Tim und Tom und die Mathematik Klasse 9

Transkript

1 Tim und Tom und die Mathematik Klasse 9 Hallo, ich bin Tom. Ich bin nicht gerade eine Leuchte in Mathematik. Aber das ist gar nicht so schlimm. Ich habe nämlich einen guten Kumpel, den Tim. Der erklärt mir immer alles ganz genau und ausführlich und dann macht es auch bei mir Klick. Und dann ist Mathematik auf einmal gar nicht mehr so kompliziert und kann sogar richtig Spaß machen. Natürlich kann Tim jetzt nicht jedem Einzelnen von Euch helfen. Aber ich habe einfach mal unsere Gespräche aufgeschrieben, so dass ihr damit vielleicht Eure Fragen beantworten könnt. Viel Spaß dabei. 1. Gleichungssysteme 1.1. Wiederholung: Lineare Gleichung Hi Tim. Nächste Woche schreibe ich eine Mathe-Arbeit und habe noch keinen Durchblick. Kannst du mir vielleicht helfen? Es geht um das Lösen von Gleichungssystemen. Klar. Aber bevor wir uns die linearen Gleichungssysteme anschauen, gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns erst mal wieder eine einzelne lineare Gleichung an. Kannst du mir sagen, was du darüber noch weißt? Das geht noch. Immerhin hattest du das ja auch schon mit mir gelernt. Ich kann sogar die Definition noch: Eine Gleichung der Form ax + by = c heißt lineare Gleichung mit 2 Variablen (x,y). Genau. Linear bedeutet, dass die Variablen nur ganz normal vorkommen und keine Potenzen, also Hochzahlen dabei sind. Die zwei Variablen sind dann die beiden Unbekannten x und y. Eine Gleichung besitzt ja auch im Normalfall eine Lösung. Weißt du noch wie man diese findet? Ausrechnen kann ich sie nicht. Ich habe zwei Variablen und wenn ich die Gleichung nach einer auflöse, habe ich auf der anderen Seite immer noch die zweite Variable drinstehen. Hat man eine Gleichung mit einer Variablen, also z.b. 2x = 6, so kann man durch Äquivalenzumformungen, auf beiden Seiten geteilt durch 2, schnell die Lösung x = 3 finden. Bei einer Gleichung mit zwei Variablen, z.b. x + 2y = 24 geht das, wie du schon gesagt hast, natürlich nicht. Gibt es also keine Lösung? Doch. Für x=20 und y=2 stimmt die Gleichung. Also ist (20 2) Lösung der Gleichung. Nein. Auch für x=10 und y=7 passt es. (10 7) ist also auch eine Lösung. Und das ist jetzt die einzige Lösung? Und wie viele Lösungen kann ich dich noch suchen lassen? 1 by Stemü (stemue@web.de)

2 Ich glaube, da kannst du mich noch eine Weile weitersuchen lassen. Das waren unendlich viele Lösungen, oder? Richtig. Und wie findet man jetzt noch weitere Wertepaare? Geht das nur mit Ausprobieren und Intuition? Ich löse die Gleichung einfach nach y auf. Dann kann ich für x verschiedenste Werte einsetzen und den zugehörigen y-wert direkt ausrechnen. Und so kann ich Stück für Stück eine ganze Wertetabelle mit Lösungen ausfüllen. Und wenn du dich nicht nur mit den paar Wertepaaren in einer Tabelle zufrieden geben willst? Dann trage ich die einzelnen Lösungen in ein Koordinatensystem ein. Alle Punkte zusammen, also die Lösungsmenge, ergibt eine Gerade. Und welche Entdeckung machst du dabei? Dann können wir jetzt alles Wichtige über die linearen Gleichungen nochmal zusammenfassen: Zusammenfassung: Merke: Eine Gleichung der Form ax + by = c heißt lineare Gleichung mit 2 Variablen (x,y). Solch eine Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Alle Lösungen der Gleichung sind Wertepaare (x y). Das Überprüfen einer Lösung erfolgt durch Einsetzen in die Gleichung. Man findet Lösungen indem man die Gleichung nach y auflöst und anschließend für x Zahlen einsetzt. Man erhält eine Gleichung der Form y = mx + b. Die Gleichung dieser Form beschreibt eine Funktion. Man nennt diese lineare Funktion. (Es handelt sich um dieselbe Gleichung in zwei Darstellungsformen. Sie haben natürlich die gleiche Lösungsmenge und den gleichen Graphen.) Beispiel: x +2y = 24 (0 12), (2 11), (4 10) ist Lösung, denn = = 24 x + 2y = 24 -x 2y = 24 x :2 y = 12 0,5x x=10 => y = 12 0,5 10 = 12 5 = 7 => (10 7) ist eine Lösung Trägt man die Lösungen in einen Graph ein, so ergibt sich eine Gerade. D.h. die Gerade stellt die Lösungsmenge dar. Die Gerade verläuft nicht unbedingt durch den Ursprung (0 0). 2 by Stemü (stemue@web.de)

