Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt 1: 1) Matrizenprodukte ausführbar? Ergebnis? ausführbar: A B, B A, A C, C D, D C nicht ausführbar: C A

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Victoria Geiger
vor 6 Jahren
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1 Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt : ) Matrizenprodukte ausführbar? Ergebnis? ausführbar: A B, B A, A C, C D, D C nicht ausführbar: C A A B = A B B A = A C = C D = D C = ( ) ) Ausführbarkeit, Ergebnis? a) i) 4 + (( ) 4 ( )) 6 = 5 7 ( ) = 7 5

2 ii) nicht ausführbar : Zeilenzahl von iii) nicht ausführbar : b) i) Spaltenzahl von Zeilenzahl von 4 (4,, ) ( 4 Spaltenzahl von 4 = Dies ist gleichzeitig das Skalarprodukt der beiden Vektoren (4,, ) und (,, ) (oder von (4,, ) und (,, ), wenn die Spaltendarstellung bevorzugt wird). ii) iii) (4,, ) = iv) und v) sind nicht ausführbar, da die Verkettungsbed. nicht erfüllt ist. vi) 4 8 ( 4 (4, ) 4 8 ) ( ) = 8 4 )

3 c) ) x i := Marktanteil von A im Jahr i y i := Marktanteil von B im Jahr i z i := Marktanteil von C im Jahr i a) ( ( ) ( )) 4 (4, ) = 8 = 8 ( ) ( ) 4 4 (, ) = 8 m i := x i y i z i, i =,, x = x.5 + y. + z. y = x. + y. + z.5 z = x. + y.5 + z. x = 7/, y = 4/, z = /.5.. m :=...5 m =: F m..5. b) m = F m = = Kontrolle: x + y + z = m = F m = = = x + y + z =

4 Kontrolle: x + y + z = = c) Marktanteile im Gleichgewichtszustand : x s, y s, z s x s y s z s! =: m s = I m s = F m s d.h. =! Fm s Im s = (F I)m s = Weitere Bedingung: x s + y s + z s = Dies führt zu dem gleich in Tableauform angebenen LGS: x s y s z s x s y s z s 4) Rohstoffbedarf: m s = x s y s z s kurz m R := m R = m Z + m Z m R = m Z + m Z m R = 4 m Z + m Z m R4 = 4 m Z + m Z m R. m R4 = 4 4 ( mz m Z ) 4

5 analog b) m R = m R = ( 4 5 m Z = 4 4 = m E = ) m E ( m E ) m E 5 5 = c) Gesamtkosten = Rostoffkosten + Fertigungskosten = =.9 6. Die Produktsummen in den einzelnen Zeilen können als Skalarprodukte aufgefasst werden. 5) x x x x x x - - 5

6 Die eindeutige Lösung des LGS ist somit: 6) a) Lösung: ( ) bei exakter Rechnung. 9 x x x 7 9 x b) Wir runden nun bei jedem Rechenschritt auf ganze Zahlen. Dabei sind die Werte bei denen die Rundung tatsächlich greift durch Anfügen des Dezimalpunktes gekennzeichnet: x x x.. 9 x ( ) 77. Die Lösung, die wir bei Rundung auf ganze Zahlen nach jedem Rechenschritt. erhalten, ist also als Näherung für die wirkliche Lösung völlig un- brauchbar. 6

7 7) x x x x x x - - x, x sind frei wählbar. Die Dimension der Lösungmenge ist also = und die Lösungsmenge selbst besteht aus allen Linearkombinationen der ermittelten Fundamentallösungen (,,, ) und (,,, ) und ist also die lineare Hülle dieser Fundamentallösungen: L = t + t t, t R Die zweite und dritte Zeile im zweiten Tableau können gestrichen werden, da sie sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit bzw. mit 5 ergeben und somit keine neue Information liefern. Die Dimension der Lösungsmenge ist gleich der Zahl der benötigten Fundamentallösungen und damit =. 7

8 8) x x x x 4 s u x x x Die Zahlenwerte, die festgelegt sind, sind wieder durch unterstreichen gekennzeichnet. Die übrigen Zahlenwerte werden über die Kellerzeilen berechnet. Für das homogene LGS setzen wir s = u = und erhalten die in der ersten Auswertungszeile ermittelte Fundamentallösung (,.5,.5,.5) und damit die Lösungsmenge: L = t t R Zusatzbemerkung: Statt die frei wählbare Koordinate x = zu setzen, können wir sie auch = setzen, was in der dritten Auswertungszeile geschieht. Wir erhalten so die Fundamentallösung (,,, ), die nur ganze Zahlen enthält und damit die Lösungsmenge: L = t t R. a) Hier ist s := und u := zu setzen und damit führt das letzte Tableau zum Widerspruch. Das LGS ist also nicht lösbar. b) Hier ist s := und u := zu setzen und damit führt das letzte Tableau nicht zum Widerspruch. Das LGS ist also lösbar, aber nicht eindeutig. Da wir 8

9 eine Fundamentallösung des zugehörigen homogenen LGS schon bestimmt haben, brauchen wir nur noch eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS zu finden, indem wir s :=, u := und die frei wählbare Koordinate x := setzen. Wir erhalten so über die zweite Auswertungszeile (,.5,.5,.5) als eine spezielle Lösung und damit L = t t R als Lösungsmenge. Zusatzbemerkung: Statt die frei wählbare Koordinate x = zu setzen, können wir sie auch = setzen, was in der vierten Auswertungszeile geschieht. Wir erhalten so die (,,, ) als eine spezielle Lösung, die nur ganze Zahlen enthält und damit die Lösungsmenge: L = + t t R 9) a) Anfangsmasse A Halbwertzeit h x mg B Halbwertzeit h x mg C Halbwertzeit h x mg x,, =? nach 6h: Masse von A: x = x 6/ 6 Masse von B: Masse von C: x = x 6/ x = x 6/ 9

10 nach h: Masse von A: Masse von B: Masse von C: nach 8h: Masse von A: Masse von B: Masse von C: x / = x x = x / 6 x = x / 4 x 8/ = x 8 x = x 8/ 9 x = x 8/ 6 x x x x x x Wir erhalten somit die Anfangsmasse von 984mg für Komponente A, von 76mg für Komponente B, von 96mg für Komponente C. Wir betrachten nun ein neues Präparat mit einer Halbwertzeit von h bei A und einer Halbwertzeit von h bei B und C. Am Anfang haben wir die gleiche Mengen x,, für A, B bzw. C wie oben. Gewicht des Präparats beträgt nach 6h : = 56 + h : = h : =

11 x x x s x x LGS nicht eindeutig lösbar; Rekonstruktion nicht möglich. Dies kann man auch ohne Lösung des LGS sofort erkennen; denn die Koeffizientenmatrix hat den Rang, da zwei Spalten gleich und damit erst recht l.a. sind. b) x (g) Äpfel x (g) Bananen x (g) Orangen x,, =? Wir bestimmem exemplarisch die von den Äpfeln beigesteuerte Eiweißmenge: g Äpfel enthalten. g Eiweiß, g Äpfel enthält./ g Eiweiß, x g Äpfel enthalten. x / g Eiweiß. x. + x. + x.! Eiweiß : = 9 x.6 + x. + x.! Fett : = 5 x 5 + x + x! Kohlehydrate : = 94

12 x x x x x x Somit brauchen wir 6g Äpfel, g Bananen und 5g Orangen.

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Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel