Raumgeometrie - Prisma (Würfel, Quader)

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1 Raumgeometrie - Prisma (Würfel, Quader) 1.0 Ein Quader mit einem Rechteck als Grundfläche ist 8 cm hoch. Die zwei Seitenflächen haben den Flächeninhalt 96 cm und 7 cm. 1.1 Berechne Volumen und Oberfläche des Quaders. 1. Die Schnittfläche DPQH (siehe Zeichnung) mit DP = 10 cm trennt den Quader in zwei Teilkörper. 1. Berechne das Volumen des Prismas PBCDQFGH. 1.4 Bestimme seine Oberfläche. 1.5 Der Quader ABCDEFGH aus Aufgabe 1.0 wird durch die beiden Schnitte PCGQ und DPQH in drei Teilkörper zerlegt (siehe Zeichnung). Berechne die Länge [AP] = x so, daß sich die Volumina der Teilkörper PBCQFG und DPCHQG wie 1: verhalten.. Das gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge a ist Grundfläche eines Prismas bei dem die Maßzahlen von Volumen und Oberfläche übereinstimmen. Berechne die Mantelfläche des Prismas allgemein und dann für a = 8 cm..0 Gegeben ist der Quader ABCDEFGH mit AB = 9 cm, BC = 7 cm und AE = 5 cm. Zeichne ein Schrägbild des Quaders. Für die Zeichnung: q = 0,5, ω = Auf der Kante [BF] liegt ein Punkt P n. Zusammen mit den Punkten A und C erhält man Dreiecke ACP n. Zeichne das Dreieck ACP 1 für [BP 1 ] =,5 cm in das Schrägbild. Es gilt: P n CB = ε. Bestimme den größten Winkel P n CB = ε max.. Berechne die Maße der Innenwinkel und die Seitenlängen [AC], [AP ] und [CP ] des Dreiecks ACP für den Winkel P CB mit dem Maß ε = 0.. Ermittle den Neigungswinkel ϕ des Dreiecks ACP gegen die Grundfläche für ε = Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a gemäß nebenstehender Skizze. 4.1 Berechne die Höhe MQ = x cm der gleichschenkligen Dreiecke ACQ in Abhängigkeit von a und α. a (Ergebnis: x = ) cosα 4. Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ACQ in Abhängigkeit von a und α. 4. Das Dreieck ABC ist Grundfläche von Pyramiden ABCQ. Berechne das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von a und α. x RM_AU001 **** Lösungen 1 Seiten (RM_LU001) 1 (4)

2 Raumgeometrie - Prisma (Würfel, Quader) 5. Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a = 4 cm. Q ist Mittelpunkt der Seitenfläche BCGF (siehe Zeichnung). Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PQH für AP= PB. 6.0 Gegeben ist ein Quader ABCDEFGH mit dem Dreieck ACP und AB = 1cm; BC = 8cm; AE = 6cm;. P HG mit HP = x 6.1 Bestimme die Längen AP (x) und CP (x) in Abhängigkeit von x. 6. Berechne die Fläche des Dreiecks ACP für x = Stelle eine Gleichung auf für den Flächeninhalt des Dreiecks ACP in Abhängigkeit von x (für Fortgeschrittene empfohlen). siehe auch Aufgabe 5! 7.0 Ein Quader ABCDEFGH ist festgelegt durch die Kantenlängen AB = 6cm; BC = 8 cm; AE = 5cm. 7.1 Zeichne ein Schrägbild mit q = 0,5 und ω = 60. Die Diagonale AC soll auf der Schrägbildachse liegen. 7. Die Raumdiagonale [CE] bildet mit der Grundfläche den Winkel ε und mit [BC] den Winkel ϕ. Berechne die beiden Winkelmaße. 7. Die Raumdiagonalen [CE] und [BH] schneiden sich im Punkt M. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCM. 7.4 Der Neigungswinkel des Dreiecks ACF sei µ. Berechne das Maß von µ. 7.5 Berechne den Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ACF. RM_AU001 **** Lösungen 1 Seiten (RM_LU001) (4)

3 Raumgeometrie - Prisma (Würfel, Quader) 8.0 Das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Katheten AC= 8cmund BC = 6cm ist Grundfläche eines Prismas ABCDEF mit AD= 7cm. 8.1 Zeichne ein Schrägbild mit q = 0,5 und ω = 45 so daß die Seite [CA] auf der Schrägbildachse liegt. 8. Berechne Oberfläche und Volumen des Prismas. 8. Die Ebene BAF schneidet das Prisma. Berechne Umfang und Fläche der Schnittfigur. 8.4 Bestimme das Maß des Winkels ϕ zwischen der Fläche ADEB und der Ebene BAF. 8.5 Bestimme das Maß des Winkels ε zwischen der Fläche ADEB und der Geraden AF. 9.0 Die Raute ABCD mit AC = 10cm und BD = 8cm ist Grundfläche eines geraden Prismas ABCDEFGH mit der Höhe AE= 8cm. 9.1 Zeichne ein Schägbild des Prismas mit q = 0,5 und ω = 45. [AC] soll dabei auf der Schrägbildachse liegen. 9. Berechne das Maß γ des Winkels DCB. 9. Berechne die Oberfläche des Prismas ABCDEFGH. 9.4 Der Punkt P ist Mittelpunkt der Kante [CG]. Zeichne den Punkt P und das dazugehörige Dreieck DPF in das Schrägbild ein. 9.5 Berechne die Längen der Dreieckseiten [DP], [DF] und [FP] sowie die Innenwinkel des Dreiecks. RM_AU001 **** Lösungen 1 Seiten (RM_LU001) (4)

4 Raumgeometrie - Prisma (Würfel, Quader) 10.0 Die nebenstehende Zeichnung zeigt einen Quader ( AB =a, BC =a, CG =a), bei dem sich ein Punkt P von B nach A bewegt (PB =x) Berechne die Streckenlängen CH, PC und PH in Abhängigkeit von a und x. 10. Bestimme den Term cos ϕ in Abhängigkeit von x. 10. Für welchen Wert für x wird ϕ = 60? Berechne für diesen Wert das Winkelmaß α. Bestimme für diesen Fall den Flächeninhalt des Dreiecks PCH. Rechne mit a = 6! RM_AU001 **** Lösungen 1 Seiten (RM_LU001) 4 (4)

5 Raumgeometrie - Prisma 1.0 Die Grundfläche eines 8 cm hohen, regulären (regelmäßigen) Prismas ist ein Dreieck mit der Seitenlänge a = 5 cm. 1.1 Zeichne ein Schrägbild des Prismas (q = 0,5, ω = 60 ). 1. Berechne den Inhalt der Oberfläche und das Volumen..0 Ein gerades Prisma mit der Höhe 9 cm hat ein reguläres (regelmäßiges) Sechseck mit jeweils 5 cm langen Seiten als Grundfläche..1 Zeichne ein Schrägbild des Prismas für ω = 45 und q = 0,5. Eine Diagonale des Sechsecks soll dabei auf der Rissachse liegen.. Wie groß sind Volumen und Oberfläche des Prismas?. Die Oberfläche eines geraden Prisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche hat den Inhalt 10,5 cm. Die Prismenhöhe beträgt 6 cm. Berechne die Länge a der Grundkante. 4.0 Die Oberfläche eines regulären (regelmäßigen) achtseitigen Prismas ist 40 cm. 4.1 Berechne die Höhe h für die Grundkantenlänge a = 4 cm. 4. Berechne h allgemein in Abhängigkeit von a. 5. Berechne das Volumen eines geraden Prismas in Abhängigkeit von a. Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen a und 1,a. Die Prismenhöhe ist doppelt so groß wie die Länge der Hypotenuse der Grundfläche. 6. Ein Parallelogramm ABCD mit AB = 9 cm, AD = 6 cm und BAD = 60 ist die Grundfläche einer Pyramide mit 14 cm Höhe. Berechne das Volumen. 7.0 Ein Zelt hat die Form eines liegenden Prismas, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck ist. Die Bodenfläche des Zeltes ist,40 m lang und,10 m breit. Das Zelt hat eine Höhe von 1,60 m. 7.1 Berechne den Rauminhalt des Zeltes. 7. Wieviel m Stoff sind für die Herstellung dieses Zeltes einschließlich des Bodens notwendig? RM_AU00 **** Lösungen 9 Seiten (RM_LU00) 1 ()

