Aufgaben zu Lagebeziehungen Gerade/Ebene und Ebene/Ebene

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1 Aufgaben zu Lagebeziehungen Gerade/Ebene und Ebene/Ebene. Untersuchen Sie jeweils die Lagebeziehung zwischen der Ebene E und der Geraden g.. E: x + 4x x 4 g: + 6 k x. E: x 6x + x 6 g: k x. E: x x x + 7 g: k x.4 E: s r x g: + 4 k x. Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g, die durch die Punkte A(//6) und B(//) festgelegt ist, durch die Ebene E: x x +x.. Untersuchen Sie jeweils die Lagebeziehung zwischen den Ebenen E und E.. E: x + 5x x 8 E: x 7,5x + 4,5x +. E: + + t k x E: x x + 4. E: x + x + x E: x x x.4 E: x + x + 9x E: x x + x 6.5 E: x + x 4x 6 E: + + t k x 4. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g: t x und der Ebene E: x + x x. 5. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den Ebenen E: x x x und E: + t k x.

2 6. Vor dem Louvre, dem berühmten Pariser Kunstmuseum, wurde im Jahre 989 eine Glaspyramide erbaut, welche den unterirdisch liegenden Haupteingang beherbergt. Diese Pyramide wurde der CheopsPyramide nachempfunden. Die Seitenlänge der quadratischen, nach unten offenen Grundfläche beträgt 5 m und die Spitze S liegt lotrecht über deren Mittelpunkt in einer Hhe von m. In einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem ( LE m) sind der Ursprung und der Punkt B(5;5;) zwei Eckpunkte der in der x, xebene liegenden horizontalen Grundfläche. Die Skizze zeigt die prinzipielle Lage der Pyramide. (Abitur BI) 6. Geben Sie die Koordinaten der beiden Eckpunkte A und C sowie der Spitze S an. 6. Bestimmen Sie eine Parameter und eine Normalengleichung der Ebene E, in der die Punkte A, B und S liegen. (Mgliches Teilergebnis: E : x + 7,5x 77 ) 6. Berechnen Sie den Neigungswinkel einer Seitenfläche gegenüber der Grundfläche. 6.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt einer der vier gläsernen Seitenflächen. 6.5 An einem im Punkt S befestigten Seil wurde eine nach allen Seiten gleichmäßig Licht abstrahlende Lampe so aufgehängt, dass die Lichtstrahlen im Schwerpunkt jeder Seitenfläche senkrecht auftreffen. Zeigen Sie, dass der Punkt M ( 75 6 / 5 / ) der Schwerpunkt des Dreiecks ABS ist und zeigen Sie, dass der Aufhängepunkt P der als punktfrmig angenommenen Lampe unterhalb der offenen Grundfläche OABC liegt. 6.6 Vor der Pyramide steht ein senkrechter Fahnenmast, dessen Spitze F die Koordinaten F(4//8) besitzt. Paralleles Sonnenlicht mit dem Richtungsvektor,5 l erzeugt auf der Seitenfläche ABS der Pyramide den Schattenpunkt FS der Spitze F. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes FS

3 7. Die Punkte A(//) und B(//) legen die Gerade g fest, die Punkte Ck(k/k/k) liegen auf der Geraden h. (Abitur BII) 7. Geben Sie für die beiden Geraden g und h jeweils eine Gleichung an und untersuchen Sie die gegenseitige Lage dieser beiden Geraden. 7. Stellen Sie eine Gleichung der Geraden i auf, die die beiden Geraden g und h jeweils senkrecht schneidet. 7. Die Punkte A, B und Ck legen für jeden Wert von k genau eine Ebene Ek fest. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene Ek in Normalenform. (Mgliches Ergebnis: E k : kx + (k )x + x k + ) 7.4 Gegeben ist außerdem die Ebene H : x x x + 9. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes S, der sowohl auf der Ebene H als auch auf jeder Ebene Ek liegt. 8. Methan CH4 ist eine Kohlenwasserstoffverbindung. Das Molekül hat die Form eines regulären Tetraeders, in dessen Ecken sich die HAtome befinden. Das CAtom liegt im Punkt C, gleich weit von allen HAtomen entfernt. Der Punkt C teilt die Hhen des Tetraeders im Verhältnis :. Die Ecken des Tetraeders, also die Lage der HAtome seien die Punkte P(;;), Q(;;), R(;;) und S(;;). (Abitur BII) 8. Die Punkte P, Q und S liegen in einer Ebene F. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform. (Mgliches Ergebnis: F : x + x x ) 8. Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders PQSR. 8. Der Punkt T ist der Fußpunkt des vom Punkt R auf die Ebene F gefällten Lotes. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T. (Ergebnis: T( ; ; )) 8.4 Berechnen Sie die Koordinaten des CAtoms. 8.5 Bestimmen Sie den Winkel zwischen zwei CHBindungen, also z.b. den Winkel PCS.