3 1.2. Lineare Gleichungssysteme Jetzt komme ich mit den linearen Gleichungen wieder klar. Aber was mache ich denn, wenn ich jetzt zwei Gleichungen habe? Die beiden Gleichungen kannst du jetzt nicht natürlich nicht als zwei eigenständige Gleichungen auffassen und einzeln jeweils die Lösungen suchen. Die Gleichungen müssen jetzt beide erfüllt sein. Man spricht bei Gleichungen mit denselben Variablen, die zusammen gehören von einem Gleichungssystem. Und jetzt muss ich wahrscheinlich auch wieder nach Lösungen suchen. Gibt es da auch unendlich viele? Schauen wir uns das Ganze doch mal im Koordinatensystem an. Kannst du mal die Lösungen für zwei beliebige Gleichungen einzeichnen. Klar. Die Lösung einer Gleichung war eine Gerade. Dann zeichne ich einfach mal zwei Geraden ein. Und gibt es jetzt auch eine Lösung des Gleichungssystems? Das muss ja dann eine Lösung sein, die zu beiden Lösungsmengen, also zu beiden Geraden gehört. Da gibt es nur einen Punkt, nämlich den Schnittpunkt der beiden Geraden. Genau. Die Lösung eines Gleichungssystems ist Lösung jeder der Gleichungen. Ein Lösungsverfahren ist somit die beiden Geraden einzuzeichnen und den Schnittpunkt zu ermitteln. Schau dir mal das folgende Beispiel an. Graphische Lösung: Wir zeichnen die Geraden der beiden Gleichungen ein. Die gemeinsame Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Lösung y = -1,2 x + 12 y = -3 x + 18 Super. Dann kann man die Lösung ganz einfach ablesen. Wobei, so ganz genau kann ich das gar nicht ablesen. Was, wenn die Lösung zwei Nachkommastellen hätte. Da bräuchte ich eine Lupe. Und wenn ich das erst mal selbst gezeichnet habe, dann ist das absolut unmöglich. 3 by Stemü (stemue@web.de)

4 Ja. Man kann festhalten, dass das Verfahren zwar recht einfach ist, das Ablesen jedoch manchmal schwierig und ungenau sein kann. Du hättest noch die Möglichkeiten die Probe durch Einsetzen in beide Gleichungen zu machen. Dann kann ich wenigstens schauen, ob die abgelesene Lösung richtig ist. Habe ich denn nicht immer einen Schnittpunkt? Es gibt übrigens nicht immer eine Lösung. Dann überlege mal, wie zwei Geraden noch zueinander liegen können. Nimm einfach mal zwei Bleistifte zur Hand. Ich kann die Stifte nebeneinander halten. Dann wären die Geraden parallel und gibt es natürlich auch keinen Schnittpunkt. Also habe ich auch keine Lösung. Und eine dritte Möglichkeit gibt es noch. Ich könnte die Stifte sozusagen aufeinander legen. Dann wären die beiden Geraden identisch. Das gibt dann unendlich viele Schnittpunkte. Also unendlich viele Lösungen. Wie man diese unendlich vielen Lösungen als Lösungsmenge schreibt und was wir gerade hier zusammen herausgefunden haben, fassen wir jetzt einfach mal zusammen: Anzahl Lösungen eines linearen Gleichungssystems: Ein lineares Gleichungssystem kann 0, 1 oder unendlich viele Lösungen haben. y = -0,75x + 6 y = 0,5x + 1 y = 0,5x + 3 y = 0,5x + 1 y = 0,5x + 3 y = 0,5x + 3 Geraden schneiden sich Geraden liegen parallel Geraden sind identisch Eine Lösung Keine Lösung Unendlich viele Lösungen L = {(4 3)} L = {} L = {(x y) y = 0,5x + 3 } 4 by Stemü (stemue@web.de)

