Die Fourier Isometrie

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1 Prof. Dr. Michael Eisermann Höhere Mathematik 3 (vertieft) Inhalt dieses Kapitels J000 Kapitel J Die Fourier Isometrie Vektorräume mit Skalarprodukt Skalarprodukt und Cauchy Schwarz Ungleichung Quadrat-integrierbare Funktionen Bestapproximation durch Fourier Polynome L analyse mathématique est aussi étendue que la nature elle-même [...]. Son attribut principal est sa clarté; elle n a point de signes pour exprimer les notions confuses. Elle rapproche les phénomènes les plus divers, et découvre les analogies secrètes qui les unissent. Joseph Fourier ( ), héorie analytique de la chaleur Die Fourier Isometrie Parseval Gleichung und Anwendungen Die Fourier Isometrie zwischen Funktion und Spektrum Isoperimetrisches Problem und Lösung durch Fourier Reihen 3 Fazit: Fourier Analyse und Synthese Zusammenfassung WiSe 05/6 Stand Motivation und Zielsetzung J00 Motivation und Zielsetzung J00 Wir führen die Untersuchungen des vorangegangenen Kapitels I fort. Fourier Analyse zerlegt das Signal f : R C ins Spektrum f : Z C: f f, f(k) := e ikωt f(t) dt, f(t) f(k) e ikωt. Hierzu sei f : R C absolut integrierbar auf [0, ] und periodisch. In dieser Zerlegung ist f(k) die Amplitude der eilschwingung e ikωt, und f : Z C ist das Spektrum zur Grundfrequenz ω = π/. Fourier Synthese: Zu gegebenem Spektrum f : Z C betrachten wir alle zugehörigen eilschwingungen f(k)e ikωt und rekonstruieren hieraus durch Überlagerung die Funktion f(x) = k f(k)e ikωt, falls konvergent. Konvergiert die Reihe? In welchem Sinne? Mit welchem Grenzwert? Im vorigen Kapitel haben wir die punktweise Konvergenz untersucht. In diesem Kapitel geht es um Konvergenz im quadratischen Mittel. In vielen Anwendungen ist dies der natürliche Abstandsbegriff. Im vorigen Kapitel haben wir einzelne Funktionen f : R C untersucht. In diesem Kapitel betrachten wir den Vektorraum aller Funktionen. Diese mutige Sichtweise verschafft uns einen besseren Überblick: Wir nutzen unser Wissen über lineare Algebra und Skalarprodukte. Die -periodischen Funktionen f : R C bilden einen Vektorraum, ebenso bilden die Koeffizientenfolgen f : Z C einen Vektorraum: Addition und Skalarmultiplikation sind jeweils punktweise erklärt. Diese Rechenregeln haben wir nutzen und schätzen gelernt. Die Fourier Analyse ist eine lineare Abbildung F : f f. Die Fourier Synthese ist eine lineare Abbildung F : f f. Auf welchen Funktionenräumen sollten wir diese betrachten? Die Antwort L l ist überraschend einfach und überaus nützlich! Kurzum: Wir transformieren hier nicht nur einzelne Funktionen, sondern untersuchen, wie sich die Fourier Analyse F : L l und die Fourier Synthese F : l L als lineare Abbildungen verhalten. Eine anschauliche Anwendung ist die isoperimetrische Ungleichung JB.

2 Skalarprodukt, Norm, Abstand im R n J0 Norm einer komplexen Zahl J0 Zur Wiederholung siehe Kimmerle Stroppel, Lineare Algebra,.5 Das euklidische Skalarprodukt von u, v R n ist definiert durch Zur Wiederholung siehe Kimmerle Stroppel, Lineare Algebra,.7 Jede komplexe Zahl z C schreibt sich eindeutig als u v = u v + + u n v n. z = x + iy mit x, y R. Übliche Schreibweisen: u v = u, v = u v = u v =... Die Konjugation : C C ist definiert durch Für jeden Vektor u R n gilt somit u u = u + + u n 0. Die euklidische Norm ist definiert durch u = u u, also u = u + + u n. z = x + iy z = x iy. Für das Produkt von z und z gilt z z = (x iy)(x + iy) = x + y 0. Übliche Schreibweisen: u = u = u = u =... Der euklidische Abstand zwischen u und v ist definiert durch u v = (u v ) + + (u n v n ). Hieraus gewinnen wir die Norm von z C mittels z = z z = x + y Somit entspricht diese Norm auf C der euklidischen Norm auf R. Skalarprodukt, Norm, Abstand im C n Für u, v C n ist das hermitesche Skalarprodukt definiert durch u v = u v + + u n v n. Übliche Schreibweisen: u v = u, v = u v = u v =... Für jeden Vektor u C n gilt somit u u = u + + u n 0. Die hermitesche Norm ist definiert durch u = u u, also u = u + + u n. Übliche Schreibweisen: u = u = u = u =... Der hermitesche Abstand zwischen u und v ist definiert durch u v = u v + + u n v n. J03 Im komplexen Skalarprodukt muss einer der beiden Faktoren konjugiert werden, damit u u 0 gilt; ob der erste oder der zweite ist eine Frage der Konvention. In der Literatur bevorzugen manche Autoren die Konjugation im ersten Faktor, andere wiederum die Konjugation im zweiten Faktor. Beide Schreibweisen gehen durch Vertauschen problemlos ineinander über. Eigenschaften des Skalarprodukts Zur Wiederholung siehe Kimmerle Stroppel, Lineare Algebra,.6 J04 Soweit möglich behandeln wir den reellen und komplexen Fall parallel: Im Folgenden steht K entweder für den Körper R oder den Körper C. Das Skalarprodukt auf K n erfreut sich folgender Eigenschaften: (konjugierte) Symmetrie: Für alle u, v K n gilt v u = u v. Linearität im zweiten Faktor: Für alle α K gilt u v + v = u v + u v, u α v = α u v, Dank Symmetrie folgt (konjugierte) Linearität im ersten Faktor: u + u v = u v + u v, α u v = α u v. Aus Linearität folgt insbesondere u 0 = 0 v = 0. Positivität: Für alle v 0 gilt v v > 0. Diese drei einfachen Eigenschaften sind alles, was wir brauchen!

3 Vektorräume mit Skalarprodukt J05 Vektorräume mit Skalarprodukt J06 Definition JA (Skalarprodukt) Ein Skalarprodukt auf einem K Vektorraum V ist eine Abbildung : V V K, (u, v) u v, die (konjugiert) symmetrisch, bilinear und positiv ist. Ein Skalarprodukt ermöglicht, Winkel und Längen zu messen. Damit gewinnen wir auf V die üblichen geometrischen Begriffe: Orthogonalität: u, v V stehen senkrecht, wenn u v = 0. Norm: Die Länge eines Vektors v V ist v = v v. Cauchy Schwarz Ungleichung: Es gilt u v u v. Winkel: u v = u v cos(α) mit α = (u, v) [0, π]. Dreiecksungleichung: Es gilt u + v u + v. Metrik: Der Abstand zweier Vektoren u, v ist u v. Konvergenz v n v ist definiert durch v n v 0. Diese Begriffe kennen Sie bereits aus dem R n. Erstaunlicherweise nützen Sie ebenso für Funktionen als Grundlage der Fourier heorie! Vektorräume mit Skalarprodukt Nachrechnen: () Für v = 0 sind die Ungleichungen offenbar richtig. Wir dürfen also v 0 annehmen, dank Positivität also v v > 0. Wir setzen z = au bv mit a, b C und berechnen das Normquadrat: 0 z z = au bv au bv = a u u ab u v ab v u + b v v Wir wählen nun geschickt a = v v und b = v u : 0 v v [ u u v v u v + u v ] = v v [ u u v v u v ] Wegen v v > 0 erhalten wir die gewünschte Ungleichung: u u v v u v 0. J07 () Bei Gleichheit gilt z z = 0, also z = au + bv = 0, somit u = (b/a)v. Umgekehrt folgt aus linearer Abhängigkeit u = λv die Gleichheit, denn u v = λv v = λ v v, u u v v = λv λv v v = λ v v. Zur Wiederholung siehe Kimmerle Stroppel, Lineare Algebra,.6 Satz JB (Cauchy Schwarz und Dreiecksungleichung) Sei V ein K Vektorraum mit Skalarprodukt. () Für alle u, v V gilt die Cauchy Schwarz Ungleichung: u v u u v v. () Gleichheit gilt genau dann, wenn u, v linear abhängig sind. (3) Für die Norm u = u u besagt diese Ungleichung: u v u v (4) Für alle u, v V folgt hieraus die Dreiecksungleichung u + v u + v. Für den Abstand gilt demnach x z x y + y z. Vektorräume mit Skalarprodukt (4) Schließlich zeigen wir die Dreiecksungleichung, die dem Abstand zugrundeliegt. Sie besagt geometrisch: Der Abstand von x nach z ist kleiner oder gleich der Länge des Umweges von x über y nach z. Die Rechnung beruht auf der Cauchy Schwarz Ungleichung: u + v = u + v u + v = u u + u v + v u + v v = u + Re( u v ) + v u + u v + v u + u v + v = ( u + v ). Die Behauptung folgt dank Monotonie der Wurzelfunktion x x. J08 Man beachte, dass wir für das Skalarprodukt nur voraussetzen, dass es (konjugiert) symmetrisch, bilinear und positiv ist. Genau diese und keine weiteren Eigenschaften haben wir in der Rechnung benötigt. Das macht Skalarprodukte extrem flexibel und vielseitig einsetzbar.