4 9. In einem kartesischen Koordinatensystem des sind die Ebenen Ea und die Gerade g gegeben: E a :(+ a) x + a x (a ) x a mit a Î g :x + l mit l Î. (Abitur BI) 9. Geben Sie für a die besondere Lage der Ebene E im Koordinatensystem an. 9. Untersuchen Sie die Lage der Geraden g zur Ebene Ea in Abhängigkeit von a. 9. Zeigen Sie, dass der Punkt P(//) auf allen Ebenen Ea, aber nicht auf der Geraden g liegt. 9.4 Der Punkt P und die Gerade g legen eine Ebene F fest. Geben Sie eine Gleichung der Ebene F in Parameterform an und schließen Sie aus Ihren bisherigen Ergebnissen auf die Lage der Ebenen Ea zur Ebene F in Abhängigkeit von a. Begründen Sie Ihre Aussagen ohne weitere Rechnung.. Die Abbildung zeigt ein Zelt mit der Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge m und der Spitze S in m Hhe über dem Mittelpunkt der Grundfläche. In der Vorderfläche PQS befindet sich die trapezfrmige Einstiegsffnung ABCD. Dabei sind C und D die Mittelpunkte der Strecken [BS] bzw. [AS]. Die Strecken [PA] und [BQ] haben jeweils die Länge,5 m. Maßstab des Koordinatensystems: LE m. (Abitur BII). Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C, D und S und berechnen Sie den Flächeninhalt der Einstiegsffnung. (Teilergebnis: D(,5/,75/)). Eine als punktfrmig angesehene Lichtquelle, die 5 cm unter der Zeltspitze S hängt, erzeugt bei geffneter Einstiegsffnung auf dem horizontalen Boden vor dem Zelt einen viereckigen Lichtteppich ABC D. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte C und D.

5 . In einem kartesischen Koordinatensystem des ist die Menge der Ebenen a E a : x + l + m a mit l,m,a Î gegeben, außerdem die a + Menge der Punkte C k,m (k m / m / k + m + 4) mit k,m Î.(Abitur BI). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Koordinatenform, auf der alle Punkte Ck,m liegen. (Mgliches Ergebnis: F : x + x + x 4 ). Zeigen Sie, dass die Ebene F auch in der Menge der Ebenen Ea enthalten ist.. Die Ebene F schneidet die xachse im Punkt S und die xachse im Punkt S. Diese Punkte bilden mit dem Koordinatenursprung und dem Punkt P(//) eine dreiseitige Pyramide. Berechnen Sie die Volumenmaßzahl dieser Pyramide..4 Es gibt zwei verschiedene Ebenen E a und E a, die mit der Ebene F jeweils einen Winkel von 45 einschließen. Bestimmen Sie die zugehrigen Werte a und a auf zwei Nachkommastellen gerundet..5 Zeigen Sie, dass die Gerade g mit der Gleichung x + n in allen Ebenen Ea enthalten ist und berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Geraden g mithilfe des Lotfußpunktes L. mit n Î,. Die folgenden Informationen beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem des. Für die Einheiten auf den Koordinatenachsen gilt jeweils LE m. Auf das Mitführen der Einheiten bei den Berechnungen kann verzichtet werden. Ergebnisse sind gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden. An einem Hang soll eine Scheune errichtet werden mit den Eckpunkten A(//), B(8//,4), C(8/8/,8) und D(/8/,4), die in einer Ebene liegen. Die vier Seitenwände der Scheune verlaufen senkrecht zur xxebene. Die Scheune soll in dem Viereck ABCD in den Hang hineinragen und ihr Boden soll in der xxebene verlaufen, weshalb ein Teil des Hanges abgetragen werden muss. (Abitur BII)