5 1.1. Gleichsetzungsverfahren Aber so richtig toll ist das Verfahren ja noch nicht. Kann man die Lösung denn nicht auch ausrechnen? Kann man. Man muss jetzt ein wenig mit den beiden Gleichungen hantieren und dann kommt eine neue Gleichung raus. Diese sollte nur noch eine Variable haben, nach der wir dann die Gleichung auflösen können. Idee zum Lösen von Gleichungssystemen: Durch Kombinieren der beiden Gleichungen wird eine neue Gleichung erzeugt, in der nur noch eine Variable vorkommt. Und was mache ich jetzt mit den beiden Gleichungen? Gehen wir mal davon aus, dass beide Gleichungen in der Form y = mx + b vorliegen. Wenn nicht, können wir die Gleichungen eben durch Termumformungen in diese Form bringen. Genau. Jetzt schauen wir uns mal das Beispiel an. Wir haben also in den zwei Gleichungen zwei Gleichheitsaussagen der Form: linke Seite = rechte Seite. I: y = x + 3 II: y = -x + 5 Das mit linke Seite = rechte Seite ist klar, aber was habe ich davon? Schauen dir mal das folgende Bild an. Da findest du auch zwei Gleichheitsaussagen, die sich auf die Größe der verschiedenen Personen beziehen. = = Anton Berti Anton Conni Das bedeutet Anton ist so groß wie Berti und Anton ist so groß wie Conni. Wir haben aber leider keine Gleichung mit Berti und Conni. Lässt sich aus diesen beiden einzelnen Aussagen trotzdem eine Aussage über die Größenverhältnisse der Beiden zueinander machen? Klar. Da ja beide mit Anton verglichen werden, also wenn Anton = Berti und Anton = Conni dann gilt logischerweise auch: Berti = Conni. Übertragen wir das Ganze auf unser Problem. Auch da ist die linke Seite jeweils gleich.. Wenn y = x + 3 und y = -x + 5, dann gilt auch: x + 3 = -x + 5 Und jetzt haben wir eine Gleichung mit nur noch einer Variablen. Diese Gleichung können wir lösen. 5 by Stemü (stemue@web.de)

6 Dann versuche ich es mal: x + 3 = -x + 5 +x 2x + 3 = 5-3 2x = 2 :2 x = 1 Jetzt kennst du schon den x-wert der Lösung. Den zugehörigen y-wert bekommen wir, wenn wir den x-wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Es ist übrigens egal in welche Gleichung man das x einsetzt es kommt in beiden Fällen das Gleiche für y raus. Dann entscheide ich mich für die erste Gleichung und setze mein x = 1 ein. Also ist (1 4) meine Lösung. I: y = x + 3 = = 4 Siehst du. Und so einfach hast du jetzt deine Lösung berechnet. Da man die beiden rechten Seiten der Gleichungen gleichgesetzt hat, nennt man dieses Verfahren übrigens Gleichsetzungsverfahren. Das Gleichsetzungsverfahren Voraussetzung: Zwei Gleichungen der Form y = mx + b y = 2x 5 y = -x Rechte Seiten gleichsetzen 2x 5 = -x + 1 +x 2. Gleichung lösen 3x 5 = x = 6 :3 x = 2 3. Fehlenden Wert berechnen y = = Lösung als Wertepaar notieren L = {(2-1)} 5. Ggf. Probe machen I: -1 = II: -1 = by Stemü (stemue@web.de)