4 Quadrat-summierbare Folgen J09 Vergleich mit p summierbaren Folgen J0 Für jede Folge f : Z C definieren wir die Quadrat-Norm f l := f(k) also f [ l := f(k) ] /. k Z k Z Für p und f : Z C definieren wir die l p Norm f [ l p := f(k) ] /p p wobei f l := sup f(k). k Z k Z Die quadrat-summierbaren Folgen bilden den C Vektorraum { } l = l (Z, C) := f : Z C f l <. Die l p summierbaren Folgen bilden den C Vektorraum { } l p = l p (Z, C) := f : Z C f l p <. Auf l haben wir das Skalarprodukt : l l C mit f ĝ := k Z f(k) ĝ(k). Demnach bedeutet l absolut summierbar und l beschränkt. Für < p < q < gelten die Inklusionen l l p l q l. Für p, q [, ] mit /p + /q = erhalten wir die bilineare Paarung Dies ist absolut summierbar dank Cauchy Schwarz Ungleichung: f(k) ĝ(k) f l ĝ l k Z Für endliche Summen kennen wir das vom Skalarprodukt auf R n. Für unendliche Reihen folgt die Ungleichung durch Grenzübergang. Quadrat-integrierbare Funktionen Für f : R n Ω C messbar definieren wir die Quadrat-Norm f L := f(x) [ dx also f L := f(x) ] /. dx x Ω x Ω Die quadrat-integrierbaren Funktionen bilden den C Vektorraum { } L = L (Ω, C) := f : Ω C f L <. Auf L haben wir das Skalarprodukt : L L C mit f g := x Ω f(x) g(x) dx. Dies ist absolut integrierbar dank Cauchy Schwarz Ungleichung: f(x) g(x) dx f L g L x Ω Für reppenfunktionen f, g : Ω C ist dies eine endliche Summe. Für f, g L (Ω, C) folgt die Ungleichung durch Grenzübergang. J : l p l q C mit f ĝ := k Z f(k) ĝ(k). Das Produkt ist absolut summierbar dank der Hölder Ungleichung: f ĝ l f l p ĝ l q Im Spezialfall p = q = ist dies die Cauchy Schwarz Ungleichung. Vergleich mit p integrierbaren Funktionen Für p und f : Ω C definieren wir die l p Norm [ f L p := f(x) ] p /p dx wobei f L := ess sup f(x). x Ω x Ω Die L p integrierbaren Funktionen bilden den C Vektorraum { } L p = L p (Ω, C) := f : Ω C f L p <. Hier bedeutet L absolut interierbar und L wesentlich beschränkt. Gleichheit f = g in L p (Ω, C) bedeutet f(x) = g(x) für fast alle x Ω. Für p < q < gilt punktweise die Ungleichung f p + f q. Für vol(ω) < gelten daher die Inklusionen L L p L q L. Für p, q [, ] mit /p + /q = erhalten wir die bilineare Paarung : L p L q C mit f g := f(x) g(x) dx. x Ω Das Produkt ist absolut integrierbar dank der Hölder Ungleichung: f g L f L p g L q J Im Spezialfall p = q = ist dies die Cauchy Schwarz Ungleichung.

5 Die trigonometrische Orthonormalbasis J3 Die trigonometrische Orthonormalbasis J4 Satz JC (Orthonormalität) Die Menge aller Funktionen f : R C ist ein Vektorraum. Hierin ist die eilmenge aller periodischen Funktionen ein Untervektorraum. Als Basisfunktion e k : R C mit k Z und ω = π/ definieren wir e k (t) := e ikωt = cos(kωt) + i sin(kωt). Diese spannen den Unterraum V = { n k= n c ke ikωt n N, c k C } der trigon. Polynome auf. Hierauf haben wir das Skalarprodukt f g := f(t) g(t) dt. Es gelten die Orthonormalitätsrelationen { 0 für k l: paarweise Orthogonalität, e k e l = für k = l: Normierung auf Länge. Korollar JD (Fourier Koeffizienten durch Skalarprodukt) Wir betrachten ein trigonometrisches Polynom zur Periode = π/ω: f(t) = c l e ilωt = a 0 + a l cos(lωt) + b l sin(lωt) l= n Die Funktion f bestimmt die Koeffizienten durch Fourier Integrale: l= c k = e ikωt f = bzw. a k = cos(kωt) f = b k = sin(kωt) f = e ikωt f(t) dt, cos(kωt) f(t) dt, sin(kωt) f(t) dt. Die trigonometrische Orthonormalbasis J5 Die trigonometrische Orthonormalbasis J6 Diese Gleichungen nutzen wir allgemein für Fourier Reihen. Das Fourier Integral filtert den gewünschten Koeffizienten heraus! Das Skalarprodukt beschert uns Struktur, Klarheit und Übersicht. Die Orthonormalität der Basis (e k ) k Z vereinfacht die Rechnung. Korollar JE (Funktion bestimmt Koeffizienten) Gegeben seien trigonometrische Polynome f(t) = f(k) e ikωt und g(t) = ĝ(k) e ikωt k= n k= n Aus f(k) = ĝ(k) für alle k = n,..., n folgt offensichtlich f = g. Umgekehrt folgt aus f = g auch f = ĝ, dank der Fourier Integrale f(k) = e ikωt f(t) dt = e ikωt g(t) dt = ĝ(k) Korollar JF (Norm und Skalarprodukt) Koeffizienten f(k), ĝ(k) C definieren trigonometrische Polynome f(t) = k= n f(k) e ikωt und g(t) = k= n ĝ(k) e ikωt. Für ihre Norm und ihr Skalarprodukt gilt nach Pythagoras f(t) dt = f(t) g(t) dt = k= n k= n f(k), kurz f = f, f(k) ĝ(k), kurz f g = f ĝ. Für trigonometrische Polynome, also endliche Summen, folgt dies direkt aus der Orthonormalität das Basis (e k ) k Z. Erfreulicherweise gilt dies sogar allgemein für alle (quadrat-integrierbaren) Funktionen!