6 . Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist und berechnen Sie dessen Flächeninhalt. Berechnen Sie außerdem das Volumen der Erde, die vom Hang abgetragen werden muss.. Die eine Dachfläche liegt in der Ebene E : x + 4x 6. In der anderen Dachfläche liegen die Punkte U(6//5,5), V(4/4/7) und W(8/6/4), durch welche auch die Ebene F festgelegt wird. Die beiden Dachflächen treffen im Dachfirst aufeinander und werden durch die Seitenwände der Scheune begrenzt. Beschreiben Sie die Lage der Ebene E im Koordinatensystem und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameterform. Stellen Sie außerdem die Gleichung der Ebene F in parameterfreier Form auf. (Mgliches Teilergebnis: F :,5x + x ). Berechnen Sie die Neigungswinkel b E und b F der beiden Dachflächen bzgl. der xxebene und den Winkel g, unter dem die beiden Dachflächen aufeinandertreffen..4 Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Endpunkte R und R des Dachfirsts..5 Die Dachflächen sollen nun über die Scheunenwände hinaus verlängert werden. Zur Stabilisierung werden Stützbalken zwischen den Seitenwänden und den verlängerten Dachflächen angebracht. Eine dieser Stützen soll an einer Seitenwand im Punkt P(/4/) angebracht werden. Berechnen Sie die Mindestlänge dieser Stütze und bestimmen Sie den anderen Endpunkt L dieser Stütze.

7 . In einem kartesischen Koordinatensystem des mit dem Ursprung sind der Punkt P(7//8) und die Ebenen E, F und Gk mit k Î gegeben: E : 4x x + x + 8 F : x + x G k : x + x + k. (Abitur 4 BI). Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen E und F. (Mgliches Ergebnis: ). Bestimmen Sie alle Werte von k, für die die drei Ebenen E, F und Gk jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben.. Zusätzlich sind die Gerade und der Punkt Q(4/4/) gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte S und S auf der Geraden h so, dass das Volumen der jeweiligen Pyramide OPQS uns OPQS die Maßzahl 7 hat. 4. Ein Fluglotse beobachtet zwei Flugzeuge gleichzeitig, deren jeweilige Position F und F sich in einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem des in einem bestimmten Zeitraum durch folgende Gleichungen beschreiben lassen: Die Koordinaten von haben die Einheit km, die Parameter t und t beschreiben jeweils die nach dem gleichzeitigen Beobachtungsbeginn verstrichene Zeit in Minuten. Auf das Mitführen der Einheiten bei den Berechnungen kann verzichtet werden. (Abitur 4 BI) 4. Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen schneiden, es aber zu keiner Kollision kommt. 4. Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunkt t ab Beobachtungsbeginn für den Abstand d(t) zwischen beiden Flugzeugen gilt: d(t),57t 9,4t + 5,4. Bestimmen Sie außerdem den Zeitpunkt tmin (gerundet auf eine Nachkommastelle), zu dem der quadrierte Abstand (also d(t) ) am geringsten ist.

8 5. In einem kartesischen Koordinatensystem des mit dem Ursprung O sind die Punkte A(//), Bk(k//) mit k Î und C(/6/) sowie die Ebene E : 5x + x + x 4 gegeben. (Abitur 4 BII) 5. Die Ebene E schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten X, Y und Z. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide OXYZ. 5.. Die Ebene Hk enthält das Dreieck ABkC und wird beschrieben durch die Gleichung H k : 5x (k + 4)x + (k 9)x k 9 (Nachweis nicht erforderlich). 5.. Untersuchen Sie, für welche Werte von k sich die Ebenen E und Hk in einer gemeinsamen Geraden schneiden. 5.. Berechnen Sie für k eine Gleichung der Schnittgeraden von E und H sowie den Schnittwinkel zwischen E und H auf eine Nachkommastelle gerundet. 5.. Bestimmen Sie den Wert für k so, dass Hk den Ursprung enthält. Untersuchen Sie anschließend, ob in diesem Fall der Ursprung O im Inneren des Dreiecks ABkC liegt. (Teilergebnis: k,75) 6. In einem kartesischen Koordinatensystem des Gerade h gegeben. Dabei gilt: sind die Ebenen Ea und F sowie die Die Ebene F enthält die Gerade h und verläuft parallel zur xachse. (Abitur 5 BI) 6. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene F in Koordinatenform auf. (Mgliches Teilergebnis: F : x + x ) 6. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von h und Ea in Abhängigkeit von a. 6. Untersuchen Sie, ob sich die Ebenen Ea und F senkrecht schneiden knnen, und für welchen Wert von a die Ebenen Ea und F parallel sind. 6.4 Ermitteln Sie alle Werte von a, für die sich die Ebenen Ea und F unter einem Winkel von 45 schneiden..