7 1.2. Einsetzungsverfahren Eigentlich kann ich jetzt doch schon ein Gleichungssystem lösen. Warum brauche ich denn jetzt noch mehr Verfahren? Du hast eben ein Verfahren kennengelernt, das sehr schnell zur Lösung führt, wenn die beiden Gleichungen nach y oder x aufgelöst sind. Ist das nicht der Fall, musst du erst die Umformungen durchführen. Dabei kann es sein, dass in der Rechnung Brüche auftauchen. Du musst ja durch etwaige Vorfaktoren teilen. Brüche mag ich nicht. Das habe ich mir gedacht. Deshalb gibt es noch ein Verfahren, wenn nur eine Gleichung nach x bzw. y aufgelöst ist. Schauen wir uns mal wieder ein Gleichungssystem an: I: 4x + 2y = 8 II: x = y 4 Und was mache ich jetzt anstatt die erste Gleichung nach x aufzulösen? Als erstes schreibe ich die beiden Gleichungen nochmal genauso hin. Ich ersetze einfach mal jedes x durch ein Paket. Betrachten wir die erste Gleichung y = 8 = y 4 Und was habe ich davon? Ich habe keine Ahnung wofür das y und das Paket stehen. Ich habe also immer noch zwei Unbekannte. Dann musst du jetzt mal schauen, ob du das Paket auspacken kannst. Hast du eine Ahnung was da drin ist? Warte mal. In der zweiten Gleichung steht ja genau was dem Paket entspricht. Dann kannst du diesen Ausdruck also in der ersten Gleichung anstelle des Paketes einsetzen. Daher nennt man diese Vorgehensweise auch Einsetzungsverfahren. Ganz wichtig ist übrigens, dass du beim Einsetzen eine Klammer um den eingesetzten Term machst. Super. Das gibt dann wieder eine lösbare Gleichung mit nur noch einer Variablen y = 8 4 (y-4) + 2y = 8 4y 16 +2y = 8 6y 16 = y = 24 :6 y = by Stemü (stemue@web.de)

8 Und den zweiten Teil deiner Lösung? Das geht doch genauso wie bisher. Um die zweite Variable zu erhalten muss ich das Ergebnis in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Ich nehme die zweite Gleichung, da geht das am einfachsten: x = y 4 = 4 4 = 0 L = {(0 4)} Das Einsetzungsverfahren Voraussetzung: Eine der Gleichungen ist nach x oder y aufgelöst. 2x 4y = 4 x = 3y Die rechte Seite der aufgelösten 2 (3y + 1) 4y = 4 T Gleichung in die andere Gleichung einsetzen. Klammer setzen! 2. Variable durch Umformen berechnen 6y + 2 4y = 4 T 2y + 2 = 4-2 2y = 2 :2 y = 1 3. Fehlenden Wert berechnen x = 3y + 1 = = 4 4. Lösung als Wertepaar notieren L = {(4 1)} 5. Ggf. Probe machen I: = 4 II: 4 = by Stemü (stemue@web.de)

9 1.3. Additionsverfahren So. Jetzt hatten wir einmal zwei Gleichungen nach y (oder x) aufgelöst und einmal eine Gleichung nach y (oder x) aufgelöst. Dann bleibt jetzt nur noch der Fall, dass gar keine Gleichung nach y (oder x) aufgelöst ist, oder? Richtig. Schauen wir uns das folgende Gleichungssystem an: I: 3x + 4y = 7 II: 2x -4y = 13 Das sieht nicht nach Gleichsetzen oder Einsetzen aus. Vor allem gibt das wieder doofe Brüche, wenn ich hier nach x oder y auflöse. Kein Problem. Dafür haben wir ja noch ein drittes Verfahren. Gibt es jetzt wieder Männchen oder Pakete, um mir das neue Verfahren zu erklären? Ja. Ich habe wieder ein paar Männchen mitgebracht. Diesmal sind sie auf dem Spielplatz und haben sich auf die Wippen gesetzt. Ok. Der blaue und der grüne sind gleich schwer, ebenso wiegt der rote genauso viel wie der gelbe. Als ihnen das Wippen zu zweit zu langweilig wird, haben sie sich zu viert auf eine Wippe begeben. Macht ja auch mehr Spaß. Kannst du erklären, warum die Wippe wieder im Gleichgewicht ist? Da das gelbe und das rote Männchen genauso schwer sind, kann ich zum blauen und grünen Männchen jeweils eines der Männchen dazusetzen. Ist doch logisch. Das heißt, dass die Summe der linken Seiten genauso groß ist wie die Summe der rechten Seiten. Die Summe kann ich ja dann auch mit den Original-Gleichungen bilden. Ich addiere die beiden Gleichungen, also jeweils die linken und die rechten Seiten. Dann bekomme ich eine neue Gleichung, aber was habe ich damit gewonnen? Schau mal, was mit deinen beiden Gleichungen passiert. 9 by Stemü (stemue@web.de)

