel (MNF) gelöst: b ± b ac a + b + c, a Geometrische Interpretation: Die beiden -Werte sind die Schnittpunkte einer Parabel mit der -Achse. Diese werden auch Nullstellen genannt- Beispiele: a) a ; b ; c, ± 6 ± ± ( ) y b) + a ; b ; c, ± ± ; ( ) 9 ± 9

6 Aufgabe Löse folgende Gleichungen: 9 6 c) b) a) + 6 f ) 6 e) 5 d) i) 5 5 h) 6 5 g) +

7 .. Gleichungen. Grades Hier kann nur ein ganz spezieller Gleichungstyp von Hand gelöst werden wie z.b. ( überall steht ein ). Nur mit dem GTR lösbar ist die Gleichung + + ( hier gibt es das absolute Glied 6 ohne ) a) Lösungsbeispiel von ( ).Schritt : ausklammern.schritt :Satz vomnullprodukt anwenden ± L { ; ; } b) Lösungsbeispiel von ( ).Schritt :.Schritt :Satz vomnullprodukt anwenden ausklammer n L { ;} Es taucht die sogenannte doppelte Nullstelle auf (lies: eins zwei). Aufgabe a) b) + c) 9 d) e) f ) g) h) 7

8 .. Gleichungen. Grades Auch hier ist nur ein ganz spezieller Aufgabentyp in eakten Zahlen lösbar die sogenannten biquadratischen Gleichungen (es kommen nur gerade Hochzahlen und das absolute Glied vor) Beispiel: u u u 5 5u + 5 ± ± ; u ±.Schritt :Substitution.Schritt :MNFanwenden 5 ±.Schritt :Rücksubstitution L { ;; ;} u y Gleichungen, die noch ein oder enthalten, sind nur mit dem GTR lösbar. Beispiel: + + ist nur mit dem GTR lösbar. Aufgabe a) + 8 b) c) 5 6 d) e) + f ) g) 6 9 h) +

9 Bei einer Gleichung. Grades können auch höhere Potenzen ausgeklammert werden. Dies führt dann zu mehrfachen Nullstellen. Beispiel: ( + + ) y + ± Es gibt also die doppelte Nullstelle N ( ) und zwei einfache Nullstellen N ( ) und N( ). Eine dreifache Nullstelle liefert die Gleichung y + ( + ) + Lies: eins zwei drei. Aufgabe 5 a),5 b) 8 c) +

10 ..5 Lösen von Gleichungen mit dem GTR. Möglichkeit: Lösung über Menüpunkt TOOL. Nur beschränkt brauchbar, da nur Gleichungen. und. Grades lösbar sind. Tastenfolge: ( TOOL) Eingabe der Koeffizienten der Funktion f() +. Aufpassen: Eine negative Eigenart des SHARP sind die Minuszeichen: ist das Vorzeichenminus, ist das Rechenminus. Bei c muss also das Vorzeichenminus eingegeben werden, da sonst diese Fehlermeldung erscheint: Falsches Minus! Das Rechenminus ist länger als das Vorzeichenminus. Richtiges Minus! ( EXE ) Es erscheinen Lösungen! Aber nur,89 ist für uns brauchbar. Sie ist die einzige reelle Lösung. Die beiden anderen Lösungen und spielen in einer anderen Liga sie sind imaginäre Lösungen (erkenntlich am angehängten i am Ende) und für uns ohne Bedeutung.

11 . Möglichkeit. Universell einsetzbar, da sie für alle Gleichungen gilt. Beim ersten Drücken der Taste erscheint die Default Einstellung: Diese kann individuell eingestellt werden: Auf Vorzeichenminus achten! Eingabe des Funktionsterms f() + mittels ( CALC) Es erscheint die einzige reelle Lösung,89. Der angezeigte y-wert bedeutet Y,85. Und das ist y! Die für unsere Zwecke unbrauchbare Gleichung hat die Lösung,57: 5