9 7. Beim Bau einer neuen Zahnradbahn ist ein Bergmassiv zu untertunneln (siehe Schnittskizze nicht maßstäblich). Um die Bauzeit des Tunnels zu verkürzen, wird von den Punkten A und B aus gleichzeitig je eine zylinderfrmige Tunnelrhre mit einem Radius von m gebohrt. Für die Berechnungen wird ein kartesisches Koordinatensystem des verwendet. In diesem Koordinatensystem gilt A(//) und B(/5/54). Die Mittelachsen der Tunnelrhren liegen auf den Geraden g bzw. g. Vom Punkt A aus wird in Richtung und vom Punkt B aus in die Gegenrichtung gebohrt. Alle Koordinaten sind in Meter angegeben. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden. (Abitur 5 BI) 7. Weisen Sie nach, dass der Punkt B genau 4 m oberhalb (in xrichtung) von g liegt. 7. Untersuchen Sie, ob bei diesen Verhältnissen die Tunnelrhren wenigstens teilweise aufeinander treffen. 8. In einem kartesischen Koordinatensystem des Ebene F gegeben: sind die Geraden g, g und die (Abitur 5 BII) 8. Begründen Sie, dass die Geraden g und g eine Ebene E aufspannen und bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene E in Parameterform und in Koordinatenform. (Mgliches Teilergebnis: E : x + 4x + 7x ) 8. Die Ebenen E und F schneiden sich in der Geraden s. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s. (Mgliches Teilergebnis: )

10 8. Berechnen Sie die Grße des Schnittwinkels der Ebenen E und F. Runden Sie das Ergebnis auf eine Nachkommastelle. 8.4 Ermitteln Sie den Abstand der parallelen Geraden s und g. Zusätzlich zu den Ebenen E und F aus Aufgabe 8 sind nun die Ebenen H : ax + 6x + 9x mit a Î gegeben. a 8.5 Prüfen Sie, ob eine der Ebenen Ha zu F parallel ist. 8.6 Bestimmen Sie alle Werte von a so, dass für den Abstand da des Ursprungs von der Ebene Ha gilt: d a. 8.7 Bestimmen Sie den Wert von a, für den die Normalenvektoren der Ebenen E, F und Ha keine Basis des bilden. 9. In einem kartesischen Koordinatensystem des sind die Punkte A(8/5/6), B(4//), Pa(/a/) und Qb(b/b/b+) mit a, b Î sowie die Geraden h und h gegeben: Die Geraden h und h spannen die Ebene E auf. (Abitur 6 BI) 9. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. 9. Die Ebene E : 4x + 4x + 7x schneidet die xxebene in der Geraden s. Ermitteln Sie eine Gleichung von s. 9. Die Gerade g geht durch den Punkt A und schneidet die Ebene E im Punkt Pa. Ermitteln Sie eine Gleichung von g. 9.4 Berechnen Sie den Abstand des Punktes A von der Ebene E sowie die Koordinaten des Spiegelpunktes A, der durch Spiegelung des Punktes A an der Ebene E entsteht. 9.5 Prüfen Sie, ob es einen Wert für den Parameter b gibt, sodass die Vektoren und orthogonal sind. 9.6 Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide ABQP.