6 Orthogonalität von Eigenfunktionen J7 Hermitesche Matrizen und Operatoren J8 Die Orthogonalität von e k = e ikx für k Z haben wir ausgerechnet. I Es gibt darüber hinaus einen tieferen und allgemeineren Grund: Aufgabe: () Der Ableitungsoperator d i dx ist hermitesch: d i dx f g = f d i dx g. d () Für den Operator i dx ist e k Eigenfunktion zum Eigenwert k: d i dx eikx = k e ikx (3) Demnach sind alle Eigenfunktionen e k untereinander orthogonal. Lösung: () Für f, g : R C stetig diff bar und π periodisch gilt: f d i dx g = π f g = [ ] π fg i 0 i π f 0 i d g = 0 i dx f g Aussage () ist klar. Damit folgt (3) wie für Matrizen bekannt. J9 Die Entwicklung nach Eigenfunktionen ist ein universelles Prinzip und nützt uns vor allem für Differentialgleichungen. Die Fourier heorie diagonalisiert den Ableitungsoperator d : i dx Die Entwicklung nach seinen Eigenfunktionen e ikx für k Z ist die Fourier Reihe. Hermitesche Matrizen und Operatoren Aufgabe: Jeder hermitesche Operator A : V V hat nur reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenräume: () Für jeden Vektor v V gilt zunächst v Av R. () Sei v V ein Eigenvektor, Av = λv mit λ C. Dann gilt λ R. (3) Seien u, v V Eigenvektoren, Au = λu und Av = µv mit λ µ. Dann sind u und v orthogonal, also u v = 0. Lösung: () v Av = Av v = v Av. Wir rechnen () nach: λ v v = v λv = v Av = Av v = λv v = λ v v Wegen v 0 und Positivität gilt v v > 0, also λ = λ. Ebenso (3): λ u v = λu v = Au v = u Av = u µv = µ u v Also (λ µ) u v = 0. Für λ µ 0 folgt somit u v = 0. J9 Slogan: Hermitesche Operatoren verhalten sich wie reelle Zahlen. Genauer: wie reelle Diagonalmatrizen. Wir erinnern an folgenden Satz: Zur Wiederholung siehe Kimmerle Stroppel, Lineare Algebra, 5.4. Reelle Matrizen mit A = A nennt man symmetrisch. Im Komplexen muss man transponieren und konjugieren. Zur Matrix A C n n ist A := A die hermitesch-konjugierte Matrix. Für Spaltenvektoren u, v C n gilt u v = u v, und daher u Av = u Av = A u v = A u v. Wir nennen die Matrix A hermitesch, wenn A = A gilt, gleichbedeutend also u Av = Au v für alle u, v C n. Beispiel: Sei V n = { n k= n c ke ikx ck C } der C Vektorraum der trigonometrischen Polynome vom Grad n und A = d i dx : V n V n der Ableitungsoperator. Bezüglich der Basis (e n, e n,..., e n, e n ) von V n entspricht A der Diagonalmatrix diag( n, n,..., n, n). Allgemein: Sei V ein C Vektorraum mit Skalarprodukt. Sei A : V V eine C lineare Abbildung (auch Operator genannt). Wir nennen A hermitesch, wenn u Av = Au v für alle u, v V. Hermitesche Matrizen sind diagonalisierbar Satz JG (Diagonalisierung hermitescher Matrizen) Jede hermitesche Matrix A C n n ist orthogonal diagonalisierbar: Es gibt eine orthogonale Basis v,..., v n C n aus Eigenvektoren. Beweis: Induktion über n = dim V : Für n = ist alles klar. Sei n. Sei λ R ein Eigenwert und v V ein zugehöriger Eigenvektor. Der hierzu orthogonale Unterraum ist W = { w V v w = 0 }. Es gilt A(W ) W, das heißt, für alle w W gilt Aw W, denn v Aw = Av w = λv w = λ v w = 0. Es gilt dim W = n. Nach Induktionsvoraussetzung existiert eine orthogonale Basis v,..., v n von W aus Eigenvektoren. Somit ist v,..., v n, v eine orthogonale Basis von V. J0 Ähnliches gilt für den Ableitungsoperator i dx und die Entwicklung nach den Eigenfunktionen e ikx in eine Fourier Reihe. Der Vektorraum L ist allerdings unendlich dimensional, das ist der Unterschied. d

7 Satz des Pythagoras J Satz des Pythagoras J Satz JH (Pythagoras) Sei V ein K Vektorraum mit Skalarprodukt. () Sind u,..., u n orthogonal, also u k u l = 0 für k l, so gilt u + + u n = u + + u n. () Sind e,..., e n orthonormal und c,..., c n K, so gilt demnach c e + + c n e n = c + + c n. (3) Für jede Linearkombination f = c k e k gilt c k = e k f. Der klassische Satz des Pythagoras ist der erste interessante Fall, nämlich die Ebene V = R über K = R mit euklidischem Skalarprodukt. Er gilt ebensogut V = K n über K = R, C für in jeder Dimension n N. Selbst für unendlich-dimensionale Vektorräume wie V = L ([0, ], C), wie unten erklärt, erweist er sich als ausgesprochen nützlich! Aufgabe: Rechnen Sie diese allgemeinen Regeln nach. Lösung: () Die Norm erhalten wir aus dem Skalarprodukt: u k = u k u l = u k u l = u k k k l k l k () Speziell für u k = c k e k mit e k = gilt dann u k = c k e k = c k. Hieraus folgt c e + + c n e n = c + + c n wie behauptet. (3) Die Koeffizientenformel haben wir schon nachgerechnet I6 : Sie folgt direkt aus der Orthonormalität der Vektoren e,..., e n gemäß e k f = e k c l e l = l= n l= n c l e k e l = c k. Das Skalarprodukt filtert den gewünschten Koeffizienten heraus! Orthonormalisierung J3 Orthonormalisierung J4 Satz JI (Laplace 86, Gram 883, Schmidt 907) Sei b, b, b 3,..., b n eine Basis des Vektorraums U. Der folgende Algorithmus konstruiert eine Orthogonalbasis b, b, b 3,..., b n von U und daraus eine Orthonormalbasis e, e, e 3,..., e n von U: Wir setzen b := b, b := b e b e, b 3 := b 3 e b 3 e e b 3 e, e := b / b, e := b / b, e 3 := b 3/ b 3,. n b n := b n e k b n e k, e n := b n/ b n. Diese rekursive Konstruktion garantiert schließlich { } { } 0 für k l, 0 für k l, b k b l = b und e k e l = k > 0 für k = l, für k = l. Zur Wiederholung siehe Kimmerle Stroppel, Lineare Algebra, Per Induktion über n zeigen wir: Ist b, b, b 3,..., b n eine Basis des Vektorraumes U n, dann ist e, e, e 3,..., e n eine Orthonormalbasis desselben Vektorraumes U n. Für n = ist die Aussage leicht nachzuprüfen: Der Vektor b = b 0 ist eine Basis des von ihm aufgespannten eindimensionalen Vektorraumes U. Wegen b 0 gilt b = 0, somit können wir normieren zu e = b / b. Damit ist e eine Orthonormalbasis von U. Wir nehmen an, die Aussage gilt für n, das heißt die Vektoren e, e, e 3,..., e n bilden bereits eine Orthonormalbasis von U n. Dann ist e, e, e 3,..., e n, b n eine Basis von U n. Darüber hinaus ist e, e, e 3,..., e n, b n eine Orthogonalbasis von U n, denn nach Definition b n = b n n e k b n e k erzeugt e, e, e 3,..., e n, b n ebenso U n und zudem gilt n e l b n = e l b n e k b n e l e k = e l b n e l b n = 0. Nach Voraussetzung gilt b n / U n, also bleibt b n 0, und wir können normieren zu e n = b n/ b n. Daraus folgt, dass e, e, e 3,..., e n, e n eine Orthonormalbasis von U n ist. Dieses Verfahren funktioniert auch dann noch, wenn b,..., b n nur ein Erzeugendensystem von U ist aber nicht notwendig linear unabhängig. Wenn bei der Orthonormalisierung b n = 0 auftritt, so ist b n eine Linearkombination von b,..., b n und wird einfach weggelassen.

