Anhang: Fouriertransformation

Transkript

1 Kapitel 5 Anhang: Fouriertransformation Im ersten Kapitel haben wir eine eihe von Lösungsmethoden kennengelernt, die es in gewissen Fällen erlauben, eine explizite Lösung einer partiellen Differentialgleichung zu bestimmen. Über die besprochenen Methoden hinaus gibt es eine Fülle weiterer spezieller Lösungsmethoden, von denen sich insbesondere die Integraltransformationstechniken, allen voran die Laplace- und Fouriertransformation, grosser Beliebtheit in Anwenderkreisen erfreuen. Wir wollen am Ende dieser Veranstaltung daher noch kurz die wichtigste Intgegraltransformationstechnik, die Fouriertransformation, vorstellen. Mit Hilfe dieser Technik kann beispielsweise das Anfangswertproblem für die Wärmeleitungsgleichung explizit gelöst werden. Für eine komplexwertige Funktion f L ( N ; C) kann die sog. Fouriertransformierte von f definiert werden als: (F f)(x) : (2π) N/2 e ix y f(y) dλ(y) x N. N Hierbei bezeichnet x y N k x ky k das Skalarprodukt im N und λ λ N das N dimensionale Lebesgue-Maß auf dem N. Durch Einführung des normalisierten Lebesguemaßes m m N (2π) N/2 λ N kann die Definition der Fouriertransformierten vereinfacht geschrieben werden als (F f)(x) : e ix y f(y) dm(y) x N. N Beispiele: ) Die Fouriertransformierte der L -Funktion f(x) e x, x, ist (F f)(x) 2, x. (5.) π + x2 L ( N ; C) {f : N C; (f), I(f) L ( N )} ; das Integral einer Funktion f L ( N ; C) ist definiert als N f(x) dx N (f)(x) dx + i N I(f)(x) dx 54

2 2) Die Fouriertransformierte der Gauss-Funktion f(x) e x2, x, ist (F f)(x) 2 e x2 4, x. (5.2) Für eine Funktion f L ( N ; C) kann analog die inverse Fouriertransformierte von f definiert werden als (F f)(x) : (2π) N/2 e ix y f(y) dλ(y) N e ix y f(y) dm(y) x N. N Die inverse Fouriertransformation stellt tatsächlich die zur Fouriertransformation inverse Operation dar, und zwar im folgenden Sinne: falls f L ( N, C) und F f L ( N ; C), dann gilt: F (F f)(x) f(x) für fast alle x N. Zu beachten ist jedoch, dass für f L ( N ; C) die Fouriertransformierte F f im allgemeinen nicht absolut-integrabel ist. Wir fassen im folgenden die wichtigsten Eigenschaften der Fouriertransformierten zusammen. Sämtliche Formeln gelten sobald die auftauchenden Funktionen wohldefiniert sind und die entsprechenden Integrale absolut konvergieren. Alle Formeln lassen sich ausnahmslos durch elementares Nachrechnen (und partielle Integration in ), Variablensubstitution in 3) und 5) bzw. Satz von Fubini für 4)) verifizieren. ) Differentiation wird zu Multiplikation: F (D α f)(x) (ix) α F (f)(x) x N für jeden Multi-Index α (α,..., α N ), wobei (ix) α : (ix ) α... (ix N ) α N Speziell ergibt sich für N : F (f (n) )(x) (ix) n F (f)(x) für alle n N. x 2) Linearität: F (αf + βg) αf (f) + βf (g) für alle f, g L ( N ; C), α, β C 3) Translation wird zur Multiplikation mit e-funktion: F (f( c))(x) e ix c F (f)(x) für alle f L ( N ; C), c N x N 4) Konvolution wird zur Multiplikation: F (f g) (2π) N/2 F (f) F (g) 55