11 9.7 Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar fc:. Untersuchen Sie, für welche Werte von c sich die Gerade mit einer Geraden aus der Geradenschar fc schneidet.. Ein Meeresgebiet ist festgelegt durch die Koordinaten eines ruhenden Forschungsschiffes F(6//), den Fußpunkt eines Leuchtturms L(/5/) sowie eines zunächst an der Wasseroberfläche fahrenden Unterseeboots mit Uk(4k//) mit k Î. Die angegebenen Koordinaten stellen Punktes in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem dar. Seegang, Drift und Wind sowie die Erdkrümmung bleiben bei den Berechnungen unberücksichtigt. Die Koordinaten sind alle in Meter angegeben, auf das Mitführen der Einheit Meter kann bei den Berechnungen verzichtet werden. (Abitur 6 BII). Zeigen Sie, dass sich das UBoot geradlinig auf der Wasseroberfläche bewegt und berechnen Sie den minimalen Abstand des UBootes vom Forschungsschiff... Für die folgenden Teilaufgaben gilt k, somit U(//)... Untersuchen Sie, ob sich ein Blauwal an der Position B(587/4/) außerhalb oder innerhalb des von den Punkten F, L und U begrenzten Seegebietes aufhält... Die Funksignale werden zwischen Forschungsschiff F, der Spitze des Leuchtturms S(/5/5) und dem Unterseeboot ausgetauscht. Die Punkte F, S und U liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameter und in Koordinatenform. (mgliches Teilergebnis: E :5x 99x + 986x 7 ).. Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die sowohl in der Wasseroberfläche als auch in der Ebene E aus.. liegen... Von der Position U taucht das UBoot geradlinig in Richtung bis in eine Wassertiefe von Metern zum Tauchpunkt T ab... Berechnen Sie die Koordinaten des Tauchpunktes T und die beim Tauchvorgang zurückgelegte Strecke. Runden Sie auf ganze Meter... Laut Herstellerangaben darf das Tauchboot beim Tauchvorgang einen maximalen Tauchwinkel von 6 Grad gegenüber der Horizontalen nicht überschreiten. Prüfen Sie das Einhalten der Vorgaben durch Berechnung.

12 . Im sind die Geraden gq und h gegeben: q g q : x + l q mit q, l Î ; h : x + m mit mî. q q + (Abitur 7 BI). Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der zwei Geraden gq und h in Abhängigkeit von q... Setzen Sie nun q... Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Geraden g und h auf eine Nachkommastelle gerundet... Die Gerade g und h legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und in Normalenform.. Die Abbildung zeigt einen Wintergarten, dessen Boden in der xxebene eines kartesischen Koordinatensystems liegt. Das rechteckige Glasdach ABCD ist von einer Markise bedeckt. Dabei wird der Abstand zwischen Glasdach und Markise vernachlässigt. Die Ebene, in der die Markise liegt, wird mit M bezeichnet. Folgende Punkte des Wintergartens sind gegeben: A(5//5), B(5/4/), D(//5) und E(5/4/). Alle Koordinaten sind in Metern angegeben. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden. (Abitur 7 BII). Die Markise lässt sich in Verlängerung des Glasdaches über die untere Dachkante [BC] um,5 m bis zum Punkt Q (siehe Skizze) ausfahren. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q. (Ergebnis: Q(5/5/,5). Geben Sie eine Gleichung der Ebene M in Parameterform an und formen Sie diese in eine Koordinatenform um. (Mgliches Teilergebnis: M : x + 4x ). Berechnen Sie das Volumen des Wintergartens in m..4 Mithilfe zweier Drahtseile, die an den schrägen Dachstreben [AB] und [DC]

13 befestigt werden, soll eine Leuchte im Wintergarten im Punkt U(,4/,5/,8) aufgehängt werden. Ermitteln Sie die Mindestlänge des Drahtseils, das an der Strebe befestigt wird, welche weiter von U entfernt ist. Runden Sie das Ergebnis auf cm..5. Damit sich der Wintergarten bei Sonnenschein nicht zu stark aufheizt, ist die Markise jetzt bis zum Punkt Q ausgefahren. Die Richtung der einfallenden Sonnenstarhlen wird durch den Vektor w,8 beschrieben., 4.5. Ohne Markise verliefe der Sonnenstrahl s durch den Punkt E. Geben Sie eine Gleichung für die Gerade s an und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts T von s mit der Markisenebene M. (Ergebnis: T(4/4,8/,4).5. Erläutern Sie ohne Rechnung, ob der Punkt E bei diesem Sonnenstand im Schatten der ausgefahrenen Markise liegt.

14 Lsungen. Aus dem Normalenvektor der Ebene E und dem Richtungsvektor der Geraden g folgt, dass sich E und g in einem Punkt schneiden. Den Schnittpunkt erhält man durch Einsetzen der Koordinatengleichungen der Gerade g in die Ebene E und berechnen des Parameters k Þ S(6//). Die Gerade g liegt in der Ebene E.. Die Gerade und die Ebene E schneiden sich Þ S(/8/7).4 Verwandeln der Ebene E in Normalenform; 4 7 n Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich Þ S(8/7/). Bestimme die Geradengleichung g(a,b): k x Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Ebene ergibt sich dann als S(//).. Die Normalenvektor sind linear abhängig, also sind die Ebenen entweder echt parallel oder identisch. Prüfe dazu, ob ein Punkt der Ebene E in der Ebene E liegt. Es folgt dann, dass die Ebenen E und E identisch sind.. Die Ebenen E und E schneiden einander. Schnittgerade g: + + k k x. Schnittgerade g: k x.4 Die Ebenen E und E schneiden einander. Schnittgerade g: t x