8 Bestapproximation durch Orthogonalprojektion J5 Bestapproximation durch Orthogonalprojektion J6 V v v* U V v v* U Satz JJ (Gauß 795, Bessel 88) Zu jedem Vektor v V existiert genau eine Bestapproximation in U, also ein Vektor v U mit v v < v u für alle u U {v }. () Berechnung: Sei e,..., e n eine Orthonormalbasis des Raums U. Dann ist v gegeben durch die Orthogonalprojektion von v auf U: Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt über K = R, C. Hierin sei U V ein endlich-dim. Untervektorraum, dim U = n <. Approximationsproblem: Zu einem gegebenen Vektor v V finde man den / einen Vektor v U, der v am nächsten liegt. Lösung: Wir definieren U durch eine Basis, orthonormalisieren diese zu e,..., e n und berechnen die Orthogonalprojektion auf U. Schon der Fall V = R und n = (oder V = R 3 und n =, ) ist interessant und Ihnen vielleicht noch aus der Schule vertraut. Die obige Skizze und die folgenden Argumente gelten aber ganz allgemein: Der Raum V darf beliebig groß sein, zum Beispiel ein Funktionenraum; lediglich der Unterraum U soll zur Vereinfachung endlich-dimensional bleiben, zum Beispiel der Unterraum U aller trigonometrischen Polynome vom Grad k, mit n = dim U = + k. v = v k e k mit Fourier Koeffizienten v k = e k v. () Zudem ist v der einzige Vektor in U, für den v v senkrecht steht auf allen u U. Dank Pythagoras gilt daher die Bessel Gleichung: v + + v n + v v }{{}}{{} Längenquadrat von v Approximationsfehler Hieraus folgt die Bessel Ungleichung: = v }{{} Längenquadrat von v v + + v n = v v Bestapproximation durch Orthogonalprojektion J7 Bestapproximation durch Orthogonalprojektion J8 Nachrechnen: () Wir betrachten den genannten Vektor Speziell für u = v gilt somit: v := v k e k mit Koeffizienten v k = e k v. Für jeden Vektor u U gilt u = n u ke k mit Koeffizienten u k K. Den Abstand zwischen v und u berechnen wir dank Skalarprodukt: v u = v u v u = v v v u u v + u u = v v v u k e k u k e k v + u k e k u l e l = v v = v v u k v e k u k v k u k e k v + u k v k + l= l= u k u l e k e l u k = v Re u v + u v v = v v. Dieser Abstand ist minimal, denn im Vergleich gilt: v u v v = = u k u k v k u k v k + (u k v k )(u k v k ) = v k u k v k 0 Gleichheit gilt hierbei nur für u = v, andernfalls v u > v v. () Die behauptete Orthogonalität rechnen wir ebenso direkt nach: v v u = v v k e k u l e l = l= u k v k u k v k = 0. Hieraus folgen die Bessel Gleichung und die Bessel Ungleichung.

9 Der mittlere quadratische Fehler Wir wenden Bessels Approximationssatz auf Fourier Polynome an. Für quadrat-integrierbare f, g : [0, ] C ist das Skalarprodukt f g L := f(t) g(t) dt. Die zugehörige Norm ist definiert durch f = f f, also [ f L := f(t) / dt]. Der mittlere quadratische Abstand zwischen f, g ist definiert durch [ f g L := f(t) g(t) / dt]. J9 Der punktweise Abstand f(t) g(t) wird hier über [0, ] integriert. Das Quadrat gewichtet dabei große Abweichungen stärker als kleine. Der Faktor / normiert und vereinfacht die Fourier Formeln. Die abschließende Wurzel sorgt dafür, dass die Norm homogen ist, also tatsächlich α f = α f für alle α C erfüllt. Bestapproximation durch Fourier Polynome Satz JK (Bestapproximation durch Fourier Polynome) Sei f : [0, ] C quadrat-integrierbar, das heißt 0 f(t) dt <. () Sei f n = n k= n c ke ikωt eine Approximation durch ein beliebiges trigonometrisches Polynom vom Grad n mit Koeffizienten c k C. Bessel-Ungleichung: Der mittlere quadratische Fehler f f n wird genau dann minimal, wenn f n das Fourier Polynom zu f ist, also c k = e k f = e ikωt f(t) dt. Der mittlere quadratische Fehler ist dann f f n = f f n. () Für n gilt Konvergenz f f n 0 im quadratischen Mittel. Für die Normen folgt f n f und somit die Energiegleichung: f n (t) dt = c k k= n c k = f(t) dt J30 Bestapproximation durch Fourier Polynome J3 Bestapproximation durch Fourier Polynome J3 Aufgabe: Zeigen Sie dies für jede stetige Funktion f durch Vergleich von quadratischer Bestapproximation f n und Fejér Approximation f n. Lösung: eil () ist die Anwendung von Bessels Approximationssatz auf den Vektorraum L ([0, ], C) und Fourier Polynome. () Für die Fejér Approximation f n gilt max f n f 0 dank ID. Die quadratische Bestapproximation sind die Fourier Polynome f n, daher gilt f n f L f n f L. Ausgeschrieben bedeutet das: f n (t) f(t) f n(t) f(t) ( max f n f ) 0 Monotonie f n+ f L f n f L ist klar, somit gilt f n f L 0. Dank Aussage () folgt die monotone Konvergenz f n L f L. Ausgeschrieben bedeutet das: k= n A n := n (t) f dt f(t) dt =: A Für die Summen gilt offensichtlich: B n := c k c k =: B Die Energiegleichung A n = B n gilt für jedes trigonometrische Polynom dank Pythagoras I5. Damit folgt die Energiegleichung A = B für f. Hieraus folgt der Satz allgemein durch Vervollständigung: Die stetigen Funktionen liegen dicht in L ([0, ], C).

10 Die Parseval Gleichung J33 Die Parseval Gleichung J34 Satz JL (Parseval Gleichung) Sei f : R C absolut integrierbar auf [0, ] und periodisch. Wir zerlegen f in Harmonische zur Grundfrequenz ω = π/ : Aufgabe: Rechnen Sie die Parseval Gleichung mit Fubini nach im Spezialfall f L und g(t) = k ĝ(k)eikωt L mit ĝ l. Lösung: Wir setzen ein und rechnen s geduldig aus: f f, f(k) := e ikωt f(t) dt, f(t) f(k) e ikωt. Es gilt die Parseval Gleichung, auch Energiegleichung genannt: f L = f l also f(t) dt = f(k) Dank dieser Gleichung gilt f L genau dann, wenn f l gilt. Für f, g L gilt die Parseval Gleichung zudem für Skalarprodukte: f g = f ĝ also f(t) g(t) dt = f(k) ĝ(k) f g L Lin = Def = Def = f(k) ĝ(k) f(t) g(t) dt e ikωt f(t) ĝ(k) dt Def = Fubini = [ Def = f ĝ l f(t) ĝ(k)e ikωt dt ] e ikωt f(t) dt ĝ(k) Speziell für f = g erhalten wir die Energiegleichung f L = f l. Für f L und f l ist damit die Energiegleichung bewiesen. Für f L folgt sie durch Grenzübergang (hier nicht ausgeführt). Für f, g L folgt f, ĝ l, und obige Gleichung besteht weiter. Hausdorff Young Ungleichung J35 Hausdorff Young Ungleichung J36 Wir kennen die folgenden Beziehungen, die eine bemerkenswerte Dualität zwischen L p Funktionen und l q Folgen illustrieren: Für f L wissen wir f l, genauer f(k) f L für alle k Z. Dank Riemann Lebesgue gilt Abklingen f(k) 0 für k. Zu f l konvergiert f = k Z f(k)e k in L, sogar gleichmäßig. Insbesondere gilt dann f L k Z f(k) e k L = f l. Der zentrale Fall: Für f L gilt f l und die Fourier Isometrie f L = f l also f(t) dt = f(k). Diese Fälle behandeln die wichtigen Extreme (p, q) = (, ) und den symmetrischen Fall (p, q) = (, ). Sie werden durch folgenden Satz von Young und Hausdorff zusammengefasst und verallgemeinert. Satz JM (Young 93, Hausdorff 93) Wir fixieren p, q mit p q und /p + /q =. Aus f L p folgt f l q, genauer gilt die Ungleichung f l q f L p also ( f(k) q ) /q ( f(t) p dt) /p. Umgekehrt: Für c l p konvergiert die Folge f n = n k= n c ke k gegen eine Funktion f in L q. Für diese gilt f = c, genauer gilt die Ungleichung f L q f l p also ( /q ( ) /p f(t) dt) q f(k) p. In beiden eilen geht das Argument von p nach q. Die Aussagen werden falsch, wenn wir p und q vertauschen. Ich nenne diesen Satz zur besseren Einordnung der zentralen Parseval Gleichung. Wir werden den Satz hier nicht beweisen.