6 Raumgeometrie - Prisma 8.0 Gegeben ist ein Quader mit den Kantenlängen 6 cm, 4,5 cm und 9 cm 8.1 Berechne die Längen der eingezeichneten Diagonalen BE, BG und FH. 8. Wie groß sind die Winkel α, β und γ (rechnerischer Nachweis). 9.0 Berechne für den Quader aus Aufgabe 8 die Länge der Raumdiagonalen BH und das Maß δ des Neigungswinkels den diese Raumdiagonale mit der Grundfläche einschließt. 9.1 Bestimme ebenso das Maß ε des Neigungswinkels der Raumdiagonalen eines Würfels gegen die Grundfläche Die nebenstehende Skizze ist ein gerades, liegendes Prisma mit gleichseitigem Dreieck ABE als Grundfläche ( AB = AE = BE = a). Auf der Kante EF bewegt sich ein Punkt P von E nach F Berechne die Streckenlängen MP, PC und MC in Abhängigkeit von a und x. 10. Für welchen Wert für x gilt MP = PC? 10. Berechne den Term cos γ in Abhängigkeit von a und x Bestimme den Wert für x, für den γ = 90 gilt! 10.5 Berechne das Maß γ für die Teilaufgabe 10.! 10.6 Ermittle das Maß des Winkels PCM für die Teilaufgabe 10.5! 10.7 Berechne für die Teilaufgabe 10.6 den Flächeninhalt A des Dreiecks MCP! RM_AU00 **** Lösungen 9 Seiten (RM_LU00) ()

7 Raumgeometrie - Prisma (Würfel, Quader) Funktionale Abhängigkeiten 1.0 Ein gerades Prisma ist 40 cm hoch und hat ein rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche. Die Katheten des Dreiecks sind 15 cm und 9 cm lang. Man erhält neue Prismen, wenn man die 9 cm Kathete um x cm verlängert und gleichzeitig die 15 cm Kathete um x cm verkürzt. In jedem Fall bleibt die Höhe gleich. 1.1 Wie ist der Definitionsbereich; d.h. welche Werte für x können sinnvoll eingesetzt werden? 1. Gib eine Gleichung für das Volumen V (x) der Prismen in Abhängigkeit von x an. (Ergebnis: V (x) =(- 0x + 1x + 700) cm 1. Welcher Wert für x erzeugt das Prisma mit dem größten Volumen (Extremwert)? 1.4 Bestimme die Mantelfläche M (x) des Prismas in Abhängigkeit von x. (Ergebnis: M (x) = ( x 1x + 06 ) cm.0 Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 1cm. Es entstehen Quader, wenn man eine Kante um x cm verkürzt und gleichzeitig eine andere Kante um x cm verlängert..1 Stelle das Volumen der entstehenden Quader in Abhängigkeit von x dar. (Ergebnis: V (x) = (- 1x + 178) cm ). Stelle die Oberfläche der Quader in Abhängigkeit von x dar. (Ergebnis: O (x) = (- x + 864) cm ). Man kann sofort das größte Volumen und die größte Oberfläche der entstehenden Quader bestimmen. Wie groß ist in beiden Fällen der x-wert?.0 Ein Quader mit den Grundkanten 10 cm und 1 cm hat eine Höhe von 16 cm. Es entstehen neue Quader wenn man die Höhe um x cm verkürzt und gleichzeitig die 10 cm lange Grundkante um x cm verlängert..1 Stelle das Volumen der neuen Quader in Abhängigkeit von x dar. [Ergebnis: V (x) = (- 6x -168x + 190) cm ]. Wie lautet der x-wert für das größte Volumen? Vergleiche den gefundenen Wert mit dem Definitionsbereich.. Hat der Quader mit dem größten Volumen auch gleichzeitig die größte Oberfläche? (Teilergebnis: O (x) = (- 6x - 76x + 944) cm ) Vergleiche den gefundenen Wert mit dem Definitionsbereich. RM_AU00 **** Lösungen 9 Seiten (RM_LU00) 1 ()

8 4.0 Die Grundfläche eines geraden Prismas (Quader) ABCDEFGH ist ein Quadrat mit der Diagonalenlänge 6 cm. Die Höhe beträgt 8 cm. Verlängert man die Diagonale [AC] von A und C aus um jeweils x cm und verkürzt man gleichzeitig die Diagonale [BD] von B und D aus um jeweils 0,5x cm, so erhält man neue Prismen mit den Grundflächen A n B n C n D n. Die Prismenhöhe bleibt stets unverändert. 4.1 Gib eine Gleichung für das Volumen V (x) der Prismen in Abhängigkeit von x an. Welches geometrisch sinnvolle Intervall kann der Wert für x annehmen? [Ergebnis: V (x) = (-8x + 4 x + 88 ) cm ] 4. Berechne den Wert für x, für den man ein Prisma mit dem Volumen V = 0 cm erhält. 4. Berechne den Wert für x, für den man das maximale Prisma V max erhält und gib den Wert für V max an. 4.4 Gib eine Gleichung für die Oberfläche der Prismen O (x) in Abhängigkeit von x an. 5.0 Ein Quader ABCDEFGH hat die Seitenlängen [AB] = 1 cm, [BC] = 8 cm und die Höhe [AE] = 10 cm. Verkürzt man die Grundkanten [AB] und [DC] jeweils von A bzw. D aus um x cm und verlängert gleichzeitig die Grundkanten [AD] bzw. [BC] über D und C hinaus um x cm, so erhält man neue Quader A n BC n D n E n FG n H n. Die Höhe der Quader ist stets unverändert. 5.1 Gib die Oberfläche O(x) der Quader in Abhängigkeit von x an. In welchem Intervall kann sich x bewegen? [Ergebnis: O(x) = 4( - x + 1x + 148) cm ] 5. Für welchen x-wert erhält man Quader mit einem Oberflächeninhalt von 700 cm. 5. Berechne das Volumen V(x) der Quader in Abhängigkeit von x. 5.4 Bestimme die x-werte für die man Quader mit V = cm erhält. 5.5 Ermittle das größte Volumen und den zugehörigen x-wert. 5.6 Gib eine Gleichung für die Raumdiagonale [BH n ] in Abhängigkeit von x an. 5.7 Durch die Raumdiagonale [BH n ], die Grundflächendiagonale [BD n ] und die Seitenkante [D n H n ] werden Dreiecke BH n D n festgelegt. Stelle die Flächeninhalte A(x) der Dreiecke BH n D n in Abhängigkeit von x dar. RM_AU00 **** Lösungen 9 Seiten (RM_LU00) ()