15 .5 Die Ebenen E und E sind echt parallel zueinander. 4. sin Þ 5. cos Þ A(5 / / ) C( / 5 / ) S(7,5 /7,5 / ) 6. E : 5 7,5 x + l 5 + m 7,5 7,5 n E 5 7,5 7,5 é E : ê ê 7,5 ë ê x x x 5 ù ú ú Þ E : x + 7,5x 77 û ú 6. Grundfläche G: x cosa n E ng 7,5 ng 79,5 n E»,65 Þ a» 5,5 6.4 A Seitenfläche AB AS 77 6,5» 49,95 m

16 s (a + b + s) 87,5 5, Þ M ( 75 6 / 5 / ) Hilfsgerade h, die senkrecht auf der Seitenfläche ABS steht und durch M geht: h : x l 7,5 Hilfsebene H, die senkrecht auf x Achse steht und S enthält: é H : ê ê ë ê h Ç H P 75 6 { } x x x 7,5 ù 7,5 ú ú Þ H : x 7,5 û ú + l 7,5 Þ l 5 66 Þ p ,5 66 7,5 7,5 5 Þ P liegt unterhalb der offenen Grundfläche ABC, weil p < ist. Sonnenstrahl: s: x 4,5 + t 8 sç E { F S } Þ (4,5t) + 7,5 (8 t) 77 Þ 88 55t + 4 5t 77 Þ t Þ f S + 5, Þ F S 8 / 65 / 9

17 7. g : x + s Þ g : x + s 4 h : x + k Untersuchung der gegenseitigen Lage der Geraden g und h: k r Þ k Þ g und h nicht parallel 4 k 4 Þ + s + k Þ (I ) s k (II ) s k (III ) + s k Þ + k k Þ Þ die Geraden g und h sind windschief zueinander

18 7. Aufstellen eines Verbindungsvektors von g zu h: X g X h Þ k + s k s k 4s k + s k s k + 4s 4 k + s k s k 4s Þ k + 4s k 4s 4k 6s Þ 8k 4s+ Þ k + s k s k 4s Þ k + s+ k + s+ k + 4s Þ k + 8s Þ (I ) 8k 4s+ (II ) k + 8s Þ k s 4,5 Þ X g X h,5 Þ i : x,5 + t,5 7. AB 4 k AC k k k k k n Ek k k 4 4 k k é x ù E k : k 4 ê x ú ê ú ë ê x û ú Þ E k : kx + (k 4)x + x k + 4 Þ E k : kx + (k )x + x k +

19 Der Punkt S liegt einerseits auf der Geraden AB (E k Ebenenbüschel mit gemeinsamer Gerade AB) und andererseits auf der Ebene H { } ABÇ H Þ { S} gç H Þ S Þ s s+ 4 8s+9 Þ s 4 Þ s Þ x S + 4 F : x + l + m n F é F : ê ê ë ê x x x 4 6 Þ S( / 4 / 6) ù ú ú Þ F : x + x x û ú 8. V Tetraeder 6 PR PQ PS PR PR PQ PS ( ) ( ) Þ V Tetraeder 6 VE

20 8. Hilfsgerade h auftsellen, die durch R geht und senkrecht auf F steht: h : x + t h Ç F T { } : h in F einsetzen: t + t ( t) Þ t Þ t Þ t + Þ T ; ; 8.4 TC 4 TR Þ c c c 4 é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú Þ c c c Þ C ; ;

21 8.5 cos CP CS CP CS CP CS Þ CP Þ CS CP CS ,5 Þ cos,75, 75,5, Þ» 9, 47 +,75, E :x + x Die Ebene E ist eine Ursprungsebene, die die x Achse enthält. g in E a : (+ a) ( l) + a l (a ) (+ l) a Þ+ a l a l + a l + a a l + l a Þ a l + l + a Þ (a +) l + (a ) Þ a : g Ì E a ¹ : g schneidet E a 9. P in g: l + l Þ l + l P in E a : (+ a) + a () (a ) () a Þ l l l Þ P Ïg + a a + a a Þ (w) Þ P ÎE a