3 und umgekehrt F (f g) F (f) F (g) (2π) N/2 Hierbei ist die Konvolution zweier Funktionen f, g L ( N ; C) definiert als f g(x) f(x y)g(y) d(y) x N N 5) F (f(c ))(x) c F (f) ( ) x c für alle f L ( N ; C), c \ {0} x N Analoge egeln gelten für die inverse Fouriertransformation. Eigenschaft ) erlaubt es, durch Anwendung der Fouriertransformation eine Differentialgleichung für eine gesuchte Funktion u in eine algebraische Gleichung für ihre Fouriertransformierte umzuschreiben. Wenn es möglich ist, die algebraische Gleichung für F u zu lösen, kann durch Anwendung der inversen Fouriertransformation in gewissen Fällen eine Lösung u der vorgelegten Differentialgleichung bestimmt werden. Beispiel: Betrachte die gewöhnliche Differentialgleichung u u e x, x. Angenommen, u ist eine auf absolut integrable Lösung dieser DGL. Wenden wir dann die Fouriertransformation auf beiden Seiten der Gleichung an, erhalten wir aufgrund der Linearität, Eigenschaft ) und Beispiel ) oben die algebraische Gleichung: F (u)(x) + x 2 F (u)(x) Es ergibt sich so 2 π + x 2 x. F (u)(x) 2 π + x 2 + x 2, x. Durch Anwendung der inversen Fouriertransformation erhalten wir so mit egel 4) und Beispiel ) u(x) F ( 2 π + y 2 2π F ( 2 π + y 2 2π e y F ( + y 2 ) + y 2 (x) ) ( F + y 2 ) (x) 56 ) (x)

4 Ausserdem ist ( ) F + y 2 (x) 2π 2π e ixy + y 2 dy e ixy + y 2 dy π e ixy 2 2π 2 π + y 2 dy ( ) π 2 2 F π + y 2 (x) π 2 e x nach Beispiel ). Somit erhalten wir u(x) 2 e x y y dy Dies können wir explizit berechnen: x e x, x 0 2 u(x), + x e x, x > 0 2 und man überprüft leicht, dass diese Funktion tatsächlich eine klassische Lösung der DGL ist. u u e x,, x, Analog kann in gewissen Fällen mit Hilfe der Fouriertransformation eine explizite Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung berechnet werden. Dies wollen wir am Beispiel des Anfangswertproblems für die (-dimensionale) Wärmeleitungsgleichung (AWP) { ut u xx f(t, x), t > 0, x u(0, x) u 0 (x), x zeigen. In ersten Kapitel haben wir bereits mit der sog. Selbstähnlichkeitsmethode eine spezielle Lösung der Wärmeleitungsgleichung, die sog. Fundamentallösung (Gausskern), bestimmt: 57

5 Φ(t, x) 4πt e x2 4t, t > 0, x. Aus der Fundamentallösung hatten wir ausserdem mit Hilfe der Duhamel-Formel die Darstellung einer Lösung des Anfangswertproblems für die WLG hergeleitet: u(t, x) für alle t > 0, x. Φ(t, x y)u 0 (y) dy + t 0 Φ(t s, x y)f(s, y) dy ds, (5.3) Da die Fouriermethode im wesentlichen nur auf lineare partielle Differentialgleichungen angewendet werden kann, die Selbstähnlichkeitsmethode jedoch genauso gut auf nichtlineare Probleme (etwa die Gleichung u t p (u) f, p > ) angewendet werden kann, haben wir im ersten Kapitel der Selbstähnlichkeitsmethode den Vorzug gegeben. Hinzu kommt, dass sich die volle Tragweite der Fouriertransformation erst im ahmen ihres Studiums in Distributionsräumen erschliesst. Wir wollen an dieser Stelle durch eine im wesentlichen formale Anwendung der Fouriertransformation zunächst noch einmal die Lösungsformel (5.3) herleiten. Dazu nehmen wir an, dass u eine Lösung des AWP ist und sowohl u 0 als auch, für alle t > 0, u(t, ), u t (t, ) und f(t, ) absolut integrabel auf sind. Anwendung der Fouriertransformation im AWP führt dann, dank der Linearität und Eigenschaft ) der Fouriertransformation, zu { F (ut (t, ))(x) + x 2 F (u(t, ))(x) F (f(t, ))(x), t > 0, x F (u(0, )(x) F (u 0 )(x), x Aufgrund der absoluten Integrierbarkeit von u(t, ) und u t (t, ) auf, verifiziert man leicht, dass F (u t (t, ))(x) F (u(t, ))(x), t > 0, x. t Setzen wir nun noch U(t, x) : F (u(t, )(x), t > 0, x, dann ergibt sich folgendes Anfangswertproblem für U: { Ut (t, x) + x 2 U(t, x) F (f(t, ))(x), t > 0, x U(0, x) F (u 0 )(x), x. Die Funktion U ist demnach Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (die Variable x spielt in der DGL für U nur noch die olle eines Parameters). Die DGL für U ist zudem linear und nicht-homogen. Aus der Vorlesung DGL I ist bekannt, 58