11 Punktweise Konvergenz vs quadratisches Mittel Will man eine Fourier Reihe in einem einzelnen Punkt auswerten, so muss man sich die Frage der punktweisen Konvergenz stellen! J37 Das Dirichlet Kriterium I6 liefert uns hierzu ein bequemes und doch starkes Werkzeug. Es erlaubt insbesondere die Berechnung von einigen Reihengrenzwerten, die sonst nur schwer zu bekommen sind. Fourier Reihen nutzen das Skalarprodukt periodischer Funktionen. Es ist daher naheliegend, die Güte der Approximation durch die zugehörige Norm des mittleren quadratischen Abstands zu messen. Es stellt sich schnell heraus, dass dieser Abstandsbegriff für die Konvergenz von Fourier Reihen der natürlichste ist: Bezüglich des mittleren quadratischen Abstands sind die Formeln am einfachsten. Wir kennen zudem die gleichmäßige Konvergenz f n f auf X: Hier liegt Konvergenz in allen Punkten x X vor und zudem eine gleichmäßige Fehlerschranke sup x X f n f 0. Das ist die stärkste und wirksamste Forderung, für manche Anwendungen leider zu stark. Punktweise Konvergenz quadratisches Mittel J39 Aus punktweiser Konvergenz f n f, also f n (x) f(x) für alle x, folgt nicht die Konvergenz im quadratischen Mittel! n n n Gegenbeispiel wachsende Zacken : Für n sei f n : [0, ] R definiert durch n x für 0 x n, f n (x) = n n x für n x n, 0 für n x. Für jeden Punkt x [0, ] gilt f n (x) 0. Hingegen gilt 0 f n(x) dx = sowie 0 f n(x) dx = 3n für n. Es gilt also f n (x) 0 in jedem Punkt x [0, ], aber max f n 0 im maximalen Abstand und f n 0 L = im mittleren Abstand und f n 0 L im quadratischen Mittel. Punktweise Konvergenz vs quadratisches Mittel Wir fassen die Beziehungen dieser drei Konvergenzarten zusammen. Seien f 0, f, f,..., f : Ω C Funktionen auf einer Menge Ω R d. vol Ω < Konvergenz im quadratischen Mittel: x Ω f n(x) f(x) dx 0 Gleichmäßige Konvergenz: sup x Ω f n (x) f(x) 0 \ \ \ \ immer Punktweise Konvergenz: f n (x) f(x) in jedem Punkt x Ω Die Implikation gleichmäßig L p folgt sofort aus der Ungleichung f n (x) f(x) p dx vol(ω) (sup x Ω f n (x) f(x) ) p 0. x Ω J38 Die Implikation gleichmäßig punktweise ist klar, denn für x Ω gilt f n (x) f(x) sup x Ω f n f 0. Quadratisches Mittel punktweise Konvergenz J40 Aus Konvergenz im quadratischen Mittel f f n L 0 folgt nicht gleichmäßige Konvergenz, ja nicht einmal punktweise f n (x) f(x): Es kann sein, dass die Folge f n (x) in keinem Punkt x konvergiert! f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 Gegenbeispiel wandernde Blöcke : Wir zerlegen das Intervall I = [0, ] in zwei Hälften I = [0, /] und I 3 = [/, ], und diese wiederum in I 4 = [0, /4] und I 5 = [/4, /] sowie I 6 = [/, 3/4] und I 7 = [3/4, ], usw. Hierzu betrachten wir die Indikatorfunktionen { für x I n, f n (x) = 0 für x / I n. Die Quadrat-Norm f n L (Länge von I n ) konvergiert gegen 0. Jedoch konvergiert f n (x) für n in keinem Punkt x: Die Folge f n (x) besteht nämlich aus vielen Nullen und immer mal wieder einer.

12 Absolute und gleichmäßige Konvergenz Satz JN (Abklingen der Fourier Koeffizienten) J4 () Ist f : R C periodisch und absolut stetig mit f M <, so gilt f(k) M kω und zudem k 0 f(k) π < 6 + M <. Absolute und gleichmäßige Konvergenz Beweis: () Die Ableitung g = f ist absolut integrierbar und beschränkt durch g M (zumindest fast überall). Ihre Fourier Reihe dürfen wir termweise integrieren I38 : g(t) k 0 c k e ikωt = f(t) = C 0 + k 0 c k ikω eikωt J4 () Aus der Endlichkeit dieser Reihe folgt insbesondere: In jedem Punkt t R konvergiert die Fourier Reihe f n (t) = k= n f(k) e ikωt absolut und gleichmäßig gegen den Funktionswert f(t) gemäß k= n f(k)e ikωt f(k) < und f n f f(k) 0. k >n Wir haben gleichmäßige Konvergenz f n f dank Dirichlet I6. Für g n g gilt das im Allgemeinen nicht! Aber wir haben immerhin Konvergenz im quadratischen Mittel und die Energiegleichung: c k = k 0 g(t) dt M < Für alle a, b R gilt ab (a + b ). Hieraus lesen wir ab: f(k) < k + c k < π 6 + M <. k 0 k 0 k 0 Absolute und gleichmäßige Konvergenz J43 Konvergenz im quadratischen Mittel J44 Satz JO (Vollständigkeit) () Wir haben folgende lineare Abbildung L ([0, ], C) l (Z, C): Gilt 0 f(t) dt M <, so bilden die Fourier Koeffizienten c k = e ikωt f(t) dt eine Zahlenfolge (c k ) k Z mit der gleichmäßigen Schranke c k M. () Wir haben folgende lineare Abbildungen l (Z, C) L ([0, ], C): Gilt k c k M <, so konvergiert die trigonometrische Reihe Satz JP (Vollständigkeit) () Wir haben folgende lineare Abbildung L ([0, ], C) l (Z, C): Gilt 0 f(t) dt <, so bilden die Fourier Koeffizienten c k = eine Zahlenfolge (c k ) k Z mit k c k = e ikωt f(t) dt 0 f(t) dt <. () Wir haben folgende lineare Abbildungen l (Z, C) L ([0, ], C): Gilt k c k <, so konvergiert die trigonometrische Reihe c k e ikωt gleichmäßig c k e ikωt im quadratischen Mittel gegen eine stetige Funktion f : R C mit f M. gegen eine Funktion f : R C mit 0 f(t) dt = k c k <.