22 9.4 F :x + l + m mit l,m Î P ÎE a und P ÎF Þ E a und F nicht echt parallel, da P Ïg a : g Ì E und g Ì F Þ E und F identisch a ¹ : E a und F schneiden sich in einer Geraden. P( / / ), R( / / ), Q( / / ), A( /,5 / ), B( /,5 / ), S(/ / ) c b + s d a + s ( ),5 ( ) A ABD AB AD,5,5,5,5,75 Þ C(,5 /,5 /) Þ D(,5 /,75 /),5,5,5 + +,5,5 A BCD BC BD,5,5,5,75,5,5,5 + +,65,5 Þ A Trapez ABCD,5 +,5 8 5»,84(m )

23 . L( //,75) Gerade LD aufstellen: g :x g Ç x x Ebene { D } x x Ebene : x,75 + s,5,5,75 s Î Þ,75,75s Þ s Þ d +,5,5,75,75 Gerade LC aufstellen: g :x g Ç x x Ebene { C } Þ,75,75t Þ t, Þ D 6 / 5 /,5 + t,5,75 t Î Þ c,75 +,5,5, Þ C 6 / 9 /. F : x n F Þ F : 4 + k + m x x x + Þ F : x + x + x 4

24 . E a in F einsetzen: ( l + m a) + (+ m a) + (+ m a + m) 4 Þ 4m a + m Þ (4a + )m Þ a,5. S (4 / / ) S ( / 4 / ) V 6 S S S ( ) P S Þ V cos45 n n E a F n Ea n F n Ea a a a + a + a + a n Ea n Ea n F n F a + a + a a ++ a + 4a a ( a + ) + ( a + ) + (a) 6a + 4a Þ a 6a + 4a + 6 Þ 7a + 48a a Þ 7a + 48a a + 6a Þ 56a + 8a + 8 Þ 7a +a + Þ a 5 + 7», a 5 7»,

25 .5 E a : a + a + a g in E a einsetzen: x x x Þ E a :(a + )x + (a + )x ax (a + ) (+ n) + (a +) ( n) a Þ Þ g liegt in E a für alle a Î A(+n / n / ) Îg A r g Þ +n n Þ L( / / ) Þ d(;g) L Þ A + n n Þ + n +n Þ n. AB Þ éë AB 8,4 DC 8,4 AD ù û und éë DCù û parallel und gleich lang Þ éë ADù û und éë BCù û parallel und gleich lang Þ ABCD ist ein Parallelogramm AB AD Þ AB 8,4 8 8,6,4,4 und AD stehen nicht senkrecht aufeinander Þ ABCD kann kein Rechteck sein A Parallelogramm AB AD 8,4 8,4 BC,, 64 8,4 (,) + (,) ,48» 64, m Betrachte Punkte ABD: Volumen 8 8,4,8 m Betrachte Punkte BDC: Volumen 8 8,4,8 m Þ Volumen Erde,8 m +,8 m 5,6 m

26 . E verläuft echt parallel zur x Achse Drei Punkte der Ebene E bestimmen, z.b.: A( / / 4), B( / 4 / 4), C(4 / / ) Þ E : x n F UV Þ F : 4 UW 4 + s 4,5 x 6 x x 5,5 4 + t 5,5 6 n F * Þ F : x + 4x 4 4. x x Ebene : x Þ n H cosb E n n E H n E n H n E n H 4 4 n E n H Þ cosb E 4 5 Þ b» 6,9 E cosb F n n F H n F n H n F n H,5 n,5 + 4,5 n F H Þ cosb F,5 Þ b F» 6,9 g 9 6,9 5, g Þ die Dachflächen treffen sich in einem Winkel von 6, ;

27 .4 Gerade durch R und R bestimmen (Schnittgerade von E und F): (I) x + 4x 6 (II),5x + x (II) + (I) : 8x 56 Þ x 7 (I) Þ x Þ x 4 Þ R (4 / / 7) R (4 / 8 / 7) x beliebig.5 Hilfsgerade h durch P aufstellen, die senkrecht auf E steht. Betrachtete Dachfläche muss nach Skizze Ebene E sein, wegen z.b. Schnittpunkt mit der x Achse. h : x 4 h ÇE L + s 4 { } h in E einsetzen (s) + 4 ( + 4s) 6 Þ 5s,4 Þ s,6 Þ l 4 Länge der Stütze: PL,48 +,6 4 4,64,48,64 Þ L(,48 / 4 /,64) (,48) +,64,64,8 m.