9 6.0 Gegeben ist das Prisma ABCDEFGH mit der Höhe h = 6 cm und der Raute ABCD als Grundfläche mit AC = 10 cm und BD = 18 cm. 6.1 Zeichne das Schrägbild des Prismas so, dass die Diagonale [BD] auf der Schrägbildachse liegt (Blatt quer nehmen). Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Berechne die Oberfläche des Prismas ABCDEFGH auf eine Stelle nach dem Komma gerundet. 6. Es entstehen neue Prismen, in dem man die Diagonale [BD] von B und D aus um jeweils x cm verkürzt und die Höhe des Prismas um x cm verlängert. Zeichne das Prisma für x = in das Schrägbild zu 7.1 ein. 6.4 Gib die maximale Grundmenge für x an. 6.5 Berechne das Volumen der neuen Prismen in Abhängigkeit von x. [Teilergebnis: V(x) = (-10x + 0x + 540) cm ] 6.6 Für welche Werte von x erhält man Prismen, deren Volumen größer als 500 cm ist? (Rechnerische Lösung erforderlich!) RM_AU00 **** Lösungen 9 Seiten (RM_LU00) ()

10 Raumgeometrie - gerade Pyramide 1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 8 cm. S ist die Pyramidenspitze. 1.1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. 1. Berechne die Länge der Kante [CS]. 1. Bestimme das Volumen V der Pyramide. 1.4 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCS..0 Die gerade Pyramide ABCDS mit der quadratischen Grundfläche ABCD und der Höhe h = 8 cm besitzt die Kante [CS] mit der Länge CS = 10 cm. S ist die Pyramidenspitze..1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. Für die Zeichnung: [AB] = 8,5 cm soll auf der Rißachse liegen.. Berechne die Länge der Strecke [AC].. Berechne das Volumen V der Pyramide ABCDS..4 Berechne die Oberfläche der Pyramide ABCDS..0 Die Raute ABCD mit AC = 1 cm und BD = 8 cm ist die Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe MS = 10 cm. Dabei ist M der Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD]. S ist die Pyramidenspitze..1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS mit q = 0,5 und ω = 45, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll.. Berechne das Maß ϕ des Winkels MSC, den die Seitenkante [CS] mit der Höhe einschließt, sowie die Länge von [CS] jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.. Berechne das Maß γ des Winkels BSC auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. 4.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7cm ist Grundfläche einer 9cm hohen geraden Pyramide. 4.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 0,5 und ω = 45. Die Seite [CD] liegt auf der Rißachse s. 4. Berechne das Maß α des Neigungswinkels einer Seitenkante gegen die Grundfläche. 4. Berechne das Maß β des Neigungswinkels einer Seitenfläche gegen die Grundfläche. RM_AU005 **** Lösungen 5 Seiten (RM_LU005) 1 (6)

11 Raumgeometrie - gerade Pyramide 5.0 Gegeben ist eine gerade Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 10 cm und der quadratischen Grundfläche ABCD. Das Pyramidenvolumen beträgt 160 cm. Der Pyramide wird ein Quader mit der quadratischen Grundfläche EFGH so einbeschrieben, dass die Seitenkanten der Quadergrundfläche parallel sind mit den Seitenkanten der Pyramidengrundfläche. Die Höhe h Q des Quaders beträgt 40% der Pyramidenhöhe h. 5.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide mit dem einbeschriebenen Quader mit q = 0,5; ω = 45. Die Seite [CD] soll auf der Rißachse liegen. 5. Berechne das Volumen des Quaders. 6.0 Das Quadrat ABCD (Seitenlänge a) ist Grundfläche einer Pyramide mit der Höhe h = a, deren Spitze S senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M des Quadrates ABCD liegt. 6.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide für a = 5 cm; ω = 45 ; q = 0,5; [AB] liegt auf der Schrägbildachse. 6. Bestimme die Länge s(a) der Seitenkante sowie den Flächeninhalt A(a) einer Seitenfläche in Abhängigkeit von a. [Ergebnis: s(a) = 1,5 a LE A(a) = 17 4 a FE] 6. Weise nach, dass das Maß des Neigungswinkels α der Seitenfläche gegen die Grundfläche unabhängig von der Belegung von a ist. Gib das Maß des Neigungswinkels α an. 6.4 Bestimme die Belegung von a, so dass sich für die Oberfläche der Pyramide der Flächeninhalt A = 6( 17 1) cm ergibt. 6.5 Bestimme das Volumen der Pyramide für a = 6 cm. Für welche Belegung von a beträgt das Volumen der Pyramide 486 cm? 7.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 10 cm und BC = 8 cm ist die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze S senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M des Rechtecks ABCD liegt. Die Höhe h = MS ist 1 cm lang. 7.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Für die Zeichnung: ω = 0 ; q = 0,5; [AB] liegt auf der Schrägbildachse. 7. Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide. 7. Die Pyramide ABCDS wird durch einen ebenen Schnitt parallel zur Grundfläche in einen Pyramidenstumpf und eine Pyramide zerlegt. In welcher Höhe muss der Schnitt erfolgen, damit die beiden Teilkörper gleiches Volumen haben? RM_AU005 **** Lösungen 5 Seiten (RM_LU005) (6)

12 Raumgeometrie - gerade Pyramide 8.0 Die Grundfläche der Pyramide ABCDS ist das Rechteck ABCD mit den Längen AB = 7cm und BC = 8 cm. M ist der Mittelpunkt von [BC], N ist der Mittelpunkt von [AD], O ist der Diagonalenschnittpunkt. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt O. Es gilt : OS = 10 cm. 8.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [MN] auf der Schrägbildachse liegt; q = 0,5; ω = Berechne die Oberfläche der Pyramide ABCDS! 8. Berechne das Maß α des Neigungswinkels der Seitenfläche BCS zur Grundfläche ABCD, sowie das Maß β des Winkels CBS! (Ergebnis: α = 70,71 ) 8.4 Auf [MS] liegen die Punkte P n. Zeichne das Dreieck AP 1 D für MP1 = cm ein, und berechne das Maß γ 1 des Winkels MNP 1, sowie das Maß δ des Winkels DP 1 A! (Ergebnisse: NP1 = 661, cm ; γ 1 = 16,58 ) 8.5 Der Winkel MNP hat das Maß γ = 60. Trage P ein und berechne die Länge MP. 9.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit AB = a = 6 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCS mit AS = s = 9 cm. M ist der Mittelpunkt von [AC]. F ist Fußpunkt der Pyramidenhöhe h (und gleichzeitig auch Schnittpunkt der Höhenlinien im Dreieck ABC). 9.1 Zeichne ein Schrägbild mit MB als Schrägbildachse, ω = 45 und q = 0,75. Für die Zeichnung: h = 8, cm 9. ε sei der Winkel zwischen [BS] und der Grundfläche, ϕ der Winkel zwischen [BS] und [AB] und µ der Winkel zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche. Berechne die Maße der drei Winkel. 9. Von A und C aus werden Lote auf [BS] gefällt. Sie schneiden [BS] in P. Berechne AP und BP. 9.4 τ sei der Winkel zwischen den Seitenflächen ABS und CBS. Berechne das Maß von τ. RM_AU005 **** Lösungen 5 Seiten (RM_LU005) (6)