13 Parseval Gleichung Wir fassen unsere bisherigen Rechnungen wie folgt zusammen: Sei f : R C absolut integrierbar auf [0, ] und periodisch. Die Fourier Analyse zerlegt das Signal f in sein Spektrum f: f f, f(k) := e ikωt f(t) dt, f(t) f(k) e ikωt. In dieser Zerlegung ist f(k) die Amplitude der eilschwingung e ikωt, und f : Z C ist das Spektrum zur Grundfrequenz ω = π/. Es gilt die Parseval Gleichung, auch Energiegleichung genannt: f L = f l also f(t) dt = f(k) Insbesondere ist f genau dann quadrat-integrierbar, 0 f(t) dt <, wenn die Koeffizientenfolge f quadrat-summierbar ist, f(k) <. J0 Parseval Gleichung Zum Vergleich betrachten wir auch die Sinus-Cosinus-Reihe: f(t) c k e ikωt = a 0 + a k cos(kωt) + b k sin(kωt) Dank der einfachen Umrechnung c ±k = (a k ib k ) erhalten wir: f(t) dt = c k = a a k + b k Nachrechnen: Es gilt c 0 = 4 a 0 und c ±k = 4 (a k + b k ). Jeder Summand tritt jeweils einmal für +k und einmal für k auf. Zur Vereinfachung nehmen wir hier f als reell an, also a k, b k R. Andernfalls gehen wir von a k + b k zu a k + b k über. Die komplexe Schreibweise ist meist kürzer und übersichtlicher. Je nach Anwendung nutzt man auch die Sinus- oder Cosinus-Reihe. Ich gebe hier beide Formeln an, damit wie sie leicht zur Hand haben. Die Umrechnung ist leicht gemäß a k = c k + c k und b k = i(c k c k ). J0 Parseval Gleichung J03 Parseval Gleichung J04 Physikalisch bedeutet die Energiegleichung eine Energieerhaltung: Die Gesamtenergie des Signals f (Integral der linken Seite) ist die Summe der Energien aller eilschwingungen f(k)e k (rechte Seite). Geometrisch gesehen ist diese Gleichung der Satz des Pythagoras: Die Gesamtlänge (Norm) des Vektors f zum Quadrat (linke Seite) ist gleich der Quadratsumme seiner Koordinaten f(k) (rechte Seite). Für trigonometrische Polynome folgt Parseval direkt aus Pythagoras. Allgemein brauchen wir für f geeignete Approximationssätze. Der Raum L entsteht als Abschluss der trigonometrischen Polynome: Die Funktionen e k (t) = e ikωt mit k Z bilden eine Hilbert Basis (I3D), also ein vollständiges Orthonormalsystem für den Raum L ([0, ], C) mit dem Skalarprodukt f g = 0 f(t) g(t) dt, wie oben erklärt. Wie in folgenden Beispielen gilt Parseval für Rechteckfunktionen. Per Linearkombination gilt Parseval dann für alle reppenfunktionen. Per Grenzübergang gilt Parseval für alle integrierbaren Funktionen! Wir können uns f zum Beispiel als akustisches Signal vorstellen. Die Fourier Analyse f f zerlegt das Signal f in sein Spektrum f. Die Fourier Synthese f f rekonstruiert aus dem Spektrum das ursprüngliche Signal. Dabei geht keine Information verloren! Wir können aus dem Spektrum gewisse Frequenzen leicht ausfiltern (abschwächen oder verstärken). Die Fußball-Weltmeisterschaft 00 etwa war geprägt vom Brummen der Vuvuzela. Ihre Grundfrequenz liegt bei ca. 30Hz, dazu kommen noch Obertöne. Diese kann man gezielt herausfiltern durch (digitale) Fourier Analyse Synthese. Der Vorteil: Man kann die störenden Frequenzen gezielt dämpfen; das Getröte ist trotz Filter noch zu hören, aber stark gemindert. So kann der Fernsehzuschauer den Zuschauerjubel besser hören. Wieviel Energie geht dem Signal insgesamt hierdurch verloren? Genau die Energie der herausgefilterten Frequenzen! Ein Jubel für die Energiegleichung!

14 Anwendung auf die Sägezahnfunktion J05 Anwendung auf die Sägezahnfunktion J06 Aufgabe: Berechnen Sie beide Seiten der Energiegleichung für { f(x) = ( ) k+ k sin(kx) = x für π < x < π, 0 für x = ±π. 4 f f 8 0 Lösung: Wir berechnen beide Seiten der Energiegleichung f(t)! dt = c k = a a k + b k. Das Integral ergibt: Die Reihe ergibt: π x dx = [ x 3 π π π 3 a ] π π = π 3 a k + b k = k Dies entspricht der bemerkenswerten Gleichung k = π 6. Diese Reihe haben wir im vorigen Kapitel ausgerechnet I3. Anwendung auf die Rechteckfunktion J07 Anwendung auf die Rechteckfunktion J08 Aufgabe: Berechnen Sie beide Seiten der Energiegleichung für f(x) = 4 [ ] sin 3x sin 5x für 0 < x < π, sin x = für π < x < 0, π für x = 0, ±π. f f 7 Lösung: Wir berechnen beide Seiten der Energiegleichung f(t)! dt = c k = a a k + b k. π Das Integral ergibt: f(x) dx = π π Die Reihe ergibt: a a k + b k = 8 π (j + ) j=0 0 Dies entspricht der bemerkenswerten Gleichung I309 (j + ) = π 8. j= Diesen Wert kann man alternativ auch aus /k = π /6 ableiten. Sehen Sie wie? Hinweis: Man kann die ungeraden und die geraden erme getrennt summieren und erhält /k = j=0 /(j + ) + j= /(j), die zweite Reihe ist 4 /k.

15 Die Fourier Isometrie Die quadrat-integrierbaren Funktionen bilden den C Vektorraum { L = L } ([0, ], C) := f : [0, ] C f(t) dt <. Hierauf haben wir als Skalarprodukt und Norm die Integrale f g L := f(t) g(t) dt und f L := f(t) dt. Die quadrat-summierbaren Folgen bilden den C Vektorraum { l = l } (Z, C) := f : Z C f(k) <. Hierauf haben wir als Skalarprodukt und Norm die Summen f ĝ l := f(k) ĝ(k) und f l := f(k). J09 Dies ist absolut integrierbar / summierbar dank Cauchy Schwarz. Beide Vektorräume L und l scheinen zunächst sehr verschieden. Die Fourier Isometrie enthüllt jedoch das Gegenteil: Sie sind isomorph! Die Fourier Isometrie Satz JA (Fourier Isometrie, Fischer Riesz 907) Jeder Funktion f L ordnen wir ihre Fourier Koeffizienten f l zu: F : L ([0, ], C) l (Z, C), f f mit f(k) = e ikωt f(t) dt Umgekehrt definiert jede Koeffizientenfolge f l eine Funktion f L : F : l (Z, C) L ([0, ], C), f f mit f(t) = f(k) e ikωt Diese Abbildungen sind C linear und zueinander inverse Isometrien. Norm und Skalarprodukt bleiben erhalten dank Parseval Gleichung: f L = f l also f(t) dt = f(k), f g L = f ĝ l also f(t) g(t) dt = f(k) ĝ(k). J Die Fourier Isometrie Sei f : R C abs. integrierbar auf [0, ] und periodisch, ω = π/. Die Fourier Analyse zerlegt das Signal f in sein Spektrum f: f f, f(k) := e ikωt f(t) dt, f(t) f(k) e ikωt. Es gilt die Parseval Gleichung, auch Energiegleichung genannt: f L = f l also f(t) dt = f(k) Dank dieser Gleichung gilt f L genau dann, wenn f l gilt. Für f, g L gilt die Parseval Gleichung zudem für Skalarprodukte: f g L = f ĝ l also f(t) g(t) dt = f(k) ĝ(k) Diese Beziehungen fassen wir in folgendem Satz zusammen: Fourier Analyse und Synthese sind zueinander inverse Isometrien. Die Fourier Isometrie J0 J Diese Fourier Isometrie ist der Höhepunkt unserer kurzen Einführung zu Fourier Reihen. Sie perfektioniert die ersehnte Analyse / Synthese: L ([0, ], C) = l (Z, C), f f Diese Beziehung ist höchst erstaunlich und ungemein praktisch: Aus dem Signal f gewinnt man das Spektrum f und umgekehrt. Aus f L L folgt f l dank Parseval Gleichung. Umgekehrt gilt: Für f l l konvergieren die Polynome f n (t) = n f(k) k= n e ikωt in L gegen eine Funktion f : R C dank Vollständigkeit von L. In fast allen Punkten t R gilt zudem f n (t) f(t). (Carleson 966) Aus der Energiegleichung folgt die allgemeine Parseval Gleichung. Damit das Integral einen Sinn hat, muss f g absolut integrierbar sein. Damit die Reihe einen Sinne hat, muss f ĝ absolut summierbar sein. Beides wird garantiert durch die Cauchy Schwarz Ungleichung: f g L f L g L, f ĝ l f l ĝ l