10 I: 3x + 4y = 7 II: 2x -4y = x = 20 :5 x = 4 Das ist ja super. Beim Addieren ist hier das y rausgefallen. Also habe ich wieder mein Ziel erreicht eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die ich lösen kann. Anschließend kann ich dann wie bisher das Ergebnis in eine der beiden Gleichungen einsetzen. 3 x + 4y = 7 Einsetzen von x= y = 7 T y = y = -5 :4 y = -1,25 Es folgt: L = {(4-1,25)} Das ist aber nicht immer so, dass da dann zufällig was wegfällt. Das war doch nur, weil hier ein 4y und ein -4y vorkamen. Das stimmt. Wenn also beim Addieren eine Variable wegfällt, kannst du das Additionsverfahren anwenden. Und wenn keine Variable wegfallen würde? I: 2x +3y = 1 II: 5x +7y = 3 Das wird so nichts. Da fällt nichts weg beim Addieren. Schauen wir uns den folgenden Fall an. Wie du vielleicht noch weißt, darfst du aber eine Gleichung auf beiden Seiten mit einer Zahl, außer natürlich der Null, multiplizieren. Könnte dir das was helfen? Na, dann multiplizieren die beiden Gleichungen geschickt, so dass beim Addieren eine Variable wegfällt. Ich suche mir eine der beiden Variablen aus, nehmen wir mal x. Da habe ich eine 2 und eine 5. Dann suche ich mir ein Vielfaches der beiden Zahlen, also 10. Und dann multipliziere ich die Gleichungen entsprechend so, dass dann einmal 10x und einmal -10x am Ende da steht. I: 2x +3y = 1 5 II: 5x +7y = 3 (-2) I: 10x + 15y = 5 II: -10x - 14y = -6 Den Rest kannst du dann wie vorher machen. Addieren, die verbleibende Variable ausrechnen und anschließend in eine der Gleichungen einsetzen. Dann mach ich das auch noch schnell fertig by Stemü (stemue@web.de)

11 I: 10x + 15y = 5 II: -10x - 14y = y = - 1 2x +3 y = 1 Einsetzen y = -1 2x +3 (-1) = 1 T 2x -3 = x = 4 :2 x = 2 L = {(2-1) Voraussetzung: Gleichungen auf beiden Seiten multiplizieren (Gemeinsames Vielfaches), so dass bei der Addition der Gleichungen eine Variable wegfällt. Das Additionssverfahren -7x + 6y = x + 4y = Die beiden Gleichungen addieren -21x + 18y = x +28y = y = Variable durch Umformen berechnen 46y = 92 :46 y = 2 3. Fehlenden Wert berechnen -7x + 6y = -9-7x = -9 T -7x + 12 = x = -21 :(-7) x = 3 4. Lösung als Wertepaar notieren L = {(3 2)} 5. Ggf. Probe machen = = 17 Und war das jetzt so schwer? Eigentlich nicht. Ich merke mir jetzt, dass ich immer nur versuchen muss eine Variable wegzubekommen, da ich eine Gleichung mit einer Variablen lösen kann. Und dann muss man sich eben das gegebene Gleichungssystem anschauen und überlegen, welches Verfahren am besten geeignet ist. Notfalls muss man dann noch ein wenig Umformungsarbeit leisten, bis die Voraussetzung für das jeweilige Verfahren erfüllt ist. Du bist ja schon ein richtiger Profi. Dank dir. Aber jetzt lassen wir die Mathesachen erst mal liegen und gehen noch raus zum Fußballspielen by Stemü (stemue@web.de)