13 Raumgeometrie - gerade Pyramide 10.0 Bei einer Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche liegt die Spitze S senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M des Quadrates. Die Höhe der Pyramide beträgt 46 cm, die Seitenkanten sind 8cm lang Berechne die Länge der Grundkante und das Volumen der Pyramide. (Teilergebnis: AB = 6cm) 10. Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit ω = 45 und q = 0, Berechne das Maß β des Neigungswinkels SBD der Seitenkante [BS] gegenüber der Grundfläche. (Ergebnis: β = 57,97 ) 10.4 Berechne die Maße der Innenwinkel des Seitendreiecks BCS der Pyramide. (Teilergebnis: CBS = 67,98 ) 10.5 Berechne die Mantelfläche der Pyramide ABCDS Auf der Seitenkante [BS] liegen die Punkte P n von Dreiecken ACP n. Zeichne ein derartiges Dreieck in das Schrägbild ein. Unter den Dreiecken gibt es ein Dreieck ACP 0 mit minimalem Flächeninhalt. Berechne diesen Flächeninhalt. Berechne ferner die Länge der Strecke [BP 1 ], wobei der Flächeninhalt des Dreiecks MBP 1 10 cm beträgt Eine Pyramide ABCDS hat eine quadratische Grundfläche (Seitenlänge 6 cm) und die Höhe h = 6 cm. Auf der Kante [CS] wandert ein Punkt X Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit ω = 45 und q = 0,5. [AB] soll auf der Schrägbildachse liegen. Kennzeichne den Diagonalenschnittpunkt mit M und zeichne eine beliebige Strecke [MX] ein. 11. Berechne den Neigungswinkel ϕ einer Seitenkante gegen die Grundfläche. 11. Der Neigungswinkel zwischen der Grundfläche und der Strecke [MX] wird mit α bezeichnet. Zeige das gilt: MX = 6 sin 60 +α ( ) 11.4 Für welches α erhält man die kleinste Streckenlänge [MX]? 11.5 Zeige daß gilt: CX = 6 tanα + tanα Begründe geometrisch, daß CX für tanα + = 0 nicht definiert ist Für welches α beträgt die Fläche des Dreiecks DBX 9 6 cm? RM_AU005 **** Lösungen 5 Seiten (RM_LU005) 4 (6)

14 Raumgeometrie - gerade Pyramide 1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a cm ist die Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS. Ihre Seitenkanten sind ebenfalls a cm lang. Eine Ebene BDP mit P [AS] schneidet aus der Pyramide gleichschenklige Dreiecke BDP aus. Die Länge der Strecke AP beträgt z cm. 1.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS mit einem gleichschenkligen Dreieck BDP. Für die Zeichnung: a = 9; q = 0,5; ω = 0 ; Schrägbildachse CD. 1. Berechne die Länge der Dreiecksseite BP = y cm in Abhängigkeit von a und z! 1. Der Winkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke BDP hat das Maß ε. Berechne cos ε in Abhängigkeit von a und z! 1.4 Bestimme mit Hilfe des Terms cos ε aus Teilaufgabe 1. die Winkelmaße ε für a = 9 und z [0; 9] mit z = 1,5! 1.0 Die Raute ABCD mit AC = 14 cm und BD = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit der Höhe MS = 8 cm. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen [AC] und [BD] der Raute ABCD. 1.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDS. Die Rautendiagonale [BD] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Berechne das Maß ε des Winkels, den die Seitenkante [BS] mit der Grundfläche einschließt. [Ergebnis: ε = 6,4 ] 1. Die Punkte Q n auf der Pyramidenkante [BS] sind Eckpunkte von Dreiecken DMQ n. Zeichne das Dreieck DMQ 1, das man für BQ 1 = 7 cm erhält, in die Zeichnung ein. Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks DMQ 1 sowie die Längen der Dreiecksseiten [DQ 1 ] und [MQ 1 ]. 1.4 Der Winkel MDQ hat das Maß ϕ = 5. Zeichne das Dreieck DMQ in die Zeichnung ein. Berechne die Länge der Strecke [BQ ]. RM_AU005 **** Lösungen 5 Seiten (RM_LU005) 5 (6)

15 Raumgeometrie - gerade Pyramide 14.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalenlängen AC = 10 cm und BD = 8 cm ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS, deren Spitze S senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M mit MS = 10 cm liegt Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AC] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichung: q = 0,5; ω = Berechne das Maß γ des Winkels ASC sowie die Länge der Kante [AS]. [Ergebnis: γ = 5,1 ; AS = 11,18 cm] 14. Der Punkt E auf [AS] mit AE = 6,5 cm, der Punkt C, der Punkt F auf [BS] und der Punkt G auf [DS] sind die Eckpunkte des Vierecks EFCG, wobei [FG] parallel zu [BD] verläuft. Die Diagonalen [EC] und [FG] des Vierecks EFCG schneiden sich im Punkt T auf [MS]. Zeichne das Viereck EFCG mit seinen Diagonalen in das Schrägbild ein Berechne das Maß ϕ des Winkels CES und die Länge der Strecke [ST] Berechne die Streckenlänge [FG] und das Volumen der Pyramide EFCGS Bei einer geraden Pyramide ABCDS mit AB = b cm und BC = b cm beträgt die Länge einer Seitenkante 4b cm Zeichne ein Schrägbild mit q = 0,5 und ω = 45 für b =. Rißachse : [AB]. ( Für die Zeichnung: Pyramidenhöhe h = 7 cm ) 15. Für die Punkte Z n gilt: Z n [AB] oder Z n [BC]. Gib die Länge der Strecken [DZ n ] in Abhängigkeit von b und β an, wenn ADZ n = β. 15. Berechne die Fläche der Dreiecke DSZ n in Abhängigkeit von b und β Berechne den Winkel β*, für den die Fläche des Dreiecks DSZ n maximal wird. Begründe das Ergebnis Berechne den Winkel, den die gegenüberliegenden Seitenflächen jeweils miteinander einschließen. RM_AU005 **** Lösungen 5 Seiten (RM_LU005) 6 (6)

16 Raumgeometrie - gerade Pyramide (Tetraeder) 1.0 Eine dreiseitige Pyramide bei der alle Kanten gleich lang sind (die von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird) wird als Tetraeder bezeichnet. Die Spitze S des Tetraeders liegt senkrecht über dem Mittelpunkt F der Grundfläche. Der Mittelpunkt F ist der Schnittpunkt der Schwerelinien (Schwerpunkt) des gleichseitigen Grundflächendreiecks und zugleich auch Mittelpunkt des Umkreises (und Inkreises) des Grundflächendreiecks. 1.1 Berechne die Länge der Strecke [AF] in Abhängigkeit von der Kantenlänge a. 1. Wie groß ist die Tetraederhöhe in Abhängigkeit von a? 1. Stelle eine Gleichung für das Volumen in Abhängigkeit von a auf. 1.4 Bestimme die Oberfläche des Tetraeders in Abhängigkeit von a. 1.5 Dem Tetraeder wird eine Kugel umbeschrieben und eine Kugel einbeschrieben. Gib das Verhältnis der Volumina beider Kugeln an (V umbeschrieben : V einbeschrieben ) Grundfläche des Tetraeders.0 In einem Würfel mit 10 cm Kantenlänge sind die 6 Diagonalen der Seitenflächen die Seitenkanten eines Tetraeders..1 Berechne das Volumen des Tetraeders.. Berechne die Oberfläche des Tetraeders.. Ermittle den Neigungswinkel ϕ den eine Seitenfläche gegen die Grundfläche aufweist..4 Wie groß ist der Neigungswinkel ε einer Seitenkante gegen die Grundfläche?. Eine Tetrapak-Verpackung soll ein Flüssigkeitsvolumen von 480 cm haben. Wie groß ist die Oberfläche der tetraederförmigen Verpackung? RM_AU006 **** Lösungen 1 Seiten (RM_LU006) 1 ()