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17 Das isoperimetrische Problem J7 Das isoperimetrische Problem J8 Wieviel Fläche F kann man mit einem Zaun der Länge L abstecken? a a a a r maximale Fläche? γ Sei γ : [0, L] R = C ein geschlossener Weg, also γ(0) = γ(l). Hierbei sei γ rektifizierbar, etwa stetig und stückweise stetig diff bar, oder allgemein γ absolut integrierbar und γ(t) = γ(0) + t 0 γ (τ) dτ. Wir parametrisieren nach Weglänge, also γ (t) = für alle t. D.h. wir fahren die Randkurve mit konstanter Geschwindigkeit ab. Nach Skalierung können wir die Länge L = π annehmen. Beispiel: Der Kreis γ(t) = c 0 + c e it mit c 0, c C und c =. Aufgabe: (0) Wie verhalten sich L, F und F/L bei Streckung um λ? () Welche Fläche F erreicht man mit einem Quadrat? () Welche Fläche F erreicht man mit einem Kreis? (3) Geht noch mehr? Wie sehen optimale Kurven aus? Lösung: (0) L wächst linear, F quadratisch, F/L bleibt konstant. () Seitenlänge a = L/4, Fläche F = a = L /6. Das ist gut. () Radius r = L/π, Fläche F = πr = L /4π. Das ist besser! Problem Lösung schwierig ransformation Rücktransformation vereinfachtes Problem leichter vereinfachte Lösung Aufgabe: Wir nutzen die Fourier Entwicklung γ(t) = k c ke ikt. () Entwickeln Sie γ und berechnen Sie k k c k mit Parseval. () Berechnen Sie die von γ umschlossene Fläche F mit Green. (3) Gilt immer F π? (4) Für welche Kurven gilt Gleichheit? Lösung des isoperimetrischen Problems () Wir entwickeln γ, γ : [0, π] C in ihre Fourier Reihen γ(t) = c k e ikt und γ (t) ik c k e ikt. Wegen γ(t) = γ(0) + t 0 γ (τ) dτ können wir termweise integrieren I38. Dank Energiegleichung und Parametrisierung nach Weglänge folgt: k c k (E) = π π γ (t) dt =. () Die umschlossene Fläche berechnen wir mit Green und Parseval: F (G) = π γ γ γ γ dt = [ π ] = π Im γ γ dt π π (P) = π Im [ ] Im (γ iγ )(γ + iγ ) dt [ c k ikc k ] = π k c k. Gleichung (G) ist die Greensche Formel E309 für den Flächeninhalt. J9 Lösung des isoperimetrischen Problems (3) Wir vergleichen unsere Fläche F mit der Kreisfläche π: F = π k c k π k c k und π = π Die erste Reihe ist termweise kleiner-gleich der zweiten: F π π ( k k ) c k }{{} 0. 0 Also gilt F π: Die Kreisfläche kann nicht übertroffen werden! (4) Gleichheit gilt nur, wenn c k = 0 für alle k / {, 0, }. Also γ(t) = c e it + c 0 + c e it mit c + c () =. Aus F = +π folgt c c () = +, also c = und c = 0. Aus F = π folgt c c () =, also c = 0 und c =. k c k Das heißt, nur Kreise γ(t) = c 0 + e i(α±t) maximieren die Fläche! J0

18 Lösung des isoperimetrischen Problems J Die isoperimetrische Ungleichung J Diese Rechnung grenzt an Zauberei! Was passiert hier? Fourier transformiert ein schwieriges Problem in ein leichtes! Wir wollen periodische Funktionen γ : R R untersuchen und zu gegebenem Umfang L die größtmögliche Fläche F finden. Problem ransformation vereinfachtes Problem Der Raum aller Funktionen ist allerdings sehr unübersichtlich. Die Fourier Isometrie übersetzt dies in ein Problem über Reihen. Dieses ist wesentlich übersichtlicher und kann leicht gelöst werden. Lösung schwierig Rücktransformation leichter vereinfachte Lösung Dabei haben wir die Fourier Isometrie voll ausgenutzt: Die Übersetzung erhält alle wesentlichen Informationen! Dieses schöne Ergebnis bildet eine würdige Illustration: ransformation zur Vereinfachung ist durchaus typisch. Darum geht es in Mathematik und Wissenschaft allgemein: Zusammenhänge verstehen und geeignete Werkzeuge entwickeln, um damit konkrete Probleme zu lösen, effizient, sicher, korrekt. Wir haben so den Beweis von Hurwitz (90) nachgerechnet: Satz JB (isoperimetrische Ungleichung) Sei γ : [0, L] R ein geschlossener Weg, also γ(0) = γ(l). Zudem sei γ stückweise stetig differenzierbar und habe Länge L. Für den umschlossenen Flächeninhalt F gilt immer F F = L /4π. Gleichheit gilt nur, wenn γ einen Kreis vom Umfang L beschreibt. Die isoperimetrische Ungleichung J3 Die isoperimetrische Ungleichung J4 Der Legende nach wurde Karthago von der phönizischen Königin Dido gegründet. Der örtliche Herrscher gab ihr hierzu so viel Land, wie sie mit einer Kuhhaut umspannen könne. Diese schnitt Dido in Streifen der Gesamtlänge l und maß die Grenze des zukünftigen Karthago ab, das auf einer Seite durch die gerade Mittelmeerküste begrenzt wird. Aufgabe: () Welche Kurve wählt Dido, um die Fläche zu maximieren? () Und wenn zwei Küstenpunkte der Stadtgrenze vorgegeben sind? Intuition ist gut, schlüssige Argumente sind besser. () Wir betrachten die Fläche, die von einer Geraden G und einem Weg γ der Länge l begrenzt wird. Durch Spiegelung an G erweitern wir γ zu einem geschlossenen Weg. Dabei verdoppeln sich die Länge und der umschlossene Flächeninhalt. Nach der isoperimetrischen Ungleichung folgt F (l) /(4π), also F l /(π). Nur für einen Halbkreis erhalten wir Gleichheit. () Wir fixieren zwei Punkte A und B mit Abstand < l auf der Geraden G und verlangen, dass γ von A nach B läuft. Sei Γ der Kreisbogen der Länge l von A nach B. Wir vergleichen den von γ und Γ umschlossenen Flächeninhalt, jeweils ergänzt durch den fehlenden Kreisbogen. Die isoperimetrische Ungleichung besagt, dass der Flächeninhalt genau für γ = Γ maximal ist. Wer Freude am Knobeln hat, mag vielleicht folgende Varianten untersuchen: Sie verfügen über einen Zaun der Länge L, entweder starr (ein Geradensegment) oder flexibel (eine stückweise stetig differenzierbare Kurve). In einem großen rechteckigen Garten möchten Sie einen Bereich für Ihre Kaninchen einzäunen. Welche Fläche ist hier höchstens möglich? Welche Kurve maximiert die Fläche? Was gilt für einen kreisförmigen Garten? Was gilt für ein parabelförmig auslaufendes Ende des Gartens? Machen Sie Skizzen und argumentieren Sie sorgfältig. Zum Ausklang nenne ich noch ein einfaches aber erhellendes Zahlenbeispiel: Aufgabe: (nach einer Klausuraufgabe vom Februar 0) () Kann man mit m Zaun eine Fläche von m umschließen? () Kann man mit 3m Zaun eine Fläche von 3m umschließen? Lösung: Wir wissen, dass der Kreis den Flächeninhalt F maximiert: F F = L /4π, und Gleichheit gilt nur für den Kreis. () Für L = finden wir F = L /4π <. (Es gilt < 4π < 3.) () Für L = 3 erreicht der Kreis die Fläche F = L /4π > 3.