28 . s in G k einsetzen : 6 l + l + k Þ k 6. Þ für k λ\ 6 Alternative: 4 { } haben die drei Ebenen keinen gemeinsamen Punkt 8 k Þ k + ¹ Þ k ¹ 6 Þ 4 8 k Þ 4 8 k +

29 4. 4.,6,8, a,4, Þ (I) (II) (III),6,4a,8,a, (f) Þ F und F schneiden sich oder sind windschief; 5,6 5,8,8 + t,6,8, (I) 5,6 +,6t 7,8 +,4t (II) 5,8 +,8t,8 +,t (III),8 +,t 4, (III) Þ,t, Þ t 7,8,8 4, + t,4, (II) Þ 5,8 +,8,8 +,t Þ,t, Þ t t und t in (II) : 5,6 +,6 7,8 +,4 Þ (w) Þ F und F schneiden sich in einem Punkt, aber da t und t unterschiedlich sind, wird es zu keiner Kollision kommen.

30 5. 5..

31 k 9 Þ k, 75 l AB + l AC A, 75 l + l, 75 (I), 75l l (II) l + l (III) l + l (II) + (III) : 5l Þ l, (III) Þ l + (, l ) Þ, 4 Þ l, 8 l und l in (I) :, 75 (, 8) (, ) Þ (w) Ursprung kann nicht im Dreieck AB C liegen, weil l negativ ist., 75

32 6. 6. h in E a einsetzen : a( + l) (a )( l) + 6a + 4al (a al ++ l) + Þ 7a + 5al l + Þ 5al l 7a Þ l(5a ) 7a Þ 5a Þ a, a, :,4 (f) Þ h echt parallel zu E, a λ\, { } : h und E a schneiden sich 6.

33 6.4 7.

34 7.

35

36

37

38

39

40 9.7

41 ...

42 .... Alle Punkte in der Ebene E mit x 5x + 99x 7 x k beliebig 5k + 99x 7 Þ 99x 7 5k Þ x k Þ P k k / k /..

43 ..

44 . q q l q + (I) q l (II) q (III) q + l (II) Þ q Þ (I) l (III) l Þ für q sin d r und r linear abhängig und damit g und h echt parallel oder identisch Punktprobe: g h + m (II) Þ (f ) Þ g und h echt parallel q ¹ : q + l q + m q q + (I) (q ) l + m (II) + ql (III) q + (q + ) l m (II) Þ ql,5 (I) Þ,5 l + m Þ m,5 l (III) Þ q + ql + l,5 + l Þ q +, 5, 5 Þ q Þ für q schneiden sich g und h { } q für q Î \ ; : g und h windschief

45 .. 4 g : x + l rg r h cos a r r g h 4 4 rg r h + 4 Þ cos a Þ a» 5,8.. 4 E : x s t ne 4 x E : 4 x Þ E : x 4x + x + 6 x AB AB Q B +, 5 AB 4 +,5 4 5 Þ Q(5 / 5 /,5) 5, 5

46 . 5 M : x + s AB + t AD M : x s 4 t nm 4 5 Þ n M * 4 x 5 M : x Þ M : x + 4x 4 x ATrapez 4 4 (x Achse bis A : 5; EB ; x Achse bis E : 4) Þ V m (x Achse bis E : 5) Die Strebe [AB] ist von U weiter entfernt, weil x Gesucht ist der Abstand von U zur Geraden AB x,4 H: 4 x,5 Þ H : 4x x +, 4 x,8 5 g : x + k 4 in H einsetzen : 5 4 4k (5 k) +, 4 Þ6k 5 + 9k +, 4 Þ 5k, 6 Þ k, f,54 4, 6 + 5, 488,6 Þ + +,688 Komponente von U,4 ist d(u;g) UF,56, 6,56, 688 7,4996»,74 m

47 .5. 5 s : x 4 t,8 +,4 M Ç s T { } (4,8t) + 4(, 4t) Þ, 4t 5, 6t Þ 8 8t Þ t 5 4 t 4,8 4,8 Þ T(4 / 4,8 /, 4),4,4.5. Aufgrund der Koordinaten des Punktes T im Vergleich zu den Koordinaten des Punktes Q, muss der Punkt T auf der Markise und damit E im Schatten liegen.