17 Raumgeometrie - gerade Pyramide (Tetraeder) 4.0 Gegeben ist das Tetraeder ABCD mit der Kantenlänge 10cm. Auf der Kante [BD] befindet sich der Punkt P, auf der Kante [CD] der Punkt Q. Weiterhin gilt PQ II BC. Die Länge der Strecke [PB] wird mit x bezeichnet. 4.1 Zeichne ein Schrägbild des Tetraeders mit ω = 60, q = 0,5 und AB als Rißachse. 4. Berechne die Länge der Strecke [AP] in Abhängigkeit von x. 4. Berechne die Länge der Strecke [PQ] in Abhängigkeit von x. 4.4 Berechne den Winkel PAQ für x = 4cm. 5.0 Gegeben ist ein Tetraeder mit der Kantenlänge a. Das Tetraeder wird von einer Ebene geschnitten, die die Kante [BC] enthält (siehe Zeichnung). 5.1 Berechne den Umfang der Schnittfigur in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ε= PBA; P [AS] und dem Maß des Winkels ε. ( ) a (Ergebnis: u = a+ sin ε+ cos ε ) 5. Ermittle den minimalen Umfang u. RM_AU006 **** Lösungen 1 Seiten (RM_LU006) ()

18 Raumgeometrie - gerade Pyramide (Tetraeder) 6.0 Gegeben ist ein Tetraeder ABCD mit der Kantenlänge a = 8 cm. Die Dreiecke ABP n mit P n [CD] schließen mit der Grundfläche ABC Neigungswinkel mit den Maßen ε n ein. 6.1 Zeichne ein Schrägbild des Tetraeders und trage ein beliebiges Dreieck ABP 1 ein. Für die Zeichnung: ω = 60, q = 0,5, AC ist Rißachse 6. Berechne das Maß ε des Winkels, für den der zugehörige Flächeninhalt des ABP ein Minimum wird. Wie groß ist dieser Flächeninhalt? 6. Das Dreieck ABP hat den Flächeninhalt 4 cm. Berechne den zugehörigen Winkel ε. 6.4 Bestimme den Umfang des Dreiecks ABP 4, wenn die Länge PC 4 = cm. 6.5 Warum hat von allen Dreiecken ABP das Dreieck ABP 5 mit PC 5 = 4 cm den kleinsten Umfang? Für diesen Fall wird der Winkel BPA ein Maximum. Berechne BP5 A! 7.0 Gegeben ist ein Tetraeder mit der Grundfläche ABC und der Spitze S. 7.1 Zeichne ein Schrägbild des Tetraeder mit der Kantenlänge 9 cm, q = 0,5 und ω = Der Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche sei δ. Der Winkel zwischen Grundfläche und Seitenkante sei ϕ. Berechne die Maße von δ und ϕ. 7. Die Dreiecke ABP n mit P n [CS] schließen mit der Grundfläche ABC Neigungswinkel mit den Maßen ε n ein. Die Kantenlänge a des Tetraeders beträgt 9 cm. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABP 1 für ε 1 = 50. Für welchen Wert von ε wird der Flächeninhalt des Dreiecks ABP minimal? Berechne ε, wenn [P C] = 5 cm ist. RM_AU006 **** Lösungen 1 Seiten (RM_LU006) ()

19 Raumgeometrie - gerade Pyramide Funktionale Abhängigkeiten 1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 9 cm ist die Grundfläche einer 10 cm hohen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M. Verlängert man die Seiten [AB] und [DC] über die Endpunkte hinaus um jeweils x cm und verkürzt gleichzeitig die Höhe um x cm ( 0 < x < 10 ), so enstehen neue vierseitige Pyramiden A'B'C'D'S' mit dem Rechteck A'B'C'D' als Grundfläche. 1.1 Zeichne ein Schrägbild der ursprünglichen Pyramide (CD = Schrägbildachse; ω = 45 ; q = 0,5) und zeichne eine Pyramide A'B'C'D'S' farbig ein. 1. Berechne das Volumen V(x) der Pyramiden A'B'C'D'S' in Abhängigkeit von x. (Ergebnis: V (x) = - 6x + x + 70) 1. Für welche Belegung von x erhält man die Pyramide mit dem größten Volumen? 1.4 Für welche Belegung von x besitzt die Seitenfläche B'C'S' der Pyramide einen extremen Flächeninhalt? (Teilergebnis: A (x) = 4,5 x 11x + 10,5 ) 1.5 Für welchen Bereich von x ist der Flächeninhalt der Seitenfläche B'C'S' größer als 54 cm? RM_016 RM_AU007 **** Lösungen 16 Seiten (RM_LU007) 1 ()

20 .0 Gegeben ist eine 1 cm hohe gerade quadratische Pyramide ABCDS. Die Grundfläche hat die Kantenlänge 6 cm. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M. Verlängert man die Diagonale [AC] auf beiden Seiten um x cmund verkürzt gleichzeitig die Höhe [MS] um x cm, so erhält man neue Pyramiden A BC DS mit Rauten als Grundfläche..1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS und der Pyramide A BC DS für x = cm; ω = 45, q = 0,5; AC sei Schrägbildachse.. Berechne das Volumen V (x) der Pyramiden A BC DS in Abhängigkeit von x. [Ergebnis: V (x) = (- 4x + 6x + 144) cm ]. Bestimme den Extremwert, den das Volumen annehmen kann und den zugehörigen x-wert..4 Für welche Werte von x beträgt das Pyramidenvolumen 00 cm?.5 Berechne die Länge der Seitenkante A 'S' in Abhängigkeit von x. (Ergebnis: A 'S'(x) x 1x 16 = + cm.6 Zeige rechnerisch, daß es kein x gibt, so daß die Seitenlänge A 'S' den Wert 10 cm annimmt. 4.0 Das Quadrat ABCD mit der Diagonalenlänge 1 cm ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Schnittpunkt M der Diagonalen des Quadrats ABCD mit MS = 1 cm. 4.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AC] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Berechne das Maß α des Winkels CAS sowie die Kantenlänge AS. 4. Wenn man die Diagonale [AC] der Grundfläche ABCD von A und von C aus um jeweils x cm verkürzt, so entstehen neue Pyramiden A n BC n DS. Zeichne die Pyramide A 1 BC 1 DS für x = in das Schrägbild ein. Berechne das Maß ε des Winkels A 1 SB und die Oberfläche O der Pyramide A 1 BC 1 DS. 4.4 Der Punkt T 1 liegt auf der Seitenkante [A 1 S] mit AA 1 = ; es gilt: A1T 1 = 4,5 cm. Berechne Die Streckenlänge TC In der Pyramide A BC DS hat der Winkel A SC = ϕ das Maß 8. Berechne den zugehörigen Wert für x. RM_AU007 **** Lösungen 16 Seiten (RM_LU007) ()

21 5.0 Die Grundfläche einer geraden Pyramide ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6 cm. Je zwei gegenüberliegende Seitenkanten schließen einen Winkel vom Maß ϕ ein. 5.1 Bestimme das Volumen V in Abhängigkeit von ϕ. ( + ϕ) cos Ergebnis : V( ϕ ) = cm oder V( ) cm tan ϕ ϕ = sinϕ 5. Tabellarisiere V(ϕ) mit ϕ = 0 in einem sinnvoll gewählten Intervall von ϕ und zeichne den Graphen. 5. Bestimme den Inhalt O der Oberfläche in Abhängigkeit von ϕ. 4 Ergebnis : O( ϕ ) = cm oder O( ) cm tan ϕ ϕ = + 1 cosϕ 5.4 Zeichne den Graphen von O(ϕ) (Bedingungen wie in Aufgabe 5.). 6.0 Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge a = 4 cm. Die Seitenflächen haben das Basiswinkelmaß ε. 6.1 Stelle den Oberflächeninhalt O in Abhängigkeit von ε dar. 6. Tabellarisiere O(ε) in einem sinnvoll gewählten Intervall mit ε = 10 und zeichne den Graphen von O(ε). 6. Berechne das Volumen in Abhängigkeit von ε. 7.0 Gegeben ist eine gerade quadratische Pyramide mit der Seitenkantenlänge s = 1 cm. Eine Seitenkante schließt mit der Grundfläche einen Winkel mit dem Maß α ein. 7.1 Berechne die Höhe h und die Grundkantenlänge a der Pyramide in Abhängigkeit von α. 7. Berechne das Volumen V der Pyramide in Abhängigkeit von α. (Ergebnis: V( α ) = 115(sin α sin α )cm ) 7. Tabellarisiere V(α) in ]0 ; 90 [ mit α = Bestimme graphisch den Extremwert des Volumens. Gib das zugehörige α 0 an. RM_AU007 **** Lösungen 16 Seiten (RM_LU007) ()

22 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 1.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit AB = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Seite [AC]. Die Höhe [MS] ist 6 cm lang. 1.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS mit q = 0,5 und ω = 45. Die Strecke [MB] soll auf der Schrägbildachse liegen. 1. Auf der Seitenkante [BS] liegt der Punkt P. Zeichne das Dreieck MBP für SP = 6 cm in die Pyramide ABCS ein, und berechne seinen Flächeninhalt. 1. Berechne die Länge der Strecke [MP]..0 Die Pyramide ABCS hat als Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [AB]. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 50 cm, die Länge der Basis 8 cm. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Dreiecksseite [BC]. Das Maß ϕ des Winkels MAS beträgt Fertige eine übersichtliche Schrägbildskizze der Pyramide ABCS an.. Berechne das Volumen V und die Oberfläche O der Pyramide ABCS.. Berechne die Innenwinkel aller Dreiecke..0 Das Dreieck ABC mit AB = 1 cm, BC = 6 cm und AC = 9,5 cm ist Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide ABCS. Der Punkt F ist Fußpunkt der Höhe [FC] auf [AB]. Die Spitze S der Pyramide liegt 7 cm senkrecht über dem Punkt F..1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS. Die Strecke [AB] soll auf der Schrägbildachse liegen. ( ω = 45 ; q = 0,75). Der Punkt M ist Mittelpunkt der Strecke [AB]. Berechne die Längen der Seiten und die Maße der Innenwinkel des Dreiecks MCS. 4.0 Der Punkt M ist Mittelpunkt der Basis [BC] des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit BC = 10 cm und AM = 9 cm. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D senkrecht über M mit MD = 11 cm liegt. 4.1 Zeichne des Schrägbild der Pyramide ABCD. [AM] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45 Berechne das Maß ϕ des Winkels MAD. [Ergebnis: ϕ = 51,4 ] 4. Punkte P n auf der Seitenkante [AD] der Pyramide sind Eckpunkte von Dreiecken BCP n. Zeichne des Dreieck BCP 1 für AP 1 = 5,5 cm in das Schrägbild ein. Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks BCP Es gibt ein Dreieck BCP, so dass P MA = 50 gilt. Berechne das Maß ε des Winkels BP C. Alle Ergebnisse auf Stellen nach dem Komma runden! RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 1 (6)

23 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 5.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge a ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Strecke [ BC ]. Die Höhe [ MS ] der Pyramide entspricht der Länge der Strecke [ AM ]. Ebenen BCP n mit P [ AS ] bilden in der Pyramide Dreicke. Der Winkel SMP n soll mit ε bezeichnet werden. 5.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit einem Dreieck BCP. Für die Zeichnung gilt: a = 8 cm; ω = 45 ; q = 0,5; [ AP ] = 4 cm. Rißachse ist AM. 5. Berechne die Dreieckshöhe [ MP ] = x in Abhängigkeit von a und ε. Wie lauten die Grenzwerte für ε. Berechne die Grenzen der Dreieckshöhe [ MP ] in Abhängigkeit von a. 5. Berechne den Flächeninhalt A der Dreiecke BCP in Abhängigkeit von a und ε. 5.4 Für welche Werte von ε beträgt der Flächeninhalt A der Dreiecke 8 cm, wenn a = 8,5 cm lang ist. 5.5 Bestimme die Streckenlänge [ AP ] = z in Abhängigkeit von a und ε. 5.6 Der Punkt P ist die Spitze von Pyramiden ABCP. Berechne das Volumen V der Pyramiden in Abhängigkeit von a und ε. 5.7 Für welchen Wert von ε wird das Volumen a / 48 cm groß? Alle Ergebnisse auf Stellen nach dem Komma runden! 6.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 6cm und BC = 4cm ist Grundfläche einer 10cm hohen Pyramide. Die Spitze liegt dabei senkrecht über dem Mittelpunkt M der Grundkante [AD]. 6.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide für q = 0,75 und ω = 45. Die Kante [CD] soll dabei auf der Schrägbildachse s liegen. 6. Berechne das Maß δ des Winkels, den die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche einschließt. 6. Berechne das Maß ε = SCM. 7.0 Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Spitze S liegt senkrecht über C. Die Höhe h = 10 cm. Die Seite des Quadrates beträgt 6 cm. 7.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit ω = 45 und q = 0,5. 7. Berechne die Länge der Seitenkanten BS und AS. 7. Berechne die Maße der Winkel CAS und CDS. 7.4 Welchen Abstand besitzt der Punkt C von der Seitenkante [AS]? Zeichne den Abstand d = [CP] in die Zeichnung ein und berechne sein Maß! 7.5 Zeige durch Rechnung, dass P die Seitenkante [AS] nicht halbiert. RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden (6)

24 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 8.0 Eine Pyramide PQRS hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck PQR mit der Seitenlänge s = 8 cm. Der Mittelpunkt M der Grundkante [QR] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h. Es gilt: MS = h = 1 cm. Ein Punkt T n bewegt sich auf [PS]. Durch [QR] und T n [PS] sind Ebenen festgelegt. Es sei T n MP = ε. 8.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 0,5 und ω = 60. Trage ein Dreieck T 1 QR in das Schrägbild ein. 8. Berechne das Maß des Neigungswinkels α der Seitenkante [PS] gegen die Grundfläche. ( Ergebnis: α = 60 ) 8. Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche QRT n in Abhängigkeit von ε. 4 ( Ergebnis: A( ε) = cm sin( 10 ε) ) 8.4 Berechne das Winkelmaß ε 0, für das die Schnittfläche den kleinsten Flächeninhalt annimmt. 9.0 Bei einer schiefen Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche liegt die Spitze S senkrecht über dem Punkt D. Es gilt AB = 6 cm und DS = 8 cm. 9.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS mit q = 0,5 und ω = Berechne das Maß ε des Neigungswinkels SBD der Seitenkante [BS] gegenüber der Grundfläche. 9. Berechne die Maße der Innenwinkel des Dreiecks SAC. [Teilergebnis: SCA = 64,90 ] 9.4 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks SAC. 9.5 Ein Punkt P liegt auf der Seitenkante [CS]. Von P wird das Lot auf [DC] gefällt; der Lotfußpunkt heißt Q. Zeichne den Punkt P und die Lotstrecke [PQ] für PQ = 6,6 cm in die Zeichnung ein. 9.6 Berechne die Längen der Strecken [CP] und [CQ] für PQ = 6,6 cm. [Teilergebnis: CP = 8,5 cm] 9.7 Der Punkt M ist der Schnittpunkt der Diagonalen im Quadrat ABCD. Berechne das Maß ϕ des Winkels CMP für PQ = 6,6 cm. Achtung: Alle Ergebnisse auf Stellen nach dem Komma gerundet! RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden (6)