6 dass die eindeutige Lösung U des Anfangswertproblems dann von folgender Gestalt ist: t U(t, x) F (u 0 )(x)e x2 t + e x2 (t s) F (f(s, ))(x) ds, t > 0, x. 0 Formales Anwenden der inversen Fouriertransformation (die entsprechend notwendige absolute Konvergenz der einzelnen Integrale stillschweigend vorausgesetzt) führt dann zu u(t, x) F (F (u(t, ))(x) F (U(t, ))(x) t F (F (u 0 )e y2 t )(x) + F (e y2 (t s) F (f(s, )))(x) ds für alle t > 0, x. Um nun mit Hilfe der Eigenschaft 4) der Fouriertransformation die obige Darstellungsformel zu vereinfachen, sollte die Funktion y e y2t bzw. y e y2 (t s) ihrerseits eine Fouriertransformierte sein. Dazu berechnen wir 0 F (e y2t )(x) 2π e ixy e y2t dy x i 2 e 2 t u e u2 dy (Var.subst. u 2y t) 2πt ( ) ( ) F e u2 x 2t 2 2 t 2t e x2 4t ( Beispiel 2) u. Eigenschaft 5)) 2π Φ(t, x) für alle t > 0, x (wobei Φ der oben definierte Gausskern). Somit ergibt sich mit Hilfe der Eigenschaft 4) der Fouriertransformierten ( u(t, x) F F (u 0 ) ) 2πF (Φ(t, )) (x) + Φ(t, ) u 0 (x) + t 0 t Φ(t s, ) f(s, )(x) ds für alle t > 0, x. Dies ist aber genau die gesuchte Formel (5.3). 0 F ( 2πF (Φ(t s, ))F (f(s, )) ) (x) ds Wir wollen zum Schluss noch einen Überblick über die Methode der Fouriertransformation im ahmen der Distributionentheorie und ihre Anwendungen geben. Ein genaueres Studium erfolgt im ahmen einer weiterführenden Veranstaltung zur Funktionalanalysis. 59

7 Wir hatten bereits auf die Schwierigkeit hingewiesen, dass der aum L nicht invariant unter der Fouriertransformation ist, d.h. für f L ( N ) die Fouriertransformierte F (f) i. a. nicht absolut integrabel ist. Ein Funktionenraum, der invariant gegenüber der Fouriertransformation ist und in dem die oben aufgeführten echenregeln )-5) für beliebige Elemente des aumes gelten, ist der sogenannte Schwartz-aum: S( N ) : {u C ( N ); sup sup ( + x 2 ) k D α u(x) < k N}. α k x N Es handelt sich hierbei um die Menge der C -Funktionen, die im Unendlichen schneller fallen als jede rationale Funktion. Der Schwartz-aum heisst deshalb auch aum der schnell fallenden C -Funktionen. Beispiele: ) e x2 S( N ) 2) D( N ) S( N ) Mit der üblichen Addition von Funktionen und skalaren Multiplikation ist S( N ) offensichtlich ein Vektorraum. Jede der Abbildungen u S( N ) sup sup ( + x 2 ) k D α u(x), k N, α k x N definiert eine Norm auf S( N ) bezüglich der der aum allerdings nicht vollständig ist. Es kann jedoch mit Hilfe der gesamten Familie dieser Normen eine Metrik definiert werden, bezüglich der S( N ) vollständig ist. Diese Metrik erzeugt folgenden Konvergenzbegriff in S( N ) : eine Folge (u n ) n S( N ) konvergiert gegen u S( N ), wenn gilt: sup sup ( + x 2 ) k D α (u n (x) u(x)) 0 x N α k wenn n, für alle k N. Der aum S( N ) besitzt eine eihe wichtiger Eigenschaften: falls f S( N ), dann ist p(x)f(x) S( N ) für jedes Polynom p(x) falls f, g S( N ), dann ist f g S( N ) und f g S( N ) falls f S( N ), dann ist auch F (f) S( N ) und F (F (f)) f; es gilt sogar: die Fouriertransformation ist ein topologischer Isomorphismus von S( N ) auf S( N ) Da die Funktion x (+x 2 ) N L ( N ), gilt offensichtlich, dass S( N ) L ( N ). Wir hatten ausserdem bereits vermerkt, dass D( N ) S( N ). Ausgestattet mit 60

8 der oben beschriebenen Topologie gilt für S( N ) sogar, dass D( N ) dicht in S( N ) ist und die identische Abbildung id : D( N ) S( N ) stetig ist. Es gilt also: D( N ) d S( N ) (5.4) (Analog gilt übrigens auch S( N ) d L ( N ).) Jede stetige lineare Abbildung T auf S( N ) definiert wegen (5.4) eine stetige lineare Abbildung T id auf D( N ); die Abbildung T S ( N ) T id D ( N ) ist, da D( N ) dicht in S( N ) liegt, ausserdem injektiv. Somit ist der Dualraum S ( N ) von S( N ) ein Teilraum des grossen Distributionenraums D ( N ): S ( N ) D ( N ). Die Elemente von S ( N ) werden temperierte Distributionen genannt. Bemerkung: Eine Distribution T D ( N ) ist eine temperierte Distribution, wenn sie stetig auf S( N ) fortgesetzt werden kann. Beispiele: ) Die Delta-Distribution δ S ( N ) Beweis: Es ist klar, dass die natürliche Fortsetzung der Delta-Distribution δ : S( N ) u u(0) wohldefiniert und linear ist. Wenn nun u n u in S( N ), dann konvergiert natürlich insbesondere δ(u n ) u n (0) u(0) δ(u), d.h. aber: δ stetig auf S( N ). 2) alle Polynome und speziell die konstante Funktion x liegen in S ( N ) 3) falls T S ( N ), dann ist auch D α T S ( N ), für jeden Multiindex α Eigenschaften 2) und 3) beweist man eben so leicht wie Eigenschaft ). Für temperierte Distributionen T kann nun in einfacher Weise eine Fouriertransformation F(T ) definiert werden: < F(T ), ϕ >:< T, F (ϕ) >, ϕ S( N ). 6

9 Da S( N ) invariant gegenüber der Fouriertransformation und die Fouriertransformation F : S( N ) S( N ) stetig ist, ist das so definierte Element F(T ) S ( N ). Zudem ist die so definierte Fouriertransformation F : S ( N ) S ( N ) stetig und bijektiv, und die Umkehrabbildung F ist offensichtlich durch die inverse Fouriertransformation auf S( N ) gegeben: < F (T ), ϕ >< T, F (ϕ) >. Man überprüft leicht, dass die Definitionen der Fouriertransformationen F und F konsistent sind: ist T T u eine reguläre, von u S( N ) erzeugte Distribution, dann ist F(T u ) T F (u), die von der Funktion F (u) S( N ) erzeugte Distribution. Aus diesem Grunde werden wir zu einer einheitlichen Notation übergehen und auch die Fouriertransformation F auf S ( N ) künftig mit F bezeichnen. Bemerkung: Es ist nicht möglich, eine Fouriertransformation für eine beliebige Distribution T D ( N ) auf die gleiche Art und Weise zu definieren: der Definitionsversuch: < F (T ), ϕ >:< T, F (ϕ) >, ϕ D( N ) scheitert, da die Fouriertransformierte F (ϕ) einer Testfunktion ϕ D( N ) keine Testfunktion mehr ist (es gilt sogar: falls ϕ D( N ) und F (ϕ) D( N ), dann folgt schon ϕ 0!) Beispiel: Beweis: F (δ) < F (δ), ϕ > < δ, F (ϕ) > < δ, e ix y ϕ(y) dy > 2π ϕ(y) dy ϕ(y) dy <, ϕ > für alle ϕ S( N ). Hierbei bezeichnet das konstante Polynom x N, das wir wie üblich mit der davon erzeugten temperierten Distribution identifizieren. 62