19 Parseval Gleichung Es gilt die Parseval Gleichung, auch Energiegleichung genannt: f L = f l also f(t) dt = f(k) Insbesondere ist f genau dann quadrat-integrierbar, 0 f(t) dt <, wenn die Koeffizientenfolge f quadrat-summierbar ist, f(k) <. Die Umrechnung der Koeffizienten gelingt dank c ±k = (a k ib k ): f(t) c k e ikωt = a 0 + a k cos(kωt) + b k sin(kωt) 0 f(t) dt = c k = a a k + b k. Für f, g L gilt die Parseval Gleichung zudem für Skalarprodukte: f g = f ĝ also f(t) g(t) dt = f(k) ĝ(k) Die Fourier Isometrie Die Fourier Isometrie JA ist folgende Analyse / Synthese: L ([0, ], C) = l (Z, C), f f Jeder Funktion f L ordnen wir ihre Fourier Koeffizienten f l zu: F : L l, f f mit f(k) = e ikωt f(t) dt Umgekehrt definiert jede Koeffizientenfolge f l eine Funktion f L : F : l L, f f mit f(t) = f(k) e ikωt Diese Abbildungen sind C lineare Isomorphismen zwischen dem Funktionenraum L ([0, ], C) und dem Folgenraum l (Z, C). Norm und Skalarprodukt bleiben erhalten dank Parseval Gleichung. Eine Anwendung ist die isoperimetrische Ungleichung JB: Allein der Kreis maximiert den umschlossenen Flächeninhalt F. J30 Fazit J303 Fazit Die Fourier Isometrie Die quadrat-integrierbaren Funktionen bilden den C Vektorraum { L = L } ([0, ], C) := f : [0, ] C f(t) dt <. Hierauf haben wir als Skalarprodukt und Norm die Integrale f g L := f(t) g(t) dt und f L := f(t) dt. Die quadrat-summierbaren Folgen bilden den C Vektorraum { l = l } (Z, C) := f : Z C f(k) <. Hierauf haben wir als Skalarprodukt und Norm die Summen f ĝ l := f(k) ĝ(k) und f l := f(k). Jeweils absolut integrierbar / summierbar dank Cauchy Schwarz. Beide Vektorräume L und l scheinen zunächst sehr verschieden. Die Fourier Isometrie enthüllt jedoch das Gegenteil: Sie sind isomorph! Die Fourier Isometrie Die Fourier Isometrie nutzt wesentlich die Begriffe der linearen Algebra: Vektorräume mit Skalarprodukt JA, Cauchy Schwarz Ungleichung JB, Satz des Pythagoras JH, Orthonormalisierung JI. Zentrales Beispiel: Die Menge aller Funktionen f : R C ist ein C Vektorraum. Hierin ist die eilmenge der periodischen Funktionen ein Untervektorraum. Die Funktionen e k : R C : t e ikωt = cos(kωt) + i sin(kωt) mit k Z spannen den Unterraum V = { n k= n c ke ikωt n N, c k C } aller trigonometrischen Polynome auf und sind hierin eine Orthonormalbasis. Die Vervollständigung dieses Raumes V bezüglich der L Norm ist der Raum L = L ([0, ], C) aller quadrat integrierbaren Funktionen. Auch die Menge aller Folgen f : Z C ist ein C Vektorraum. Die Folgen δ k : Z C mit δ k (k) = und δ k (l) = 0 für l k spannen den Unterraum W = { n k= n c kδ k n N, c k C } aller Folgen mit endlichem räger auf und sind hierin eine Orthonormalbasis. Die Vervollständigung dieses Raumes W bezüglich der l Norm ist der Raum l = l (Z, C) aller quadrat summierbaren Folgen. Die Fourier Isometrie f f liefert V = W, vervollständigt L = l. J30 Fazit J304 Fazit

20 Verständnisfragen J305 Verständnisfragen J306 () Wie definiert man die Vektorräume L p und l p für p. Wie definiert man hierauf die Fourier Abildungen F : L l und F : l L? Wie definiert man als symmetrische Fassung die Fourier Isometrie F : L l und F : l L? () Wie ändert sich das Spektrum f, wenn wir f in einem Punkt t R abändern? in endlich vielen Punkten? auf einer Menge vom Maß Null? (3) Was bedeutet: Aus dem Signal f gewinnt man das Spektrum f und umgekehrt rekonstruiert man aus dem Spektrum f das Signal f? (4) Wie lösen Fourier Reihen das isoperimetische Problem? Inwiefern transformieren sie ein schwieriges Problem in ein leichtes? (5) Welchen Flächeninhalt können Sie mit einem Zaun der Länge L höchstens umgrenzen? Welche Kurven maximieren die Fläche? () Was bedeutet punktweise Konvergenz der Fourier Reihe von f? Was sagt das Dirichlet Kriterium über Konvergenz und Grenzwert? () Angenommen f ist nicht nur stetig, sondern stückw. stetig diff bar. Konvergiert die Fourier Reihe gleichmäßig gegen f? Wie schnell? (3) Was besagt Pythagoras für Norm und Skalarprodukt? Allgemein: Was besagt die Parseval Gleichung für Norm und Skalarprodukt? (4) In welchem Sinne ist das Fourier Polynom f n vom Grad n die beste Approximation an die Funktion f? Unter welcher Bedingung konvergieren die Funktionen f n im quadratischen Mittel gegen f? (5) Nennen Sie eine Folge f : Z C in l aber nicht in l. Gilt umgekehrt l l? (Beweis oder Gegenbeispiel) (6) Nennen Sie eine Funktion f : [0, ] C in L aber nicht in L. Gilt umgekehrt L L? (Beweis oder Gegenbeispiel) Verständnisfragen Aufgabe: Seien f, g : R C periodisch und absolut integrierbar. (0) Wiederholen Sie möglichst präzise den Satz von Parseval () Seien f, g stetig. (a) Gilt f = 0 f = 0 und (b) f = ĝ f = g? () Dieselbe Fragen für f, g stückweise stetig und (3) sprungnormiert. (4) Allgemein: Folgt aus f = ĝ stets f = g, zumindest fast überall? J307 Lösung: (a) Ja: Dank Parseval gilt 0 f(t) dt = k Z f = 0. Aus dem Integral 0 f(t) dt = 0 und der Stetigkeit von f folgt f = 0. (b) Ja, dies folgt aus (a) angewendet auf die Differenz f g. () Nein: Wie zuvor gilt 0 f(t) dt = 0, allerdings dürfen wir nun f an endlich vielen Stellen ändern. Dann gilt weiterhin f = 0 aber f 0. (3) Ja, die Sprungnormierung stellt die Eindeutigkeit wieder her. (4) Ja, aus 0 f(t) dt = 0 folgt f(x) = 0 für fast alle x R, das heißt alle x außerhalb einer vernachlässigbaren Menge N R, vol (N) = 0. Verständnisfragen J308 Aufgabe: () Ist sin(kx) Fourier Reihe einer int baren Funktion? () Ist k= sin(kx)/(k ln k) Fourier Reihe einer C Funktion? (3) Ist die Funktion f : R R mit f(x) = sin(kx)/ k stetig? (4) Vorgelegt sei die trigonometrische Reihe f(x) = k a sin(kx). Für welche a R konvergiert f in jedem Punkt x R? Für welche a R ist f zudem quadrat-integrierbar? stetig? stetig differenzierbar? Lösung: () Nein nach Riemann Lebesgue I3B, denn b k = 0. () Nein, wegen k /k ln k = klingen die Koeffizienten für eine stetig differenzierbare Funktion nicht schnell genug ab (Satz JN). (3) Nein, denn /k =. Ausführlicher gilt folgendes: (4) Diese Reihe konvergiert für a > 0 in jedem Punkt x R: In x = 0, π/, π,... folgt dies aus dem Leibniz Kriterium (Satz B3B), und allgemein für x R aus Dirichlets Verallgemeinerung (Satz B3D). Für f L ist a > / notwenig und hinreichend dank Parseval (JL). Für f C 0 ist a > / notwendig und a > hinreichend (I3C). Für f C ist a > 3 / notwendig und a > hinreichend (I3C).