25 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 10.0 Die Raute ABCD (a = 5,00 cm; α = 7,74 ) ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über C. CS = h = 6,00 cm. M ist Schnittpunkt der Diagonalen Berechne die Längen der Diagonalen [AC] und [BD]. 10. Zeichne ein Schrägbild dr Pyramide. Rissachse sei AC, ω = 45, q = 0, Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide ε = SAC. Berechne das Maß von ε Auf [AS] wandert der Punkt P n. ϕ n = AMP n Welche Werte kann das Maß von ϕ n annehmen? 10.7 Stelle die Flächeninhalte der Dreiecke BP n D als Funktion von ϕ n dar.,4 (Zwischenergebnis: MP = cm ) sin 6,87 +ϕ ( ) 10.8 Für welches Maß von ϕ erhält man das Dreieck mit minimalem Flächeninhalt? 10.9 Für welche Maße von ϕ aus 10.6 werden die Dreiecke BP n D gleichseitig? 7, Zeige, dass der Term A( ϕ ) = sin(6,87 +ϕ) auf die Form A( ϕ ) = 6 cosϕ + 4sinϕ gebracht werden kann. RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 4 (6)

26 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 1.0 Eine Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und AB = 6 cm ist gegeben. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über A, es gilt AS = 6 cm. Zeichne mit q = 0,5 und ω = 45 ein Schrägbild der Pyramide. 1.1 Ein Punkt bewegt sich auf der Seitenkante [CS] von C nach S. Die Dreiecke DBP schließen mit der Grundfläche die Winkel CMP mit dem Maß ϕ ein, wobei M der Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD] ist. Zeichne ein Dreieck DBP in das Schrägbild zu 1.1 ein und berechne den Flächeninhalt A(ϕ) der Dreiecke DBP in Abhängigkeit von ϕ. (Ergebnis: A(ϕ) = 9 1 sin( 45 ) ϕ + cm ) 1. Ermittle das Winkelmaß ϕ 0 für das flächenkleinste Dreieck DBP. 1. Die Winkel MBP haben das Maß α. Stelle α in Abhängigkeit von ϕ dar und zeichne den zugehörigen Graphen. Für welchen Wert von ϕ nimmt α einen Extremwert an? (Teilergebnis: tanα = sin45 sin(45 +ϕ) oder tanα = 1 sin( ϕ+ 45 ) ) 1.0 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basislänge BC = 1 cm und der Höhe AM = 10 cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCS. Ihre Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt H der Strecke [AM] mit HS = 1 cm. Die Punkte P n auf der Strecke [MS] sind die Spitzen von Pyramiden ABCP n. Winkel P n AS ist ϕ. 1.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. Dabei soll die Strecke [AM] auf der Schrägbildachse liegen. Zeichne dann die Pyramide ABCP 1 für ϕ = 15 ein. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Berechne α = MAS. ( Ergebnis: α = 67,8 ) 1. Ermittle die Streckenlänge AP n (ϕ) in Abhängigkeit von ϕ. Unter den Strecken [AP n ] ist [AP 0 ] die kürzeste Strecke. Gib das zugehörige Winkelmaß ϕ 0 und AP 0 an. 9, ( Teilergebnis: AP n ( ϕ) = ) sin( 45, 4 + ϕ) 1.4 Berechne ϕ so, daß AP n = 9,5 cm gilt. 1.5 Ermittle rechnerisch das Volumen V(ϕ) der Pyramiden ABCP n in Abhängigkeit von ϕ. Berechne ϕ, so daß die zugehörige Pyramide ABCP ein Volumen von 100 cm hat. ( Teilergebnis: V( ϕ) = 184, 6 sin( 67, 8 ϕ) cm ) sin( 45, 4 + ϕ) RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 5 (6)

27 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 14.0 Das Rechteck ABCD mit den Seitenlängen [AB] = a cm und [BC] = a cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit der Höhe h= a cm. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Strecke [AD]. Eine Ebene APQD mit P [BS] und Q [CS] schneidet aus der Pyramide gleichschenklige Trapeze APQD aus. Der Punkt R ist der Mittelpunkt der Strecke [PQ]. Der Winkel RMS hat das Maß ϕ Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDS und ein Trapez APQD. Trage den Winkel ϕ ein. Für die Zeichnung: a = 6 cm; ω = 45 ; q = 0,5; Rißachse ist CD. 14. Berechne die Trapezhöhe MR = x cm in Abhängigkeit von a und ϕ. 14. Berechne die Streckenlänge PQ in Abhängigkeit von a und ϕ Für welchen Wert von ϕ wird PQ = 1, a cm lang? 15.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 6 cm und BC = 4 cm ist Grundfläche einer 10 cm hohen Pyramide. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Grundkante [AD] Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 4 und ω = 45. Die Kante [CD] soll dabei auf der Schrägbildachse liegen. 15. Berechne das Maß des Winkels DAS, den die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche einschließt. Begründe, warum DAS der Schnittwinkel der angegebenen Flächen ist. 15. Berechne das Maß des Winkels SCM Ebenen schneiden die Pyramide in gleichschenkligen Trapezen BCF n G n. Sie schließen mit der Grundfläche Winkel mit dem Maß ϕ ein. Zeichne jenes Trapez BCF 1 G 1 ein, welches die Pyramidenhöhe halbiert. ( Zur Beschriftung: E ist Mittelpunkt von [BC], P ist Mittelpunkt von [F 1 G 1 ], ϕ = PEM ) 15.5 Welche Winkelmaße kann ϕ annehmen? 15.6 Berechne die Höhe [EP] und den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von ϕ. RM_AU009 **** keine Lösungen vorhanden 6 (6)

28 Raumgeometrie - schiefe Pyramide Bei allen Aufgaben: Ergebnisse auf Stellen nach dem Komma runden! 1.0 Berechne das Volumen der beiden dargestellten Pyramiden 1 und..1 Die Spitze S einer dreiseitigen Pyramide ABCS liegt senkrecht über dem Eckpunkt C der Grundfläche ABC. Die Seitenkante [CS] ist 1 cm lang und schließt mit der Seitenkante [AS] einen Winkel von 40 und mit [BS] einen Winkel von 0 ein. Der Winkel zwischen den Seitenkanten [AS] und [BS] misst 50. Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide.. M ist der Mittelpunkt der Seitenkante [CS]. Wie lang ist der kürzeste Weg von A nach M, der über die Seitenflächen ABS und BCS führt?.0 Es wird jeweils ein sich bewegender Punkt (z.b. P) betrachtet. Die verschiedenen Lagen werden mit P 1, P... (allgemein P n ) bezeichnet. Bei einer quadratischen Pyramide ABCDS mit der Grundkantenlänge a = 6 cm liegt die Spitze S über A. Die Pyramidenhöhe ist h= 6 cm. Ein Punkt P bewege sich auf der Seitenkante [CS]. Das Maß des Winkels CMPn sei ε n. Dabei ist M der Mittelpunkt der Grundfläche..1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ( q= 0,5; ω = 45 ).. Wähle einen beliebigen Punkt P 1 [CS] und zeige, dass BPD 1 gleichschenklig ist.. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks BDP für ε = Für welches Winkelmaß ε ist der Flächeninhalt von BDP minimal? RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 1 (6)