10 Wir haben gesehen, dass die Fouriertransformation in S( N ) Differentiation in die Multiplikation mit einem Polynom transformiert. Gleiches gilt auch für die Fouriertransformation auf S ( N ). Hierbei beachte man zunächst, dass für eine temperierte Distribution E S ( N ) in natürlicher Weise das Produkt von T mit einem Polynom p(x) definiert kann durch: < p(x)t, ϕ >:< T, p(x)ϕ > ϕ S( N ). Da p(x)ϕ S( N ), falls ϕ S( N ) und p(x) ein Polynom, ist p(x)t wohldefiniert. Da die Multiplikation mit einem Polynom eine stetige Operation auf S( N ) ist, ist p(x)t selbst wieder eine temperierte Distribution. Nun verifiziert man leicht: F (D α T ) (ix) α F (T ) T S ( N ), α Multiindex Es ist auch möglich, die Konvolution einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion zu definieren. Falls T T v eine reguläre (von der Funktion v erzeugte) temperierte Distribution ist, gilt für alle ϕ S( N ) (wir identifizieren wie gehabt T v und v): T v ϕ(x) v ϕ(x) v(y)ϕ(x y) dm(y) N < T v, ϕ(x ) > für alle x N. Also ist es natürlich, für eine beliebige temperierte Distribution T S ( N ) die Konvolution mit ϕ S( N ) wie folgt zu definieren: T ϕ(x) :< T, ϕ(x ) > x N. Diese Definition ist sinnvoll, da ja die verschobene Funktion y N ϕ(x y) auch ein Element von S( N ) ist. Beispiel: δ ϕ ϕ ϕ S( N ). Beweis: Dies folgt sofort aus der Definition der Konvolution: δ ϕ(x) < δ, ϕ(x ) > ϕ(x) x N. Man kann zeigen, dass T ϕ C ( N ) 63

11 und die (für glatte Funktionen bekannte) Differentiationsregel für Konvolutionen gilt: D α (T ϕ) (D α T ) ϕ T (D α ϕ) (5.5) für alle T S ( N ) und ϕ S( N ). Betrachten wir nun das Problem eine Lösung u einer allgemeinen linearen partiellen Differentialgleichung Lu(x) f(x), x N, zu bestimmen. Hierbei sei f S( N ) und L α a αd α ein beliebiger linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten a α C. Dazu versuchen wir zunächst eine Fundamentallösung der PDE zu bestimmen, d.h. eine Distribution E D ( N ) zu bestimmen, die die Gleichung LE δ in D ( N ) (5.6) löst, wobei δ die bekannte δ-distribution ist. Angenommen, es existiert eine Fundamentallösung E S ( N ). Bemerkung: Malgrange und Ehrenpreis haben 954/55 gezeigt, dass die lineare PDE (5.6) stets eine Fundamentallösung E S ( N ) besitzt. Wir können somit auf die Gleichung (5.6) die Fouriertransformation anwenden und erhalten die äquivalente Gleichung P (x)f (E) F (δ), wobei sich die Koeffizienten des Polynoms P aus den Koeffizienten des Differentialoperators L ergeben: P (x) α a α (ix) α. Es folgt, dass F (E) P (x). Da E S ( N ) und somit auch F (E) P (x) S ( N ), können wir auf beiden Seiten nun die inverse Fouriertransformation anwenden und finden so die Fundamentallösung: 64

12 ( ) E F S ( N ). P (x) Mit Hilfe der Fundamentallösung ergibt sich nun sofort die Lösung der vorgelegten Differentialgleichung Lu f mit der Formel u E f (die Lösung ist somit eine C -Funktion!). In der Tat gilt nämlich L(E f) L(E) f (gemäss Differentiationsregel (5.5)) δ f f. Weiterführende Ergebnisse zu Fouriertransformationen und PDEs und oben nicht angeführte Beweise findet man zum Beispiel in W. udin, Functional Analysis. 65