29 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 4.1 Eine schiefe Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und AB= 6cm ist gegeben. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über A, dabei gilt AS = 6 cm. Zeichne mit q = 1: und ω = 45 ein Schrägbild der Pyramide. 4. Ein Punkt P bewegt sich auf der Seitenkante [CS] von C nach S. Die Dreiecke DBP schließen mit der Grundfläche die Winkel CMP mit dem Maß ϕ ein, wobei M der Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD] ist. Zeichne ein Dreieck DBP in das Schrägbild ein, und berechne den Flächeninhalt A(ϕ) der Dreiecke DBP in Abhängigkeit von ϕ. 4. Ermittle das Winkelmaß ϕ 0 für das flächenkleinste Dreieck DBP. 4.4 Die Winkel MBP haben das Maß α. Stelle α in Abhängigkeit von ϕ dar, und zeichne den zugehörigen Graphen. Für welchen Wert von ϕ nimmt α einen Extremwert an? 5.0 Eine Pyramide PQRS hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck PQR mit der Seitenlänge s = 8 cm. Der Mittelpunkt M der Grundkante [QR] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe (Spitze: S). MS = h = 1 cm. Ein Punkt T bewegt sich auf [PS]. Durch [QR] und T n [PS] sind Ebenen festgelegt. Es sei TMP=ε n. 5.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 1 und ω = 60. Trage ein Dreieck T 1 QP in das Schrägbild ein. 5. Berechne das Maß α des Neigungswinkels der Seitenkante [PS] gegen die Grundfläche. 5. Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche QRT für ε = Berechne das Winkelmaß ε, für welches die Schnittfläche den kleinsten Flächeninhalt hat. 6.0 Die Diagonalen [AC] mit AC = 1 cm und [BD] mit BD = 10 cm einer Raute ABCD schneiden sich im Punkt M. Die Raute ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Eckpunkt C der Grundfläche mit CS = 1 cm. 6.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Die Diagonale [AC] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Die Punkte F auf der Seitenkante [AS] der Pyramide ABCDS mit FA = x cm sowie die Punkte B und D der Pyramidengrundfläche sind jeweils die Eckpunkte von Dreiecken BDF. Zeichne für x = 6 das zugehörige Dreieck BDF 1 in das Schrägbild ein. 6. Berechne das Maß ϕ des Winkels DBF Berechne die Länge MF (x) der Strecken [MF] in Abhängigkeit von x. Gib die Definitionsmenge ld(x) für die Maßzahl x der Seitenlänge FA an. 6.5 Berechne x, so dass der Winkel DBF das Maß 65 hat. RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden (6)

30 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 7.0 Das bei C rechtwinklige Dreieck ABC mit AC = 8 cm und BC = 6 cm ist Grundfläche von Pyramiden ABCS n. Die Seitenflächen ACS n stehen senkrecht auf der Grundfläche ABC, wobei die Seitenkanten [S n A] mit [AC] einen Winkel mit dem Maß α = 60 einschließen. Die Punkte F n [AC] sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen. 7.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS 1 für CF 1 = cm Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45. [AC] liegt auf der Schrägbildachse. 7. Berechne die Maße der Innenwinkel des Dreiecks ACS Die Pyramide ABCS besitzt das Volumen V = 48 cm. Berechne CF für diese Pyramide. 7.4 In der Pyramide ABCS besitzt der Winkel S CA das Maß α = 8. Berechne das Volumen V der Pyramide ABCS. 7.5 Die Seitenflächen BCS n besitzen bei C einen rechten Winkel. Berechne für CF 4 = cm die Länge der Seitenkante [BS 4 ]. Ermittle das Maß ϕ des Winkels BAS 4 durch Rechnung. 8.0 Im Drachenviereck ABCD hat die Diagonale [AC] die Länge 1 cm und die Diagonale [BD] die Länge 10 cm. AC ist Symmetrieachse des Drachenvierecks. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt M mit AM = 8 cm. Das Drachenviereck ABCD ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M mit MS = 10 cm. 8.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AC] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Berechne das Maß γ des Winkels SCA und die Länge der Strecke [CS]. [Ergebnis: γ = 68, ; [CS] = 10,77 cm] 8. Die Punkte P n auf der Seitenkante [CS] sind jeweils zusammen mit den Punkten B und D die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken BDP n. Es gilt: SP n = x cm. Zeichne das Dreieck BDP 1 mit CMP 1 = 75 in das Schrägbild ein und berechne den zugehörigen Wert für x. [Teilergebnis: x = 4,] 8.4 Berechne das Volumen der Pyramide BCDP 1. [Ergebnis: V 1 = 9,9 cm ] 8.5 Der Flächeninhalt des Dreieck BDP beträgt 5 cm. Berechne den zugehörigen Wert für x. RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden (6)

31 Raumgeometrie - schiefe Pyramide 9.0 Das gleichschenklige ABC mit der Basis AB = 10 cm und AC = BC = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt C mit CS = 9 cm. M ist Mittelpunkt von [AB]. 9.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS. CM soll auf der Schrägbildachse liegen (links C, rechts M). Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45 Hinweis: Berechne vorher [CM]. 9. Berechne die Länge von [MS] und das Maß ε des Winkels SMC. [Ergebnis: MS = 1,04 cm; ε = 48,7 ] 9. Ein Punkt P auf CS mit [CP] = cm bildet zusammen mit Q auf AS und R auf BS das Dreieck PQR. Die Mitte von [QR] = T liegt auf MS mit [MT] ist 4 cm. Die Seite QR ist parallel zu AB. Zeichne das PQR, sowie T in das Schrägbild ein. 9.4 Berechne den Winkel TPS = ϕ. [Ergebnis: ϕ = 79,6 mit gerundeten Zwischenwerten] 9.5 Berechne den Winkel QPR = δ. [Ergebnis: δ = 7,75 mit gerundeten Zwischenwerten] 9.6 Berechne die Streckenlänge [CT]. [Ergebnis: CT = 6,1 cm] 9.7 Berechne den Flächeninhalt des Deiecks CMT. [Ergebnis: A = 11,96 cm ] 10.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 7 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Ihre Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt F der Seite [BC]. Der Punkt F ist Mittelpunkt der Seite [BC]. Der Winkel FES hat das Maß 48. Auf der Strecke [ES] liegt ein Punkt P, wobei EP = 4,5 cm gilt Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AB] liegt auf der Schrägbildachse. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = Berechne die Höhe FS der Pyramide. 10. Zeichne den Punkt P in das Schrägbild ein. Berechne das Maß ε des Winkels CPB und das Maß ϕ des Winkels FPS Das Dreieck BCS ist Grundfläche der Pyramide BCSP mit der Spitze P. Berechne das Volumen V dieser Pyramide Berechne das Maß δ des Winkels SBP. RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 4 (6)